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北京市第四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若离散型随机变量X的分布列如下所示，则a的值为（　　）
X 1 2
P 4a-1 3a
A. B. C. D.
2.函数的导函数（ ）
A. B. C. D.
3.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4.抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件A：红色骰子的点数大于3；事件B：两枚骰子的点数之和等于7，则P（B|A）的值等于（　　）
A. B. C. D.
5.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（）
A. B. C. D.
6.某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（　　）
A. 0.62 B. 0.84 C. 0.92 D. 0.98
7.已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
9.在函数f(x)＝ax-2的图象上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y＝x的对称点A′，B′在函数g(x)＝ex的图象上，则实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞，e) B. C. (0，e) D. (0，e2)
10.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（　　）
　工作
效益
机器 一 二 三 四 五
甲 15 17 14 17 15
乙 22 23 21 20 20
丙 9 13 14 12 10
丁 7 9 11 9 11
戊 13 15 14 15 11
A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作
C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
12.在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为X，则E（X）= ，D（X）= .
14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
15.设函数f（x）=（x2-3）ex，则
①f（x）有极大值，但无最大值；
②f（x）有极小值，但无最小值；
③若方程f（x）=b有三个不等实根，则；
④ n∈{0，1，2，3，4，5}， b∈R，函数y=|f（x）|的图象与直线y=b恰有n个公共点.
其中正确结论的编号为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
17.(本小题12分)
某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图.
(1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率；
(2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望.
18.(本小题12分)
某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，.
(1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率；
(2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列；
(3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由.
19.(本小题12分)
已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
20.(本小题14分)
已知函数，.
(1)若1是的极值点，求实数的值；
(2)若，求证：；
(3)已知函数在上无零点，求的取值范围.
21.(本小题15分)
已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足：
①；
②，；
③，；
则称集合组，，，具有性质.
(1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论.
集合组，，，；
集合组，，，.
(2)若集合组，，，具有性质.
（i）求证：.
（ii）求的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2.25
0.5625．

14.【答案】
15.【答案】①③④．
16.【答案】解：（1）函数的定义域为，且，
，且，
所以所求切线方程为，即.
（2）令，有，.
当变化时，，变化如下
1 3
+ 0 - 0 +
↗ 3 ↘ ↗ 19
所以函数在单调递减，在，上单调递增，
而，，
所以，.

17.【答案】解：（1）样本中，重量超过505克的频率为，
于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为.
设恰有2件产品重量超过505克为事件，.
（2）样本中重量位于的产品共有件，
其中重量低于495克的有3件.
所以的可能取值有0，1，2.
，，
的分布列为
0 1 2
的期望为.

18.【答案】解：（1）设，项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件，
则，，.
所以；
（2）的可能取值有0，1，2.
项目失败的概率为，项目成功的概率为，
项目失败的概率为，项目成功的概率为，
则，
，
.
所以的分布列为
0 1 2
（3）记为项目的收益，则的可能取值有220，.
，，
所以（万元）
记为项目的收益，则的可能取值有300，.
，，
所以（万元）
因为，所以项目期望收益更大，应该选择项目进行投资.

19.【答案】解：（1）因为，
令，得，
由已知，
又，，
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，由题知直线存在斜率设为，
则，
于是，
消得
则，得，
于是，
令，则，
设，则，.
，
所以，得.
所以存在点满足题意.

20.【答案】解：（1）函数的定义域为，，
因为1是的极值点，所以，即，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，符合题意，所以.
（2）当时，，记.
，令，有，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
从而，所以，即.
（3）因为，，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意；
当时，令，则，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
的最小值为，
当，即时，无零点，符合题意；
当时，有一个零点，不符合题意；
当时，，的最小值，
因为，
所以，使得，不符合题意；
综上，.

21.【答案】解：（1）因为，
，，
所以集合组1具有性质；
因为，所以集合组2不具有性质.
（2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素，
不妨设，由于，，，
故，.
因此，，矛盾.
故.
（ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，，
则，，，的所有三元子集共有个.
（若存在则）
由，知，，，无相同的三元子集.
由共有个不同的三元子集，知.
若存在，，则，对任意，
由 得，于是，矛盾，故所有.
若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5，
则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾.
若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5，
则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾.
若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾.
综上，又，故.
当时，令，，，，
，，即可.
综上.

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