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数 学试卷
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1 已知复数 ,则 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
2. 已知集合 ,则满足 且 的集合 的个数为 ( )
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
3. 在 的展开式中,常数项为 ( )
A. -16 B. 16 C. -24 D. 24
4. 已知函数 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 是公差不为 0 的等差数列,则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在 中, 为边 的中点, 为线段 的中点,过点 的直线分别与直线 交于 , 两点,若 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 为双曲线 的左、右焦点, 为 上一点 (点 位于第一象限),满足 ,直线 与 的一条渐近线 平行,则 的离心率为 ( )
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数 ,对任意 ,函数 有唯一零点,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 有一组不全相同的样本数据 ,记为甲,由这组数据得到新样本数据 ,记为乙,则 ( )
A. 乙的平均数大于甲的平均数 B. 乙的方差大于甲的方差
C. 乙的极差是甲的极差的两倍 D. 乙的中位数大于甲的中位数
10. 已知函数 ,则 ( )
A. 的最小正周期为
B. 为偶函数
C. 的最大值为 1
D. 在 内有四个不同的实数解
11. 正方体 的棱长为 为正方体内 (含正方体的表面) 的动点,则下列结论正确的有 ( )
A. 若 ，则 的最小值为
B. 若 ,则点 在正方体表面形成的轨迹长度为
C. 若 ,则过点 的平面截正方体所得的截面周长的最小值为
D. 若点 分别落在四个互相平行的平面内,且每相邻平面间距离均相等,则该距离为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 是偶函数，则实数 的值为_____.
13. 设 为直线 上一动点,过点 作圆 的切线,切点分别为 , 则四边形 的面积的最小值为_____.
14. 与 二人进行“抽鬼牌”游戏,游戏开始时, 手中有 张两两不同的牌, 手上有 张牌,其中 张牌与 手中的牌相同,另一张为 “鬼牌”,与其他所有牌都不同. 游戏规则为:
(I)双方交替从对方手中随机抽取一张牌， 先从 手中抽取；
(II)若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
(II)最后剩一张牌(鬼牌)时,持有鬼牌的玩家为输家.
记 手中有 张牌, 手中有 张牌时, 获胜的概率为 ,则 的值为_____； 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图,正三棱柱 的所有棱长均为 为 的中点.
(1)求证: 平面 .
(2)点P为线段 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (15分)已知在 中，内角 的对边分别为 ，有 .
(1)若 ，求 .
(2)若 为边 上的点，且 ，求 的最小值.
17. (15分)已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，当直线倾斜角为 时, .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2) 为坐标原点,直线 分别交抛物线的准线于 两点. 证明:以线段 为直径的圆过定点.
18. (17分)已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程.
(2)若不等式 恒成立，求 的最小值.
(3)是否存在实数 ，使得只有唯一的 ，当 时， 恒成立？若存在，求 ， 的值，若不存在,请说明理由.
19.(17分)(1)已知 ，求 和 .
(2)记 .
(1)证明: 与 都是有理数.
(II) 设 ,若存在正整数数列 ,使得 ,则称数列 是优美的. 记 . . 证明: 数列 是优美的.
参考答案
1. 因为 ,所以 .
故选 D.
2. C 因为 且 ,所以 , 因此只需考虑集合 的子集个数即可, 共8个. 故选C.
3. B设 ，则 与 的展开式中常数项相同,故只需令 即可,
即常数项为 16 .
故选B.
4. 注意到 ,因此将 0 转化为 ,函数 的图象与直线 有且仅有两个交点 ,结合图象可知 .
故选 B.
5. 因为 是等差数列,所以 ,
若 ,则 .
若 ,则
所以 ,
因为 ,所以 .
综上, 是 ”的充要条件。
故选 C.
6. 因为 为边 的中点,
所以 .
因为 为线段 的中点,
所以 .
因为 ,
所以 .
因为 三点共线,所以 ,
解得
故选 D.
7. D 如图所示,
设直线 与 交于点 ,
因为 ,直线 与 平行,所以 ,所以 , .
又 ,所以 , .
因为点 在双曲线上,所以 ,所以 , 离心率 .
故选 D.
8. A 因为 , ,
所以当 时, ,当 时, ,所以 至少有一个零点.
因为函数 有唯一零点, 所以 有唯一解.
设 ,
因为 ,所以 为单调函数。
所以 恒成立,
设 ,
则 恒成立.
又 ,设 ,
所以 ,
所以 在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递增.
注意到 ，所以当 时，
0,当 时, ,
所以 在区间 上单调递减,在区间
上单调递增,
所以当 时, 取到极小值也是最小值, 即 ,所以只需 即可,解得 .
故选A.
9. 对于 ,设甲组数据的平均数为 , 则乙组数据的平均数为 ,当 时, ,故 A 错误;
对于 ,设甲组数据的方差为 ,则乙组数据的方差为 ,所以 ,故 正确;
对于 ,不妨设甲组数据的最小值和最大值分别为 ,则甲组数据的极差为 ,
乙组数据的最小值和最大值分别为 , ,所以乙组数据的极差为 ,
故 C 正确;
对于 ,由甲到乙的变化过程不改变数据的大小位置关系,不妨设甲组数据的中位数为 ,
则乙组数据的中位数为 , 当 时, ,故 错误. 故选BC.
10. ABD 如图，作出 和 的图象， 取位于下方的部分即可:
由图可知, 正确, 正确, 错误.
因为 与 的图象在 内的交点坐标为 ,而 , 结合函数 的图象特征可知函数 与 的图象在 内有四个交点,
所以 在 上有四个不同的实数解,故 正确.
故选ABD.
11. ’BCD,对于 ,点 的轨迹是正方体内以 为球心, 为半径的球面,所以 的最小值为 ,故 错误.
对于 ,点 的轨迹是以 为球心, 为半径的球面,被正方体的三个面 ,
所截得的曲线,由对称性,只需考虑面 即可. 因为 ,所以 ，所以点 . 在面 内的轨迹为以 为圆心，1为半径的 个圆，所以点 在正方体表面形成的轨迹长度为 ，故 正确。
对于 ,作出过点 的平面截正方体所得的截面,如图 1,易得 为平行四边形,利用对称性,只需考虑直线 与 相交的情形即可. 由于 为平行四边形,故只需考虑 的最小值即可,将正方体的侧面 沿 折起,使得侧面 与底面 构成一个平面. 显然,当 三点共线时, 取到最小值, 的最小值为 ,所以过点 的平面截正方体所得的截面周长的最小值为 ,故 正确.
图 1
对于 ,设过点 的平面依次为 , ,由题意可知点 与平面 的距离相等, 所以平面 经过线段 的中点 . 又点 到平面 的距离比为 ，所以平面 经过线段 的三等分点 (靠近点 ).
因此只需计算点 到平面 的距离即可.
如图 2,建立空间直角标为 ,
则 ,
图 2
所以 ,
.
设平面 的法向量为 , 则 所以 取 ,则 ,所以 , 所以 ,故 D 正确. 故选 BCD.
12. -1 因为 是偶函数，所以 是奇函数， 所以 ,所以 ,经检验, 符合题意.
故答案为 -1 .
13. 4 如图所示,由对称性得,四边形 的面积为 面积的两倍.
因为 ,所以只需求切线长 的最小值即可.
因为 ,
所以当 取到最小值时, 也取到最小值. 因为点 在直线 的距离即可, 求点 到直线 的距离即可,
所以 ,
所以 ,
所以 的最小值为 2,所以四边形 的面积的最小值为 4 .
故答案为 4 .
14. ① 若 抽中的不是 “鬼牌”,则
获胜,其概率为 ,若 抽中的是 “鬼牌”,此时
获胜的概率等价于原始状态下 获胜的概率
,所以 ,解得 .
② 当 手上有 张牌, 手上有 张牌,包含 1 张“鬼牌”时,
情形一:
第一步，若 抽中的不是 “鬼牌”，则 手上剩下 张牌, 手上剩下 张牌,包含 1 张 “鬼牌”;
第二步, 任意抽取一张,则 手上剩下 张牌, 手上剩下 张牌,包含 1 张 “鬼牌”;
此时 获胜的概率为 .
情形二:
第一步,若 抽中的是 “鬼牌”,则 手上剩下 张牌,包含1张“鬼牌”, 手上剩下 张牌.
此时 获胜等价于原始状态下 获胜的概率 .
综上, ,
所以 ,
所以 ,
所以数列 的偶数项是公差为 1 的等差数列,所以当 为偶数时, ,所以 ,
所以 .
故答案为 .
15.(1) 证明: 如图 1,在三棱柱 中,连接 ,交 于点 ,则点 为 的中点. 连接 ,因为 为 中点,所以 为 的中位线,且 .
又因为 平面 平面 , 所以 平面 .
图 1
(2)如图2，取 中点为 中点为 ，
图 2
则 两两垂直; 以 为坐标原点, ,
， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立
空间直角坐标系,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,则
取 ,得 ,
因为点 为 的中点,所以
,则 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
则
,所以直线 与平面
所成角的正弦值为 .
16.(1) 由 ，
得 ,
所以 ,
所以 ,得 .
因为 ,所以 ,所以 .
(2)如图，设 ，
所以 ,
,
.
在 中,由正弦定理得, ,
可得 .
在 中,由余弦定理可得,
即 ,
则
令 .
则 ,当且仅当 ,即 时, 等号成立,所以 的最小值为 .
17.(1)因为抛物线 的焦
点 ,所以直线 的方程为
联立 得 ,
即 ,
由根与系数关系得, ,
所以 ,所以 ,
故抛物线 的标准方程为 .
(2)证明:由(1)知，焦点 ，
准线方程为 .
设过 的直线 的方程为 ,
,联立得,
整理得, ,所以 ,
,因为直线 的方程为 ,
所以 ,
同理可得, .
以 为直径的圆的方程满足,对圆上任意一点
,均有
,由对称性
可知,该圆所过定点在 轴上,设定点为 ,
所以
所以 ,即 或 .
因此以线段 为直径的圆恒过定点 和
.
18.(1) 当 时, ,
所以 .
因为 ,所以 ,所以曲线 在 处的切线方程为 .
( 2 )由题意可知 恒成立，
设 ,
因为 ,所以 ,
解得 .
当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以 ,不等式成立, 所以 的最小值为 1 .
(3)存在,由题意可知
,令 ,可知 .
令 ,
由于 .
① 当 时， 时， ，
函数 在区间 上为减函数;
时, ,函数 在区间 上为增函数.
令 ,因此存在唯一的正数 ,使得 ,故只能 . 时, ,函数 在区间 上为减函数,
时, ,函数 在区间 上为增函数,
故此时 只有唯一值 .
② 当 时，则 ， 则函数 为增函数, , 解得 ,故 .
(1) 当 给定时,满足 的 不唯一;
(II) 当 时,满足 的 .
但 时,满足 ,且 ,
因此 时, 值也不唯一.
综上,存在实数 ,使得 只有唯一值,即 , 当 时,恒有 成立,
19.(1) ,
而
.
(2)(1)设 ，记 ，
则 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
又 ,所以 ,
解得 .
又 ,
所以 ,均为有理数.
(II) 因为 ,
所以 .
又 , 当 时,由等式 和 ,
可知 , 两边同乘 整理得 ,
所以 . 因为 为整数,
由数学归纳法可知 均为整数,
所以 恒为正整数.
因为
所以数列 是首项为 ,公比为 5 的等比数列,
所以 ,
所以
所以 ,
即
又因为
,所以 为正整数.
因此存在 ,
使得 .
综上,数列 是优美的.

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