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2025-2026学年甘肃省白银市靖远县第一中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如果函数f（x）在x=1处的导数为2，则=（　　）
A. 2 B. 1 C. D. 4
2.已知点M（2，1，-3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则点M关于Ozx平面对称的点的坐标为（　　）
A. （2，-1，-3） B. （-2，-1，-3） C. （-2，1，3） D. （2，1，3）
3.直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l∥平面α，则x=（　　）
A. -5 B. 5 C. -1 D. 1
4.下列求导运算正确的是（　　）
A. （sinx）′=-cosx B.
C. （ax）′=xax-1 D.
5.已知函数f（x）=alnx+ax2的图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x-y-5=0平行，则a=（　　）
A. -1 B. C. 1 D.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵ABC-A1B1C1，中，M是A1C1的中点，G是MB的中点，若，则x+y+z=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
8.已知，则（　　）
A. c＞b＞a B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. a＞b＞c
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A. B.
C. D.
10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1和BB1的中点，则以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（　　）
A. EF∥平面ABCD
B. D1E⊥CF
C. 是平面EFD1的一个法向量
D. 点C到平面EFD1的距离为
11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）.则下列结论正确的是（　　）
A. 当x＜0时，f（x）=ex（x+1）
B. 函数f（x）有五个零点
C. 若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）≤m≤f（2）
D. 对 x1，x2∈R，|f（x2）-f（x1）|＜2恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=2ex+ax在x=0处取得极值，则a的值为 .
13.已知m∈R，向量，若，则= .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，E是AD的中点，点P满足，当A1P∥平面D1CE时，λ的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=-xlnx+2x+1.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
（2）求函数f（x）在[1，e2]上的最小值.
16.(本小题15分)
如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D是AB的中点，E在CD上，且，记，，.
（1）用向量，，表示向量；
（2）求OE的长.
17.(本小题15分)
已知四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一点，PE⊥AD.
（1）若F是PE中点，证明：BF∥平面PCD.
（2）若AB⊥平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数，在x=1和取得极值.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若关于x的方程f（x）=C（C∈R）在区间[0，2]上有唯一实数根.求实数C的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.
（1）当a=-1时，比较f（1）与的大小；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＜0时，证明.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】-2．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；极大值为e+1，无极小值．
1．
16.【答案】解：（1）连接OD，如图所示：
则；
（2）由（1）得=，
因为四面体OABC各棱的棱长都是1，
所以===1×1×cos60°=，
所以||2=（）2=（+2+8+8）=（1+1+16）=，
所以．
17.【答案】解：（1）证明：取PD的中点为S，连接SF，SC，则SF∥ED，，
而ED∥BC，ED=2BC，故SF∥BC，SF=BC，
故四边形SFBC为平行四边形，
故BF∥SC，而BF 平面PCD，SC 平面PCD，
所以BF∥平面PCD．
（2）因为ED=2，故AE=1，故AE∥BC，AE=BC，
故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB，所以CE⊥平面PAD，
而PE，ED 平面PAD，故CE⊥PE，CE⊥ED，而PE⊥ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
则，
设平面PAB的法向量为，
则，则，
可得，
取，
设平面PCD的法向量为，
则，即，
可得，
取，
故，
故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．
18.【答案】，b=1 f（x）的单调递增区间为和（1，+∞），单调递减区间为，
f（x）的极大值为，极小值为
19.【答案】 a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 由（2）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，
最大值为，
所以，等价于，
即，
设g（x）=lnx-x+1，则，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0，
所以当x＞0时，g（x）≤0，
从而当a＜0时，，
即
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