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2025-2026学年北京市东城区景山学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.设z=1+i,则z2-i=（　　）
A. i B. -i C. 1 D. -1
2.已知向量，满足+=（2，3），-=（-2，1），则||2-||2=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点P到x轴的距离为，则cos2α的值为（　　）
A. B. C. D.
4.复数z满足（1+i）z=-i,则=（　　）
A. B. C. D.
5.已知平面α，β和直线m，且m α，则“α∥β”是“m∥β”的（　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则＜，＞=( )

A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
7.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A. B.
C. D.
8.在三角形ABC中，a=2，，，则A=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
9.已知，且，，则cos（α+β）=（　　）
A. B. C. D.
10.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则 的取值范围是（　　）
A. [-5，3] B. [-3，5] C. [-6，4] D. [-4，6]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，，，则y= ；= .
12.求值：sin65°cos20°+cos115°sin20°= .
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为V1，V2（V1≤V2）的两部分，则= .
14.已知函数，若ω=1，则= ；若f（x）在区间上至少有3个零点，则ω的一个取值可以为 .
15.已知△ABC中，，bcosC+ccosB=2，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，给出下列四个结论：
①若，则；
②若在方向上的投影向量为，则的最小值为；
③若，则的最大值为；
④若，则为定值18.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知函数.
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最大值和最小值.
17.(本小题14分)
如图，已知△ABC中，AB=3，AC=3，∠ACB=，点D是边BC上一点，且∠CAD=.
（1）求AD的长；
（2）求△ABD的面积.
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：F为PD的中点；
19.(本小题14分)
在△ABC中，2bsinC=，cosB=-，∠A的平分线与BC交于点D.
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定.求AD的长.
条件①：BC边上的高为；
条件②：△ABC的面积为；
条件③：△ABC的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且
（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）求证：D1G∥平面DBFE；
（3）棱A1B1上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21.(本小题15分)
已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x+T）=Tf（x）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）具有性质P.
（1）判断函数f（x）=x,g（x）=sinπx是否具有性质P；
（2）若函数f（x）具有性质P，且f（x）是偶函数，求证：f（x）是周期函数；
（3）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）具有性质P，且T＞0，求ω的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】6
．

12.【答案】．
13.【答案】
14.【答案】2
6（答案不唯一）

15.【答案】①③④
16.【答案】最小正周期π，单调递增区间为 最大值为2，最小值为
17.【答案】6； ．
18.【答案】证明：（1）如图所示：
连接AC交BD于点G，连接GE，
因为ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，
又E为PC的中点，
所以GE∥PA，
又PA 平面BDE，GE 平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
（2）因为底面ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD，
又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，
所以CD∥平面ABEF，
又平面ABEF∩平面PDC=EF，，
所以CD∥EF，
又因为E为PC的中点，
所以F为PD的中点．
19.【答案】 选条件①时无解；选条件②和条件③时
20.【答案】证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接D1B1，因为点E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，所以EF∥D1B1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1=BB1，
所以四边形DBB1D1为平行四边形，
所以DB∥B1D1，
所以EF∥BD，
所以D，B，F，E四点共面 证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接D1C、GC分别交DE、DB于点H、O，连接HO，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1E∥DC且，
所以△HED1∽△HDC，则，
同理可得，
所以，所以HO∥D1G，
又HO 平面DBFE，D1G 平面DBFE，
所以D1G∥平面DBFE 存在，
21.【答案】函数f（x）=x不具有性质P，g（x）=sinπx具有性质P 证明：因为函数f（x）具有性质P，
所以存在常数T≠0，使得f（x+T）=Tf（x）对任意的x∈R成立，
所以f（-x+T）=Tf（-x），
因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），则Tf（-x）=Tf（x），
则f（-x+T）=f（x+T），
因为f（x）是偶函数，所以f（-x+T）=f（x-T），则f（x+T）=f（x-T），
则f（x）=f（x+2T），
因为T≠0，所以f（x）是周期为2T的周期函数 2π
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