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参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B D B C C D C B D
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．14
45
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）
16．（7分）
【详解】解：
． ------------------------------------------7分
17．（7分）
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：， ------------------------------------------5分
∴不等式组的最大整数解为2． ------------------------------------------7分
18．（7分）
【详解】证明：∵四边形为平行四边形
∴且
∴
在与中
∴
则 ------------------------------------------7分
19．（8分）
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（米），
答：段的长度约为140米； ------------------------------------------55分
（2）解：小汽车没有超速，理由如下：
小汽车行驶的速度（米/秒），
∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时，
∴小汽车在段行驶时没有超速．------------------------------------------8分
20．（8分）
【详解】（1）证明：连接．
∵ ，，，
∴ （）．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
又 是的半径，
∴ 是的切线． ------------------------------------------4分
（2）解：∵ 的半径为，
∴ ，．
在中，，
∴ ，
∴ ．
在中，，
设，则．
由勾股定理，得，
解得，
∴ ．
答：的长为． ------------------------------------------8分
21．（9分）
【详解】（1）解：∵传统教学D等级的评分数据有个，在扇形统计图中所占比例为，
∴此次随机抽取的总人数为（人）． ------------------------------------------2分
（2）解：由扇形统计图可知，故；
由（1）得随机抽取总人数为20人，
∴传统教学A等级人数为（人），
B等级人数为（人），
C等级人数为（人），
在D等级中出现了5次，出现的次数最多，
∴众数． ------------------------------------------5分
（3）解：∵随机抽取的总人数为20人，
∴中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数．
∵由条形统计图可知A等级有3人，B等级有2人，且C等级有6人，
∴中位数位于C等级．
∵C等级数据为82，83，84，85，n，89，且探究性教学评分的中位数比87.5大，
∴当时，中位数为，不符合题意，
当时，中位数为，解得，即．
∵评分为整数，∴n的最小值为87． ------------------------------------------9分
22．（10分）
【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，
可得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，符合题意，
，
答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．-----------------------------------3分
（2）设无人机的速度提高到千米/时，根据题意得
，
解得，
答：无人机的速度至少提高到48千米/时．----------------------------------------6分
（3）设每单服务费降低y元，每月服务费总额为W元，则：
．
当时，W取最大值3200元，此时，每单服务费为元．----------------------------------------10分
23．（10分）
【详解】（1）解：，
是等边三角形，
．
，
，
．
在中，由勾股定理得．
把点代入，得．
反比例函数的解析式为；
直线过原点，
．
直线过点，
把点代入，得
； ------------------------------------------3分
（2）解：由图象得，当时，，
∴的解集是：； ------------------------------------------5分
（3）解：分两种情况讨论：
①如图1，点是的中点，由（1）得
，
把代入，
得．
．
------------------------------------------7分
②如图2，点是的中点，过点作轴于点．
由题意得，，
在Rt中，．
把代入，
得，
，
综上所述，的值为4或6． ------------------------------------------10分
24．（12分）
【详解】（1）解：根据题意得，起飞点A的坐标为，落地点的坐标为 ．飞行轨迹的最高点距地面80米，对称轴为 ．
∴抛物线的顶点坐标为 (100,80)．
设抛物线的函数表达式为顶点式： ．得：
解得：，
∴抛物线的函数表达式为： ----------------------------------------3分
（2）解：无人机从A点竖直上升100米到点C，则点C的坐标为 ．
如图：
新的飞行轨迹是沿原抛物线轨迹， ，
无人机落地时，高度 ，即 ，
解得 ， ．
因为落地点D在x轴的正半轴上，所以取 ．
即落地点D的坐标为 ．
起飞点与落地点的水平距离的长为 米．------------------------------------------7分
（3）解：不能安全飞过该建筑物．理由如下：
根据题意，无人机从距离建筑物左侧100米处起飞，建筑物长60米．以起飞点为原点建立坐标系，则建筑物在坐标系中位置，如图：；，， ．
建筑物高度为70米，为保证航拍安全，无人机与建筑物上表面的竖直距离不少于5米，即当时，无人机的高度 必须满足 米．
无人机的飞行轨迹方程为 ，该抛物线的对称轴为 ，开口向下．当时，函数 随增大而减小，
当 时，无人机的高度最低．
米
无人机飞过建筑物时的最低高度为51.2米．
因为 ，所以无人机不能保证与建筑物上表面有至少5米的安全距离．
故，无人机不能安全飞过该建筑物．·····------------------------------------------12分
25．（12分）
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，
，
，即，
又，
，
，；-----------------------------------------2分
（2）解：正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
又，
四边形是正方形； ------------------------------------------6分
（3）①解：矩形，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
同理可证
∴，
∴，
∴； ------------------------------------------9分
②解：如图，连接、，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，即，
又，，
，
，
点在射线上运动，且，
当时，有最小值，
，
，
，
在中，，
即的最小值为． ------------------------------------------12分中小学教育资源及组卷应用平台
山东省济南市2026年中考数学押题预测卷
注意事项：
1、本试卷共三大题，满分150分，时间120分。
2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中比小的数是（ ）
A． B． C． D．6
2．如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．人工智能时代，AI技术逐渐应用到实际场景中，为日常生活和各行各业带来改变．以下四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知，下列不等式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．将如下三个成语书写在三张无差别的卡片上，卡片置于暗箱中摇匀后，随机抽取两张，两张卡片上的成语都是不可能事件的概率为（）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，按以下步骤作图：
①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交边于点．
若，则线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图像一部分，则以下正确的有：①b>2a；②ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；③a－2b＋c<0；④a＋b＋c＝0；⑤8a＋c>0，其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．②③④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．在学校运动会开幕式上，196名学生组成方阵，每排有______名学生．
12．为奖励班级行为规范先进的四位同学，家委会准备了“钢笔”、“文具套装”、“笔袋”、“跳绳”四种奖品，奖品均放在四个完全相同的盲盒中，每位获奖同学可以抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．小丽和小聪均在获奖行列，两人恰好抽中“钢笔”和“文具套装”的概率为___________．
13．图1是一款正八边形的装饰画，抽象出的几何示意图如图2所示，则的度数为__________°．
14．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时的面积随时间变化的函数图象，则的边的长为________．
15．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）计算：．
17．（7分）解不等式组，并写出不等式组的最大整数解．
18．（7分）如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且，试证明．
19．（8分）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，）
(1)求BC段的长度（结果保留整数）；
(2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由．
20．（8分）如图，是的直径，过点作的垂线，点是上一点，连接并延长交的延长线于点，已知．
(1)求证：是的切线．
(2)当的半径为时，求的长．
21．（9分）探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息．
a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89；
b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97；
c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）．
探究性教学评分条形统计图 传统教学评分扇形统计图
平均数 中位数 众数
探究性教学 86 96
传统教学 84.2 87.5 b
根据以上信息解答以下问题：
(1)求此次随机抽取的总人数；
(2)直接写出a，b的值；
(3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值．
22．（10分）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机快递配送，用于紧急配送业务．无人机从物流基地出发，匀速飞往某菜鸟驿站，飞行距离为16千米．若采用传统车辆配送，公路距离为30千米，车辆的平均速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0．1小时．
(1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
(2)若无人机从物流基地出发前往该菜鸟驿站，0.2小时后接到通知，需要在接到通知10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
(3)无人机快递配送业务的服务费是每单10元，每月可配送300单．经过一段时间的试运营，发现每单服务费每降低1元，每月可增加50单．当每单服务费为多少元时，该菜鸟驿站每月无人机配送服务费总额最大？
23．（10分）小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式．
(2)根据图象直接写出的解集．
(3)把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值．
24．（12分）问题情境：无人机执行航拍任务时的水平飞行与下落轨迹可看作抛物线．某款无人机从地面点起飞，沿抛物线轨迹水平飞行并降落至地面点，其飞行轨迹的最高点距地面80米，起飞点与落地点的水平距离为200米．
数学建模：如图，以地面所在直线为轴，起飞点点为原点，过点与地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，无人机的飞行轨迹为抛物线．
问题：
(1)请直接写出该抛物线的顶点坐标，并求出抛物线的函数表达式；
(2)若无人机从点先竖直上升100米到点后再沿抛物线的轨迹飞行，落地点为（点在轴的正半轴上），求起飞点与落地点的水平距离的长；
(3)实验表明：该无人机在飞过建筑物时，与建筑物上表面的竖直距离不少于5米才能保证航拍安全．地面上有一长方体建筑物，其底面为矩形，长60米，宽忽略不计，建筑物高度为70米，无人机从距离建筑物左侧100米的地面处起飞，判断无人机能否安全飞过该建筑物，并说明理由．
25．（12分）在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点D，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是_________；与的数量关系是_________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3)【深度探究】在矩形中，与交于点O点，E为边上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若，，
①当，与的位置关系是_________；
②求的最小值．

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