资源简介

初中数学
【28 道核心母题】
1、三角函数计算
1
1． 计算： ( ) 1 + 2cos30 |1 3 | +2sin 45 20250 ．
2
2、分式的化简求值
4 x2 1
2．先化简，再求值： (1+ ) ，其中 x = 2 +1．
x 3 2x 6
3、手拉手模型
3．（1）问题发现
如图 1， ACB和 DCE均为等边三角形，点 A，D，E在同一直线上，连接 BE，求 AEB
的度数．
（2）拓展探究
如图 2， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB = DCE = 90 ，点 A、D、 E在
同一直线上，CM 为 DCE中DE边上的高，连接 BE．请求 AEB的度数及线段CM ，AE，
BE之间的数量关系，并说明理由．
4、手拉手模型
4．在 ABC中， ABC = 90 ，AB = BC，正方形 ADEF与 ABC有公共顶点 A，P是CE
的中点，连接 PB， PF．
（1）如图 1，点 B在 AF 上，请直接写出 PB， PF的数量关系与位置关系；
（2）如图 2，将图 1 中的 ABC绕点 A旋转，使C， A， E三点在一条直线上，（1）中
的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
5、角平分线模型
5． ABC中， AB = AC， BAC = 90 ，M 是线段 BC上的一个动点．
（1）如图，若M 与C重合，CD平分 ACB，BE ⊥CD，垂足 E在CD的延长线上，试
探究 BE与CD的数量关系，并说明理由．
1
（2）若M 在线段 BC上且不与 B，C重合，D在线段 AB上，且 BMD = ACB，过B
2
作 BE ⊥ MD，垂足 E在MD的延长线上，则 BE 与DM 的数量关系是什么？画图并说明
理由．
6、半角模型
6．（1）如图 1，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且
DF = BE．请直接写出CE、CF的数量关系 ；
（2）如图 2，在正方形 ABCD中，E是 AB上一点，G是 AD上一点，如果 GCE = 45 ，
请你利用（1）的结论证明：GE = BE +GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在四边形 ABCG中，
AG / /BC(BC AG)， B = 90 ，AB = BC，E是 AB上一点，且 GCE = 45 ，BE = 4，
AG = 6 ，求四边形 ABCG的面积．
7、边等角补模型
7．定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们
把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
（1）如图 1，在四边形 ABCD中，若 ADB = 40 ， CDB = 20 ， C =140 ， ABC = 70 ，
请判断四边形 ABCD是否为“等对直四边形”？并说明理由．
（2）如图 2，若四边形 ABCD是“等对直四边形”， A是“对直角”， AD = 4 ，AB = 6，
对角线 BD恰好平分四边形 ABCD中的一个内角，求此时 BC的长．
（3）如图 3，若四边形 ABCD是“等对直四边形”， DAB是“对直角”， DA = 2 ，
DB = 2 10 ，DC = 2 5 ，求此时对角线 AC的长．
8、三垂直模型
8．如图在△ ABC中， ACB = 90 ，AC = BC，直线MN经过点C，且 AD ⊥MN 于点D，
BE ⊥MN于点 E，求证：
（1）△ ADC △CEB；
（2）DE = AD + BE．
9、十字架模型
9．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正
EG
方形 ABCD，点 E、F 、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA上，若 EG ⊥ FH ，则 =1．”
FH
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点 A作 AM / /HF交 BC于点M ，过点 B作 BN / /EG交CD于点N；
方案二：过点H 作HM ⊥ BC交 BC于点M ，过点 E作 EN ⊥CD交CD于点N．
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图1) ．
EG
（2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图 2) ，并设 AB = 3，BC = 5 ，求
FH
的值．
10、垂美四边形
10．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形 ABCD中，如果 AB = AD，CB =CD，那么四边形 ABCD是
垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形 ABCD两组对边 AB、CD与 BC、AD之间有怎样的数量
关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt ACB的直角边 AC和斜边 AB为边向外作正方形 ACFG和
正方形 ABDE，连接CE、 BG、GE．若 AC = 2 ， AB = 5，则
①求证： AGB ACE
②GE = ．
11、辅助圆
11．阅读理解：
（1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添
加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆
为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点 +定长”：如图 1，在△ ABC中，AB = AC， BAC = 44 ，D是△ ABC
外一点，且 AD = AC，求 BDC的度数．
解：若以点 A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆 A，则点C、D必在 A上，
BAC是 A的圆心角，而 BDC是圆周角，从而可容易得到 BDC = ．
②类型二，“定角 +定弦”：如图，Rt△ ABC中，AB ⊥ BC，AB = 6，BC = 4，P是△ ABC
内部的一个动点，且满足 PAB = PBC，则线段CP长的最小值为
（2）【问题解决】如图 3，在矩形 ABCD中，已知 AB = 3，BC = 4，点 P是 BC边上一动
点（点 P不与 B，C重合），连接 AP，作点 B关于直线 AP的对称点M ，则线段MC的
最小值为 ．
（3）【问题拓展】如图 4，在正方形 ABCD中， AD = 4 ，动点 E，F 分别在边DC，CB
上移动，且满足DE =CF ．连接 AE和DF，交于点 P．点 E从点D开始运动到点C时，
点 P也随之运动，请求出点 P的运动路径长．
12、胡不归
12．如图， ABC为等边三角形，BD平分 ABC，AB = 2 ，点 E为 BD上动点，连接 AE，
1
则 AE + BE的最小值为 ( )
2
A．1 B． 2 C． 3 D．2
13、阿氏圆
13．如图，在 Rt△ ABC中， ACB = 90 ，CB = 3 2 ， AC = 9，以C为圆心，3 为半径
1
作 C， P为 C上一动点，连接 AP、 BP，则 AP + BP的最小值为 ( )
3
A．1 B．2 C． 19 D．4
14、瓜豆原理
14．如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 (0,4) ，点 B为 x轴上一动点，以 AB为边
在 AB的右侧作等腰 Rt△ ABC， ABC = 90 ，连接OC，当OC + AC取最小值时，△ AOC
的面积为 ．
15、临界值问题
15．在平面直角坐标系 xOy中，对于图形M ，线段 AB和点C，若在图形M 上存在点 P，
使线段CP的中点在线段 AB上，则称C为图形M 关于线段 AB的“扩充点”．
（1）如图 1，点 A(2,0)， B(0,2)，在点C1( 2,0) ，C2 ( 1,2)，C ( 3,2)中，△3 AOB关于
线段OB的“扩充点”是 ；
（2）已知点D(a,0) ， E(a, 2) ， F (b, 2) ，G(b,0) ，其中 a b，直线 l : y = kx + 3．
① H 是直线 l上的一个动点，当 a = 0，b = 4 ，k = 2时，若H 为四边形DEFG关于线段DE
的“扩充点”，直接写出点H 的横坐标 h的取值范围；
②连接 EG，T (t,1) 为线段 EG的中点，当 a = t 1， k = t 3 时，若直线 l上存在四边形
DEFG关于线段 EG的“扩充点”，直接写出 t的取值范围．
16、新定义
16．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
（1）如图 1，在邻余四边形 ABCD中， B = 40 ，则 C = ；
（2）如图 2，在 ABC中， AC = 4 5 ， BC = 4，DE垂直平分 AC交 AB于点 E，垂足
为D，且DE = 5 ， BE = 3， F 为 BC上一点，求证：四边形 AEFC是邻余四边形；
（3）如图 3、图 4，在邻余四边形 ABCD中， E为 AB的中点， DEC = 90 ，
①如图 3，当DE ⊥ AD时，判断四边形 BCDE的形状并证明你的结论；
②如图 4，当 AD = 6 ， BC = 8时，求CD的长．
17、一次函数应用
17．甲、乙两人参加从M 地到 N地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程 y（米 )与时间
x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是 米 / 分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点．
（2）求乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式．
（3）请直接写出甲、乙两人相距 750 米时乙所跑的时间．
18、一次函数综合
18．如图，在平面直角坐标系中，直线 y = x + b与 x轴的正半轴交于点 A，与 y轴的负半
轴交于点D，点 B在 x轴的正半轴上，四边形 ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元
二次方程 x2 4x 12 = 0的一个根．请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若线段 BC的垂直平分线交直线 AD于点 E，交 x轴于点 F ，交 BC于点G，点 E在
第一象限， AE = 3 2 ，连接 BE，求 tan ABE的值；
（3）在（2）的条件下，点M 在直线DE上，在 x轴上是否存在点N，使以 E、M 、N
为顶点的三角形是直角边比为1: 2 的直角三角形？若存在，请直接写出△ EMN的个数和
其中两个点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
19、反比例函数应用
19．随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧
时，室内空气的含药量 y(mg / m3)与药物点燃后的时间 x(min)成正比例，药物燃尽后，室
内空气的含药量 y(mg / m3)与 x(min)成反比例（如图）．已知药物点燃后10min燃尽，此
时室内空气的含药量为8mg / m3．
（1）求出药物燃尽后 y与 x之间函数的表达式．
（2）从熏药开始经过 40min时，求此时室内空气的含药量是多少？
（3）当室内空气的含药量不低于 4mg / m3 且持续时间不低于12min时，才能有效杀灭室
内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
20、反比例函数综合
k
20．如图所示，直线 y = 2x与双曲线 y = (x 0,k 0) 相交于点 A， AB ⊥ x轴于点 B，
x
以 AB为边在右侧作正方形 ABCD，CD与双曲线相交于点 E，连结 AE，OE．
（1）当 BC = 4时，求点 E的坐标；
（2）当 S = 24 时，求 k的值； AOE
（3）是否存在实数 k，满足 AE ⊥OA，若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由．
21、反比例 K 几何意义
4 1 4
21．函数 y = 和 y = 在第一象限内的图象如图，点 P是 y = 的图象上一动点，PC ⊥ x
x x x
1 1
轴于点C，交 y = 的图象于点 A，PD ⊥ y轴于点D，交 y = 的图象于点 B．给出如下
x x
结论：
① ODB与 OCA的面积相等；
② PA与 PB始终相等；
③四边形 PAOB的面积大小不会发生变化；
1
④CA = AP．
3
其中所有正确结论的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
22、二次函数图象与系数的关系
22．如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0) 与 x轴交于点 A，B(2,0)，与 y轴交于点C，
对称轴为直线 x = 1．有下列四个结论：①9a 3b + c 0；② 4b + c = 0 ；③若点 (x1 ，y1)，
(x2 ， y2 ) 在 抛 物 线 上 ， 当 x1 x2 1 时 ， y1 y2 0 ； ④ 若 6 c 4 ， 则
27 9
a b + c ．其中正确的有 ( )
4 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
23、二次函数的应用
23．在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为 a（单位：m / s)，垂直向
上的速度为b（单位：m / s)．实心球在空中运动时，其水平距离 x（单位：m) 与时间 t的
关系为 x = at，高度 （单位： 与时间 t的关系为 y = 5t2y m) + bt + 2．
（1）在小伟同学的一次投掷中，测得 a = 6m / s，b = 3m / s；
①写出 x与 t的函数关系式为 ； y与 t的函数关系式为 ；
根据以上关系，可得 y与 x的函数关系式为 （不用写出 x的取值范围）；
②求出本次实心球的投掷距离．
（2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投
掷距离越远．改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中 a = b，求实心
球在投掷过程中的最大高度．
24、二次函数存在性问题
24．如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y = ax2 + bx 2的图象经过点 A( 1,0) ，
B(3,0) ，与 y轴交于点C，连接 BC、 AC．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为D，求 sin CBD的值；
（3）若点M 在线段 AB上（不与 A、 B重合），点 N在线段 BC上（不与 B、C重合），
是否存在△CMN与△ AOC相似，若存在，请直接写出点 N的坐标，若不存在，请说明
理由．
25．如图，在平面直角坐标系 xOy中已知抛物线 y = ax2 2x + c与直线 y = kx + b都经过
A(0, 3) ， B(3,0) 两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）设点 P是直线 AB下方抛物线上的一动点，连接 PA，PB，请求出△ PAB的最大面
积是多少．
（3）设直线 AB与该抛物线的对称轴交于点 E，点M 为射线 EB上一点，过M 作 x轴的
垂线交抛物线于点 N，是否存在点M ，使点M ，N，C，E是平行四边形的四个顶点？
若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0) 与 x轴交于 A(4,0)， B( 2,0) ，与 y轴交于点C，
7
点 (5, )在抛物线上．
4
（1）求抛物线的解析式．
ON
（2）若点M 在抛物线上，且它的横坐标为 t(0 t 4) ，MO与 AC交于点 N，当 的
MN
值最小时，求点M 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△ PBC是等腰三角形？若存在，求出点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
25、二次函数最值问题
27．定义：当抛物线的顶点不在原点时，我们把抛物线的顶点与原点连接的线段，称为该
抛物线的“顶原线段”，如图 1，抛物线 y = x2 4x + 3的顶点是点 A，则线段OA就是抛
物线 y = x2 4x + 3的“顶原线段”．
（1）求图 1 中抛物线顶原线段所在直线的函数表达式．
k
（2）双曲线 y = 过抛物线 y = 2x2 + 4x的顶原线段的端点，求 k的值．
x
3
（3）抛物线 y = x2 + 2 3x 与 x轴正半轴交于点 A ，顶点为点 B ， C 是抛物线
2
3
y = x2 + 2 3x顶原线段的中点，D为线段OA上一动点 (O点除外），在OC右侧作平
2
行四边形OCFD．
①如图 2，当点 F 落在抛物线上时，求点 F 的坐标；
②如图 3，连接 BD， BF，请直接写出 BD + BF 的最小值．
26、二次函数定结论问题
1
28．如图，直线 y = x + 2交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点C在 y轴上，CB =OB，经
2
过点 ， 的抛物线 y = ax2A C x + c交直线 AB于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P为直线 AB上方抛物线上一点，过点 P作 PF ⊥ x轴于点 F ，交 AB于点 E．当
PE = 3EF时，求点 P的坐标；
（3）抛物线与 x轴的另一个交点为 K，过点T (t， 1)(t 0) 的任意直线MN （不与 y轴
平行）与抛物线交于点M ， N，直线 KM ，KN分别交 y轴于点G，H ，是否存在 t的
值使得OG与OH 的积为定值？若存在，求 t的值，若不存在，请说明理由．
27、材料探究
29．综合与探究
【探索发现】如图 1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三
角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角
形”．如图 2，在△ ABC中， AB = AC， AC = AD， D = BAC．此时，四边形 ABCD
是“双等四边形”，△ ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图 3，在四边形 ABCD中， AB = AC， AD =CD， D = BAC．求：①
AD与 BC的位置关系为： ；② AC 2 AD BC．（填“ ”，“ ”或“ =” )
【方法应用】①如图 4，在△ ABC中，AC = BC．将△ ABC绕点 A逆时针旋转至△ ADE，
点D恰好落在 BC边上，求证：四边形 ABDE是双等四边形．
3
②如图 5，在等腰三角形 ABC中， AC = BC， cosB = ， AB = 5，在平面内找一点D，
5
使四边形 ABCD是以△ ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若
不存在，请说明理由．
30．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
主 探究月历与幻方的奥秘
题
活 图 1 是某月的月历，用方框选取了其中的 9 个数．
动 （1）移动方框，若方框中的部分数如图 2 所示，则 a是 ，b是 ；
一 （2）移动方框，若方框中的部分数如图 3 所示，则 c是 ， d是 ；
（注：用含 n的代数式表示 c和 d． )
活 移动方框选取月历中的 9 个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：
动 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．
二 （3）若方框选取的数如图 4 所示，调整后，部分数的位置如图 5 所示，则 e是 ，
f 是 ；
（4）若方框选取的数中最小的数是 n，调整后，部分数的位置如图 6 所示，则 g是
（用含 n的代数式表示 g) ．
28、操作类题型
31．“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家
通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸
与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边 PK 与经过顶点 P的直线 l 构成的锐角 ．按照以下1
步骤进行操作：
任意折 折痕使 → 保持纸 → 将纸片 → 将纸片
出一条 点Q，P 片折叠， 展开，再 折叠使
水平折 分别落 再沿 沿 l 折叠 边 PK 与4
痕 l ， l 在 l 和 l MN折2 2 1 3 得到经 l4 重合，
叠，得到
与纸片 上，得到 过点 P 折痕为
左边交 折痕 ， 折痕 l4 的m 的完整 l5 ，则直
点为Q； 对应点 一部分， 折痕 l4 ， 线 l4 和 l5
再折叠 为Q’， 如图⑤．
如图⑥．
就是锐
将 PK 与 P’， m
角 的
l2 重合得 交 l3 于
三等分
到折痕 M ，如图
线，如图
l ③④． 3 ， l3 与 ⑦⑧．
纸片左
边交点
为 N，如
图②．
解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，
通过尺规作图完成以下两个作图任
务：（保留作图痕迹，不写作法）
任务一：在图③中，利用已给定的点
Q 作出点 P ；
任务二：在图⑥中作出折痕 l3 ．
（2）若锐角 为75 ，则图⑤中 l2 与
l 4 相交所成的锐角是 ．
32．综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图 1，将矩形纸片 ABCD沿过点C的直线折叠，使点 B落在 AD边上的点
B 处，折痕交 AB于点 E，再沿着过点 B 的直线折叠，使点D落在 B C边上的点D 处，
折痕交CD于点 F ．将纸片展平，画出对应点 B 、D 及折痕CE、B F ，连接 B E、B C、
D F．
【初步猜想】（1）确定CE和 B F的位置关系及线段 BE和CF的数量关系．
创新小组经过探究，发现CE / /B F，证明过程如下：
1 1
由折叠可知 DB F = CB F = DB C， ECB = ECB = BCB ．由矩形的性质，可
2 2
知 AD / /BC， DB C = BCB ， ① ， CE / /B F．
智慧小组先测量 BE和CF的长度，猜想其关系为② ．
经过探究，发现验证 BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△ AB E △D CF ，得到 B E =CF，再由 B E = BE可得结论．
方法二：过点 B 作 AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB G，然后证 B G = B E
可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 BE和CF的数量关
系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图 2，在矩形 ABCD中，AB = 6，按上述操作折叠并展开后，过点 B
作 B G / /AB交CE于点G，连接D G，当△ B D G为直角三角形时，求出 BE的长．
标准答案
1
1．【解答】解： ( ) 1 + 2cos30 |1 3 | +2sin 45 20250
2
3 2
= 2 + 2 +1 3 + 2 1
2 2
= 2 + 3 +1 3 + 2 1
= 2 + 2 ．
x 3+ 4 2(x 3)
2．【解答】解：原式 =
x 3 (x +1)(x 1)
x +1 2(x 3)
=
x 3 (x +1)(x 1)
2
= ；
x 1
当 x = 2 +1时，
2
原式 = = 2 ．
2 +1 1
3．【解答】解：（1） ACB和 DCE均为等边三角形，
CA =CB，CD =CE， ACB = DCE = 60 ，
ACD = 60 CDB = BCE．
在 ACD和 BCE中，
AC = BC

ACD = BCE，

CD = CE
ACD BCE(SAS) ．
ADC = BEC．
DCE为等边三角形，
CDE = CED = 60 ．
点 A，D， E在同一直线上，
ADC =120 ，
BEC =120 ．
AEB = BEC CED = 60 ．
（2） AEB = 90 ， AE = BE + 2CM ．
理由： ACB和 DCE均为等腰直角三角形，
CA =CB，CD =CE， ACB = DCE = 90 ．
ACD = BCE．
在 ACD和 BCE中，
CA = CB

ACD = BCE，

CD = CE
ACD BCE(SAS) ．
AD = BE， ADC = BEC．
DCE为等腰直角三角形，
CDE = CED = 45 ．
点 A，D， E在同一直线上，
ADC =135 ，
BEC =135 ．
AEB = BEC CED = 90 ．
CD =CE，CM ⊥ DE，
DM =ME．
DCE = 90 ，
DM =ME =CM ．
AE = AD + DE = BE + 2CM ．
4．【解答】解：（1） PB = PF， PB ⊥ PF．
如图，延长 BP交 EF于点G，
四边形 ADEF为正方形，
AF = EF， AFE = 90 ，
P是CE的中点，
PC = PE，
ABC = 90 ， AB = BC，
ABC = AFE = 90 ，
EF / /BC，
PBC = PGE， BCP = GEP，
在 BCP和 GEP中，
PBC = PGE

BCP = GEP，

PC = PE
BCP GEP(AAS) ，
PB = PG， BC =GE，
AB =GE，
AF AB = EF GE，即 FB = FG，
BFG为等腰直角三角形，
又 PB = PG，
1
FP = BG = PB， FP ⊥ BG，
2
即 PB = PF， PB ⊥ PF．
（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：
如图，延长 BP交DE于点G，连接 FG、 FB，
四边形 ADEF为正方形，
AF = EF = DE， AED = ADE = 90 ， FAE = 45 ，
P是CE的中点，
PC = PE，
ABC = 90 ， AB = BC，
ABC = ADE = 90 ， BAC = 45 ，
DE / /BC，
PBC = PGE， BCP = GEP，
在 BCP和 GEP中，
PBC = PGE

BCP = GEP，

PC = PE
BCP GEP(AAS) ，
PB = PG， BC =GE，
AB =GE，
FAE = 45 ， BAC = 45 ，
BAF =180 FAE BAC = 90 ，
在 ABF和 EGF 中，
AF = EF

BAF = GEF，

AB = EG
ABF EGF(SAS) ，
BF =GF， AFB = EFG，
EFG + AFG = 90 ，
AFB + AFG = 90 ，即 BFG = 90 ，
BFG为等腰直角三角形，
又 PB = PG，
1
FP = BG = PB， FP ⊥ BG，
2
即 PB = PF， PB ⊥ PF．
5．【解答】解：（1） 2BE =CD，
理由：延长CA交 BE延长线于 N点，
CD平分 ACB，
1= 2，
BAC = 90 ，
BAN = 90 ， 1+ 5 = 90 ，
BAN = BAC = 90 ，
BE ⊥CD，
4 + 3 = 90 ，
4 = 5，
1= 3，
AB = AC，
BAN CAD(ASA) ，
CD =CN，
1= 2，CE ⊥CN，
1
BE = EN = CN，
2
CN = 2BE，
CD = 2BE；
（2） 2BE = DM ，
理由：过M 作MN / /AC交 BE延长线于 N点，交 AB于Q点，
ACB = BMN， BAC = BQM = 90 ，
AB = AC，
ACB = ABC，
B = BMQ，
BQ =QM ，
1
BMD = ACB，
2
1 1
BMD = ACB = BMQ，，
2 2
BMD = NMQ，
同理可得： NBQ = NMD，
BQN = MQD = 90 ，
BQN MQD(ASA) ，
DM = BN，
BMD = NMQ，ME ⊥ BN，
1
BE = NE = BN ，
2
BN = 2BE，
DM = 2EB．
6．【解答】解：（1） 四边形 ABCD是正方形，
BC =CD， B = CDF = 90 ，
在△CBE和△CDF 中，
CB = CD

B = D，

BE = DF
△CBE △CDF(SAS) ，
CE =CF；
故答案为：CE =CF；
（2）如图 2，
延长 AD至 F ，使DF = BE．连接CF，
由（1）知△CBE △CDF ，
BCE = DCF，
BCE + ECD = DCF + ECD，
即 ECF = BCD = 90 ，
又 GCE = 45 ，则 BCE + DCG = 45 ，
GCF = DCG + DCF = DCG + BCE = GCE = 45 ，
CE =CF， GCE = GCF，GC =GC，
△ ECG △ FCG(SAS) ，
GE =GF，
GE =GF = DF +GD = BE +GD；
（3）如图 3，过C作CD ⊥ AG，交 AG延长线于D，
在直角梯形 ABCG中，
AD / /BC，
A = B = 90 ，
又 CDA = 90 ， AB = BC，
四边形 ABCD为正方形，
AD = BC，
GCE = 45 ，
设 AB = x，则 AD = BC = x，
AE = AB BE = x 4 ，DG = x 6 ，
根据（1）（2）可知， EG = BE +DG = 4+ x 6 = x 2，
在 Rt△ AEG中，GE2 = AG2 + AE2 ，
即 (x 2)2 = 62 + (x 4)2，
解得： x =12，
AB =12，
1 1
四边形 ABCG的面积为 S = (AG + BC)AB = (6 +12) 12 =108．
2 2
7．【解答】解：（1）四边形 ABCD是“等对直四边形”．理由如下：
CDB = 20 ， C =140 ，
CBD = 20 ，
CD =CB，
ADB = 40 ， ABC = 70 ，
A = 90 ，
四边形 ABCD是“等对直四边形”．
（2）第一种情况： BD平分 ABC，
四边形 ABCD是“等对直四边形”， A是“对直角”，
CD =CB， A = 90 ，
CDB = CBD，
BD平分 ABC，
ABD = CBD，
ABD = CDB，
DC / /AB
如图，过CE作CE ⊥ AB于点 E，
则四边形 ADCE是平行四边形，
设 BC的长为 x，则 AE =CD =CB = x，
AD = 4， AB = 6，
CE = AD = 4 ， BE = AB AE = 6 x，
在 Rt△ 2BCE中，CE + BE2 = BC2 ，
42 + (6 x)2 = x2 ，
13
解得 x = ，
3
13
即 BC的长为 ；
3
第二种情况： BD平分 ADC，
同理可证 AD / /CB，
如图，过C作CF ⊥ AD于点 F ，
则四边形 ABCF是平行四边形，
设 BC的长为 x，则 AF =CD =CB = x，
AD = 4， AB = 6，
CF = AB = 6 ，DF = AF AD = x 4，
62 + (x 4)2 = x2 ，
13
解得 x = ，
2
13
即 BC的长为 ；
2
13 13
综上所述， BC的长为 或 ；
3 2
（3） 四边形 ABCD是“等对直四边形”， DAB是“对直角”，
CD =CB， DAB = 90 ，
DA = 2，DB = 2 10 ，
AB = DB
2 DA2 = 6
DB = 2 10 ，DC = 2 5
DB2 = DC2 + BC2 ，
DCB = 90 ，
过C作CF ⊥ AD于点 F ，过C作CE ⊥ AB于点 E，则 F = CEB = 90 ，
DCB + DAB =180 ，
ADC + ABC =180 ，
ADC + CDF =180 ，
CBE = CDF，
CD =CB，
△CDF △CBE(AAS) ，
DF = BE，CF =CE，
四边形 AECF是正方形，
AE = AF，
AB BE = AD + DF ，
即 6 BE = 2+ BE，
BE = 2 ，
AE =CE = 4
AC = 4 2 ．
8．【解答】（1）证明： ACB = 90 ，
ACD + BCE = 90 ，
而 AD ⊥MN 于D， BE ⊥MN于 E，
ADC = CEB = 90 ， BCE + CBE = 90 ，
ACD = CBE．
在△ ADC和△CEB中， ADC = CEB， ACD = CBE， AC =CB，
△ ADC △CEB(AAS) ；
（2）证明： △ ADC △CEB，
AD =CE，DC = BE，
DE = DC +CE = BE + AD．
9．【解答】（1）证明：如图 1，作 AM / /HF交 BC于点M ，作 BN / /EG分别交 AM 、HF、
CD于点 P、Q、 N，设 EG交 FH 于点 R，
四边形 ABCD是正方形，
BC = AB， C = ABM = 90 ， BE / /GN， AH / /FM ，
四边形 BEGN 和四边形 AHFM 都是平行四边形，
BN = EG， AM = FH ，
EG ⊥ FH，
APB = HQB = HRE = 90 ，
CBN = BAM = 90 ABN，
在△CBN和△ BAM 中，
CBN = BAM

BC = AB ，

C = ABM
△CBN △ BAM (ASA)，
BN = AM，
EG = FH，
EG
=1．
FH
（2）解：如图 2，作HM ⊥ BC于点M ，EN ⊥CD于点N，分别交HM 、FH 于点T、K，
设 EG交 FH 于点 L，
四边形 ABCD是矩形， AB = 3， BC = 5，
B = C = CNE = 90 ， A = B = BMH = 90 ，
四边形 BCNE和四边形 ABMH 都是矩形，
EN = BC = 5 ，HM = AB = 3， BEN = 90 ，
HTK = ETM = 360 B BMH BEN = 90 ，
EG ⊥ FH，
ELK = 90 ，
GEN = FHM = 90 EKH，
ENG = HMF = 90 ，
△ ENG∽△HMF，
EG EN 5
= = ，
FH HM 3
EG 5
的值是 ．
FH 3
10．【解答】解：概念理解：四边形 ABCD是垂美四边形．理由如下：
AB = AD，
点 A在线段 BD的垂直平分线上，
CB =CD，
点C在线段 BD的垂直平分线上，
直线 AC是线段 BD的垂直平分线，
AC ⊥ BD，即四边形 ABCD是垂美四边形；
性质探究： AD2 + BC2 = AB2 +CD2 ．理由如下：
如图 1，已知四边形 ABCD中， AC ⊥ BD，垂足为 E，
AC ⊥ BD，
AED = AEB = BEC = CED = 90 ，
由勾股定理得， AD2 + BC2 = AE2 + DE2 + BE2 +CE2 ，
AB2 +CD2 = AE2 + BE2 +CE2 + DE2 ，
AD2 + BC2 = AB2 +CD2 ；
问题解决：①连接CG， BE，如图 2 所示：
CAG = BAE = 90 ，
CAG + BAC = BAE + BAC，即 GAB = CAE，
在 AGB和 ACE中，
AG = AC

GAB = CAE，

AB = AE
AGB ACE(SAS)；
② AGB ACE，
ABG = AEC，
又 AEC + AME = 90 ，
ABG + AME = 90 ，即CE ⊥ BG，
四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2 + BE2 =CB2 +GE2 ，
AC = 2， AB = 5，
BC = 21 ，CG = 2 2 ， BE = 5 2 ，
GE2 = CG2 + BE2 CB2 = 37，
GE = 37 ；
故答案为： 37 ．
1
11．【解答】解：（1）①如图，根据圆周角定理可直接得出 BDC = BAC = 22 ；
2
故答案为：22．
② ABC = 90 ，
PBC + PBA = 90
PAB = PBC，
PAB + PBA = 90 ，
APB = 90 ，
根据90 圆周角所对的弦是直径可知，点 P在以 AB中点为圆心，AB为直径的圆上运动，
连接OC，当O、C、 P三点共线时，CP最小，此时CP =OC OP，
AB = 6，
1
OB =OP = AB = 3 ，
2
在 Rt△ BOC中，OC = OB2 + BC2 = 5，
CPmin =OC OP = 2；
故答案为：2；
（2） 点 B关于直线 AP的对称点为点M ，
AB = AM ，
点M 在以 A为圆心， AB为半径的圆上运动，如图所示，
当 A、M 、C三点共线时，CM 最小，此时CM =CA AM ，
AB = 3， BC = 4，
AC = AB2 + BC2 = 5，
AM = AB = 3，
CMmin = AC AM = 2；
故答案为：2；
（3） 四边形 ABCD是正方形，
ADC = BCD = 90 ， AD =CD，
DE =CF，
△ ADE △DCF (SAS) ，
DAE = CDF ，
ADP + CDF = 90 ，
ADP + DAE = 90 ，
APD = 90 ，
点 P的运动轨迹是以 AD为直径的圆上运动，
如图，连接 AC和 BD交于点O，取 AD中点为G，连接OG，
当点 E在点D时，点 P在点D的位置，当点 E运动到点C时，点 F 运动到点 B，此时点
P运动到点O，
点 P的运动轨迹为劣弧OD这一段，
AD = 4，
半径 r = 2，
OGD = 90 ，
n r 90 2
l = = = ，
180 180
故点 P的运动路径长为 ．
12．【解答】解：过 E作 EM ⊥ BC于M ，过 A作 AH ⊥ BC于H ，交 BD于 E ，如图：
ABC为等边三角形， BD平分 ABC，
EBM = 30 ，
1
EM = BE，
2
1
AE + BE = AE + EM ，
2
1 1
当 AE + BE最小时，AE + EM 最小，此时 E与 E 重合，M 与H 重合，AE + BE的最
2 2
小值为 AH 的长度，
在Rt ABH中，
AH = AB sin ABH = 2 sin 60 = 3 ，
1
AE + BE最小值为 3 ，
2
故选：C．
13．【解答】解：如图，在CA上截取CM ，使得CM =1，连接 PM ， PC， BM ．
PC = 3，CM =1，CA = 9，
2 PC CM PC = CM CA，即 = ，
CA CP
PCM = ACP，
△ PCM∽△ ACP，
PM PC 1
= = ，
PA AC 3
1
MP = PA，
3
1
AP + BP = PM + PB BM ，
3
PM + PB BM ，
在 Rt△ BCM 中， BCM = 90 ，CM =1， BC = 3 2 ，
BM = 12 + (3 2)2 = 19 ，
1
AP + BP 19 ，
3
1
AP + BP的最小值为 19 ，
3
故选：C．
14．【解答】解： 等腰 Rt△ ABC， ABC = 90 ，
AB = BC，
设 B(m,0) ，
过点C作CE ⊥ x轴，
ABO + CBE = 90 ， ABO + BAO = 90 ，
△ ABO △ BCE(AAS) ，
AO = BE = 4 ，OB =CE =m，
C(4 + a,a)，
C点在直线 y = x 4 上运动，
作 A关于 y = x 4 的对称点 A ，连接 A O，交 y = x 4 于C ，此时OC + AC取最小值，
A (8, 4) ，
设 y = k x，代入 A 点， OA 1
8k1 = 4，
1
解得： k = ， 1
2
1
yOA = x，
2
1
yOA = x
2 ，

y = x 4
8 4
解得： x = ， y = ，
3 3
8 4
C ( ， )，
3 3
1 8 16
S ， AOC = 4 =
2 3 3
16
故答案为： ．
3
15．【解答】解：（1） C1( 1,0)， A(2,0)
C1和 A的中点为 (0,0) ，符合题意；
点 A(2,0)， B(0,2)，
点 A(2,0)， B(0,2)的中点为 (1,1)，
1+1 2 +1 3
C2 ( 1,2) 与 (1,1)的中点为 ( ， ) ，即 (0, ) ，
2 2 2
3
(0, )在线段OB上，
2
△ AOB关于线段OB的“扩充点”是C ，1 C ， 2
故答案为：C ， ； 1 C2
（2） 已知点D(a,0) ，E(a, 2) ，F (b, 2) ，G(b,0) ，其中 a b，直线 l : y = kx + 3，其中 a = 0，
b = 4， k = 2，
D(0,0) ， E(0,2) ， F (4,2)，G(4,0) ，直线 l : y = 2x + 3，
DE = FG = 2， EF = DG = 4，
四边形 EFGD是平行四边形，
EDG = 90 ，
四边形 EFGD是矩形，
直线 l : y = 2x + 3，当 x =1时， y = 5；当 x = 0时， y = 3，
由题意可知，在矩形 EFGD上存在点H ，使线段HH 的中点 S在线段 ED上，那么可知，
H 可落在线段 EF，DG，DE上，如图所示：
不妨设H (h,2h + 3) ，
当H 在线段 EF上，当HH 的中点 S为点D时，过点H 作H U ⊥ x轴于点U ，过点H 作
HV ⊥ x轴于点V ，如图所示：
H 在线段 EF上，
H 纵坐标为 2，即H U = 2，
H UD = HVD = 90 ， H DU = HDV，DH = DH，
△H DU △HDV，
HV = H U = 2，
H 在第三象限，
2h + 3 = 2，
5
h = ；
2
当HH 的中点 S为点 E时，如图所示：
1
此时H 在第二象限， 2h + 3 = 2，解得 h = ，
2
5 1
那么当H 在线段 EF上， h ，
2 2
当H 在线段DE上，使线段HH 的中点 S落在线段DE，如图所示：
那么 h = 0；
3
同理可求得H 落在线段DG上， h 0，
2
5
综上，线段 EF上， h 0 ，
2
②当 a = t 1， k = t 3时，D(t 1,0) ， E(t 1,2) ，直线 l : y = (t 3)x + 3，
ED = 2 ，
E(t 1,2)，G(b,0) ，T (t,1) 为线段 EG的中点，
t 1+ b
t = = t，
2
b = t +1，
F (t +1,2) ，G(t +1,0)，
FG = 2，
D(t 1,0) ，G(t +1,0)， E(t 1,2) ， F (t +1,2) ，
DG = 2 = EF，
四边形 EDGF是菱形，
EDG = 90 ，
四边形 EDGF是正方形，
直线 l : y = (t 3)x + 3， x = 0时， y = 3，
直线 l一定过 (0,3)，
当 t 3时，设点G关于点 E的对称点为G ，那么点G (t 3,4) ，如图所示：
若直线 l上存在四边形DEFG关于线段 EG的“扩充点”，
那么当直线 l过点G (t 3,4) 时，直线的斜率最大，即 t取得最大值，
将G (t 3,4) 代入 y = (t 3)x + 3，得 4 = (t 3) + 3，解得 t = 4， t = 2 （舍去）；
当 t 3时，设点D关于点G的对称点为G ，那么点G (t + 3,0)，如图所示：
若直线 l上存在四边形DEFG关于线段 EG的“扩充点”，那么当直线 l过点G (t + 3,0)时，
直线的斜率最小， t取得最小值，
将G (t + 3,0)代入 y = (t 3)x + 3 ，得0 = (t 3)(t + 3) + 3，解得 t = 6 ， t = 6 （舍去）；
当 t = 3时，D(2,0)， (4,0)G， (2,2)E， (4,2)F，直线 l为 y = 3，如图所示：
借助图象，可知在 y = 3可找到 E (3,3) 与 F (3,1) 的中点落在点 E上，那么 t = 3满足题意； 1 1
综上， 6 t 4 ．
16．【解答】解：（1） 邻余四边形 ABCD， C为锐角，
B + C = 90 ，
C = 90 40 = 50 ，
故答案为：50 ；
（2）证明： DE垂直平分 AC，
1
AD = AC = 2 5 ，
2
DE = 5 ，
AE = AD2 + DE2 = (2 5)2 + ( 5)2 = 5，
BE = 3， BC = 4，
AB = 8，
BC2 + AB2 = 42 + 82 = 80 ，
AC2 = (4 5)2 = 80 ，
BC2 + AB2 = AC2 ，
B = 90 ，
A+ C = 90 ，
四边形 AEFC是邻余四边形；
（3）①四边形 BCDE为平行四边形，
四边形 ABCD是邻余四边形，
A+ B = 90 ，
DE ⊥ AD，
ADE = 90 ，
DEC = 90 ，
AD / /CE， A+ DEA = 90 ，
B = DEA， A = CEB，
E是 AB中点，
AE = BE，
ADE AECB(ASA)，
AD =CE，
又 AD / /CE，
四边形 AECD是平行四边形，
CD = AE，CD / /AE，
A、 E、 B三点共线且 AE = BE，
CD = BE．CD / /BE，
DE ⊥ AD，
ADE = 90 ，
DEC = 90 ，
AD / /CE， A+ DEA = 90 ，
B = DEA， A = CEB，
E是 AB中点，
AE = BE，
ADE ECB(ASA) ，
AD =CE，
又 AD / /CE，
四边形 AECD是平行四边形，
CD = AE，CD / /AE，
A、 E、 B三点共线， AE = BE，
CD = BE，CD / /BE，
四边形 BCDE是平行四边形；
②如图，延长CE到点 F ，使得 EF =CE，连接 AF 、DF，
AE = BE， EF =CE， CEB = FEA，
CEB FEA(SAS)，
AF = BC = 8， B = EAF，
四边形 ABCD是邻余四边形，
B + DAB = 90 ，
EAF + DAB = 90 ，即 DAF = 90 ，
DF = AD2 + AF 2 = 62 + 82 =10，
DE ⊥CF，CE = EF，
CD = DF =10，
CD的长为 10．
17．【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要 40 分钟，乙跑完全程需要 32 分钟，
10000
甲的速度 = = 250米 / 分钟； 40 32 = 8 ，
40
乙比甲提前 8 分钟先到达终点，
故答案为：250，8；
（2）设当 0 x 20时，乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式为 y = kx，把 (20,4000)代
入 y = kx中，则有 20k = 4000 ，
解得 k = 200 ，
此时乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式为 y = 200x；
设当 20 x 32时，乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式为 y =mx + n，把 (20,4000) 、
(32,10000) 代入 y =mx + n中，得：
20m + n = 4000
，
32m + n =10000
解得m = 500 ， n = 6000 ，
此时乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式为 y = 500x 6000 ，
200x(0 x 20)
综上，乙所跑路程 y与时间 x之间的函数解析式为： y = ；
500x 6000(20 x 32)
（3）由图函数图象可知：前 20 分钟乙的速度为： 4000 20 = 200米 / 分钟，20 到 32 分
钟时乙的速度为： (10000 4000) (32 20) = 500米 / 分钟，而甲的速度是 250 米 / 分钟；
设乙所跑的时间为 t，
①前 20 分钟甲、乙两人相距 750 米时，由题意得：
250t 200t = 750，
解得： t =15；
②20 分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距 750 米时，由题意得：
250t [4000 + (t 20) 500] = 750，
解得： t = 21；
③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距 750 米时，由题意得：
[4000 + (t 20) 500] 250t = 750，
解得： t = 27；
答：甲、乙两人相距 750 米时乙所跑的时间为 15 分钟或 21 分钟或 27 分钟．
18．【解答】解：（1）解方程 x2 4x 12 = 0得 x ，1 = 6 x2 = 2 ，
OA = 6，即点 A的坐标为 (6,0) ，
把 (6,0) 代入 y = x + b得b = 6，
y = x 6，点D的坐标为 (0, 6) ；
（2）过点 E作 EH ⊥ AB于点H ，如图 1，
OA =OD = 6，
2 2 2 2
OAD = ODA = EAH = 45 ， AD = OA +OD = 6 + 6 = 6 2 ，
2
AH = EH = AE tan EAH = 3 2 = 3 ，
2
又 ABCD是平行四边形，
BC = AD = 6 2 ， AE / /BC，
GE是 BC的垂直平分线，
1
BG = BC = 3 2 = AE，
2
AE / /BC，
EAF = GBF， AEF = FGB = 90 ，
△ AEF △ BGF ，
BF = AF = 2AH = 6 ，
BH = AF + FB AH = 6+ 6 3= 9 ，
EH 1
tan ABE = = ；
BH 3
（3）存在，12 个，N1(0,0)，N (8,0) ，2 N3 (10,0) ，N4 (12,0) ，N5 (18,0)（写出两个即可）；
理由如下：
如图 2，当 MEN = 90 时，有 4 个，
EAN1 = 45 ，
EN1 = EA = 3 2 ，
由（2）得 AN1 = 6，OA = 6，
ON1 =12，
点 N得坐标为 (12,0)；
当 ENM = 90 时，有 4 个，如图 3，
当 EMN = 90 时，有 4 个，如图 4，
N9AM 9 = 45 ，
1
N M =M A = EM ， 9 9 9 9 = EA = 3 2
2
N9A = M9A
2 + N9M
2
9 = (3 2)
2 + (3 2)2 = 6 ，
点 N9 与O重合，
故点 N9 得坐标为 (0,0) ，
综上所述，点△ EMN的个数为 12 个，点 N的坐标为 N1(0,0)，N2 (8,0) ，N3 (10,0) ，N4 (12,0) ，
N5 (18,0) （写出两个即可）．
k
19．【解答】解：（1）设药物燃尽后的函数表达式为 y = ，将 (10,8) 代入得：
x
k
8 = ，
10
解得： k = 80，
80
函数表达式为 y = (x 10) ；
x
80
（2）当 x = 40时，得： y = = 2，
40
答：此时空气中的含药量是 2mg / m3；
（3）此次灭蚊是有效；理由如下：
80
当 y = 4 时，得： y = = 4 ，
x
解得： x = 20，
由图可得： x = 5 时， y = 4 ，
20 5 =15 12，
本次灭蚊有效．
20．【解答】解：（1） 四边形 ABCD为正方形， AB = BC = 4 ，
A点的纵坐标为 4，
A在直线 y = 2x上，
4 = 2xA，
xA = 2 ，
A(2,4) ，
OB = 2，
k
4 = ，
2
k = 8，
8
反比例函数解析式为 y = ，
x
OC =OB + BC = 6，
xE = 6 ，
8 4
y ， E = =
6 3
4
点 E的坐标为 (6, ) ；
3
（2）设 A(a， 2a)(a 0) ，
k
2a = ，OB = a， AB = BC = 2a，
a
k = 2a2 ，OC =OB + BC = 3a，
xE = 3a，
k 2a2 2
yE = = = a，
xE 3a 3
2a
E(3a, )
3
k 2 kS ， 2 ， AOB = = a S COE = = a
2 2
S梯形 = S AOE = 24 ， ABCE
1 2a
(2a + ) 2a = 24，
2 3
解得 a2 = 9，
k = 2a2 =18 ；
（3）存在实数 k，满足 AE ⊥OA；理由如下：
四边形 ABCD是正方形，
AB = AD， ABO = BAD = D = 90 ，
要使 AE ⊥OA，则 OAB + BAE = 90 ，
DAE + BAE = 90 ，
OAB = DAE，
在△OAB和△ EAD中，
OAB = EAD

AB = AD ，

ABO = D
△OAB △ EAD(ASA) ，
OB = DE，
2a
由（2）可知， A(a， 2a)(a 0) ，则点 E(3a, )，
3
2a 4a
OB = a，DE = 2a = ，
3 3
4a
a = ，
3
解得： a = 0，
k = 0 ，
k 0，
不符合题意，不存在．
1
21．【解答】解： A、 B是反比函数 y = 上的点，
x
1
S = S ，故①正确； OBD OAC =
2
当 P的横纵坐标相等时 PA = PB，故②错误；
4
P是 y = 的图象上一动点，
x
S矩形 = 4， PDOC
1 1
S = S S S = 4 = 3，故③正确； 四边形PAOB 矩形PDOC ODB OAC
2 2
连接OP，
S POC PC 2 = = = 4 ，
S OAC AC 1
2
1 3
AC = PC， PA = PC，
4 4
PA
= 3 ，
AC
1
AC = AP；故④正确；
3
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
22．【解答】解：由题知，
因为抛物线与 x轴的一个交点坐标为 (2,0) ，且对称轴为直线 x = 1，
所以抛物线与 x轴的另一个交点 A的坐标为 ( 4,0) ，
则当 x = 3时， y 0，
所以9a 3b + c 0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线 x = 1，
b
所以 = 1，
2a
则b = 2a．
将点 B(2,0)代入抛物线的解析式得，
4a + 2b + c = 0，
所以 4b + c = 0．
故②正确．
因为点 (x ，1 y )，1 (x ，2 y2 )在抛物线上，且 x1 x2 1，
所以 y y ． 1 2
故③错误．
由 4b + c = 0，b = 2a得，
1 1
a = c,b = c，
8 4
1 1 9
所以 a b + c = c + c + c = c．
8 4 8
又因为 6 c 4，
27 9 9
所以 c ，
4 8 2
27 9
即 a b + c ．
4 2
故④正确．
故选：C．
23．【解答】解：（1）①当 2a = 6，b = 3时， x = 6t， y = 5t + 3t + 2 ；
x 2 5 1把 t = 代入 y = 5t + 3t + 2 得： y = x2 + x + 2，
6 36 2
5 1
故答案为： x = 6t； y = 5t2 + 3t + 2 ； y = x2 + x + 2；
36 2
5 1
②令 y = 0 ，则 x2 + x + 2 = 0 ，
36 2
12
解得 x1 = 6 ， x2 = （舍去），
5
答：本次实心球的投掷距离为 6 米；
5
（2）当 a = b时， x = at， y = 5t2 + at + 2，则 y = x2 + x + 2，
a2
5
当 x = 8时， 64 + 8+ 2 = 0，
a2
解得 a = 4 2 或 a = 4 2 （舍去），
5
y = x2 + x + 2 ，
32
5
4 ( ) 2 1
y的最大值为 32 = 3.6，
5
4 ( )
32
答：实心球在投掷过程中的最大高度为 3.6 米．
24．【解答】解：（1）将 2A( 1,0)， B(3,0) 代入 y = ax + bx 2中，
a b 2 = 0
，
9a3b 2 = 0
2
a =

解得 3 ，
4b =
3
2 4
y = x2 x 2；
3 3
2 4 2 8
（2） y = x2 x 2 = y = x(x 1)2 ，
3 3 3 3
8
D(1, ) ，
3
连接直线 BD交 y轴于点 F ，过点C作CE ⊥ BD交于 E，
当 x = 0时， y = 2，
C(0, 2) ，
OB = 3，OC = 4 ，
BF = 5，
1 1
S BCF = 5 CE = CF OB，
2 2
5CE = 2 3，
6
解得CE = ，
5
6
CE 6 13
sin CBD = = 5 = ；
BC 13 65
（3） △ AOC是直角三角形，
△CMN是直角三角形，
AO =1，CO = 2，
CO = 2AO，
2
直线 BC的解析式为 y = x 2，
3
2
设M (m,0)， N (n, n 2) ，
3
当 CMN = 90 时，CM = 2MN或MN = 2CM ，
过点 N作 NH ⊥ x轴交于H ，
OMC + HMN = 90 ， OCM + CMO = 90 ，
HMN = COM ，
△MHN∽△COM ，
2 2
2 n 2 n
MH HN MN n m 3 1 n m = = ，即 = = 或 = 3 = 2，
CO MO CM 2 m 2 2 m
8 15 1 15
解得m = ， n = 或m = ， n = （舍 )；
7 7 4 4
15 4
N ( ， )；
7 7
当 MNC = 90 时，CN = 2MN或MN = 2CN，
过点 N作 KT ⊥ x轴交于K点，过点C作CT ⊥ KT 交于T点，
同理△CNT∽△ NMK，
2 2
2 n 2 n
MK KN MN n m 1 n m
= = ，即 = 3 = 或 = 3 = 2，
NT CT CN 2 n 2 2 n
n n
3 3
12 3
解得 n = 或 n = ，
7 4
12 6 3 3
N ( ， )或 ( ， )；
7 7 4 2
15 4 12 6 3 3
综上所述： N点坐标为 ( ， )或 ( ， )或 ( ， )．
7 7 7 7 4 2
3 = c a =1
25．【解答】解：（1）由统计可得 ，解得 ，
0 = 9a 6 + c c = 3
抛物线的解析式为 y = x2 2x 3，
（2）如图，作 PQ / / y轴交直线 AB于点Q，
3 = b k =1
由统计可得 ，解得 ，
0 = 3k + b b = 3
直线 AB的解析式为 y = x 3；
设 P(m,m2 2m 3)，则Q(m,m 3)，
PQ = m2 + 3m，
1
S 2 ， PAB = 3 ( m + 3m)
2
3 9
= m2 + m
2 2
3 3 27
= (m )2 + ，
2 2 8
3 27
当m = 时，△ PAB面积有最大值，最大值是 ；
2 8
（3）存在，理由如下：
y = x2 2x 3 = (x 1)2 4，
C(1, 4) ，
CE / / y轴，
E(1, 2) ，
CE = 2，
①如图，若点M 在 x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE =MN，
设M (a,a 3) ，则 N(a,a2 2a 3)，
MN = a2 + 3a，
a2 + 3a = 2 ，
解得： a = 2， a =1（舍去），
M (2, 1)；
②如图，若点M 在 x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE =MN，
设M (a,a 3) ，则 N(a,a2 2a 3)，
MN = a2 3a，
a2 3a = 2，
3+ 17 3 17
解得： a = 或 a = （舍去），
2 2
3+ 17 3+ 17
M ( , )，
2 2
3+ 17 3+ 17
综上可得M 点的坐标为 (2, 1) 或 ( , ) ．
2 2
7
26．【解答】解：（1）将点 2A(4,0)， B( 2,0) ，点 (5, )代入 y = ax + bx + c中，
4

16a + 4b + c = 0

4a 2b + c = 0 ，
7
25a + 5b + c =
4
1
a = 4

1
解得 b = ，
2
c = 2


1 1
y = x2 x 2；
4 2
（2）当 x = 0时， y = 2，
C(0, 2) ，
设直线 AC的解析式为 y = kx 2，
4k 2 = 0，
1
解得 k = ，
2
1
y = x 2，
2
过点M 作MG / / y轴交 AC于点G，
NO CO
= ，
MN MG
M 点横坐标为 t，
1 1 1
M (t, t2 t 2)， N (t, t 2)，
4 2 2
ON OC 2 2
= = =
MN MG 1 1 2 1 1t 2 t + t + 2 (t 2)2 +1
2 4 2 4
NO
当 t = 2时， 有最小值 2，此时M (2, 2) ；
MN
（3）存在点 P，使得△ PBC是等腰三角形，理由如下：
1 2 1y = x x 2，
4 2
对称轴为直线 x =1，
设 P(1,m) ，
BP = 9 +m2 ，CP = 1+ (m + 2)2 ， BC = 2 2 ，
当 BP =CP时， 9 +m2 = 1+ (m + 2)2 ，解得m =1，
P(1,1) ；
当 时， 9 +m2BP = BC = 2 2 ，m无解；
当CP = BC时， 1+ (m + 2)2 = 2 2 ，解得m = 7 2或m = 7 2，
P(1, 7 2) 或 (1, 7 2)；
综上所述： P点坐标为 (1,1)或 (1, 7 2)或 (1, 7 2)．
27．【解答】解：（ 2 21） y = x 4x + 3 = (x 2) 1，
A(2, 1) ，
设直线OA的解析式为 y = kx，
2k = 1，
1
解得 k = ，
2
1
y = x；
2
（2） y = 2x2 + 4x = 2(x +1)2 2 ，
顶点为 ( 1, 2) ，
k
双曲线 过抛物线 y = 2x2y = + 4x的顶原线段的端点，
x
k = 2 ；
3
（3）当 y = 0 时， x2 + 2 3x = 0 ，
2
解得 x = 0或 x = 4，
A(4,0) ，
3 3
y = x2 + 2 3x = (x 2)2 + 2 3 ，
2 2
B(2， 2 3)，
C是顶原线段的中点，
C(1, 3)，
设D(m,0) ，
① 四边形OCFD是平行四边形，
F(1+m, 3) ，
F点在抛物线上，
3
(1+m 2)2 + 2 3 = 3 ，
2
解得m = 2 +1或m = 2 +1（舍 )，
F (2 + 2 ， 3) ；
②作D点关于直线 y = 2 3 的对称点D ，则D (m， 4 3)，
连接D F ，
BD + BF = BD + BF D F ，
当D 、 B、 F 三点共线时， BD + BF 的值最小，最小值为D F ，
设直线D F 的解析式为 y = k x + b ，
mk + b = 4 3
，
(1+ m)k + b = 3
k = 3 3
解得 ，
b = 4 3 + 3 3m
y = 3 3x + 4 3 + 3 3m，
将 B(2 ， 2 3)代入， 6 3 + 4 3 + 3 3m = 2 3 ，
4
解得m = ，
3
4 7
D ( ， 4 3)， F ( ， 3) ，
3 3
D F = 2 7 ，
BD + BF的最小值为 2 7 ．
28．【解答】解：（1）当 y = 0 时， x = 4 ，
A( 4,0)，
当 x = 0时， y = 2 ，
B(0,2) ，
BO =CB = 2 ，
C(0,4) ，
将 A、C点代入 y = ax2 x + c，
c = 4
，
16a + 4 + c = 0
1
a =
解得 2 ，

c = 4
1
y = x2 x + 4 ；
2
1 1
（2）设 P(t, t2 t + 4) ，则 E(t, t + 2)， F (t,0)，
2 2
PE = 3EF ，
1 2 1 1 t t + 4 t 2 = 3( t + 2)，
2 2 2
解得 t = 2 或 t = 4 （舍 )，
P( 2,4) ；
（3）存在 t的值使得OG与OH 的积为定值，理由如下：
1
当 y = 0 时， x2 x + 4 = 0，
2
解得 x = 4或 x = 2，
K (2,0)，
1 1
设M (m, m2 m + 4) ， N (n, n2 n + 4) ，
2 2
设直线KN的解析式为 y = k(x 2) ，
1
将点 N代入， k(n 2) = n2 n + 4 ，
2
1
解得 k = n 2 ，
2
1
y = ( n + 2)x + n + 4，
2
H (0,4 + n)，
OH = 4+ n，
同理可得OG = m 4 ，
OG OH = (n + 4)(m + 4) = mn 4(m + n) 16，
设直线MN的解析式为 y = k (x t) 1，
1
当 2k (x t) 1= x2 x +时，整理得 x + (2k + 2)x 2k t 10 = 0 ，
2
m + n = 2k 2，mn = 2k t 10，
OG OH = 2k t +10 + 8k + 8 16 = 2k (t + 4) + 2，
当 t = 4 时，OG OH为定值 2．
29．【解答】【问题解决】解：① AB = AC，DA = DC， BAC = ADC，
180 BAC 180 ADC
ACB = ， DAC = ，
2 2
DAC = ACB，
AD / /BC；
② DAC = ACB， BAC = ADC，
△ ABC∽△DAC，
AC BC
= ，
CD AC
AC2 = BC CD，
CD = AD，
AC2 = BC AD；
故答案为：①平行；② =；
【方法应用】①证明： △ ADE为△ ABC旋转得到，
AB = AD，
令 B = ，则 ADB = ， BAD =180 2 ，
ADE = B = a，
由旋转得，DE = BC， AE = AC，
又 AC = BC，
EA = ED，
DAE = ADE = ，
E =180 2 ，
E = BAD，
四边形 ABDE为双等四边形；
②解：作 AH ⊥ BC于点H ，
3
cosB = AB = 5 ，
5
BH = 3， AH = 4 ，
设CH = x，则 AC = BC = x + 3，
在 2 2 2Rt△ AHC中，CH + AH = AC ，
即 x2 + 42 = (x + 3)2 ，
7
解得： x = ，
6
7 25
CH = ， BC = AC = ，
6 6
25
第一种情况：若 ACB = D = CAD，CA =CD时，CD = AC = ；
6
第二种情况：若 ACB = D = ACD， AD = AC时，
25
AD = AC = ，
6
作 AM ⊥CD于点M ，
CM = DM，
7
CM 7
= cos ACM = cos ACB = 6 = ，
AC 25 25
6
7 7 25 7
CM = AC = = ，
25 25 6 6
7
CD = 2CM = ；
3
第三种情况：若 D = ACB，DA = DC时，如图，
DAC = DCA = CAB = ABC，
△CAB∽△DAC，
CD AC
= ，
BC AB
25
CD
= 6 ，
25 5
6
125
CD = ；
36
25 7 125
综上所述：满足条件时，CD = 或 或 ．
6 3 36
30．【解答】解：（1）根据题意得： a = 4+1= 5，b = 4 + 7 =11．
故答案为：5，11；
（2）根据题意得： c = n +1， d = n + 7．
故答案为： n +1， n + 7；
（3）根据题意得：17 + 2+ e = 2+10+18 ，17 +10 + f = 2 +10 +18，
解得： e =11， f = 3．
故答案为：11，3；
（4）根据题意得：9g = n + n +1+ n + 2 + n + 7 + n + 8 + n + 9 + n +14 + n +15 + n +16 ，
解得： g = n + 8．
故答案为： n + 8．
31．【解答】解：（1）任务一：如图，点 P为所求．
任务二：如图，折痕 l3 为所求．
（2）如图，
由题意可知 l ， l 是 的三等分线， 4 5
2 2
CPK = = 75 = 50 ，
3 3
l PK， 2/ /
CDE = CPk = 50 ，
l 与 l 相交所成的锐角是2 4 50 ，
故答案为：50．
1 1
32．【解答】解：（1）由折叠可知 DB F = CB F = DB C， ECB = ECB = BCB ．
2 2
由矩形的性质，可知 AD / /BC，
DB C = BCB ．
① ECB = FB C．
CE / /B F．
智慧小组先测量 BE和CF的长度，猜想其关系为② BE =CF，
故答案为：① ECB = FB C；② BE =CF；
（2）法一： 四边形 ABCD是矩形，
A = B = BCD = D = 90 ， BC = AD，
折叠，
EB C = B = 90 ， B D = B D ， BC = B C = AD， D = B D F = 90 ， BE = B E，
AD B D = B C CD ，即： AB =CD ， CD F = 90 = A，
由（1）知： CB D = BCB ，
又 AB E + CB D =180 EB C = 90 ， BCB + B CF = BCD = 90 ，
AB E = FCD ，
又 A = CD F， AB =CD ，
△ AB E △D CF ，
B E =CF，
BE = B E，
BE =CF；
法二：作 B G / /AB交CE于点G，则： B G / /AB / /CD，
CE / /B F，
四边形CFB G为平行四边形，
B G =CF，
四边形 ABCD是矩形，
AB / /CD，
AB / /B G，
B GE = BEC，
折叠，
BEC = B EC， BE = B E，
B GE = B EC，
B E = B G，
BE = B E = B G =CF；
（3） B G / /AB，
A = GB D = 90 ，
由（2）可知： B G = B E = BE =CF，CD = AB ，△ AB E △D CF ，
D F = AE，
设 BE = x，则： B G = B E =CF = x，D F = AE = AB BE = 6 x，
2 2
CD = AB = x (6 x) = 12x 36 ，
如图，当△ B D G为直角三角形时，则： B GD = 90 ，
GB D + B GD =180 ，
GD / /AD / /BC，
D GC = ECB，
又 GCD = ECB，
CGD = GCD ，
D G = D C = 12x 36 ，
B G / /AB / /CD，
GB D = FCD ，
在 Rt△ B GD 和 Rt△CD F 中， tan GB D = tan FCD ，
GD D F 12x 36 6 x
= ，即： = ，
GB CD x 12x 36
x(6 x) =12x 36 ，
解得： x = 3 5 3或 x = 3 5 3 （舍去）；
BE = 3 5 3；
当 GD B = 90 时，
B D F = D = 90 ，
GD B + B D F =180 ，
G、D 、 F 三点共线，
B C ⊥GF ，
四边形 B GCF是平行四边形，
四边形 B GCF是菱形，
GCD = FCD ，
GCD = GCB，
GCD = GCB = FCD = 30 ，
设CF = a，则DF = D F = 6 a，
D F 1
= sin 30 = ，
FC 2
6 a 1
即 = ，
a 2
解得： a = 4，
BE =CF = 4 ；
综上所述： BE = 3 5 3或 4．

展开更多......

收起↑