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2026年中考数学二轮复习：图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝26°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．44° B．43° C．42° D．41°
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'，此时CC'∥AB，则旋转角∠BAB'的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．已知点P（5 a+2，2﹣3 a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，E是正方形ABCD中AD边上任意一点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADF，点B，E的对应点分别为D，F，BE的延长线与DF相交于点G，则下列结论一定正确的是（　　）
A．BG＝DF B．∠ABE＝30° C．BG⊥DF D．AE＝ED
7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在BC上，△BDE为直角三角形，∠BDE＝90°，∠E＝30°，若AC＝BE＝8．将△BDE绕点B逆时针旋转45°得到△BD′E′，则点D′（　　）
A．在△ABC的内部 B．在△ABC的外部
C．在△ABC的边上 D．以上均有可能
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝32°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则∠AC'C的度数为（　　）
A．64° B．58° C．38° D．32°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′CB′，点A，B的对应点分别为A′，B′，若点B′恰好落在AB中点，则线段AA′的长为（　　）
A．6 B． C．3 D．
10．如图，一个面积为13的正方形ABCD，点A落在数轴上对应实数1，绕点A逆时针旋转，点D落在x轴上的点D′，求点D'对应的实数的取值范围（　　）
A．﹣2至﹣3 B．﹣3至﹣4 C．﹣4至﹣5 D．﹣5至﹣6
二．填空题（共5小题）
11．矩形ABCD中，BC＝2AB＝12，连接BD，将△BCD绕点D逆时针旋转得到△EFD，连接BF，CF，BF与CD交于M，若，则MC＝　 　 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，点B，C的对应点分别为点P，Q，QP的延长线交BC于点M．当AQ∥BC时，△QMC的面积是 　 　 ．
13．在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn n，则点C2026的坐标是　 　 ．
14．如图，正方形ABCD不动，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，旋转角∠BAE＝α（0°＜α＜90°），AB＞AE，连接AF，AC，CF，DG，AB＝2，AE＝1，在旋转过程中，当点B，E，G在同一直线上时，则线段CF的长为 　 　 ．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．若已知旋转角为50°，则∠BDE的度数为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（2）连接DE，若AD＝2，，试求出△ADE的周长．
17．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C3；
（3）求出△ABC的面积．（每个小正方形边长为1）．
18．等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝x°，在BC边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转x°得到线段AE，连接DE．
（1）观察猜想
如图1，x°＝60°，∠DAB＝15°，则∠CDE＝　 　 °．
（2）类比探究
如图2，x°＝90°，点F为DE中点，连接CF，请判断线段CF与线段DE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用．
如图3，x°＝90°，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．请直接用等式表示线段AD与BG的数量关系．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，1），C（﹣2，3）．
（1）若△ABC绕着点B逆时针旋转90°后得到△A1BC1，画出△A1BC1，并写出点A的对应点A1的坐标是　 　 ；
（2）若D为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段AB旋转到线段A2B2所扫过的面积（结果保留π）．
2026年中考数学二轮复习：图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
中心对称图形．
平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、图案不是中心对称图形，不符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
中心对称图形；轴对称图形．
平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．选项图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键．
3．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝26°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．44° B．43° C．42° D．41°
旋转的性质．
平移、旋转与对称．
【答案】A
由旋转的性质得BC＝B′C，∠BCB′＝40°，∠A′＝∠A＝26°，由等边对等角和三角形内角和定理求出∠CBB′，最后根据三角形外角的性质求解．
【解答】解：由旋转知，BC＝B′C，∠BCB′＝40°，∠A′＝∠A＝26°，
∴，
∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′，
∴∠BCA′＝∠CBB′﹣∠A′＝70°﹣26°＝44°，
故选：A．
本题主要考查了旋转的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'，此时CC'∥AB，则旋转角∠BAB'的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
旋转的性质；平行线的性质．
等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC＝AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°．
∵由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°．
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
∴∠BAB′＝30°．
故选：A．
本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA＝70°以及AC＝AC′是解题的关键．
5．已知点P（5 a+2，2﹣3 a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
关于原点对称的点的坐标．
平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
先根据对称点的位置确定点P所在象限，再根据象限内点的坐标特征列不等式组求解即可．
【解答】解：由题意得，点P在第二象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故选：C．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）是解题的关键．
6．如图，E是正方形ABCD中AD边上任意一点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADF，点B，E的对应点分别为D，F，BE的延长线与DF相交于点G，则下列结论一定正确的是（　　）
A．BG＝DF B．∠ABE＝30° C．BG⊥DF D．AE＝ED
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
平移、旋转与对称．
【答案】C
根据正方形的性质及旋转的性质可排除选项．
【解答】解：由旋转的性质可知：△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，AE＝AF，故A错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°＝∠DAF，
∴∠ADF+∠F＝∠ABE+∠F＝90°，
∴∠BGF＝90°，即BG⊥DF，故C正确；
由题干可知点E是正方形ABCD中AD边上任意一点，所以不一定有∠ABE＝30°，AE＝ED，故B、D错误，
故选：C．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在BC上，△BDE为直角三角形，∠BDE＝90°，∠E＝30°，若AC＝BE＝8．将△BDE绕点B逆时针旋转45°得到△BD′E′，则点D′（　　）
A．在△ABC的内部 B．在△ABC的外部
C．在△ABC的边上 D．以上均有可能
旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
根据直角三角形的性质得出BD＝4，根据旋转的性质得出∠D′BC＝45°，BD＝BD′＝4，过点B作BF⊥AC交AC于点F，根据直角三角形的性质得出BF＝4，结合等边对等角和直角三角形的性质求出∠FBC＝45°，推得点D′与点F重合，即可求解．
【解答】解：∵△BDE为直角三角形，∠BDE＝90°，∠E＝30°，AC＝BE＝8，
∴；
将△BDE绕点B逆时针旋转45°得到△BD′E′，
∴∠D′BC＝45°，BD＝BD′＝4；
如图，过点B作BF⊥AC交AC于点F，
在Rt△ABC中，，
∵BF⊥AC，BF＝FC，
∴，
∵∠FBC＝∠D′BC＝45°，
∴点D′、B、F三点共线，
∵BF＝BD′＝4，
故点D′与点F重合，即点D′在AC上，
故在△ABC的边上，
故选：C．
本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝32°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则∠AC'C的度数为（　　）
A．64° B．58° C．38° D．32°
旋转的性质；平行线的性质．
线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
由旋转得，AC＝AC'，则∠ACC'＝∠AC'C．根据平行线的性质可得∠CAB＝∠ACC'＝32°，进而可得答案．
【解答】解：由旋转得，AC＝AC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C．
∵CC'∥AB，
∴∠CAB＝∠ACC'＝32°，
∴∠AC'C＝32°．
故选：D．
本题考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质、平行线的性质是解答本题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′CB′，点A，B的对应点分别为A′，B′，若点B′恰好落在AB中点，则线段AA′的长为（　　）
A．6 B． C．3 D．
旋转的性质；勾股定理．
平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
先根据旋转的性质得到CB＝CB′，CA＝CA′，∠BCB′＝∠ACA′，再根据斜边上的中线性质得到CB′＝BB′，于是可判断△CBB′为等边三角形，所以∠B＝∠BCB′＝60°，接着证明△ACA′为等边三角形得到AA′＝AC，然后在△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系求出AC，从而得到AA′的长度．
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′CB′，
∴CB＝CB′，CA＝CA′，∠BCB′＝∠ACA′，
∵∠ACB＝90°，点B′为AB中点，
∴CB′＝BB′，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠B＝∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△ACA′为等边三角形，
∴AA′＝AC，
在△ACB中，∵∠B＝60°，
∴BCAB＝3，
∴ACBC＝3，
∴AA′＝3．
故选：B．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
10．如图，一个面积为13的正方形ABCD，点A落在数轴上对应实数1，绕点A逆时针旋转，点D落在x轴上的点D′，求点D'对应的实数的取值范围（　　）
A．﹣2至﹣3 B．﹣3至﹣4 C．﹣4至﹣5 D．﹣5至﹣6
坐标与图形变化﹣旋转；实数与数轴．
平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】A
根据正方形的面积计算边长，进而表示出D′对应的数值，再估计无理数取值范围即可．
【解答】解：由题意得，
则点D′对应的实数为：，
∵9＜13＜16，
∴，
∴，
∴D'对应的实数的取值范围：，
故选：A．
本题考查坐标与图形变化﹣旋转，实数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共5小题）
11．矩形ABCD中，BC＝2AB＝12，连接BD，将△BCD绕点D逆时针旋转得到△EFD，连接BF，CF，BF与CD交于M，若，则MC＝　　 ．
旋转的性质；解直角三角形；矩形的性质．
矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
过点D、F分别作DH⊥CF，FG⊥CD，垂足为点H，G，由旋转可得，DF＝DC＝6，∠DFE＝∠DCB＝90°，得到∠HDF＝∠CFE，然后解△DCF，求出FG，CG，再由△FGM∽△BCM求解即可．
【解答】解：过点D、F分别作DH⊥CF，FG⊥CD，垂足为点H，G，
∵矩形ABCD中，BC＝2AB＝12，
∴∠DCB＝90°，AB＝CD＝6，
由旋转可得，∠DFE＝∠DCB＝90°，DF＝DC＝6，
∵DH⊥CF，
∴CH＝FH，∠HDF＝∠CFE＝90°﹣∠DFH，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵FG⊥CD，
∴∠FGC＝∠BCD＝90°，
∴FG∥BC，
∴△FGM∽△BCM，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
本题考查矩形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，点B，C的对应点分别为点P，Q，QP的延长线交BC于点M．当AQ∥BC时，△QMC的面积是 　6　 ．
旋转的性质；平行线的性质；三角形的面积．
平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】6．
连接AM，如图，先利用定理计算出AC＝5，再根据旋转的性质得到AP＝AB＝3，PQ＝BC＝4，AQ＝AC＝5，∠APQ＝∠B＝90°，接着证明Rt△ABM≌Rt△APM得到BM＝PM，∠AMB＝∠AMP，然后证明∠QAM＝∠AMP得到AQ＝MQ＝5，所以PM＝1，最后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：连接AM，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到△APQ，
∴AP＝AB＝3，PQ＝BC＝4，AQ＝AC＝5，∠APQ＝∠B＝90°，
在Rt△ABM和Rt△APM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△APM（HL），
∴BM＝PM，∠AMB＝∠AMP，
∵AQ∥BC，
∴∠QAM＝∠AMB，
∴∠QAM＝∠AMP，
∴AQ＝MQ＝5，
∴PM＝MQ﹣PQ＝5﹣4＝1，
∴△QMC的面积3×4＝6．
故答案为：6．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和三角形的面积．
13．在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn n，则点C2026的坐标是　　 ．
坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，， ，推出，根据2026＝2×1013，求出点C2026的坐标即可．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，
∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴C1是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，， ，
∴，
∵2026＝2×1013，
∴，即…，经γ（n，180°）变换得△AnBn n，则点．
故答案为：．
本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．如图，正方形ABCD不动，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，旋转角∠BAE＝α（0°＜α＜90°），AB＞AE，连接AF，AC，CF，DG，AB＝2，AE＝1，在旋转过程中，当点B，E，G在同一直线上时，则线段CF的长为 　　 ．
旋转的性质；正方形的性质．
平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】1．
先根据正方形的性质得到ACAB＝2，AFAE，∠FAE＝∠CAB＝∠AEG＝∠AFG＝45°，再证明△ACF∽△ABE得到∠AFC＝∠AEB，由于点B，E，G在同一直线上，则∠AEB＝135°，所以∠AFC＝135°，则可证明点G、F、C共线，所以CG＝FG+FC，接着利用勾股定理计算出CG，然后计算GC﹣GF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴ACAB＝2，AFAE，∠FAE＝∠CAB＝∠AEG＝∠AFG＝45°，
∴，∠FAC＝∠EAB，
∴△ACF∽△ABE，
∴∠AFC＝∠AEB，
∵当点B，E，G在同一直线上，
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFC＝135°，
∴∠AFC+∠AFG＝135°+45°＝180°，
∴点G、F、C共线，
∴CG＝FG+FC，
在Rt△AGC中，CG，
∴CF＝GC﹣GF1．
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．若已知旋转角为50°，则∠BDE的度数为　50°　 ．
旋转的性质；等腰三角形的性质．
等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】50°．
根据△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，可得AC＝CD，∠ACD＝50°，∠EDC＝∠A，求出∠A＝∠ADC＝65°，即得∠EDC＝∠A＝65°，从而∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠EDC＝50°．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACD＝50°，∠EDC＝∠A，
∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠EDC＝∠A＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠EDC＝50°．
故答案为：50°．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（2）连接DE，若AD＝2，，试求出△ADE的周长．
旋转的性质；勾股定理．
图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AE⊥BD，
理由：设AE交BD于点F，AC交BD于点H，
∵将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AHF＝∠BHC，
∴∠AFD＝∠CAE+∠AHF＝∠CBD+∠BHC＝90°，
∴AE⊥BD．
（2）△ADE的周长是28．
（1）设AE交BD于点F，AC交BD于点H，由旋转得AC＝BC，则∠BAC＝∠ABC＝45°，所以∠ACB＝90°，由∠CAE＝∠CBD，∠AHF＝∠BHC，求得∠AFD＝∠CAE+∠AHF＝∠CBD+∠BHC＝90°，则AE⊥BD．
（2）由旋转得CE＝CD＝3，∠ACE＝∠BCD，可证明∠ECD＝∠ACB＝90°，则DE6，∠CDE＝∠CED＝45°，而∠ADC＝45°，AD＝2，则∠ADE＝90°，求得AE2，进而求得△ADE的周长是28．
【解答】解：（1）AE⊥BD，
理由：设AE交BD于点F，AC交BD于点H，
∵将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AHF＝∠BHC，
∴∠AFD＝∠CAE+∠AHF＝∠CBD+∠BHC＝90°，
∴AE⊥BD．
（2）由旋转得CE＝CD＝3，∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴DE6，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵∠ADC＝45°，AD＝2，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AE2，
∴AE+AD+DE＝22+6＝28，
∴△ADE的周长是28．
此题重点考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，推导出∠ECD＝∠ACB＝90°，进而证明∠CDE＝∠CED＝45°是解题的关键．
17．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C3；
（3）求出△ABC的面积．（每个小正方形边长为1）．
作图﹣旋转变换．
平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）
（2）
（3）．
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C3即为所求．
（3）△ABC的面积为．
本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
18．等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝x°，在BC边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转x°得到线段AE，连接DE．
（1）观察猜想
如图1，x°＝60°，∠DAB＝15°，则∠CDE＝　15　 °．
（2）类比探究
如图2，x°＝90°，点F为DE中点，连接CF，请判断线段CF与线段DE的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用．
如图3，x°＝90°，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．请直接用等式表示线段AD与BG的数量关系．
几何变换综合题．
三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）15；
（2）DE＝2CF，
如图，连接CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC．
∴∠ABD＝ACB＝45°，
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∵点F为DE中点，
∴DE＝2CF；
（3），理由如下：
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CGD＝∠ACB＝45°，
∴DG＝DC，
∵∠BAC＝∠DAE＝x°＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
又∵DG＝DC，∠BDG＝∠DCE，
∴△BDG≌△ECD（SAS），
∴BG＝DE，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（1）由旋转可得AE＝AD，∠DAE＝60°，求出∠B＝60°，利用三角形外角的定义求出∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，即可求解；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，再求出∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，再证明△BDG≌△ECD，得到BG＝DE，根据△ADE是等腰直角三角形，得出答案．
【解答】解：（1）由旋转可得：∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴，
∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴，
∵∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°，
故答案为：15；
（2）DE＝2CF，理由如下：
如图，连接CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC．
∴∠ABD＝ACB＝45°，
由旋转知∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∵点F为DE中点，
∴DE＝2CF．
（3），理由如下：
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CGD＝∠ACB＝45°，
∴DG＝DC，
∵∠BAC＝∠DAE＝x°＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
又∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
又∵DG＝DC，∠BDG＝∠DCE，
∴△BDG≌△ECD（SAS），
∴BG＝DE，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴用等式表示线段AD与BG的数量关系：．
本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，1），C（﹣2，3）．
（1）若△ABC绕着点B逆时针旋转90°后得到△A1BC1，画出△A1BC1，并写出点A的对应点A1的坐标是　（1，﹣3）　 ；
（2）若D为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．
作图﹣旋转变换；平行四边形的判定．
作图题；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）△ABC绕着点B逆时针旋转90°后得到△A1BC1，如图即为所求；
．
（1，﹣3）；
（2）点D的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣6，2）或（2，4）．
（1）需依据绕点逆时针旋转90°的坐标变换规则，先将点相对于旋转中心平移至原点，完成旋转后再平移回原位置，从而确定点A的对应点A1的坐标；
（2）根据平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，分三种情况（以不同边为对角线）讨论，计算满足条件的点D的坐标．
【解答】解：（1）△ABC绕着点B逆时针旋转90°后得到△A1BC1，如图即为所求；
由图可得，点A1的坐标是（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）；
（2）点D的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣6，2）或（2，4）．理由如下：
当以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB为对角线的平行四边形时，点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
当以A，B，C，D为顶点的四边形是以AC为对角线的平行四边形时，点D的坐标为（﹣6，2）；
当以A，B，C，D为顶点的四边形是以BC为对角线的平行四边形时，点D的坐标为（2，4）．
综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣6，2）或（2，4）．
本题主要考查了作图﹣旋转变换，平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质及平行四边形的判定．
20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求线段AB旋转到线段A2B2所扫过的面积（结果保留π）．
作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；作图﹣轴对称变换．
作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）△ABO关于x轴对称的△A1B1O，如图1即为所求；
B1（﹣4，﹣3）；
（2）△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，如图2即为所求；
B2（3，4）；
（3）．
（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点A1、B1的坐标，描出点A1、B1，再顺次连接点A1、B1、O即可；
（2）根据网格的特点和旋转方式确定点A2、B2的位置，描出点A2、B2，再顺次连接点A2、B2、O，最后写出点B2的坐标即可；
（3）根据旋转的性质和勾股定理得到∠BOB2＝∠AOA2＝90°，，OB＝OB2＝5，再根据线段AB旋转到线段A2B2所扫过的面积列式求解即可．
【解答】解：（1）△ABO关于x轴对称的△A1B1O，如图1即为所求；
由图可知，B1（﹣4，﹣3）；
（2）△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，如图2即为所求；
由图可知，B2（3，4）；
（3）如图3，
由题意得，∠BOB2＝∠AOA2＝90°，
，
∴线段AB旋转到线段A2B2所扫过的面积
．
本题主要考查了作图﹣旋转变换，扇形面积的计算，作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质以及轴对称的性质．

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