资源简介

南京师大附中 2025—2026 学年度第 2 学期 高二年级期中考试数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项符合题目要求.
1. 下列图中, 相关系数最大的是 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 若向量 是直线 的方向向量,向量 是平面 的法向量,则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 的展开式中含 项的系数为( )
A. 1 B. 6 C. 15 D. 20
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等 5 位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这 3 种人工智能模型展开学习调研, 要求: 每种模型至少有 1 人负责, 每人必须且只能选择 1 种模型. 若小李和小赵不能调研同一种模型, 则不同的安排方案总数为 ( )
A. 144 B. 114 C. 94 D. 78
6. 如图,在三棱柱 中, , 点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，点 在棱 上. 若 ，则线段 的长度为( )
A. B. 1 C. D. 2
7. 生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把 “复数” 和 “负数” 听混淆. 已知老师说 “复数” 时,学生理解为 “负数” 的概率为 ; 老师说 “负数” 时,学生理解为 “复数” 的概率为 . 假设在评讲试卷时，老师说 “复数” 和 “负数” 是等可能的，已知学生理解的是 “负数”，则此时老师说的是 “复数”的概率为( )
A. B. C. D.
8. 若向量 是平面 的一个法向量,且平面 经过点 ,则平面 的方程为 . 已知球 经过点 ,且与平面 相切,则球 的表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 不选或有选错的得 0 分.
9. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 (元) 和销售量 (件)之间的数据如表所示:
9 9.5 10 10.5 11
120 100 70 60 50
用最小二乘法求得经验回归方程为 ,相关系数 ,则()
A.
B. 变量 相关性较强
C. 相对于点 的残差为
D. 当 时, 的估计值为 152
10. 已知 100 只灯泡中存在 只不合格品,从中一次任取 10 只,记取出的灯泡中不合格品的个数为 ,恰含有 2 只不合格品的概率为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C. 若 ,则
D. 当 时, 取到最大值
11. 在棱长为 2 的正方体 中,点 为棱 的中点,动点 满足 ,
则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则平面 与平面 夹角的余弦值为
B. 若 ，则平面 平面
C. 若 ，则点 到直线 的距离的最小值为
D. 存在唯一有序实数对 ,使得
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量 ， ，若 在 上的投影向量是 ，则 的值为_____.
13. 圆台轴截面 是等腰梯形，若 ， ，点 在 上， ，则异面直线 和 所成角的余弦值为_____.
14. 五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽. 甲、 乙两位同学进行 “辨音” 练习, 甲随机弹奏五声音阶中的 3 个不同音符, 乙按顺序说出是哪三个音符. 由于乙是初学者, 不能正确分辨绝对音高及相差音程 (指音高间的差距), 只能正确分辨所听音符的相对音高. 已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音. 用 表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度, 在国内和国外分别选择 100 人开展抽样调查, 绘制了如图所示的等高条形图. 等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表, 其核心特点是所有条形的高度相同, 通过颜色或图案区分不同类别, 从而直观反映各组内百分比的差异.
(1)填写下面的 列联表:
乐观 不乐观 合计
国内代表
国外代表
合计
(2)判断是否有 99.5% 的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关.
附: ,
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
16. (本小题满分 15 分)
已知在 的展开式中,第 6 项系数与第 4 项系数之比为 4:1 .
(1)求 的值；
(2)若展开式的第 项是有理项，求 的取值集合；
(3)记展开式中所有奇数项的系数之和为 ，偶数项的系数之和为 ，求 .
17. (本小题满分 15 分)
甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下:每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数. 游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子，直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜. 已知甲的骰子上写着 “1、1、2、2”, 乙的骰子上写着 “0、1、2、3”, 游戏开始时, 棋子的起点均在第 0 格, 终点均设在第 4 格.
(1)记 表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求 的概率分布列及数学期望；
(2)求在甲掷 3 次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 是矩形，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)已知二面角 是 ，点 到平面 的距离为 .
① 求 ；
②在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知 个盒子排成一排,每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的 1 个黑球和 1 个白球,备用盒子中装有除颜色以外完全相同的 个黑球和 个白球. 试验规则如下: 先从备用盒子中,随机摸出一球,放入第 1 个盒子, 再从第 1 个盒子中随机摸出一球放入第 2 个盒子, 接着从第 2 个盒子中随机摸出一球放入第 3 个盒子,...,以此类推,直至从第 个盒子中随机摸出一球,第一轮试验结束.
(每月金)
(第 1 个盒子) (第 2 个盒子) (第 n 个盒子)
(1)若 ，记第一轮试验结束时装有 1 个黑球和 1 个白球的盒子的数量为 ，求 ；
(2)若 ，记从第 个盒子中摸出黑球的概率为 ，其中 ，2，…，n.
① 求 ；
②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走, 则试验结束, 否则将备用盒的黑、白球数量复原, 重复第一轮操作, 以此类推, 求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率.
南京师大附中 2025—2026 学年度第 2 学期 高二年级期中考试数学试卷
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
1. 【答案】A 2. 【答案】C 3. 【答案】B 4. 【答案】C
5. 【答案】B 6. 【答案】B 7. 【答案】D 8. 【答案】C
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 不选或有选错的得 0 分.
9. 【答案】ABD 10. 【答案】BCD 11. 【答案】BC
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 【答案】 -4 13. 【答案】 14. 【答案】 1
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答时应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
(1)
乐观 不乐观 合计
国内代表 60 40 100
国外代表 40 60 100
合计 100 100 200
(2) :假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关，
则 ,
答: 有 99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关.
16. (本小题满分 15 分)
(1) 展开式的第 项为 ,所以由题意得 ,解得 ;
(2)由(1)得展开式的第 项为 ，所以由题意得 ，解得 ，2，4，6， 8,
所以 的取值集合为 ;
(3)由(1)得 ，
所以有 ，
设 ,则 ,
所以 时有 时有 ,即 .
17. (本小题满分 15 分)
(1) 的可能取值为2,3,4,则 (注: 前 3 步都走 1,则第 4 步走什么都能结束游戏),所以 ,
2 3 4
5 8
因此 的分布列为, 的期望 ;
(2)要满足题意则乙必须两步完成游戏，且其中一步必抛到 3，另一步抛到 1 或 2 或 3 均可，设此事件为 ， 则 .
18. (本小题满分 17 分)
(1)在面 内,过点 作 的垂线,设垂足为 ，即有 ，因为 ，因为 ， 面 ， 面 面 ,面 面 ,所以 面 ,又因为 面 ,所以 ,因为四边形 是矩形,所以 ,因为 ,所以 ，因为 ， ， ， 面 ， 面 ，所以 面 ；
(2)因为 面 ， 面 ，所以 ，又因为 ，所以 是二面角 的平面角，即 ，所以可以以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,由已知得 ,设 , 则 ,且由 得 ,
①设面 的法向量为 ，则有
即有
令 ,则 ,所以 ,又 ,所以点 到平面 的距离
即 ,又因为 ,所以可解得 ,因此 ;
② 设 ，则 ，即有 ，且 ，设面 的法向量为 ,则有 即有
令 ,则 ,即 ,由已知 是面 的一个法向量,所以 解得 .
19. (本小题满分 17 分)
(1)设 是第 个盒子中有一黑一白的情况的事件，则第 1 个盒子:放入黑球后共 3 个球(2 黑 1 白) 求出 1 个球后剩余 2 个球; 若摸出黑球 (概率 ),剩余 1 黑 1 白; 若摸出白球 (概率 ),剩余 2 黑,即 ,所以 ;
第 2 个盒子:放入的球来自第 1 个盒子(黑概率 ，白概率 )，剩余 1 黑 1 白的条件是放入的球与摸出的球同色: 放入黑球时,盒子变为 2 黑 1 白,摸出黑球的概率为 ; 放入白球时,盒子变为 1 黑 2 白,摸出白球的概率为 ,即 ,所以 ,
因此 ;
(2)①由已知得 ，即 ，所以有 ,解得 ;
②分析:每一轮操作中，每个盒子最终成为一黑一白的概率为 ，因此经过三轮后仍是一黑一白的概率为 ,即可以理解为三轮后剩余盒子数服从二项分布 ,故只剩一个盒子的概率为

展开更多......

收起↑