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2025—2026学年第二学期高一年级数学学科期中试卷
一、单选题（每小题5分，共45分）
1．已知复数．若在复平面内，复数表示的点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则向量与夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知、是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在，若，则此三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
8．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以边长为2的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是（ ）
A． B．7 C． D．6
二、填空题（每小题5分，共30分）
10．已知复数满足（为虚数单位），则________．
11．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________．
12．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为________；
13．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________．
14．如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为____________．
15．中，，，，，则________（用，表示）若，，则________．
三、解答题（共75分．写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（本题14分）已知复数，其中为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求的值；
（3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17．（本题15分）已知向量，，且有．
（1）求的坐标，和在方向上的投影向量；
（2）求与垂直的单位向量的坐标；
（3）若，当时，求的最小值．
18．（本题15分）在中，角，，所对的边分别为，，．满足．
（1）求角的大小：
（2）设，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值．
19．（本题15分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）若，求证；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
20．（本题16分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且．
（1）求角；
（2）若，是钝角三角形．
（ⅰ）求的范围；
（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
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