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2025-2026学年北京市顺义区牛栏山第一中学创新班高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合A={（x,y）|y=x}，B={（x,y）|y=}，则A∩B=（　　）
A. {（0，0）} B. {（1，1）}
C. {（0，0），（1，1）} D.
2.函数f（x）=x3-2x-3的零点所在的区间是（　　）
A. （-1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）
3.若函数f（x）=ax2+x-1在区间（-∞，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
4.已知，则cosα-sinα的值为（　　）
A. B. C. D.
5.若角α=30，则α的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H（单位：比特）的计算公式为，其中m为密码长度.根据密码熵估计表，当m1=8时，H1=52.4比特.若某用户将密码长度从m2=6增加到m3=12，则密码熵的增加量约为（　　）
A. 26.2比特 B. 39.3比特 C. 52.4比特 D. 69.9比特
7.函数f（x）=9x-3x（　　）
A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值
C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值
8.设a=log0.40.2，b=log20.2，则（　　）
A. a+b＜0＜ab B. ab＜0＜a+b C. a+b＜ab＜0 D. ab＜a+b＜0
9.已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y=lnx的图象上的两个不同的点，则（　　）
A. B. C. D.
10.设y=f（x）和y=g（x）是两个不同的函数，且定义域和值域均为R，设M={（a,b）|f（a）＞g（b），a、b∈R}，则对于以下两个结论，说法正确的是（　　）
结论①：若当（a,b）∈M，恒有（-a,b）∈M，则函数y=f（x）一定是偶函数；
结论②：若当（a,b）∈M，恒有（-a,-b）∈M，则函数y=g（x）可以不是偶函数.
A. ①和②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②都错误
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.函数f（x）=的定义域为______．
12.若lga,lgb是方程x2-4x+2=0的两个根，则= .
13.已知函数，方程f（x）=m有四个不等的实数解，分别为x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则m的取值范围是 ；的取值范围是 .
14.波恩哈德 黎曼（1826-1866）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为[0，1]，其解析式为，下列关于黎曼函数的说法正确的是 .
①L（x）=L（1-x）；
②关于x的不等式的解集为；
③L（a+b）≥L（a）+L（b）；
④L（a）L（b）≤L（ab）.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
16.(本小题13分)
已知.
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f（x）≥0.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明；
（2）若对任意实数x,都有，求实数a的取值范围；
（3）设函数，直接写出函数g（x）的所有零点之和.（结论不要求证明）
18.(本小题15分)
设函数.
（1）若函数f（x）的定义域为R，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为R，且对任意的x1，x2∈[2，3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤3，求实数m的取值范围.
19.(本小题15分)
已知函数f（x）=logax（a＞0，且a≠1）.
（Ⅰ）当0＜a＜1时，若f（2a2）＜1，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=3时，令，x∈[1，3m]，求函数G（x）的最大值；
（Ⅲ）当t＞0时，令H（x）=f[t（3x-3-x）]-2f（3x+3-x），若函数H（x）的图象恒在x轴下方，求t的取值范围.
20.(本小题15分)
对任意正整数n,定义集合An={（x1，x2，x3，x4）|-n≤xi≤n,xi∈Z，i=1，2，3，4}.设α=（a1，a2，a3，a4），β=（b1，b2，b3，b4）∈An定义：α-β=（a1-b1，a2-b2，a3-b3，a4-b4），α β=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.
（1）（-1，2，0，1）_____A2（填“∈”或“ ”）；A1_____A2（填“ ”或“ ”）；
（2）设r,s∈N*，α∈Ar，β∈As，证明：α-β∈Ar+s；
（3）设α=（2，0，2，5），β=（5，2，0，2），λ∈A2，α λ=β λ=0，求λ；
（4）证明：对任意α，β∈A1，存在λ∈A4，满足：α λ=β λ=0，且λ λ≠0.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】（0，2]
12.【答案】8．
13.【答案】（1，2）
．

14.【答案】①④．
15.【答案】 2
16.【答案】f（x）为奇函数，理由如下：
函数的定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
，故函数是奇函数 { x|x≥1或-1≤x＜0}
17.【答案】f（x）单调递减；证明：任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，
则，
易知y=2x在R上单调递增，故当x2＞x1时，，故，
又因为，故，
因此，即f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），又因为x1＜x2，
故f（x）在x∈R上单调递减 0
18.【答案】（1，+∞） [-，1]
19.【答案】 G（x）max= （0，4）
20.【答案】∈； ．
证明见解析．
λ=（0，0，0，0）．
证明见解析．
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