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数 学 试卷
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为 ( )
A. 1 B. -1 C. i D.
2. 已知集合 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 设向量 ，且 ，则 ( )
A. -2 B. 2 C. D.
4. 已知随机变量 ,为使 在 内的概率不小于0.9545(若 ,则 ,则 的最小值为 ( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
5. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上的动点 (不含原点), 的半径为 ，若 与 外切，则 ( )
A. 与直线 相切 B. 与直线 相切
C. 与直线 相切 D. 与直线 相切
7. 已知 是等比数列 的前 项和,且 ,则 ( )
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
8. 已知 是定义域为 的非常值函数,且 是 的导函数,且 的定义域为 . 若设 ,则曲线 在点 处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正四棱锥 中,侧棱 与底面边长相等, 分别是 和 的中点,则
A. B. 平面 C. D. 平面
10. 已知正实数 满足 ,则下列结论正确的有 ( )
A. 的最大值为 4 B. 的最大值为 4
C. 的最小值为 D. 的最小值为 8
11. 投掷一枚硬币 (正反等可能),设投掷 次不连续出现三次正面向上的概率为 ,则 ( )
A.
B.
C.
D. 对任意的 ,当 时,有 成立
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若曲线 在 处的切线恰好经过坐标原点,则实数 _____.
13. 一个圆锥的轴截面为等边三角形, 有一个球内切于该圆锥, 则球的表面积与圆锥表面积的比值为_____.
14. 双曲线 左右焦点分别为 ,离心率为 ,若点 在双曲线的右支上，且 ， 外接圆半径 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某科研团队研究某种细菌繁殖速度，收集到 7 组培养时间 (单位:小时)与菌落浓度 的数据. 根据散点图分析,发现 与 满足指数增长关系: . 为了进行线性回归分析. 令 ,得到线性关系 . 部分计算数据如下:
(1)请建立 关于 的回归方程,并预测培养 8 小时时的菌落浓度.
(2)定义残差平方和 . 若某次试验残差满足 . 2，则认为该组数据“异常”, 已知在该组数据下异常数据组达到了最多. 现从这 7 组数据中随机抽取 2 组, 记抽到 “异常” 数据的组数为 ,求 的分布列与数学期望 .
【注】回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
16. (15分) 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，且 . (1)求椭圆 的标准方程.
(2)过 的直线 交椭圆 于 两点,若 的面积为 ，求直线 的方程.
17. (15 分) 已知正项数列 满足 ,令 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)设数列 的前 项和 ，证明: .
18.(17分)如图，已知四棱锥 的底面为菱形， .
(1)求证:平面 平面 .
(2)若 .
(i)若平面 与平面 的夹角为 ,求 的值;
(ii) 已知 平面 ,求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)求 的极值.
(2)设正整数 满足 .
(i) 证明: ;
(ii) 证明: .
参考答案
1. A 因为 ,所以 ,所以 ,所以 的虚部为 1 . 故选 A.
2. 由 ,可得 ,
所以 .
由 ,可得 ,
所以 ,所以 .
故选 D.
3. 因为 ,所以两向量夹角为 ,从而满足 ,又 ,故 .
故选 .
4. D 若随机变量 ，则 ， ,为使 在 内的概率不小于 0.9545,则 ,解得 ,即 的最小值为 64 .
故选D.
5. 由 ,
得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
故 .
故选 B.
6. A 设动点 ， ，如图所示，
与 外切于点 ,则 ,
由抛物线焦半径公式得, ,
的半径为 ,即 ,
所以 ,
即 的半径为 ,所以点 到 轴的距离为 , 则 与直线 相切.
故选A.
7. 因为 是等比数列, 是等比数列 的前 项和,所以 成等比
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数列,且 ,
所以 .
又因为 ,
所以 ,
即 ,解得 或 , 因为 ,所以 .
故选C.
8. 令 ,则 , 则函数 图象关于点 中心对称,
令 ,则 ,
则 或 ,
当 时,令 ,则 ,
即 ,不合题意,舍去.
故 ,则令 ,即 ,
即函数 图象关于 轴对称.
,
令 ,则 ,
又 ,所以 ,
则
; 即函数 是周期为 8 的
周期函数,所以 ,
因为函数 图象关于点 中心对称和 轴
对称,所以导数 关于 对称和点
中心对称,同理可得 ,所以
,所以切线
方程为 ,即 .
故选D.
9. 如图,取 的中点 ,连接 ,
因为 分别是 和 的中点,
四棱锥 是正四棱锥,
所以 ,且 ,即四边形 是平行四边形。
对于 ,因为 ,所以 与 不平行,故 错误;
对于 ,因为 平面
平面 ,所以 平面 ,故 B 正确;
对于 ,因为 是 中点,
所以 ,又因为 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,连接 交于点 ,连接 ,
因为四棱锥 是正四棱锥，所以 平面 ,因为 平面 , 所以 ,
则由 平面 , 平面 ,可证得 平面 ,又因为 , 所以 与 为异面直线,如果 平面 ,则 ,与题意矛盾,故 错误. 故选 BC.
10. ACD 由条件知, .
对选项 A，因为
,当且仅当 时
取“=”,所以 的最大值为 4, 正确;
对选项B，因为 ，由 知，
当 时， 有最小值 4，B 错误；
对选项 C，令 ， ，由条件知
,所以 时， 有最小值 6 ，
所以 有最小值 ,
所以 C 正确;
对选项
,因为 时,
有最小值 25,所以 的最小值为 8 , 所以 D 正确.
故选ACD.
11. ACD显然 . 故 正确.
又授摭4次连续出现三次正面向上的情况只有: 正正正正。正正正反。反正正正。故 . 故B错误.
如果第 次出现反面,那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的. 所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ;
如果第 次出现正面,第 次出现反面,那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是 ;
如果第 次出现正面,第 次出现正面,第 次出现反面,那么前 次不出现连续三次正面和前 次不出现三次正面是相同的, 所以这个时候不出现连实三次正面的概率是 .
综上, , .
从而 ,从而有 , 所以 时, 单调递减.
又 ,所以 时,数列 单调递减，且有下界 的极限存在记为 .
对 两边同取极限,可得 ,故 ,从而 正确. 故选ACD.
12. ,所以切点为 .
,在 处的斜率 ,所以切线方程为 . 因为切线过原点, 所以把 代入得, 即 . 故答案为 .
13. 设圆锥轴截面等边三角形边长为 。 则其内切圆半径即为内切球半径， . 球的表面积 . 圆锥底面积为 ,侧面积为 ,从而圆锥表面积为 ,所以 . 故答案为 .
14. 由双曲线定义 .
则 .
设 .
则由余弦定理,得 ,
由正弦定理,得 ,
从而 ,利用 ,
有 .
从而 ,即 ,
解得 .
故答案为 .
15.(1)计算均值 ,
则回归系数
所以回归方程为 ,从而指数回归方程为 . 当 时, .
所以回归方程为 ,预测培养 8 小时时的菌落浓度为 ；
(2)已知残差平方和 ，设异常数据有 组,满足 ,即 .
,当异常组最多时,应有 3 组, 剩余 4 组平方和小于 0.006, 符合题意.
故异常数据 3 组，正常数据 4 组.
表示抽到的异常组数，服从超几何分布:
且 ,其概率分布为:
.
的分布列为
0 1 2
2 4 7
数学期望 .
16.(1) 由题意可知, ,且 ,
所以 ,所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)因为 ，所以设直线 的方程为
联立 得 ,
所以 ,
所以 ,左焦点 到直线 的距离 ,
所以
所以 ,即 , 解得 ,即 ,所以直线 的方程为 或 .
17.(1) 由 ,对 ,
有 ,
...
累加,得
又 ,所以 . 经验证, 时也成立,又因为 是正项数列,所以 .
(2)证明:由(1)知， ，
前 项和 .
1]为 ,
所以 .
利用放缩不等式，
于是
.
因此, ,
即 .
18.(1)在菱形 中， . 设 交于点 ,连接 .
因为 ,所以 .
因为 平面 平面 ,所以 平面 .
又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)(1)以 为 轴， 为 轴,过点 的平面 的垂线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 ,则 ,
,则 .
设 ,则 .
因为 ,所以 . ①
由(1)可知， ，
所以 ,即 . ②
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以
取 .
因为 平面 所以平面 的一个法向量为 .
因为平面 与平面 的夹角为 ,
所以
. ③
由①②③,解得 ,或 ,
,即 或 .
当 时, ,此时 ;
当 时, ,
此时 .
综上所述， 的值为 或 .
(II) 以正方形 为底面作正方体 -
(图略),不妨取 ,
则 .
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以
取 .
设直线 与平面 所成的角为 0,
则
,得 ,
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,此时可取 ,符合题意, 的最大值为 .
所以,直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
19 (1)函数 的定义域为 ,
当 时, ,函数 单调递增;
当 时, ,函数 单调递减.
故 的极大值为 ,无极小值.
(2)证明:(I) 由于
则 。
故 .
因此 ,则 .
(II) 令 ,对于 , 有 ,
当 时, ,
则 ,
此时
当 时, ,
则 ,
此时 .
于是
故当 时, .
因此 由 (I) 可知 .
则 ,取对数后可得

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