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浙江省2026年中考数学模拟卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B C D D A A C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．a2﹣2 ； 12．； 13．x＞2 ； 14．30 ； 15．35° ； 16． ；
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
【解答】（1）解：，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x﹣2），
解得x＝10，
检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝10．
（2）解：2x2+2x﹣1＝0，
a＝2，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
x，
所以x1，x2．
18．（8分）
【解答】解：（1）由题意得，小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第一步的依据是乘法分配律，
故答案为：B，D；
（2）小深：原式


；
小圳：原式

，
∵x﹣3≠0，x+3≠0，x+1≠0，
∴x≠3，﹣3，﹣1，
∴当x＝1时，原式1．
19．（8分）
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D＝∠CFE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CFE，
∴S△ADE＝S△CFE，
∴四边形ABFD的面积
＝四边形ABFE的面积+△ADE的面积
＝四边形ABFE的面积+△CEF的面积
＝△ABC的面积
AB AC
6×8
＝24．
20．（8分）
【解答】解：（1）∵A款人工智能软件20份问卷调查的得分的20个数据中出现次数最多的是100，
∴a＝100；
B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据所占百分比为35%，
∴m%＝1﹣5%﹣45%﹣35%＝15%，
∴m＝15；
B款人工智能软件20份问卷调查的得分在A组中的数据有：20×5%＝1（个）；
B款人工智能软件20份问卷调查的得分在B组中的数据有：20×15%＝3（个）；
B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据有7个，
∴中位数b88，
故答案为：100，88，15；
（2）2017.75（万人次），
答：估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有17.75万人次．
21．（8分）
【解答】（1）解：连接AD，
∵∠CAB＝90°，∠C＝60°，BC＝2，
∴AC＝1，
∵AC＝AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD＝AC＝1；
（2）解：如图，点E即为所求；
（3）证明：连接DE，
∵∠CAB＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝30°，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠BDE＝30°，
由（1）可知△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ADE＝90°，即AD⊥DE，
∵AD是半径，
∴DE与⊙A相切．
22．（10分）
【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∵AE＝AF，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵HF∥BD，
∴AC⊥HF，
∴∠CGH＝90°，
∵HF∥BD，DF∥BH，
∴四边形BDFH为平行四边形，
∴DF＝BH＝4，
∴AD＝2DF＝8，
∴BC＝AD＝8，
在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12，
∴CGCH＝6．
23．（10分）
【解答】解：（1）将点A（a，m）和点B（﹣3a，m）代入抛物线y＝ax2+bx（a＜0），
得：，
解得：b＝2a2，
∴抛物线y＝ax2+2a2x，
则抛物线对称轴为：；
（2）①由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x，
当a＝﹣2，t＝1时，
∴抛物线y＝ax2+2a2x＝﹣2x2+8x，直线y＝﹣a2x＝﹣4x，C（1，0），
将x＝1代入抛物线y＝﹣2x2+8x，得：y＝﹣2×12+8×1＝6，
∴P（1，6），
将x＝1代入直线y＝﹣4x得：y＝﹣4×1＝﹣4，
∴Q（1，﹣4），
∴PQ＝|6﹣（﹣4）|＝10；
②由题意得，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）图象开口向下，
由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x＝a（x+a）2﹣a3，
∵a＜0，
∴﹣a＞0、﹣a3＞0，
设抛物线y＝ax2+2a2x与直线y＝﹣a2x交于点H，
则，
解得：或，
∵（0，0）为原点坐标，
∴H（﹣3a，a3），
∵点D（t+3，n）在抛物线上，
∴当n＞m时，a＜t+3＜﹣3a，
∴a﹣3＜t＜﹣3a﹣3，
设P（t，at2+2a2t）、Q（t，﹣a22t），
∴PQ＝|at2+2a2t﹣（﹣a2t）|＝|at2+3a2t|，
如图，当t≤0或﹣a≤t≤﹣3a时，线段PQ的长随着t的增大而减小，
分情况讨论：
当t≤0时，由题意得：，
∴﹣1≤a＜0；
当﹣a≤t≤﹣3a时，，
∵a＜0，
∴当时，PQ有最大值，
∵a﹣3＜t＜﹣3a﹣3，
∴，
∴此不等式组无解；
综上所述，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，a的取值范围为﹣1≤a＜0．
24．（12分）
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BD＝CE，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠E＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝CD+CE＝CD+BD，
即AD＝BD+CD，
故答案为：AD＝BD+CD；
（2）如图②，延长PC至点E，使CE＝PA，连接BE，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ABCP内接于⊙O，
∴∠BAP＝∠BCE，
∴AB＝BC，PA＝CE，
在△BAP和△BCE中，
，
∴△BAP≌△BCE（SAS），
∴BP＝BE，∠PBE＝90°，即△PBE是等腰直角三角形，
∴，
设PA＝x，
∵，
∴，则，
∵PE＝PC+CE＝PC+x＝4x，
∴PC＝3x，
∴；
（3）如图③，连接OC，将点O绕C逆时针旋转90°得到点O′，连接OB、O′B、OO′、OA，
∵∠ACB＝∠OCO′＝90°，
∴∠ACO＝∠BCO′，
在△ACO和△BCO′中，
，
∴△ACO≌△BCO′，
∴O′B＝OA＝2，
∵OC＝O′C＝2，∠OCO′＝90°，
∴，
由三角形三边关系：，
即OB的最小值为，
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2026年中考数学模拟卷
注意事项：
1、本试卷共三大题，满分120分，时间120分。
2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2026 D．2026
2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（热点）根据宁波舟山港2026年度工作报告获悉，2025年宁波舟山港集装箱吞吐量达4150万标箱，2026年计划完成吞吐量目标4500万标箱．则4500万用科学记数法可表示为（　　）
A．4.5×108 B．4.5×107 C．4.5×106 D．4.5×103
4．如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（12，﹣4）
C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4）
5．某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（　　）
A．22（1﹣x）3＝18 B．22（1﹣x）＝18
C．18（1+x）2＝22 D．22（1﹣x）2＝18
6．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M．若OM＝1，则BD的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．4
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，AD与BC相交于点F，当DE∥AB时，则DF的长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE．有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE．结论正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
10．如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB，BC两边运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x（0≤x≤17），DP2为y，如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点E（0，a2），点M，N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经过点F（17，b2），下列选项正确的是（　　）
A．a＝2b B．ab＝36 C．a+b＝13 D．a2+b2＝100
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算2a2﹣（a2+2）的结果为　 　 ．
12．（热点）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek“、“豆包“、“Kimi“、“腾讯元宝“、“通义千问“中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包“或“通义千问“的概率为　 　 ．
13．不等式组的解集是　 　 ．
14．春风和煦，纸鸢竞飞，正如诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”所描绘的那样，小明也在春风里，享受着放风筝的乐趣．如图，已知风筝线AB长50m，风筝线与地面夹角∠ABC＝37°，风筝线拉直且不计小明的身高，则此时风筝到地面的垂直距离AC为　 　 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
15．如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线AB，CD折射后的两条光线BE，DF相交于点P．若AB∥CD，∠ABE＝165°，∠CDF＝160°，则∠EPF的大小为　 　 ．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，，将∠B沿EF折叠，使得点B落在AD边上的点G处．当CF的长度取得最大值时，折痕EF的长度为 　 　 ．（结果保留根号）
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）解分式方程：；
（2）解方程：2x2+2x﹣1＝0．
18．（8分）在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤：
小深：原式
小圳：原式
（1）小深解法第一步的依据是　 　 ，小圳解法第一步的依据是　 　 ．
A．等式的基本性质 B．分式的基本性质
C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，AD∥BC，点E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）求四边形ABFD的面积．
20．（8分）近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同款人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．研究小组从这两款人工智能软件的使用者中各随机抽取了20名用户进行用户满意度问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
A款人工智能软件20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100．
B款人工智能软件20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88．
两款人工智能软件得分统计表：
人工智能软件 平均数 众数 中位数 方差
A款 87 a 91 121
B款 87 95 b 119.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）调查中的某一天，通过查询访问量得知当天有20万人次使用A款人工智能软件，有15万人次使用B款人工智能软件，估计这些用户对这两款人工智能软件非常满意（x≥90）的共有多少万人次？
21．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝60°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A交BC于点D．
（1）若BC＝2，求CD的长；
（2）请利用尺规，在AB边上求作点E，使得BE＝DE；
（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（3）在（2）的条件下，连接DE，求证：DE与⊙A相切．
22．（10分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）．
（1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b；
（2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q．
①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长；
②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围．
24．（12分）按要求完成下列各题：
（1）【感知】如图①，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点（点D不与B，C重合），试探究AD，BD，CD的关系．小明通过作如下的辅助线使得问题解决：延长DC至点E，使BD＝CE，连接AE．AD，BD，CD的关系是　 　 ；
（2）【探究】如图②，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA，PB，PC．若，求的值；
（3）【应用】如图③，A，C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，连接OB，则OB的最小值为　 　 ．

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