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2025-2026学年广东省湛江市遂溪县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮.下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（　　）
A. B.
C. D.
2.在，1，，2π中，无理数的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.估计的值在（　　）
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间
4.如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形M平移后位置如图②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（　　）
A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
5.如图①，桔槔（jiégāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起.图②是桔槔的简易装置示意图，与∠1构成内错角的是（　　）
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
6.已知点A，B的坐标分别为A（-4，a），B（3，a），那么过点A，B的直线与坐标轴的位置关系是（　　）
A. 与x轴平行 B. 与y轴平行 C. 与x轴垂直 D. 与x轴平行或重合
7.如图，直尺的一边经过三角板60°的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若∠1=32°，则∠2=（　　）
A. 142°
B. 152°
C. 148°
D. 120°
8.如图所示，下列说法一定正确的是（　　）
A. ∠1和∠2互为余角
B. ∠1和∠4是内错角
C. ∠3和∠4互为补角
D. ∠2和∠5是同位角
9.下面命题为真命题的是（　　）
A. 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10.如图，已知坐标系中四点A（0，1），B（-1，0），C（3，0），D（2，2），则四边形ABCD的面积是（　　）
A. 4
B. 5.5
C. 4.5
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.4的平方根是______；的算术平方根是______.
12.如图，货船B与港口A相距30海里，从港口A看，货船B的位置可描述为 方向.
13.判断命题“如果a为有理数，那么|a|=a是假命题，可以举出一个反例是 .
14.已知，那么约等于 .
15.将一副三角板按如图所示放置，∠C=45°，∠D=30.则下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30°，则有AC∥DE；③如果∠2=30°，则有BC∥AD；④如果∠4=∠C，必有∠2=30°.其中正确的有 （填序号）.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题7分)
如图，已知∠1=∠2，∠4=∠B，∠ADF=90°，求证：GF⊥BC.
阅读下面的解答过程，填空并填写理由.
证明：∵∠4=∠B（已知），
∴AB∥______（______），
∴∠2=∠3（______），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（______），
∴AD∥______，
∴∠ADF+∠GFD=______（______），
又∵∠ADF=90°（已知），
∴∠GFD=90°，
∴GF⊥BC.
18.(本小题7分)
如图是某校部分场所的平面示意图，其中大门的坐标为（1，-3），行政楼的坐标为（-2，-1）.
（1）在图中建立平面直角坐标系，并写出教学楼和图书馆的坐标；
（2）已知状元亭在图书馆的正北方向，在实验楼的正东方向，请在图中标出状元亭的位置，并写出其坐标.
19.(本小题9分)
2a+1的算术平方根是3，3a-b-1的立方根是2.
（1）求a,b的值；
（2）求20b+a的平方根；
（3）若|x+a|=b+1，求x的值.
20.(本小题9分)
如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮.A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮.
课题 景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为90cm2，长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为132cm2.卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）.
（1）通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由；
（2）若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案.
21.(本小题9分)
如图，已知AM∥BN，∠A=60°.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
（1）求∠ABN，∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，试判断∠APB与∠ADB的度数有怎样的关系，并说明理由.
22.(本小题13分)
综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有∠1=∠2.潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置.
（1）操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，AB、CD是两面互相平行的镜面，光线EF照射到镜面AB上，反射光线为FG；FG照射到镜面CD上，反射光线为GH.试判断光线EF和GH的位置关系，并说明理由.
（2）类比探究：如图3，将两块平面镜AB、BC的一个端点重合于点B，一束光线EF照射在镜面AB上，经过两次反射后得到光线GH.若EF∥GH，∠HGC=45°，求∠EFG及∠ABC的度数.
（3）拓展探究：如图4，光线EF与光线GH交于点H，设两面镜子的夹角∠ABC=80°，根据光的反射定律，求∠FHG.
23.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系中，A（1，a）、B（b,3）、E（-2，0），其中a、b满足：.平移线段AB得到线段CD，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上.
（1）写出点C的坐标及点D的坐标；
（2）如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接PC、PD，在y轴上是否存在点Q，使得△PCD与△QCD面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，点H在DO延长线上，∠HAB与∠OCD的平分线交于点M，令AM交CD于K，请写出∠AHO与∠AMC的数量关系，并证明.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】±2，2．
12.【答案】南偏东50°．
13.【答案】a=-3（a＜0即可）
14.【答案】28.72
15.【答案】①②④
16.【答案】-1- 4
17.【答案】ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；GF；180°；两直线平行，同旁内角互补．
18.【答案】坐标系见解析，（1，0）；（5，-2）；
位置见解析，（5，2）．
19.【答案】a=4，b=3 ±8 x=0或x=-8
20.【答案】正方形卡片不能以常规方式装入长方形封皮 将正方形卡片的面积改为88cm2，或在不改变长方形长与宽比的情况下，将长方形的面积改为135cm2即可
21.【答案】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=120°，
∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN
∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠PBD，
∴2∠CBP+2∠DBP=120°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．
理由：∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN=2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB=∠PBN=2∠DBN=2∠ADB（等量代换），
即∠APB=2∠ADB．
22.【答案】EF∥GH，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BFG=∠CGF．
又∵∠BFG=∠AFE，∠CGF=∠HGD，
∴∠EFG=∠FGH，
∴EF∥GH ∠ EFG=90°，∠ABC=90° 20°
23.【答案】（0，3），（4，0） Q（0，）或（0，-） ∠ AHO+2∠AMC=90°或∠AHO-2∠AMC=90°
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