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2025-2026学年河北省沧州市肃宁县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点A（1，0），B（0，2），C（3，2），则在上的投影向量的坐标为（　　）
A. B. C. D.
2.已知平面向量和满足||=2||=2，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（　　）
A. -1 B. C. D. -
3.复数z=3-6i（i为虚数单位）的虚部为（　　）
A. -6 B. 6 C. 3 D. -6i
4.如图，利用斜二测画法画出的四边形ABCD的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=6，C′D′=3，则四边形ABCD的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.m,n为空间两条不重合直线，α为空间平面，下列命题正确的是（　　）
A. m⊥α，n⊥m,则n∥α
B. m,n与α所成角均为90°，则m∥n
C. m∥α，n∥α，m∥n,则直线m,n到α的距离相等
D. m∥α，n∥α，则m∥n
6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若a=1，A=135°，则的值为（　　）
A. B. C. D.
7.已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A. z的虚部为4 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C. z的共轭复数 D.
8.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且sin2A+sin2B-sin2C=sinA sinB，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是纯虚数，则（　　）
A. b=0 B. bc＞0 C. ac＜0 D. ac＞0
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（　　）
A. 圆柱的侧面积为2πR2 B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）.
A. 若，则点M是△ABC的重心
B. 若，则点M在线段BC的延长线上
C. 若，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的
D. 已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′=6，B′O′=2，则△OAB的面积是______.
13.已知i是虚数单位，若复数z满足zi2019=1+i，则||=______．
14.在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线 ，那么BC= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=60°，BC=1，AD=CD=2，∠DCB=120°．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求∠ABD的正弦值．
16.(本小题15分)
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
17.(本小题15分)
（1）设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件：2＜|z|＜3的点Z的集合的图形面积；
（2）已知复数（m∈R），z2=x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+z2=0，求λ的范围.
18.(本小题17分)
《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥底面ABCD，，PA=AD=1，E，F分别为AB，PC的中点.
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：EF⊥平面PCD；
（Ⅲ）求直线BF与平面ABCD所成角的大小.
19.(本小题17分)
如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O.
（Ⅰ）若，求实数x,y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】CD
11.【答案】ACD
12.【答案】12
13.【答案】
14.【答案】9
15.【答案】解：（Ⅰ）在△BCD中，由余弦定理可知，BD2=BC2+CD2-2BC CDcos∠BCD==7，
∴．
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，即，
∴．
16.【答案】证明：（1）E，F分别是AC，B1C的中点．
所以EF∥AB1，因为EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1；
（2）因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以B1C⊥AB，
又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC 平面AB1C，B1C 平面AB1C，
所以AB⊥平面AB1C，
因为AB 平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1．
17.【答案】解：（1）由复数的几何意义知：所表示的图形为圆环，面积为π 32-π 22=5π；
（2）∵（m∈R），z2=x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+z2=0，
∴x+m+（λ+2x+4-m2）i=0，
∴m=-x,λ+2x+4-m2=0，
∴λ=x2-2x-4=（x-1）2-5，
当x=1时，λ有最小值为-5，
故λ范围为[-5，+∞）．
18.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取PD的中点M，连接AM，MF，
因为M、F分别为PD、PC的中点，
所以MF∥DC，且，
又因为AE∥DC，且，
所以MF∥AE，且MF=AE，
所以四边形AMFE为平行四边形，
所以EF∥AM，
因为AM 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
（Ⅱ）因为AD=PA，所以AM⊥PD，
因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA，AD 平面PAD，且PA∩AD=A，
所以CD⊥平面 PAD，
所以CD⊥AM，
又因为PD∩CD=D，PD，CD 平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，
由EF∥AM，
所以EF⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：连接AC，BD交于点O，连接OF，
因为点O，F分别为AC，PC的中点，
所以OF∥PA，
所以OF⊥平面ABCD，
所以BO为BF在平面ABCD中的射影，
所以∠FBO为BF与平面ABCD 所成角，
由已知得，，
所以，
所以．
19.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由题意可知：，
，
又因为G，O，C三点共线，所以存在实数k使得，
即，
所以，解得，
所以；
（Ⅲ）易知，
由（Ⅱ）知，
又因为E，O，F三点共线，
所以，又λ＞0，μ＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+μ的最小值为．
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