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北京市景山学校远洋分校2025-2026学年高二年级下学期期中测试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.下列求导运算不正确的是（）
A. B.
C. D.
2.已知等差数列{an}，a1=2，a3=5，则公差d等于（　　）
A. B. C. 3 D. -3
3.若函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知等比数列中，，，则 等于( )
A. B. 4 C. D. 不确定
5.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知是等差数列，且，则数列前12项和（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
7.设f'(x)是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
8.设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知数列满足，则（ ）
A. 当时，存在使得
B. 当时，存在使得
C. 当时，存在正整数，当时，
D. 当时，存在正整数；当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设函数，则函数的定义域为 .
12.已知数列的前n项和，则其通项公式 ．
13.若数列满足，且对于任意的都有，则 .
14.设函数
①若，则的零点个数为 ；
②若有且仅有两个零点，则实数的范围是 .
15.已知函数.给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，对任意非零实数，；
④当时，存在，，使得对任意，都有.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数在处取得极值.
(1)求，的值；
(2)求曲线过点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
17.(本小题12分)
已知等差数列前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
18.(本小题12分)
已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
19.(本小题12分)
已知数列的前项和为，且.
(1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
20.(本小题14分)
已知函数，其中，为自然对数的底数.
(1)若函数在处的切线与平行，
①求的值；
②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点.
(2)设函数在区间上存在极值，求证：.
21.(本小题15分)
设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，定义.
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】253
14.【答案】1 ；
15.【答案】②④
16.【答案】解：（1）因为函数，所以，
又因为函数在处取得极值-14，
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故，
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线过点处的切线方程为，
也即，
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
-3 -2 2 3
- 0 + 0 -
-7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当时，函数有极小值，
当时，函数有极大值，
因为，
故函数在上的最小值为，最大值为.

17.【答案】解：（1）设等差首项和公差分别为，
由得，
所以；
（2）设等比首项和公差分别为，
若选①②，由得；
由得，
所以公比为，故，
故，
故；
若选②③，
由可知公比不为1，所以，
由得，
所以，
故，
故；
若选①③，由可知公比不为1，所以，
由得；
所以，
故，
故.

18.【答案】解：（1）因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，单调递增区间为，无递减区间；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增，
所以，，
因为，令得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，,
令，，,
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以 ，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于，
即的值为.

19.【答案】解：（1）由题意，当时，，解得，
当时，由①，可得②，
①-②，可得，即，
两边同时加6，可得，
，，即.
数列是以2为首项，为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为，
（2）由（1）知，，则，
，
，
两式相减，得，
，
.

20.【答案】（1）①的定义域为，
，
因为函数在处的切线与平行，
所以，得；
②由①得，，
令，
因为，所以在单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使，即，
当时，，即，在单调递增；
当时，，即，在单调递减，
又（当且仅当，即时等号成立），
即，因为，，
由零点存在性定理知在和分别有一个零点，
综上，函数在定义域上恰有两个不同的零点；
（2）依题意，，
则，
当时，，在单调递增，不合题意；
当时，令，，则，
所以在单调递增，
因为，要使得在上存在极值，
则须满足，即，
所以，，即.
设，则，
令，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，
即当时，，
所以，.
所以，
即，
所以.

21.【答案】解：（1）由题意可得，，
，
（2）由题意，在数列中，
若为奇数，则.所以.
若为偶数，则当时，
.所以.
所以.
（3）在
若为有限集，设其最大元素为（若为空集，取），
则当时，存在满足.
令，
则.所以；
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记（若中没有正数项，取，则，
令，则
所以，
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.

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