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初二年级数学阶段练习
总分值：120分 答题时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列语言叙述是命题的是（　　）
A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军
B．你喜欢陇南吗？
C．赶紧写作业！
D．画一条端点为A的射线
2．（3分）下列表达式中是不等式的有（　　）个．
①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当点B，E，C在同一直线上，且固定点B，C到灯脚E的距离相等时，路灯DE就垂直于BC．这种操作方法的依据是（　　）
A．垂线段最短
B．等边对等角
C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4．（3分）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（　　）
A．左盘内物体重 B．右盘内物体重
C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的1.5倍
5．（3分）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（　　）
A．B．
C．D．
6．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝2时，方程组的解也是方程x+y＝3a﹣2的解．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．都不正确
7．（3分）将一副三角板ABC和DEF按照如图所示的方式放置，DE与BC交于点G．已知∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°．若EF⊥AC，则∠DGC的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
第6题 第7题
8．（3分）将一条长方形纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，如图，若∠AED′＝130°，则∠EFC″的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，动点D从点B出发，沿BA方向运动到终点A，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（　　）
A．一直减小 B．一直不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
第9题 第10题
10．（3分）如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知x＞y，要使不等式（k﹣3）x＜（k﹣3）y成立，写出一个符合条件的k的整数值：　 　 ．
12．已知，在△ABC中，，AC＝5，BC边上的高AD＝3，则边BC的长为　 　 ．
13．（3分）如图：已知点B，F，C，E在同一直线上，并且BF＝CE，∠B＝∠E，请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得△ABC ≌△DEF，你添加的条件是　 　 ．
第13题 第14题
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为S1＝4，S2＝6，S3＝36，则另一个正方形的面积S4为　 　 ．
15．（3分）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“ ┬ ⊥ ”来表示相当于的代数式．若“ ┬ ”的值为2，“ ⊥ ”的值为，则“天”与“地”的和为　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式：． （2）解方程组：．
17．（8分）阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．
如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．
求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ①）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝　 　 ②（　 　 ③）．
∴EP∥GH（　 　 ④）．
∴∠EFN+　 　 ⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵　 　 ⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （　 　 ⑦）．
∴∠EFN＝∠G（　 　 ⑧）．
18．（6分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，解得．
乙看错了方程组中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求出原方程组的正确解．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BDE＝20°，求∠BAC的度数．
20．（8分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），与x轴分别交于A，B两点．
（1）求b，m的值；
（2）结合图象可知关于x、y的方程组的解是 　 　 ；
（3）求直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4与x轴组成的图形面积．
21．（10分）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得．根据材料，回答下列问题
（1）已知关于x，y的方程组的解为，请求出关于m、n的方程组的解；
（2）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
22．（14分）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表：
类别 素材内容
素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为20km/h， 且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为60km/h， 起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长＝行驶时长+固定消耗时长）
素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．
素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型， 购入“旋翼A型”和“旋翼B型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼A型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼B型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机， 且两种型号都必须购买．
问题解决：
任务 内容
任务1 现有一份紧急文件需要从A地送往B地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省　 　 分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离）
任务2 根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？
任务3 根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的总载重最大？最大总载重是多少？
23．（13分）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动．
（1）观察发现
如图①，AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接EB、ED．若∠B＝28°，∠D＝50°，则∠BED的大小为　 　 度．
（2）探究迁移
（Ⅰ）如图②，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠BEC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．
（Ⅱ）如图③，AB∥CD，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ＝98°时，直接写出∠PFQ的度数是　 　 ．
（3）拓展应用
如图④，AB∥CD，若E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，当∠PEQ＝α时，直接写出∠PFQ的度数＝　 　 ．（用含α的式子表示）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B B C C C B A
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．2（答案不唯一）． 12．10或2． 13．∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或AB＝DE）．
14．38． 15．9．【解答】解：设“天”与“地”分别为x，y，
由题意得：，
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．(1)【解答】解：．
3（x﹣4）+2（7﹣x）≤6，...........2分
3x﹣12+14﹣2x≤6， ..............3分
x≤4． ......... ......4分
（2），
整理，得，
①×2，得2x+4y＝22③，
③﹣②，得3y＝9， ......... ......6分
解得：y＝3， ......... ......7分
把y＝3代入②，得2x+3＝13，
解得x＝5，
∴原方程组的解为．......... ......8分
17．①两直线平行，内错角相等；②∠GHD；③等量代换；④同位角相等，两直线平行；⑤∠FNG；⑥MG∥FN；⑦两直线平行，同旁内角互补；⑧同角的补角相等．
1个1分
18．解：（1），......... ......1分
把代入②，
得﹣3×4﹣b×（﹣1）＝﹣2，
∴b＝10； ......... ......2分
把代入①，
得5a+5×4＝15，
∴a＝﹣1； .........3分
（2）把a＝﹣1，b＝10代入原方程组得，......... ......4分
由②得2x﹣5y＝﹣1③，
①+③得x＝14，
把x＝14代入①得，
∴原方程组的解为． ......... ......6分
19．（1）∵AB＝AC，AD为△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD（三角形中线定理）． ......... ......1分
由作图可得AE＝AF． ......... ......2分
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）； ......... ......5分
（2）解：∵AB＝AC，AD为△ABC的中线，
∴AD⊥BC， ......... ......6分
∵∠BDE＝20°，
∴∠ADE＝90°﹣70°＝70°，
由作图可得AE＝AD，
∴∠AED＝70° ......... ......7分
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×（180°﹣70°﹣70°）＝80°......... ......8分．
20．解：（1）把点P（1，b）代入y＝2x+1，
得b＝2+1＝3， ......... ......2分
把点P（1，3）代入y＝mx+4，得m+4＝3，
∴m＝﹣1； ......... ......2分
（2）∵直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，3），
∴关于x、y的方程组的解是． ......... ......4分
（3）在直线l1：y＝2x+1中，令y＝0，则求得x，
∴A（，0）， ......... ......5分
在直线l2：y＝﹣x+4中，令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0）， ......... ......6分
∴AB＝4﹣（），
∴S△ABP3． ......... ......8分
21．解：（1）令m+2＝x，n＝y， ........ ......1分
∵关于x，y的方程组的解为，
∴， ......... ......2分
解得， ......... ......4分
故答案为：；
（2）令x+y＝m，x﹣y＝n， ......... ......5分
则原方程组可化为， ......... ......6分
解得， ......... ......8分
即， ......... ......9分
解得． ......... ......10分
22．任务1：29； ......... ......2分
任务2：设“无人机”配送了x单，“传统骑手”配送了y单，......... ......3分
∴， ......... ......5分
∴， ......... ......7分
∴“无人机”配送了20单；
任务3：①设旋翼A型m台，旋翼B型n台，则0.4m+0.6n＝5，......... ......8分
∴， ......... ......10分
∵m，n取正整数，
∴25﹣3n为2的正整数倍，且n取奇数，
∴或或或．
∴采购方案有：
方案一：旋翼A型2台和旋翼B型7台；
方案二：旋翼A型5台和旋翼B型5台；
方案三：旋翼A型8台和旋翼B型3台；
方案四：旋翼A型11台和旋翼B型1台； ......... ......12分
②结合①可得：方案一总载重量为：2×15+7×25＝205（千克）；
方案二总载重量为：5×15+5×25＝200（千克）；
方案三总载重量为：8×15+3×25＝195（千克）；
方案四总载重量为：11×15+1×25＝190（千克）；
∵205＞200＞195＞190，
∴方案一的总载重量最大，最大总载重是205千克． ......... ......14分
23．（1）78； ......... ......3分
（2）（Ⅰ）∠B+∠BEC﹣∠C＝180°，
理由：如图，过E点作直线FG∥AB， ......... ......4分
∵FG∥AB，
∴∠1＝180°﹣∠B， ......... ......5分
∵AB∥CD，
∴FG∥CD， ......... ......6分
∴∠2＝∠C， ......... ......7分
∴∠BEC＝∠1+∠2＝180°﹣∠B+∠C，
∴∠B+∠BEC﹣∠C＝180°； . ........ ......8分
（Ⅱ）131°； ......... ......11分
（3）． ......... ......13分
【解答】（Ⅱ）如图，由（1）可得，∠PFQ＝∠1+∠2，∠PEQ＝∠3+∠4，
∵∠PEQ＝98°，∴∠3+∠4＝98°，
又∵∠APE+∠3＝180°，∠CQE+∠4＝180°，
∴∠APE+∠CQE＝360°﹣（∠3+∠4）＝262°，
∵PF平分∠APE，QF平分∠CQE，
∴，
∴，
（3）如图④，过E点作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，
∴∠MEP＝∠EPB，∠MEQ＝∠EQD，
设∠MEP＝β，则∠EPB＝β，
又∵∠PEQ＝α，
∴∠MEQ＝∠EQD＝β+α，∵QF平分∠CQE，
∴，
∵PH平分∠APE，
∴，
∴，
由（2）可得，∠BPF+∠PFQ﹣∠CQF＝180°，
∴，
化简，得．

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