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北京市某重点校2025-2026学年高二年级下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.设函数的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（ ）
A. B. 2 C. D.
6.如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（）
A. 3两5铢 B. 3两15铢 C. 4两5铢 D. 4两15铢
7.已知m>0,n>0,直线y=x+2n与曲线y=3x-m+4相切,则+的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知A、B是圆O:+=4上两个动点, 点P的坐标为(2,1),若PAPB,则线段AB长度的最大值为( )
A. 3+ B. 2+ C. 3 D. +
10.对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（ ）
A. 若，则数列不具有性质
B. 若，则数列具有性质
C. 存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质
D. 若数列和均具有性质，则具有性质
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
11.已知函数，则 ．
12.在长方形中，，，且，则 ， ．
13.已知双曲线C：-y2=1（m＞0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 .
14.已知函数．若在区间上的最大值为，则 ．
15.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为 ．
16.设函数，
①若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ；
②若是上的增函数，则实数的取值范围是 ．
17.如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论：
①若，则点的轨迹的长度为；
②若，则点的轨迹的长度为；
③若，则的最小值为；
④若，则的最小值为.
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
已知无穷等比数列的前项和为.
(1)求的值；
(2)设，求数列的前项和.
19.(本小题10分)
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长．
20.(本小题10分)
已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
21.(本小题10分)
在中，.
(1)求；
(2)若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：设CD为AB边上的高，.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
22.(本小题10分)
已知函数．
(1)当时，求证：直线是曲线的切线
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)直接写出函数的零点个数
23.(本小题15分)
设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，．
(1)写出所有满足条件的数列和，使得数列；
(2)若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值；
(3)若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】 ； ； ； ； ； ；
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】-1（ ； ； 内的值都可以） ； ； 或 ；
17.【答案】①②③
18.【答案】解：（1）当时，，
因为是等比数列，所以，
又因为，所以.
（2）由（1）知，
因为，且，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列，

19.【答案】解：（1）因为底面是菱形，所以是中点，
因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）
因为，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又，所以两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为菱形的边长为2，，所以，，
所以，，
设，所以，，
设为平面的一个法向量，
由，得，所以，
取，，，所以，
因为，，，平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，所以，
所以，所以，因为，所以．
所以线段OP的长为．

20.【答案】解：（1）因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，单调递增区间为，无递减区间；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增，
所以，，
因为，令得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，,
令，，,
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以 ，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于，
即的值为.

21.【答案】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，解得，又，
所以.
（2）选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减，
则，，与矛盾，因此不存在.
选择条件②：，由（1）及余弦定理，，
得，解得，，经检验存在且唯一确定，
所以的面积.
选择条件③：CD为AB边上的高，且，则，
由（1）及余弦定理，，
得，解得，，经检验存在且唯一确定，
所以的面积.

22.【答案】解：（1）的定义域为，，
因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
所以直线是曲线的切线．
（2）令，，
因为且，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以在区间的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗
所以当时，取得极小值，问题得证．
（3）函数的定义域为，，
显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，
令，，则，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
即有，函数在，上都单调递减，
令，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，恒有，当且仅当时，等号成立，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，取值集合为，
在上单调递减，取值集合为，
于是得当且时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点．

23.【答案】解：（1）显然，因为，
根据，，则，，，
从而满足条件的答案有4组，分别为：
；；
；.
（2）记等差数列的公差为，
由，
得，则.
由，得.
因为，且和均为各项互不相等的2024项数列，
所以，
所以，即.
所以公差.
不妨设公差，则，
而只能由1和2024得到，去除两端的数后只能由2和2023得到
以此类推，于是总为定值2025.
（3）由题意，数列中有个不同的整数，则，当且仅当数列为个连续整数时取等号，
当为偶数时，若存在数列，使得，则.
由为偶数，知为奇数，则不可能为0.
这与矛盾，
所以当为偶数时，.
当为偶数时，如果数列；
数列；
那么数列，此时满足.
当为奇数时，如果数列；
数列；
那么数列，此时.
综上，当为偶数时，最小值为；当为奇数时，最小值为.

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