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北京市通州区潞河中学于家务校区2025-2026学年高二第二学期期中阶段性学习反馈数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（）
A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种
2.已知函数，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.计算：（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4.3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（）
A. B. C. 24 D. 12
5.随机变量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.3 0.1
则（ ）
A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
6.下列求导结果正确的是（）
A. B.
C. D.
7.若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
8.已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. 4 B. 16 C. 1 D. 81
9.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（）
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为
12.在的二项展开式中，含项的系数是 .
13.已知，则 .
14.在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
15.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.
(1)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法
17.(本小题12分)
已知，.
(1)求的值；
(2)求的值；
18.(本小题12分)
已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)求在上的最大值和最小值.
19.(本小题12分)
已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球.
(1)在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率；
(2)设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望.
20.(本小题14分)
已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax+-(2a+1)x,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当0< a<时,判断函数f(x)零点的个数.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】4
12.【答案】15
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）从10名志愿者中，选出3人共有种，
其中全部为男生有种，全部为女生有种，
则选出的三人中既有男生又有女生，共有种选择方法.
（2）选出的3名志愿者中有2男1女，共有种，将其进行分配共有种，
故共有种不同的选派方法.

17.【答案】解：（1）因为 ， ，
令 得， .
（2）因为 ， ，
令 得， ，
令 得， ，
上述两个等式相减得 ，
故 .

18.【答案】解：（1）函数定义域为，对求导：，令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此在处取极大值；在处取极小值.
因此的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为.
（2）闭区间连续函数的最值只需要比较极值点和端点的函数值.
由于，，，
，
因此在上的最大值为，最小值为.

19.【答案】解：（1）设事件为“第1次摸出红球”，事件为“第2次摸出红球”.
第1次摸出红球后，袋中剩余2个红球、2个黄球，共4个球，
因此第2次摸出红球的概率为：.
（2）X为摸出红球的个数，所有可能取值为，从5个球中摸2个，总组合数为，分别计算概率：
；
；
.
的分布列为：
0 1 2
数学期望.

20.【答案】解：（1），
由得曲线在点处的切线方程为；
（2）由得或；得；
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.

21.【答案】(1)f'(x)=+2x-(2a+1)=(x>0),|
令f'(x)-0得x=,=a,
当a=时,f'(x)0,则函数f(x)在(0,+)上单调递增,
当0< a<时,0< x< a或x>时,>0,
a< x<时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a),(,+)上单调递增,在(a,)上单调递减,
当a>时,0< x<或x>a时,>0,< x< a时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在(0,),(a,+)上单调递增,在(,a)上单调递减.
综上所述,当a=时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间;
当0< a<时, 函数f(x)的单调递增区间为(0,a),(,+),单调递减区间为(a,);
当a>时,函数f(x)的单调递增区间为在(0,),(a,+),单调递减区间为(,a).
(2)当0< a<时,函数f(x)仅有一个零点的个数,理由如下,
由(1)得当a∈(0,)时,函数f(x)在(0,a),(,+)单调递增,在(a,)单调递减;
则函数f(x)的极大值为f(a)=alna+-(2a+1)a-a(lna-a-1),
且极小值为f()< f(a),令g(x)=lnx-x-1,x(0,),
则g'(x)=-1=>0,x(0,),
所以g(x)在x(0,)上单调递增,
所以g(x)< g()=1n2-<0,
所以当a∈(0,)时,f(a)=a(a-a-1)<0,
f()=+-(2a+1)-(-1)(-2a),
因为a(0,),所以2a∈(0,1),-1>0,-2a>0,可得f()>0,
如下图,作出函数f(x)的大致图象,
由图象可得当0< a<时,函数f(x)仅有一个零点的个数.
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