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2025-2026学年广东省广州市番禺区恒润实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞5 B. x≥5 C. x≤5 D. x≠5
2.下列式子中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
3.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13
4.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A. ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB B. AB∥DC，AB=DC
C. AB∥DC，AD∥BC D. AC=BD
6.下列说法中，错误的是（　　）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
7.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支铅笔长为18cm,设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x,则x的取值范围是（　　）
A. 2cm＜x≤5cm B. 3cm≤x≤6cm C. 4cm＜x≤7cm D. 5cm＜x≤8cm
8.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC=2，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC=2，时，则阴影部分的面积为（　　）
A. 8π
B. 8
C. 4π
D. 4
10.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（　　）
A. 2026 B. 2027 C. 22025 D. 22026-1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 .
12.如图，在数轴上点A表示的实数是 .
13.若一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是______．
14.已知a=1+，b=1-，则代数式a2-2ab+b2的值为 .
15.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG= .
16.正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF折叠，使点A落在A'处，点B落在点B'处，A'B'交BC于G.以下结论：①当A'为CD中点时，△A'DE三边之比为3：4：5；②连接AA'，则AA'=EF；③当△A'DE三边之比为3：4：5时，A'为CD中点；④当A'在CD上移动时，△A'CG周长不变.其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．
（1）请直接写出线段AB、AC的长度；
（2）连结BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连结CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形.
（2）若四边形CDEF的周长是18，AC的长为12，求线段AB的长度.
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，BD为对角线.
（1）用尺规完成以下作图：作BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若，求BF的长.
22.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF=DE.
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD=4，AC=6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度.
23.(本小题10分)
在“欢乐周末 非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A，B，C，D在同一平面内.
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成功？请运用数学知识说明.
24.(本小题14分)
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动：
（1）甲同学的操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A的对应点M落在EF上，把纸片展平，连接PM、BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.
①连接AM，证明：△ABM是等边三角形；
②设正方形边长为2，求FQ的长；
（2）乙同学的操作过程如下：P、G分别在AD、BC上，将正方形纸片ABCD沿折痕PG折叠，使点C的对称点H落在边AB上，点D的对称点为K，HK交AD于点T.连接CT交PG于点N，连接HN、CH.请按要求补全图形，判断△HNC的形状，并说明理由.
25.(本小题14分)
如图：矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（a,b）.
（1）若a、b满足：，直接写出点B的坐标 ______ ；
（2）已知：EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，连CE并延长交边AB于点F，若点F为边AB中点，求的值；
（3）点M、D分别在边AB、y轴上，CM、BD相交于N，点B的坐标为（3，b），BM=1，若∠BNM=45°，求CD的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x＞1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】12
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】解：原式=a2-3-a2+6a
=6a-3，
∵，
∴原式=6（-）-3
=6-6．
18.【答案】．
19.【答案】解：（1）由勾股定理可得AB==，AC==；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）可知，，
又BC2=32+12=10，
∴AB2+BC2=AC2．
∴△ABC是直角三角形．
又，
∴△ABC是等腰直角三角形．
20.【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18，AC的长12，
∴BC=18-AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（18-AB）2+122，
解得：AB=13．
21.【答案】
BF的长为
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，OA=OC=3，
∵AB⊥AC，
∴OB===5，
∴BD=2OB=10，
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
∴BE=DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE=DF=EF=BD=，
∴OE=EF=．
23.【答案】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=15m,DE=AB=1.5m,∠AEC=90°，

在Rt△AEC中，CE===8（m），
∴CD=CE+DE=8+1.5=9.5（m）；
（2）不能成功，理由如下：
假设能上升12m,如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF=12m,

∴EF=CE+CF=8+12=20（m），
在Rt△AEF中，AF===25（m），
∵AC=17m,余线仅剩7.5m,
∴17+7.5=24.5＜25，
∴不能上升12m,即不能成功．
24.【答案】①证明：由折叠可知AB=MB，
又∵EF为AB的中垂线，
∴MA=MB，
∴MA=MB=AB，
故△ABM是等边三角形；②FQ的长为 证明：△HNC为等腰直角三角形，理由如下：
补全图形如图所示，

作CE⊥AK于点E，由PG为对称轴，
故PG垂直平分CH，
故NC=NH．
由折叠可得∠DCH=∠KHC，
又∵AB∥DC，
∴∠CHB=∠DCH，
∴∠KHC=∠CHB，
在Rt△HBC和Rt△HEC中，
，
∴Rt△HBC≌Rt△HEC（AAS），
∴BC=EC，∠ECH=∠BCH，
∴EC=DC．
在Rt△ECT和Rt△DCT中，
，
∴Rt△ECT≌Rt△DCT（HL），
∴∠ECT=∠DCT，
∴∠NCH=∠ECT+∠ECH=∠ECB+∠ECD==45°，
∵NC=NH，
∴∠NHC=∠NCH=45°，
故△HNC为等腰直角三角形
25.【答案】（1）（8，6）．
（2）过点E分别作OC、OA的平行线HG、MN、分别与OC、AB、CB、OA交于点M、N、H、G，
∵EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，
∴OM=EG=AO=，HE是△CBF的中位线，
∵F点是AB的中点，
∴HE=BN=CM=AB=b,
∴OC=OM+CM，即b=+，
∴，
∴．
（3）如图，作BK⊥CM，垂足为K，
∵点B的坐标为（3，b），BM=1，
∴CM===，
∵BC BM=CM BK，
∴BK===，
∵∠BNM=45°，
∴NK=BK=，
∴BN= BK==，
在Rt△BMK中，KM===，
∴NM=NK+MK=+=，
∴CN=CM-NM=-=，
∵AB∥CD，
∴△CND∽△MNB，
∴，即，
∴CD=．
当点D在OC延长线上时,作BHCN,CTBD,垂足分别为H、T,CM=,BH=,
N=,
BH=HN=,BN=, 在RtCBH中,CH=,CN=CH+NH=, CT=NT=,BT=TN-BN=,
设DT=x,++,-=,
+=-,
解得x=,
BD=3,CD=6.
综上分析,CD为或6.

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