资源简介

姓名_____ 座位号_____
(在此卷上答题无效)
数 学
(试卷满分:150 分 考试用时:120 分钟)
考生注意:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 ,则
A. ○ B. C. D.
2. 已知焦点在 轴上的椭圆 的离心率 ,则
A. 4 B. C. 2 D.
3. 已知直线 是函数 的图象的一条对称轴,则 的最小值为
A. B. C. D.
4. 函数 的图象在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
5. 已知一组样本数据 的平均数为 20,方差为 16,另一组样本数据 的平均数为 ,方差为 16,由两组数据构成的新样本数据 的平均数为 24,方差为 ,则
A. B.
C. D.
6. 已知 ,且 ,则
A. 3 B. C. D. -3
7. ”函数 在区间 上单调递增” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本). 因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少. 设时间以天为单位,工厂对某原料的消耗是连续且均匀的,每天原料需求量为 吨,每次订货费为 元，每天每吨原料贮存费为 元，当贮存量降到 0 时订货可立即送达，订货费 、贮存费 和需求量 均为已知常数. 在上述条件下,设一个订货周期为 即每 天订一次货),则每次订货量为 ,根据经济学的相关结论可知,一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为 ,所以一个订货周期的贮存费为 ,要使每天所需平均成本费用最低,则
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知复数 ,则
A. B. C. D.
10. 已知函数 的定义域为 为偶函数且 ,若 ,则 A. B. C. D.
11. 已知正四棱台 侧面与底面 夹角为 分别是 的中点,则
第 11 题图
A. 与 是异面直线
B. 平面 平面
C. 侧棱与底面的夹角正弦值为
D. 若存在球与该正四棱台每个面都相切,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 三点共线，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点，若准线 上的点 到直线 的距离为 ，则 _____.
14. 已知数列 满足 ， 是其前 项和. 若 ，则正整数 的所有可能取值的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值.
16. (15分)
如图 1，已知 的边长分别为 为 上的高.
(1)如图2，将 绕 旋转至 ，使 . 证明:平面 平面 ；
(2)如图3， 为 中点，将 绕 旋转至 ，使 . 求三棱锥 的体积.
第 16 题图
17. (15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若 恒成立，求实数 .
18. (17分)
已知双曲线 的一条渐近线过点 .
(1)求 的离心率；
(2)直线 过点 ，与以线段 为直径的圆 另交于点 ，与 交于两个不同的点 为 中点,记 倾斜角分别为 ,证明:
(i) ;
(ii) .
19. (17 分)
将坐标平面上横坐标和纵坐标都是整数的点叫作格点. 格点 按照以下规则移动: ① 最初点 在原点处; ②点 每一秒钟移动一次,若某个时刻点 在格点 处,则 1 秒钟之后点 随机移动到相邻的格点 之一处,且点 移动到其中每个格点处的概率相等.
(1)设点 ，记 ，求点 移动 2 秒钟后 的期望；
(2)求点 移动 4 秒钟后回到原点的概率；
(3)求点 移动 秒钟后落在直线 上的概率(用含 的式子表示).
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A C A B D
5.【答案】C
(方法一) 由 ,解得 ,所以
(方法二) 在新样本中, 第一组数据的权重为 0.6 , 第二组数据的权重为 0.4 , 若 ,则新样本数据的平均数小于 24 , 故 ,显然新样本数据的离散程度比前两组数据的更大,故 .
6.【答案】A
由题意得 ,
即 ,故 ,
从而 .
7.【答案】B
在区间 上单调递增,等价于 且 , 解得 .
8. 【答案】D
一个订货周期的总费用为 ,
每天所需平均成本费用为 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
二、选择题:
题号 9 10 11
答案 BC BCD ACD
10.【答案】BCD
因为 ,令 ,得 , A 错误;
又 为偶函数,所以 ,
在 ,令 ,得 , B 正确;
由 ,将 替换为 ,得 ,所以 ,从而 ,
在 ,令 ,得 , C 正确;
在 中令 ,得 ,
令 ,得 , D 正确.
11.【答案】ACD
显然 正确; 错误 (因为 与 不一定平行)
如图 1,设 平面 于 上的点 于点 ,
第 11 题解析图 1
不妨设 ，则 ，
侧面与底面所成夹角的平面角 ，
故 ,
所以 , C 正确;
对于选项 D，先将问题转化为平面几何问题:
第 11 题解析图 2
记上下底面中心分别为 ,过 且垂直于 的平面截该棱台得一等腰梯形,其一半为如图所示直角梯形,且 . 若存在球与该正四棱台每个面都相切,
不妨记该内切球球心为 ,半径为 ,
由题意知 ,
即 ,解得 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 12 13.8 14.35
13.【答案】8
由 在准线 上知 ,故 ,
而 的斜率为 -1,故 方程为 ,与抛物线方程 联立,
得 ,所以 .
(或 ,或 或几何性质求解)
14.【答案】35
因为 ,所以 ,从而 ,
又由 知, ,可得 ,
从而 .
依题意 ，考虑到 是正整数，解得 ， 故正整数 的所有可能取值是 ,共 个.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
解: (1) 在 中,由正弦定理,得
,整理得 , 3 分
由余弦定理,得 , 5 分
又 ,所以 . 7 分
(2)由(1)及余弦定理知， ， 10 分
故 ，等号成立当且仅当
即 面积的最大值为 . 13 分
16.(15 分)
解: (1) 由余弦定理得 ,
因为 为三角形内角,所以 ,
因为 ,所以 ,故 . 3 分
因为 ,所以 ,
所以 平面 , 5 分
因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,故 ,即 ,
是相交直线，所以 平面 ，
因为 平面 ,所以平面 平面 . 8 分
(2)以 所在直线分别为 轴、 轴，如图建立空间直角坐标系，
由题意可知 ， ， ， 10 分
第 16 题答案图
设 ,由 ,得
即 , 13 分
故 到平面 的距离为 ,又 ，
所以三棱锥 的体积 . 15 分
17. (15 分)
解: (1) 依题意,函数 的定义域为 ,导函数 ,
因为 ,所以 是增函数, 2 分
又 ,故当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, 4 分
即 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
而且当 时,函数取极小值,且极小值为 . 6 分
(2)因为 ，
所以由 (1) 及零点存在定理知,
,使 ,
即 , 8 分
且当 时, ,即 ,即 ,
从而 ,
当 时, ,即 ,即 ,
从而 ,
当 时, ,同理可得 ,
故当 时, 恒成立. 10 分
又 在 内单调递增,且 ,
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增, 所以函数 的极小值为 ,
若 ,则 在 上恒成立,
当 时, 不成立,不符合题意,舍去;
12 分
若 ,由零点存在定理知,
,使 ,
且当 或 时, ,当 时, ,
若 ,
则 ,当 ,不合题意,舍去;
若 ,
则 ,当 ,不合题意,舍去.
综上所述， . 15 分
18.(17分)
解: (1) 依题意, 的渐近线方程为 ,
将点 坐标 代入方程 ,解得 , 2 分故双曲线 的方程为 ,且 ,从而离心率 4 分
(2)(方法一)
当直线 斜率不存在,即 ,与双曲线 不相交,不合题意; 5 分
当直线 斜率存在,设 ,圆 ,
记 ,
由 得 ,
依题意, ,且 ,且 , 8 分
由 得 ,
解得 , 11 分
(i) ,
因为 ,所以 . 14 分
(ii) ,
故 . 17 分
(方法二)
(i) 当 的斜率均存在时,因为点 在以线段 为直径的圆 上,
所以 , 6 分
因为 在双曲线 上,故 作差得, ,
即 ,所以 . 8 分
当 的斜率不存在,即直线 的斜率为 0 时,点 重合, ,
符合题意. 9 分
(ii) 由 得 ,
依题意, ,且 ,
并解得 ,故 , 12 分
点 关于 的对称点 ,
显然, 在另一条渐近线 上,点 为 中点,
在直角 中, ,由射影定理得 ,
故 . 15 分
19.(17分)
解: (1) 记事件 为 “向右移动”,事件 为 “向左移动”,事件 为 “向上移动”,事
件 为 “向下移动”, ,
则 , 1 分
5 分
(2)记“点 移动 4 秒钟后回到原点”为事件 ，
若点 仅左移或右移,则必左移两次右移两次,共 种可能;
若点 仅上移或下移,则必上移两次下移两次,其 种可能;
若点 仅既有左右移动也有上下移动,则共 种可能;
故 . 9 分
(3)点 移动 秒钟，向右、左、上、下方向移动的次数分别为 ,则 . 将 次移动操作看作 个排成一列的小球,给其中的 个小球涂成红色, 个小球涂成黄色, 个小球涂成蓝色, 个小球涂成绿色。若点 在移动 秒钟后在直线 上, 则 ,故 . 第一步,先从 个位置中指定 个位置,共 种可能,第二步,把选中的这 个小球涂成红色或蓝色, 因为每个小球有两种颜色可供选择,故有 种可能,第三步,把剩余的 个小球涂成黄色或绿色，同理有 种可能. 又因为一种给 个小球涂色的方案对应一种满足题意的点 移动方案,所以点 移动 秒钟后在直线 上共有 种方案,
对应概率为 . 17 分
(以上解法仅供参考, 其它解法请参考评分标准酌情赋分)

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