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2026年中考数学二轮复习：图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．新情境河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（　　）
A．国 B．玉 C．雕 D．乡
3．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（　　）
A．大 B．美 C．河 D．南
4．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　）
①若CB＝7，则t＝2.5；
②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5；
③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25；
④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值．
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④
6．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，∠B＝72°，∠AED＝40°，则∠ADC的度数为（　　）
A．72° B．85° C．92° D．95°
8．如图，C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20°方向，E处在C处的北偏东75°方向，则∠AEC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
9．如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角α为56°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角β的度数是（　　）
A．24° B．26° C．30° D．34°
10．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90，若∠AOB＝∠COD，射线OA，OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共5小题）
11．已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大30°，则这个锐角的度数为　 　 ．
12．如图，O为直线AB上一点，∠COB＝31°42′，则∠1＝　 　 °．（要求单位是“度”）
13．若一个角的余角比这个角的补角的还小35°，则这个角的度数是　 　 °．
14．已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB＝5cm，BC＝7cm，点D、E分别是线段AB、BC的中点，则DE＝　 　 ．
15．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠DOC＝29°30′，则∠AOB的度数是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（1）已知点C在线段AB上，取AC的中点M，BC的中点N，AB＝12，求MN；
（2）如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为　 　 ．
17．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
（1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长；
（2）若线段AB＝16，CE＝4，求AD的长．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，ON为∠AOD内部一条射线，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）若∠BOC＝75°，求∠AON的度数；
（2）若∠BOC＝75°，OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？请说明理由；
（3）若OM⊥ON，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进知识迁移与融合．
【特例感知】
（1）如图1，已知点C是线段AB上一点，点M，N分别是AC，BC的中点．解答下列问题：
①若AC＝8cm，CB＝6cm，则MN＝　 　 cm；
②若AB＝acm，则MN＝　 　 cm．（用含a的代数式表示）
【类比探究】
（2）同学们探究发现角的计算与线段的计算类似，如图2，已知OD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOD和∠BOD，猜想∠EOF与∠AOB的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，已知∠COD在∠AOB内的位置如图所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）
20．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨BC长度与长伞骨OA长度之比为2：5，短伞骨与长伞骨连接点B恰为长伞骨的三等分点（AB＞OB），伞柄OD长度是长伞骨OA长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离OC等于OB，支撑点到伞柄底端的距离CD比短伞骨BC长度多3lcm．求这个油纸伞的伞柄长．
2026年中考数学二轮复习：图形认识初步
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
几何体的展开图．
展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】A
折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可．
【解答】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，
由三角形的三边关系，得3﹣3＜m＜3+3，解得0＜m＜6，
∴m的值不可能为6．
故选：A．
本题考查几何体的展开图，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
2．新情境河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（　　）
A．国 B．玉 C．雕 D．乡
专题：正方体相对两个面上的文字．
展开与折叠；空间观念．
【答案】A
根据正方体的空间结构特点进行判断．
【解答】解：∵“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻，
∴“中”的对面汉字是“国”．
故选：A．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间结构特点是关键．
3．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（　　）
A．大 B．美 C．河 D．南
专题：正方体相对两个面上的文字．
展开与折叠；空间观念．
【答案】B
根据“隔一相对”规律，逐一分析，即得结果．
【解答】解：根据题意可知，“建”和“美”隔一个正方形，为相对面．
故选：B．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间结构特点是关键．
4．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
几何体的展开图．
展开与折叠；空间观念．
【答案】D
根据圆锥的侧面展开图的特点作答．
【解答】解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知，选项D符合题意，
故选：D．
本题考查了几何体的展开图，掌握圆锥的侧面展开图是扇形是解答的关键．
5．如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　）
①若CB＝7，则t＝2.5；
②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5；
③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25；
④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值．
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④
两点间的距离．
【答案】D
对于①，需分点C在线段AB上和AB延长线上两种情况，用线段和差表示CB并列方程，根据解的个数判断正误；对于②，先根据C、D均在线段AB上确定t的取值范围，再用t表示AC和BD的长度，结合比例关系列方程求解并验证解是否符合范围；对于③，利用线段中点的性质分别表示出AN和AM的长度，由MN＝1得到绝对值方程，求解方程即可得到t的值；对于④，先根据点C在AB延长线上确定t的取值范围，再依次利用中点性质表示出AE、BD、BF、AF的长度，最后通过线段和差计算EF的长度，判断其是否为定值．
【解答】解：点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，
对于①，分两种情况：
当点C在线段AB上时，CB＝AB﹣AC＝12﹣2t＝7，解得t＝2.5；
当点C在AB延长线上时，CB＝AC﹣AB＝2t﹣12＝7，解得t＝9.5；
故①中t有两个解，①错误；
对于②，∵点C、D均在线段AB上，
∴AC+CD≤AB，即2t+5≤12，解得t≤3.5，
此时AC＝2t，BD＝AB﹣（AC+CD）＝12﹣（2t+5）＝7﹣2t，
由AC：BD＝3：4得4×2t＝3（7﹣2t），
解得t＝1.5，符合t≤3.5，故②正确；
对于③，AB＝12，N是AB中点，
∴AN＝6，
∵AC＝2t，CD＝5，
∴AD＝2t+5，
∵M是CD中点，
∴CM＝2.5，
∴AM＝AC+CM＝2t+2.5，
由MN＝1得|6﹣（2t+2.5）|＝1，即|3.5﹣2t|＝1，
当3.5﹣2t＝1时，2t＝2.5，解得t＝1.25；
当3.5﹣2t＝﹣1时，2t＝4.5，解得t＝2.25；
故t＝1.25或2.25，③正确；
对于④，∵点C在AB延长线上，
∴2t＞12，即t＞6，
∵E是AC中点，
∴，
∵AD＝AC+CD＝2t+5，AB＝12，
∴BD＝AD﹣AB＝2t﹣7．
∵F是BD中点，
∴，
∴AF＝AB+BF＝12+t﹣3.5＝t+8.5，
∴EF＝AE﹣AF＝|（t+8.5）﹣t|＝8.5，是定值，故④正确；
综上，②③④正确，
故选：D．
本题考查两点间的距离，正确进行计算是解题关键．
6．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
角平分线的定义．
【答案】C
利用角平分线的性质和角与角的和差关系计算即可．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠COD∠COE，∠BOC∠AOC，
又∵∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝40°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：C．
本题考查角与角之间的运算和角平分线的知识点，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
7．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，∠B＝72°，∠AED＝40°，则∠ADC的度数为（　　）
A．72° B．85° C．92° D．95°
角平分线的定义；平行线的性质．
线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
由平行线的性质可得∠ADE＝∠B＝72°，∠AED＝∠ACB＝40°，∠EDC＝∠DCB，进而由角平分线的定义可得∠EDC＝∠DCB＝20°，再根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝72°，∠AED＝40°，
∴∠ADE＝∠B＝72°，∠AED＝∠ACB＝40°，∠EDC＝∠DCB，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴，
∴∠EDC＝∠DCB＝20°
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝72°+20°＝92°，
故选：C．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知以上知识是解题的关键．
8．如图，C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20°方向，E处在C处的北偏东75°方向，则∠AEC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
方向角．
线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】D
根据题意得到∠CAE＝55°，∠ACE＝40°，根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20°方向，E处在C处的北偏东75°方向，
由题意得：∠DCE＝75°，AB∥CD，∠CAB＝35°，∠BAE＝20°，
∴∠DAC＝∠CAB＝35°，
∴∠ACE＝75°﹣35°＝40°，∠CAE＝35°+20°＝55°，
∴∠AEC＝180°﹣55°﹣40°＝85°．
故选：D．
本题主要考查方位角，三角形内角和定理，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．
9．如图是集热板示意图，太阳光线与集热板垂直时，光能利用率最高．某日正午太阳光线与水平面的夹角α为56°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角β的度数是（　　）
A．24° B．26° C．30° D．34°
余角和补角．
线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出∠α与∠β互余，再代入∠α＝56°，计算出∠β即可．
【解答】解：根据集热板与太阳光线垂直的条件可知：
∠α+∠β＝90°，
∵∠α＝56°，
∴∠β＝90°﹣∠α＝34°．
故选：D．
本题考查了余角和补角，熟练掌握该知识点是关键．
10．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90，若∠AOB＝∠COD，射线OA，OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
余角和补角．
线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】C
先由OA、OB刻度得∠AOB＝20°，故∠COD＝20°；①利用等式性质在∠AOB＝∠COD两边加∠BOC，证∠AOC＝∠BOD；②设∠MOC为未知数，结合互补定义列方程求OC、OD刻度，判断是否为165；③由∠MOC＝3∠COD求各角（含∠AOE、∠COF等）度数，结合∠EOM＝∠MOF＝90°统计互余角对数．
【解答】解：由题意得∠EOM＝∠MOF＝90°，
∵OA过40°、OB过60°，
∴∠AOB＝60°﹣40°＝20°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＝20°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC（等式性质），
即∠AOC＝∠BOD，故①正确．
设∠MOC＝x，则∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝（90°﹣40°）+x＝50°+x，
∠BOC＝∠BOM+∠MOC＝（90°﹣60°）+x＝30°+x，
∵∠AOC与∠BOC互补，
∴（50°+x）+（30°+x）＝180°，
解得x＝50°，
OC刻度为90°+50°＝140°，OD刻度为140°+20°＝160°≠165°，故②错误．
∵∠MOC＝3∠COD＝3×20°＝60°，
∴∠AOE＝40°，∠AOM＝90°﹣40°＝50°；
∠BOE＝60°，∠BOM＝90°﹣60°＝30°；
∠DOM＝90°﹣（90°﹣60°﹣20°）＝80°，∠DOF＝10°，∠COF＝90°﹣∠MOC＝30°，
互余角（和为90°）有：∠AOE与∠AOM、∠BOE与∠BOM、∠COM与∠COF、∠DOM与∠DOF、∠BOE与∠COF、∠BOM与∠COM，共6对，故③正确．
故选：C．
本题考查了量角器刻度与角的度数换算、角的和差关系、互补与互余的定义，解题的关键是明确量角器中0°（设为射线OE）与180°（设为射线OF）为水平直径、90°（射线OM）为垂直半径（即∠EOM＝∠MOF＝90°），再结合∠AOB＝∠COD的条件，准确计算各角度数并判断结论．
二．填空题（共5小题）
11．已知一个锐角的补角比它的余角的3倍大30°，则这个锐角的度数为　60°　 ．
余角和补角．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】60°．
设这个锐角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，它的余角为90°﹣x，根据题意可得：180°﹣x＝3（90°﹣x）+30°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设这个锐角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，它的余角为90°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝3（90°﹣x）+30°，
解得：x＝60，
∴这个锐角的度数为60°，
故答案为：60°．
本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．如图，O为直线AB上一点，∠COB＝31°42′，则∠1＝　148.3　 °．（要求单位是“度”）
度分秒的换算；角的概念．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】148.3．
根据题意列式为180°﹣31°42′，将其计算即可．
【解答】解：∵∠COB＝31°42′，
∴∠1＝180°﹣31°42′
＝179°60′﹣31°42′
＝148°18′
＝148.3°，
故答案为：148.3．
本题考查度分秒的换算，角的概念，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
13．若一个角的余角比这个角的补角的还小35°，则这个角的度数是　15　 °．
余角和补角．
线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15．
根据余角和补角的性质解答即可．
【解答】解：设这个角为α，则，
解得：α＝15°，
故答案为：15．
本题考查了余角和补角，熟练掌握该知识点是关键．
14．已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB＝5cm，BC＝7cm，点D、E分别是线段AB、BC的中点，则DE＝　1cm或6cm ．
两点间的距离．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】1cm或6cm．
分①点C在AB的延长线上时，②点C在BA的延长线上时两种情况分析即可，读懂题意，熟练运用线段的和差倍分是解题的关键．
【解答】解：由条件可知，，
①如图，点C在AB的延长线上时，
∴DE＝BD+BE＝2.5+3.5＝6（cm），
②如图，点C在BA的延长线上时，
∴DE＝BE﹣BD＝3.5﹣2.5＝1（cm），
故答案为：1cm或6cm．
本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，熟练掌握以上知识点是关键．
15．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠DOC＝29°30′，则∠AOB的度数是　150°30′　 ．
余角和补角；度分秒的换算．
线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】150°30′．
根据图中角的和差关系得∠AOB＝∠DOB+∠AOD求解即可．
【解答】解：由题意知∠AOC＝∠DOB＝90°，
∵∠DOC＝29°30′，
∴∠AOB＝∠DOB+∠AOD＝90°+90°﹣29°30′＝150°30′，
故答案为：150°30′．
本题考查三角板中的角度计算问题．熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（1）已知点C在线段AB上，取AC的中点M，BC的中点N，AB＝12，求MN；
（2）如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为　60°　 ．
两点间的距离．
线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）MN＝6；
（2）∠MON＝60°．
（1）根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MCAC，NCBC，
∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）AB12＝6；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM∠AOC，∠CON∠BOC，
∴∠MON＝∠COM+∠CON
∠AOC∠BOC
（∠AOC+∠BOC）
∠AOB
120°
＝60°．
故答案为：60°．
本题考查线段的中点，角平分线的定义，掌握线段中点、角平分线的定义是正确解答的关键．
17．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
（1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长；
（2）若线段AB＝16，CE＝4，求AD的长．
两点间的距离．
线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）6．
（1）根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可；
（2）由线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵AE：BE＝5：2，AE+BE＝AB＝14，
∴AEAB＝10，BEAB＝4，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BCAB＝7，
∵点D是AE的中点，
∴AD＝EDAE＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝7﹣5＝2；
（2）∵点C是AB的中点，AB＝16
∴AC＝BCAB＝8，
∵CE＝4，
∴AE＝AC+CE＝8+4＝12，
∵点D是AE的中点，
∴AD＝EDAE＝6．
本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，ON为∠AOD内部一条射线，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）若∠BOC＝75°，求∠AON的度数；
（2）若∠BOC＝75°，OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？请说明理由；
（3）若OM⊥ON，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
角平分线的定义；对顶角、邻补角；垂线．
线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）是，
由（1）知当∠BOC＝75°，∠AON＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣30°＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴（角平分线的定义），
∴∠COB＝∠BOM，
∴OB 是∠COM的平分线；
（3）定值，18°
（1）根据对顶角可知∠AOD，然后根据比例关系即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出∠BON，然后再求∠BOM即可判断；
（3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝∠BOC，∠BOC＝75°，
∴∠AOD＝75°，
∵∠AON：∠NOD＝2：3，
∴；
（2）是，理由如下：
由（1）知当∠BOC＝75°，∠AON＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣30°＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴（角平分线的定义），
∴∠COB＝∠BOM，
∴OB 是∠COM的平分线；
（3）设∠AON＝2x，则∠NOD＝3x，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣3x，
∵∠AOD＝∠AON+∠NOD＝5x，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣5x，
∴．
本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，垂线，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键．
19．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进知识迁移与融合．
【特例感知】
（1）如图1，已知点C是线段AB上一点，点M，N分别是AC，BC的中点．解答下列问题：
①若AC＝8cm，CB＝6cm，则MN＝　7　 cm；
②若AB＝acm，则MN＝　a cm．（用含a的代数式表示）
【类比探究】
（2）同学们探究发现角的计算与线段的计算类似，如图2，已知OD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOD和∠BOD，猜想∠EOF与∠AOB的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，已知∠COD在∠AOB内的位置如图所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）
两点间的距离；角平分线的定义；列代数式．
线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①7；②a；
（2）∠EOF∠AOB；
（3）α+10°．
（1）①根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可；
②由①得MN（AC+BC）AB即可；
（2）根据角平分线的定义以及角的和差关系得到∠EOF∠AOB即可；
（3）根据角的和差倍比关系进行解答即可．
【解答】解：（1）①∵点C是线段AB上一点，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴AM＝CMAC，CN＝BNBC，
∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC），
∵AC＝8cm，CB＝6cm，
∴MN（8+6）＝7cm，
故答案为：7；
②由①得MN（AC+BC）ABa，
故答案为：a；
（2）∠EOF∠AOB，理由：
∵OD在∠AOB内部，OE和OF分别平分∠AOD和∠BOD，
∴∠AOE＝∠EOD∠AOD，∠DOF＝∠BOF∠BOD，
∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF∠AOD∠BOD（∠AOD+∠BOD）∠AOB；
（3）∵∠AOB＝α，∠COD＝30°，
∴∠BOC+∠AOD＝α﹣30°，
又∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，
∴∠NOC∠BOC，∠DOM∠AOD，
∴∠MON＝∠NOC+∠COD+∠DOM
∠BOC∠AOD+∠COD
（∠BOC+∠AOD）+∠COD
（α﹣30°）+30°
α+10°．
本题考查两点间的距离，角平分线的定义，理解线段中点的定义，线段的和差关系，角平分线的定义以及角的不差倍比关系是正确解答的关键．
20．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨BC长度与长伞骨OA长度之比为2：5，短伞骨与长伞骨连接点B恰为长伞骨的三等分点（AB＞OB），伞柄OD长度是长伞骨OA长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离OC等于OB，支撑点到伞柄底端的距离CD比短伞骨BC长度多3lcm．求这个油纸伞的伞柄长．
两点间的距离．
整式；几何直观；运算能力．
【答案】75cm．
设BC＝2x cm，根据各个部分之间的关系，分别得到OA＝5xcm，OBxcm＝OC，ODxcm，CDx （cm），由CD﹣BC＝31列方程求出x的值，再求出OD的值即可．
【解答】解：设BC＝2x cm，则OA＝5xcm，OBOAxcm＝OC，ODOAxcm，
∴CD＝OD﹣OCxxx （cm），
∵CD比BC长度多3lcm．
∴x﹣2x＝31，
解得x＝12，
∴ODx＝75（cm），
即这个雨伞的伞柄OD的长为75cm．
本题考查两点间的距离，掌握线段的和差关系是正确解答的关键．

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