资源简介

数 学试卷
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 2026 年 1 月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续. 某数学兴趣小组通过调查, 整理出下表数据, 并进行统计学分析. 下表为某银行近年人民币一年定期存款的利率:
时间 2019年 2020 年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年
利率 % 1.50% 1.75% 1.75% 1.55% 1.85% 1.65% 1.50%
关于表中的 7 个存款利率数据, 下列结论正确的是 ( )
A. 数据的极差为 0.25% B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势
C. 七年的平均利率为 1.75% D. 利率的第 80 百分位数为 1.75%
3. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 从整数 中任取三个不同的数,则这三个数能构成公比大于 1 的等比数列的概率为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 在区间 上单调递减,则实数 的最小值为 ( )
A. B. C. D. e
6. 已知曲线 ,若直线 与曲线 有两个不同的公共点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 在棱长为 的封闭正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内放置两个球,两球相切,且每个球与正方体体的三个面均相切,若两球半径之和为 ,则棱长 的值为( ) A. B. C. D.
8. 定义复数数列 满足 ,其中 为 的共轭复数,且 ,则
A.
B. 当 时,
C.
D. 在复平面内对应的点随着 的增大,将会越来越靠近一个定点
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 函数 的图象如图所示,图中阴影部分的面积为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 函数 的最小正周期为
B.
C. 函数 图象的对称中心为
D. 方程 的解集为
11. 已知函数 有三个零点 ,则 ( )
A.
B. 若 成等比数列,则 成等比数列
C. 若 成等比数列,则存在 ,使得
D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 平面向量 满足: ,则 与 的夹角的余弦值是_____.
13. 如图,在平面直角坐标系中,已知圆 和圆 均与直线 及 轴相切,且圆 和圆 相切于点 ,则两圆的半径之和为_____.
14. 将数组 中的数填入 的方格表中,每个小方格填一个数,如果能使得每行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等,那么称 为理想数组. 下列数组中,理想数组的个数为_____.
①1,2,3,4,6,9,12,18,24； ②1,2,3,4,6,9,12,18,36；
③1,3,5,9,15,25,45,75,225； ④1,3,5,9,15,25,45,75,135.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在 中,内角 的对边分别为 . 已知 .
(1)求 的值.
(2)若 外接圆半径 ，且 ，求 的面积.
16. (15分)如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ， . 已知 分别为 的中点,平面 与棱 交于点 .
(1)求证: 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15 分) 已知函数 有两个极值点 .
(1)求实数 的取值范围.
(2)若 ，求证: .
18. (17 分) 已知曲线 .
(1)证明:曲线 是轴对称图形.
(2)若直线 与曲线 有三个不同的交点 ， ， ，且 ，求 的取值范围.
(3)当 时,判断并证明过点 的直线 与曲线 的公共点的个数.
19. (17分)给定两个函数 ， . 若 ，且 或 的概率均为 . 记 的概率为 .
(1)求 .
(2)求 .
(3)令 ,证明: .
参考答案
1. C 由不等式 ,可得 , 所以 .
又由 ,可得 或 ,
解得 或 ,
所以 或 ,
所以 ,
所以 .
故选C.
2. D由数据可知, 七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故 B 错误；
利率从小到大排列为 ,
,
则数据的极差为 ,
故 A 错误;
七年的平均利率为
故 C 错误;
因为 ,所以利率的第 80 百分位数是第 6 个数,即 ,故 D 正确.
故选D.
3. D 因为 ,且 , 所以 , 从而 . 故选 D.
4. A根据题意,从整数 中任取三个不同的数,有 种组合,而其中公比大于 1 的等比数列有 , ,共 5 种,所以 . 故选 A.
5. 由已知得 ,
因为 在区间 上单调递减，
所以 在 上恒成立,
即 ,解得 .
令 ,则 . 令 ,得 .
当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增.
又 ,
所以 的最小值为 .
故选 B.
6. 曲线 变形得 ,所以曲线 表示 轴右侧的部分椭圆 (含 轴上两点),如图所示:
联立
整理得 ,
,得 ,
所以直线 与曲线 相切时, ,
当直线 经过点 时, .
由数形结合可知,直线 与曲线 有
两个不同的公共点时, .
故选 D.
7. A 设两个球的半径分别为 和 ,
不妨设 ,则 .
由题意可知, ,
即 ,
因为 ,所以 .
故选 A.
8. B因为 ,
所以 , 所以
因为 ,
所以 ,故 正确.
因为 ,所以 ,
所以
,
故 错误。
当 时, ,
所以 ,
所以 ,
当 越来越大时, 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 .
当 时, ,
所以 ,
所以 .
当 越来越大时， 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 ,故 错误.
故选 B.
对于 ,由 ,
可知
又 成等比数列,所以 ,
即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
由 ,解得 ,
因为 ,
所以 ,即 . 又 ,
所以 ,所以存在 ,使得 ,故 选项正确.
对于 ,由 和对数平均值不等式可知, .
因为 ,所以 , .
再由 可知, 1,所以 ,故选项 正确. 故选 BCD.
12. ,解得 .
故答案为 .
13. 5 如图所示:
点 为圆 和圆 的切点, 分别为圆 、 圆 与直线 的切点,则点 必在 的角平分线上,
所以 ,所以 ,
设 ,
则圆 ,
圆 ,
所以
所以 .
因为两圆外切,所以两圆的半径之和
故答案为 5 .
14. 2 ① 不是理想数组. 因为若每行 3 个数的积都相等, 那么 9 个数的积是立方数,
但是 不是立方数, 所以①不是理想数组;
②是理想数组. 如下表所示，表中每行、每列及对角线上 3 个数的积都是 .
18 1 12
4 6 9
3 36 2
③是理想数组. 如下表所示，表中每行、每列及对角线上 3 个数的积都是 .
75 1 45
9 15 25
5 225 3
④ 不是理想数组. 因为若每行 3 个数的积都相等, 那么 9 个数的积是立方数,但是
不是立方数,所以④不是理想数组.
故答案为 2 .
15.(1) 因为 , 所以 .
由 ,
得 ,
所以
所以 .
又 ,即 ,所以 , 所以 . 由 ,解得 .
(2)由正弦定理得， ,
所以 .
由正弦定理得， ，
所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 .
16.(1) 证明: 因为 平面 ,
平面 ,所以 .
在正方形 中, ,
因为 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
又 是 的中点,所以 . 因为 平面 ,
所以 平面 ,又因为 平面 ,
所以 .
同理可得 . 又 ,
所以 平面 .
(2)由(1)知 .
因为 平面 平面 ,
所以 . 又 ,
平面 平面 .
因为 平面 ,所以 .
因为 是 的中点, ,所以 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,
所以 .
因为 平面 ,
所以 重 . 因为 平面 ,
所以 ,即 .
因为 平面 平面 ,
所以 ,即 .
又 ,则 ,
所以 .
由 , ,得 ,即 .
以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图,
则 ,
,所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则
可取 .
设平面 的法向量为 ,
则 取 .
设平面 与平面 的夹角为 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.(1) 的定义域为 ,求导得, .
因为 有两个极值点,所以 有两个正实数解 ,即 有两个正实数解,令 ,
则 ,且 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以 ,
且 时, ,
时, ,所以 与 有两个交点的条件为 ,即 . 综上可知, 的取值范围为 .
( 2 )由( 1 )知， ，且 ， ,
因为
令 ,
则 ,所以 在 上单调递减,所以 ,即 . 综上可知, .
18.(1) 证明: 将点 代入曲线方程中, 得到 ,与原曲线方程相同,说明点 及其关于 轴的对称点 均在曲线上,所以曲线 关于 轴呈轴对称图形.
(2)若 ，则 的方程为 ，与曲线 联立， 得 ,此时没有三个交点,不合题意.
若 ,由
整理得 ,
即 ,
所以 ,
所以 所以 . 设 ,
则
当且仅当 时,等号成立,
解得 或 ,
所以 的取值范围是 .
(3)若直线 的斜率为 0，则 的方程为 ，与曲线 联立，得 ，此时直线 与曲线 的图象恰好有两个公共点.
若直线 的斜率不为 0,则设直线 的方程为
.
因为 ,所以 ,
所以 . 由
整理得 .
若 ,则 ,所以 ,此时直线 1 与曲线 的图象恰好有两个公共点;
若 ,设 , ,则 , 当 时,则 ,
所以存在 ,使得 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
因为 ,
且 ,所以存在 ,
,使得 ,所以 0 在 上有两个不相等的实根。
当 时，由 (1) 中的对称性可知， 平面 上有两个不相等的实根.
综上,直线 与曲线 的公共点的个数为 2 .
19.(1) 由 ,可知 或 ,各自的概率均为 ,
则 .
再 由 ,可知 .
(2)记 .
当 时,函数 的值域分别为 , . 若令 或 ,则当 时, .
结合 ,可知对所有正整数 ,均有 . 若 ,则有下列两种情况:
(I) 若 ,此时 可取任意值;
(II) 若 ,且 ,
则 .
当 时, ,
且由 ,可知 .
第一种情况的概率为 ,第二种情况的概率为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
所以
,所以 ,
所以 ,
所以
综上所述，
(3) 由题意及(2),
得 ,
所以 .
当 为偶数时,
当 为奇数时,
当 为偶数时,
综上所述, .

展开更多......

收起↑