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2026年中考数学二轮复习：三角形
一．选择题（共10小题）
1．下列图形不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　）
A． B．1.5，2，2.5 C．5，12，13 D．6，8，10
3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（　　）
A． B． C． D．3
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，先将直角△ABO放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠ABO＝90°，BO＝1，再将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A'BO'，此时点O的对应点O'恰好落在OA上，则点A′的坐标为（　　）
A．（2，﹣2） B． C． D．
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠DCE＝2∠A，E是斜边AB的中点，则∠BCD＝（　　）
A．20° B．32.5° C．22.5° D．30°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，延长BC至点D，使得BD＝AB．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACM B．CN⊥AB C．CM＝CD D．AD＝CD
10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13
二．填空题（共5小题）
11．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD BE＝8，则CD的长为　 　
12．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连结DE．若BC＝14，则线段DE的长为　 　 ．
13．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC＝90°，若AC＝10，BC＝16，则DF的长为　 　 ．
14．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数是　 　 °．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在AC上，点E在BC上，CD＝3，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，则CE的长为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数．
17．如图，笔直的河流一侧有一个度假村G，河边有两个游船码头A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离、近期由于点G到点A的步道正在封闭施工，为方便游客，景区决定在河边新建一个码头C（点A、B、C在同一条直线上），并修建一条观光小径GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km．
（1）判断△BCG的形状，并说明理由；
（2）求原步道GA的长．
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长．
19．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．
（1）证明：AD垂直平分EF．
（2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长．
2026年中考数学二轮复习：三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
三角形的稳定性．
三角形；几何直观．
【答案】D
三角形具有稳定性，由此即可判断．
【解答】解：A、B、C中的图形由三角形构成，三角形具有稳定性，故A、B、C不符合题意；
D、此图形中的下方是四边形，四边形具有不稳定性，故D符合题意．
故选：D．
本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．
2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　）
A． B．1.5，2，2.5 C．5，12，13 D．6，8，10
勾股定理的逆定理．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，符合题意；
B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，不符合题意．故选：A．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（　　）
A． B． C． D．3
勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
首先确定AB的长度，再利用“以A为圆心，AB为半径画弧”可知AD＝AB，接着结合网格确定AE的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算ED的长度．
【解答】解：如图，连接AD，
由网格图可知：AB＝3，
∵以A为圆心，AB为半径画弧，
∴AD＝AB＝3，
在Rt△AED中，，
故选：B．
本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点D的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度．
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
角平分线的性质．
计算题；运算能力．
【答案】A
作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得2×AC2×4＝7，于是可求出AC的值．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴2AC2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
5．如图，先将直角△ABO放置在平面直角坐标系中，其中O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，∠ABO＝90°，BO＝1，再将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A'BO'，此时点O的对应点O'恰好落在OA上，则点A′的坐标为（　　）
A．（2，﹣2） B． C． D．
勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转．
平面直角坐标系；三角形．
【答案】D
连接AA′，推导出△ABA′，△OBO′是等边三角形，求出∠BAO＝90°﹣∠BOO′＝30°，，，进而证明∠OAA′＝∠OAB+∠BAA′＝90°，，则点A′的坐标为，即可解答．
【解答】解：连接AA′，如图：
∵将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△A′O′B，
∴∠ABA′＝60°，AB＝A′B，∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∴△ABA′，△OBO′是等边三角形，
∴∠BAA′＝∠BOO′＝60°，AA′＝AB，
∵∠ABO＝90°，BO＝1，
∴∠BAO＝90°﹣∠BOO′＝30°，，，
∴∠OAA′＝∠OAB+∠BAA′＝90°，，
∴点A′的坐标为，
故选：D．
本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
三角形中位线定理；勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
由勾股定理得到BC＝5，由三角形中位线定理推出DEBC＝2.5．
【解答】解：由勾股定理得到：BC5，
∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DEBC＝2.5．
故选：B．
本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出BC的长，由三角形中位线定理得到DEBC．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠DCE＝2∠A，E是斜边AB的中点，则∠BCD＝（　　）
A．20° B．32.5° C．22.5° D．30°
直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
利用直角三角形的性质求得，利用等边对等角求得∠ECA＝∠A，再证明△DCE是等腰直角三角形，求得∠ECA＝22.5°，据此求解即可．
【解答】解：∵E是斜边AB的中点，
∴，
∴∠ECA＝∠A，
∴∠DEC＝∠ECA+∠A＝2∠A，
∵∠DCE＝2∠A，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴CD＝DE（等边对等角），
∵CD⊥AB，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴，
∴∠BCD＝90°﹣∠DCE﹣∠ECA＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°，
则∠BCD的度数为22.5°，
故选：C．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形，关键是相关性质的熟练掌握．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，延长BC至点D，使得BD＝AB．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
等腰三角形的性质．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
如图，过点A作AE⊥BC于点E，由三线合一得到，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，BC＝4，
∴，
∴根据勾股定理得，，
∵BD＝AB＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣2＝3，
∴根据勾股定理得，，
故选：D．
本题考查了等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
9．如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACM B．CN⊥AB C．CM＝CD D．AD＝CD
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．
三角形；推理能力．
【答案】C
由作法可得：∠BCN＝∠A，再结合三角形外角的性质，等角对等边解答即可．
【解答】解：由作法得：∠BCN＝∠A，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BCD＝∠BCN+∠ACN，根据题意无法得到∠BDC与∠BCD相等，
∴无法确定∠ABD与∠ACM的大小关系，故A选项错误；
根据题意无法证明CN⊥AB，故B选项错误；
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．∠ABD+∠A＝∠CBD+∠BCM．
∴∠BDC＝∠CMD，
∴CM＝CD，故C选项正确，
根据题意无法得到AD，CD的大小关系，故D选项错误；
故选：C．
本题主要考查了尺规作图，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
10．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；勾股定理．
等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
【解答】解：A、∵b2＝a2﹣c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
D、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，b2＝（13k）2＝169k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意．
故选：B．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD BE＝8，则CD的长为　　
等边三角形的性质；平行线的性质．
线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】．
先根据平行线的性质和等边三角形的性质证明△ADE∽△CDB，利用相似比将 BD BE＝8 转化为关于 CD的方程，然后通过作高利用勾股定理表示出BD2，联立求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB＝60°（两直线平行，内错角相等），
∵∠ADE＝∠CDB，
∴△ADE∽△CDB，
∴（相似三角形对应边成比例），
设CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝2﹣x，
∴，
∴，
∴，
∵BD BE＝8，
∴，
即BD2＝4x，
过点 B作BH⊥AC于点H，
∵△ABC是等边三角形，AC＝2，
∴，，
∴DH＝|CH﹣CD|＝|1﹣x|，
在Rt△BHD中，BD2＝BH2+DH2＝3+（1﹣x）2，
∴4x＝3+（1﹣x）2，
解得，
∵0＜x＜2，
∴，
即CD的长为，
故答案为：3．
本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
12．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连结DE．若BC＝14，则线段DE的长为　7　 ．
三角形中位线定理．
三角形；推理能力．
【答案】7．
三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可求解．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC14＝7，
故答案为：7．
本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
13．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC＝90°，若AC＝10，BC＝16，则DF的长为　3　 ．
三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
等腰三角形与直角三角形．
【答案】3．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC＝8，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴EFAC＝5，
∴DF＝DE﹣EF＝3，
故答案为：3．
本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD＝∠EBF＝90°，∠C＝45°，∠F＝30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数是　15　 °．
三角形的外角性质；平行线的性质．
线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】15．
根据平行线的性质可得∠EAB，根据三角形外角的性质可得∠ABE的度数．
【解答】解：∵∠CAD＝90°，∠C＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠EAB＝∠ADC＝45°，
∵∠EBF＝90°，∠F＝30°，
∴∠FEB＝60°，
∴∠ABE＝∠FEB﹣∠EAB＝15°．
故答案为：15．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在AC上，点E在BC上，CD＝3，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，则CE的长为　3　 ．
勾股定理；直角三角形的性质．
解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】3．
将几何图形转化为坐标系中的代数问题，利用∠BFE＝45°这一条件建立关于CE长度的方程．
【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系．
则C（0，0），B（12，0），A（0，5），D（0，3），设CE＝x，则E（x，0），
直线BD的斜率，直线AE的斜率，
因为∠BFE＝45°，所以直线BD与AE的夹角正切值为1，
由夹角公式得：，
代入得：，
化简得：，
解得x＝3或（舍去），
所以CE的长为3．
故答案为：3．
本题考查平面直角坐标系的应用、一次函数解析式的求法以及两条直线夹角公式（或斜率关系）．重点在于理解如何通过坐标计算直线的斜率，以及利用斜率关系处理45°的夹角条件．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F．PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠PAH＝18°，求∠BPC的度数．
角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．
等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）作PM⊥BC于点M，
∵△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，
∴PE＝PM，PF＝PM，
∴PE＝PF．
（2）∠BPC的度数是72°．
（1）作PM⊥BC于点M，由角平分线的性质得PE＝PM，PF＝PM，则PE＝PF．
（2）连接AP，由PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF，证明AP平分∠DAH，则∠PAD＝∠PAH＝18°，求得∠BAC＝36°，则∠ABC+∠ACB＝144°，由∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝360°，求得∠CBD+∠BCH＝216°，则∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°，所以∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°．
【解答】（1）证明：作PM⊥BC于点M，
∵△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点F，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，
∴PE＝PM，PF＝PM，
∴PE＝PF．
（2）解：连接AP，
∵点P在∠DAH的内部，PE⊥AD于点E，PF⊥AH于点F，且PE＝PF，
∴点P在∠DAH的平分线上，
∴AP平分∠DAH，
∴∠PAD＝∠PAH＝18°，
∴∠BAC＝2∠PAH＝36°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝144°，
∵∠CBD+∠ABC+∠ACB+∠BCH＝2×180°＝360°，
∴∠CBD+∠BCH＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝216°，
∵∠PBC∠CBD，∠PCB∠BCH，
∴∠PBC+∠PCB（∠CBD+∠BCH）＝108°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝72°，
∴∠BPC的度数是72°．
此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
17．如图，笔直的河流一侧有一个度假村G，河边有两个游船码头A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离、近期由于点G到点A的步道正在封闭施工，为方便游客，景区决定在河边新建一个码头C（点A、B、C在同一条直线上），并修建一条观光小径GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km．
（1）判断△BCG的形状，并说明理由；
（2）求原步道GA的长．
勾股定理的应用．
等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）△BCG是直角三角形，理由如下：
在△BCG中，BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km，
∵GC2+BC2＝42+32＝25，BG2＝52＝25，
∴GC2+BC2＝BG2，
∴△BCG是直角三角形；
（2）km．
（1）根据勾股定理的逆定理判断；
（2）设GA＝xkm，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下：
在△BCG中，BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km，
∵GC2+BC2＝42+32＝25，BG2＝52＝25，
∴GC2+BC2＝BG2，
∴△BCG是直角三角形；
（2）设GA＝xkm，则AB＝xkm，
∴AC＝AB﹣BC＝（x﹣3）km，
由勾股定理得：GA2＝AC2+GC2，即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x，
∴GAkm．
本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）若∠A＝∠B，BC＝6，求BE的长．
全等三角形的判定与性质．
图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C；（2）．
（1）证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C；
（2）根据等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C；
（2）∵∠B＝∠C，∠A＝∠B，
∴∠B＝∠C＝∠A，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△BED中，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BEBD．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，交边AB于点E，在AE上取点F，连接DF，使∠ACD＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝38°，∠DFE＝36°时，求∠AEC的度数．
三角形内角和定理；平行线的判定与性质．
线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见详解；
（2）89°．
（1）根据CD平分∠ACB，得到∠DCB＝∠ACD，再由∠ACD＝∠D等量代换推出∠DCB＝∠D，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证．
（2）先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠ACD的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC；
（2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠A＝38°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣38°﹣36°＝106°，
又∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣53°﹣38°＝89°．
本题主要考查了角平分线的性质，三角和内角和定理以及平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．
（1）证明：AD垂直平分EF．
（2）若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，求DE的长．
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED＝∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）4．
（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上，即可．
（2）首先求出AB+AC＝12，再证明DF＝DE，∠AED＝∠AFD＝90°，然后根据面积法进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED＝∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵BC＝6，△ABC的周长为18，
∴AB+AC＝12，
由（1）得△ADE≌△ADF，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴，
∴，
∴若△ABC的周长为18，面积为24，BC＝6，则DE＝4．
本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．

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