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2025-2026 学年度第二学期 高三级数学科 5 月阶段测试试卷
一、单选题
1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的共轭复数等于( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,集合 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 或 1 D.
3. 点 在抛物线 上， 为 的焦点， 轴，过 且与 轴平行的直线与 的准线交于点 ， 的面积 2，则 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 向量 在正方形网格中的位置如图所示,若网格中每个小正方形的边长为 1,则 在 上的投影 向量为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 在 上的值域为 ，则 ( )
A. 4 B. 2
C. D.
6. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是 2,8,体积为 ,则其表面积为 ( )
A. 148 B. C. 168 D. 80
7. 平面直角坐标系 中,曲线 与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆在 轴上截得的弦长为( )
A. B. 4 C. D. 5
8. 已知 ，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 如图,四边形 是正方形, 平面 平面 ,则下列说法正确的是( )
A. 几何体的体积为 B. , 是异面直线
C.
D. 点 到平面 的距离为
10. 已知 是双曲线 上一点,且 分别是 的左、右焦点, 为坐标原点，下列说法正确的有( )
A. 的离心率为
B. 若 ,则 的面积为 1
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 过 的直线 与 交于 两点,若 为等腰直角三角形,且 ,则 的斜率为
11. 已知函数 ,则( )
A. 当 时, 是 的一个周期
B. 的图象关于直线 对称
C. 不存在整数 ,使得 的最大值为 2
D. 当 时, 在 上恰有 12 个零点
三、填空题
12. 已知函数 为偶函数，则 的值为_____.
13. 已知等比数列 ，且 ，则 的值为_____.
14. 从 1，2，…，2026 中随机取出六个不同的数 、 、 、 、 、 ，制作长、宽、高分别为 、 、 和 、 、 的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____.
四、解答题
15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人， 调查结果如下表:
男性 女性
需要 40 20
不需要 160 280
(1)在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为 ，求 的估计值；
(2)完成抽样数据列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.
参考数据:
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,且 ,其中 .
(1)求公差 及 的值；
(2)设数列 ，数列 的前 项和为 ，求 .
17. 如图， 分别为等边三角形 的边 的中点， ，将 沿 折起，使顶点 至点 的位置，此时平面 平面 ， ， 分别为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若点 在同一球面上,设该球面的球心为 .
(i) 求球 的表面积;
(ii) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,且 , 点 在 上.
(1)求 的方程.
(2)已知 是椭圆 上的点， 是 上一点，若线段 的中点都在 上， 记 .
(i) 当点 运动时,证明: 的面积是定值;
(ii) 求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， 求证: .
《2025-2026 学年度第二学期高三级数学科 5 月阶段测试试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A C A B C ABD BC
题号 11
答案 ACD
12. -1
因为 为偶函数,
故 . 化简得 .
故
.
故答案为: -1 .
13. 4
设等比数列 的公比为 ,
则由 可得 ①,
由 可得 ,即 ②,
联立①②, ,即 ,
故 .
14.
记 按由小到大排序为 按由小到大排序为 , 要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需 或 ,
它与取到哪 6 个数无关,不失一般性,不妨以取到的 6 个数为1,2,3,4,5,6为例,
平均分成两组的分法有: 种,
以下枚举 与 符合条件的情形:
与 与 与 与 与 共 5 种,所以 .
15. (1)
(2)该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关，更优的抽样方法是分层抽样
(1)抽取的样本中，男性老年人共有 200 人，需要志愿者提供帮助的有 40 人， 频率为 ,所以 的估计值是 .
(2)列联表如下:
男性 女性 合计
需要 40 20 60
不需要 160 280 440
合计 200 300 500
,所以根据小概率值 的独立性检验,
认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高， 与女性老年人有明显差异,
因此调查时先确定男女老年人的比例, 然后按照男、女两层进行分层抽样, 更优的抽样方法是分层抽样.
16. (1)
(2) -5
(1)解:(1) ，
.
.
(2)解:由(1)得， ，
.
又 的周期 当 时, ;
当 时, ; 当 时, ;
当 时, ,其中 .
在一个周期内, ,
数列 的前 20 项为 5 个完整的周期, .
17.(1)
取 的中点 ,连接 ,
因为 分别为 的中点,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 为 的中点,所以 为梯形 的中位线,则 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
(2)
取 的中点 ,连接 ,则 ,
因为平面 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 ,
以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则
(i) 易知梯形 的外接圆的圆心为 ,因为 平面 ,所以设 , 由 得, 解得 , 所以球 的半径的平方 ,故球 的表面积为 .
(ii) ,
设平面 的一个法向量为
则 ,取 ,则 ,
由( 1 )可知， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，
所以 .
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18. (1)由题意得 ， ，
因为 ,所以 ,整理得 ,
联立 ，整理得 ，即 ，
所以 ,代入 得 ,解得 ,则 ,
所以椭圆 的方程为:
(2)(i)设 在 上，
则 的中点为 在 上,
代入得 ,整理得 , 代入得 ,整理得 , 因为 在 上,则 在 上,则 ,
联立 ，整理得 ，
联立 ,整理得 ,
因此 在直线 上,
联立 ,得 ,则 ,
直线 的斜率为 ,
则 ,
点 到 的距离 ,
则 ,
因为 即 ,代入得 , 即 的面积是定值 .
(ii) 设 ,则 ,
,
故 ,
由 (i) 知 ,
结合 ,整理得 ,
其中 ,故 ,
则 .
19. (1) 解: 当 时,可得 ,可得 ,
令 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
即 单调递减;
当 时, ,所以 单调递增,
则 ,即 单调递增,
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
(2)解: 令 ，
可得 ,令 ,
则 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
所以当 时,可得 单调递增,即 单调递增, ,
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 成立,满足题意;
当 时,存在 ,使得 ,
当 时， ， 单调递减；
当 时, 单调递增,
当 时, ,不满足题意,
综上可得,实数 的取值范围为 .
(3)解:当 时， ，可得 ，
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
则 在 上单调递增,
因为 ,
所以存在唯一 ,使得 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,
又由
因为 ,可得 ,
可得 ,所以 ,
则存在唯一 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,可得 ,
在 上单调递增, ,
综上可得,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
要使得 与 的图像有三个交点,
则 ,
,则 ,
又因为 ,则 ,则 ,
所以 ,得证.

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