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第5课时　追及相遇问题
[学习目标]　1．掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2．会在图像中分析追及相遇问题。3．熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。
追及相遇问题的常用分析方法
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2．追及相遇问题常见的三种情形
如图所示，假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
3．追及相遇问题的三种分析方法
情境分 析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图，对临界状态进行分析求解
函数分 析法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。 ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。 当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值
续表
图像分 析法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找出位移关系
[典例1]　某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度在相邻车道匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
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拓展思考　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以大小为4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇 (设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，一种方法即可)
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[典例2]　(2025·四川雅安一模)机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警示牌，以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20 m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40 m的物体，他的反应时间为0.6 s，该货车制动后最大加速度为2.5 m/s2。求：
(1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间；
(2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。
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图像中的追及相遇问题
1．x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题
(1)若为x-t图像，图像相交即代表两物体相遇。
(2)若为v-t图像，利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(3)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2．利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
特别提醒：若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。
　x-t图像中的追及和相遇问题
[典例3]　(2024·河南郑州一模)如图所示，抛物线a和直线b分别是在平直公路上行驶的汽车甲和乙的位移—时间(x-t)图像，t2时刻对应抛物线的顶点。下列说法正确的是(　　)
A．在t3时刻，两车速率相等
B．在0～t3时间内，乙车做匀变速直线运动
C．在0～t3时间内，t2时刻两车相距最远
D．在t1～t3时间内，甲车与乙车的平均速度相同
　v-t图像中的追及和相遇问题
[典例4]　(多选)(2025·青海海东模拟)某新能源汽车配备了自动驾驶系统，该车在红绿灯启停、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等情形下都能无干预自动驾驶。某次试验时，a、b两车(均可视为质点)从不同地点由静止开始沿同一直线运动的v-t图像如图所示，已知两车在运动过程中不会相遇，图线均为直线，关于两车在0～2t0时间内的运动，下列说法正确的是(　　)
A．a车在前，b车在后
B．在2t0时刻两车间的距离最近
C．在t0时刻，b车的速度大小为
D．出发时两车间的距离可能为
第5课时
进阶点1
典例1　解析：(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝a1，解得t2＝20 s
此时赛车的速度大小
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s。
(3)方法一　情境分析法
当两车速度相等时，两车相距最远。
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝＝ s＝5 s
追上之前两车最远相距
Δsmax＝v0t3＋200 m－a1＝ m＝225 m。
方法二　二次函数法
Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2
当t＝＝ s＝5 s时Δs有极值，此时相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。
方法三　图像分析法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度，即v0＝a1t0＝10 m/s时，得t0＝5 s时相距最远，最远距离Δsmax＝v0t0－t0＋200 m＝225 m。
答案：(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
拓展思考　解析：假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t'＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。
答案：20 s
典例2　解析：(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝ s＝8 s
反应时间为0.6 s，总时间为t＝t1＋t2＝0.6 s＋8 s＝8.6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则
x1＝v0t1＝20×0.6 m＝12 m
从刹车到停止的位移为x2＝＝ m＝80 m
货车司机从看清三角警示牌到货车最终停止运动的总距离为x＝x1＋x2＝92 m
三角警示牌到故障车的距离为
Δx＝x－40 m＝52 m。
答案：(1)8.6 s　(2)52 m
进阶点2
典例3　D　[位移—时间关系图线反映位移随时间的变化规律，图线的斜率表示速度的大小和方向，在t3时刻，两车图像斜率的绝对值不相等，则两车速率不相等，故A错误；在0～t3时间内，乙车对应图像斜率不变，做匀速运动，故B错误；在0～t3时间内，当两车共速时相距最远，根据抛物线a的切线斜率可知不是t2时刻，故C错误；在t1～t3时间内，甲车与乙车位移相同，所用时间相同，则平均速度相同，故D正确。]
典例4　BC　[a车在t0后做匀速直线运动，而b车一直做匀加速直线运动，而且2t0后b的速度大于a的速度，所以要使两车不会相遇，应为b车在前，a车在后，故A错误；由题中图像可知，在2t0时刻两车速度相等，相距最近，故B正确；根据匀变速直线运动规律可知，在t0时刻b车的速度大小为，故C正确；出发时两车之间的距离要大于Δx＝·v0－＝，所以，如果距离为，在2t0时会恰好相遇，题目要求运动过程中不会相遇，故D错误。故选BC。]
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第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
第5课时　追及相遇问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2．会在图像中分析追及相遇问题。3．熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。
进阶点1　追及相遇问题的常用分析方法
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2．追及相遇问题常见的三种情形
如图所示，假设物体A追物体B，开始时
两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
3．追及相遇问题的三种分析方法
情境分 析法 抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图，对临界状态进行分析求解
函数分 析法 设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇。
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值
图像分 析法 在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找出位移关系
[典例1]　某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度在相邻车道匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
[解析]　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1＝a1t1＝2×3 m/s＝
6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝a1，解得t2＝20 s
此时赛车的速度大小
v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s。
(3)方法一　情境分析法
当两车速度相等时，两车相距最远。
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝＝ s＝5 s
追上之前两车最远相距
Δsmax＝v0t3＋200 m－a1＝ m＝225 m。
方法二　二次函数法
Δs＝v0t＋200－a1t2＝10t＋200－t2
当t＝＝ s＝5 s时Δs有极值，此时相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。
方法三　图像分析法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度，即v0＝a1t0＝10 m/s时，得t0＝5 s时相距最远，最远距离Δsmax＝v0t0－t0＋200 m＝225 m。
[答案]　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
拓展思考　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以大小为4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇 (设两车道平行，赛车可以从安全车旁经过而不相碰，一种方法即可)
[解析]　假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t'＝＝ s＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。
[答案]　20 s
[典例2]　(2025·四川雅安一模)机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后放置三角警示牌，以提醒后面司机及时减速。雨夜，在一条平直的公路上，汽车因为故障停车，在它正后方有一货车以20 m/s的速度向前驶来，由于视线不好，货车司机只能看清前方40 m的物体，他的反应时间为0.6 s，该货车制动后最大加速度为2.5 m/s2。求：
(1)从货车司机看清三角警示牌到货车最终停止所用的最短时间；
(2)为避免两车相撞，故障车司机应将三角警示牌放置在故障车后的最小距离。
[解析]　(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝ s＝8 s
反应时间为0.6 s，总时间为t＝t1＋t2＝0.6 s＋8 s＝8.6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则
x1＝v0t1＝20×0.6 m＝12 m
从刹车到停止的位移为x2＝＝ m＝80 m
货车司机从看清三角警示牌到货车最终停止运动的总距离为x＝x1＋x2＝92 m
三角警示牌到故障车的距离为Δx＝x－40 m＝52 m。
[答案]　(1)8.6 s　(2)52 m
进阶点2　图像中的追及相遇问题
1．x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题
(1)若为x-t图像，图像相交即代表两物体相遇。
(2)若为v-t图像，利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(3)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2．利用v-t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
特别提醒：若为a-t图像，可转化为v-t图像进行分析。
角度1　x-t图像中的追及和相遇问题
[典例3]　(2024·河南郑州一模)如图所示，抛物线a和直线b分别是在平直公路上行驶的汽车甲和乙的位移—时间(x-t)图像，t2时刻对应抛物线的顶点。下列说法正确的是(　　)
A．在t3时刻，两车速率相等
B．在0～t3时间内，乙车做匀变速直线运动
C．在0～t3时间内，t2时刻两车相距最远
D．在t1～t3时间内，甲车与乙车的平均速度相同
√
D　[位移—时间关系图线反映位移随时间的变化规律，图线的斜率表示速度的大小和方向，在t3时刻，两车图像斜率的绝对值不相等，则两车速率不相等，故A错误；在0～t3时间内，乙车对应图像斜率不变，做匀速运动，故B错误；在0～t3时间内，当两车共速时相距最远，根据抛物线a的切线斜率可知不是t2时刻，故C错误；在t1～t3时间内，甲车与乙车位移相同，所用时间相同，则平均速度相同，故D正确。]
角度2　v-t图像中的追及和相遇问题
[典例4]　(多选)(2025·青海海东模拟)某新能源汽车配备了自动驾驶系统，该车在红绿灯启停、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等情形下都能无干预自动驾驶。某次试验时，a、b两车(均可视为质点)从不同地点由静止开始沿同一直线运动的v-t图像如图所示，已知两车在运动过程中不会相遇，图线均为直线，关于两车在0～2t0时间内的运动，下列说法正确的是(　　)
A．a车在前，b车在后
B．在2t0时刻两车间的距离最近
C．在t0时刻，b车的速度大小为
D．出发时两车间的距离可能为
√
√
BC　[a车在t0后做匀速直线运动，而b车一直做匀加速直线运动，而且2t0后b的速度大于a的速度，所以要使两车不会相遇，应为b车在前，a车在后，故A错误；由题中图像可知，在2t0时刻两车速度相等，相距最近，故B正确；根据匀变速直线运动规律可知，在t0时刻b车的速度大小为，故C正确；出发时两车之间的距离要大于Δx＝·v0－＝，所以，如果距离为，在2t0时会恰好相遇，题目要求运动过程中不会相遇，故D错误。故选BC。]
【教师备选资源】
甲、乙两物体在水平面上从同一地点由静止开始沿同一方向做直线运动，它们的加速度a随位移x变化的关系图像如图所示，则(　　)
A．x＝4.8 m时，两者相遇
B．甲运动4.8 m时，甲的速度比乙大
C．乙运动8 m时的速度等于4 m/s
D．甲运动8 m的过程中，它的速度逐渐减小
√
B　[甲、乙两物体运动过程中加速度均在变化，采用微元法，结合v2＝2ax，可知题中图线与横轴围成的面积表示。结合题图可知，当0课时作业(五)　追及相遇问题(思维进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
1．(2025·贵州遵义模拟)警犬驯导员正在测试警犬的服从性。初始时刻，警犬和皮球(均可视为质点)在同一位置，驯导员将皮球沿平直地面瞬间踢出，警犬立即从静止开始追赶皮球，皮球和警犬沿同一直线运动，且在t1时刻警犬追上皮球。下列能反映该过程两者速度v与时间t关系图像的是(　　)
A． B．
C．
D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[由题可知，皮球在整个过程中做匀减速运动，警犬做初速度为0的匀加速直线运动，追上皮球时，皮球的位移与警犬的位移大小应相等，即v-t图像中，图像与坐标轴围成的面积大小相等。故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
2．(2025·重庆模拟)如图所示，在一条足够长的水平直道上，汽车甲做匀速直线运动，汽车乙从t＝0时刻由静止开始做匀加速直线运动。在t＝0到t＝t0时间段内，下列说法正确的是(　　)
A．若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙一定能追上甲
B．若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙可能追上甲
C．若t＝0时刻，甲在后、乙在前，则甲一定能追上乙
D．若t＝0时刻，甲在后、乙在前，则甲可能追上乙
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙与甲的距离将越来越大，乙一定不能追上甲，故A、B错误；若t＝0时刻，甲在后、乙在前，当甲、乙的初始距离较小(小于或等于0～t0内的相对位移)时，甲能追上乙，反之则不能追上乙，可知甲可能追上乙，故D正确，C错误。故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
3．(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v-t和s-t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
A　　 B　　 　 C　　 　D
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
BD　[由题图A可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在途中不可能出现船头并齐，故A错误；由题图B可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，由题图可以判断，甲、丙在途中会出现位移相同的时刻，所以甲、丙在途中会出现船头并齐，故B正确；由题图C可知，丁一直运动在甲的前面，所以甲、丁在途中不可能出现船头并齐，故C错误；题图D的s-t图像中交点表示两船相遇，所以甲、戊在途中会出现船头并齐，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(多选)(2025·山东青岛模拟)图甲为a、b两名运动员4×100 m接力赛交接棒的情境。某次比赛时，在直道接力区域完成交接棒过程中，a、b两运动员运动的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
√
A．a为接棒运动员，b为交棒运动员
B．0～t1时间内，a和b二者间距离越来越大
C．由图乙可知，两运动员在t1时刻完成交接棒
D．交接棒时的速度越大，因交接棒对比赛成绩的影响越小
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
CD　[由题图乙可知，交接棒过程中，接棒运动员在前，从静止开始向前加速运动，交棒运动员在后，开始时交棒运动员速度大于接棒运动员速度，二者之间的距离越来越小，当二者速度相等时，二者距离达到最小，即t1时刻完成交接棒动作。交接棒完成后，接棒运动员继续加速直到达到最大速度，交棒运动员继续减速直到停下，综上分析，a为交棒运动员，b为接棒运动员，故A错误，C正确；根据上述可知，0～t1过程中，b在前，a在后，二者距离越来越小，故B错误；交接棒时的速度越大，移动相同位移所需时间越短，因交接棒而损失的时间越少，对比赛成绩的影响越小，故D正确。故选CD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．(多选)甲、乙两质点以某时刻作为计时起点，得到的x-t图像如图所示，甲图线为一曲线，且曲线在O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，下列说法正确的是(　　)
√
A．甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的
B．在两质点相遇前，t1时刻两质点相距最远
C．t2时刻甲质点与乙质点的速度大小相等
D．t3时刻甲质点在乙质点的前方
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
AB　[由x-t图像可知，图像的斜率等于速度，则甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的，A正确；在两质点相遇前，t1时刻之前甲的速度大于乙的速度，在t1时刻两质点速度相等，此时两质点相距最远，B正确；在t1时刻两质点速度相等，则t2时刻甲质点的速度小于乙质点的速度，C错误；t3时刻两质点位移相等，则此时甲、乙两质点相遇，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
6．(多选)(2025·新疆乌鲁木齐一模)如图所示，甲、乙两车在平直的公路上沿各自车道向同一方向运动，t＝0时刻乙车在甲车前5 m的位置，它们的v-t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2 s时，甲、乙两车并排行驶
B．t＝4 s时，甲、乙两车并排行驶
C．全程甲、乙两车两次并排行驶
D．全程甲、乙两车三次并排行驶
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
AD　[根据v-t图像得t＝2 s时，甲车的位移x甲＝5 m，乙车的位移x乙＝0，因为初始乙车在甲车前5 m，故此时两车并排行驶，故A正确；t＝4 s时，甲车的位移x甲＝20 m，乙车的位移x乙＝10 m，由于初始乙车在甲车前5 m，故此时两车不并排行驶，故B错误；由题图知，全过程中t＝2 s、t＝6 s、t＝10 s时两车均并排行驶，所以全程甲、乙两车三次并排行驶，故C错误，D正确。故选AD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
7．(2025·陕西铜川模拟)为了测试某品牌新能源汽车的性能，现有甲、乙两辆汽车沿平直的公路运动，t＝0时刻甲车在乙车前方x0＝60 m处，该时刻两车开始刹车，此后过程中两辆汽车的速度随时间的变化规律如图所示。则下列说法正确的是(　　)
√
A．甲、乙的加速度大小之比为4∶3
B．t＝10 s时两车之间的距离最小
C．两车可能发生碰撞
D．t＝30 s时两车相距10 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[v-t图像的斜率表示加速度，所以a甲＝－ m/s2＝－2 m/s2，a乙＝－ m/s2＝－1 m/s2，则甲、乙的加速度大小之比为2∶1，故A错误；因为甲车在前，乙车在后，且在10 s之前，甲车的速度大于乙车的速度，在10 s之后，甲车的速度小于乙车的速度，所以在10 s时，两车相距最远，故B错误；根据题图可知，甲车运动的总位移为x甲＝×40×20 m＝400 m，乙车运动的总位移为x乙＝×30×30 m＝450 m，则两车的最小距离为Δx＝x0－(x乙－x甲)＝[60－(450－400)] m＝10 m，则两车不可能发生碰撞，故C错误，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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10
√
8．(2025·云南昆明模拟)一辆轿车在平直公路上以30 m/s的速度行驶，突然发现前方90 m处旁边车道上的重型货车以10 m/s的速度匀速行驶，由于前方路况复杂，为规避风险，轿车刹车做匀减速运动，轿车减速的加速度大小为2 m/s2，轿车与货车在共速前运动的x-v2(x为位移，v为速度)图像如图中①、②所示，则轿车与货车共速前(　　)
A．轿车会超过货车
B．轿车刚好能追上货车
C．轿车不能追上货车
D．两者间的距离先增大后减小
题号
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A　[由题图可知共速时轿车位移为200 m，货车位移为100 m，共速时的位移差为100 m，超过初始距离90 m，故轿车会超过货车，故A正确，B、C错误。共速前轿车速度大于货车，所以二者距离先减少，直到轿车超过货车后再增大，故D错误。]
题号
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9．(2025·湖北武汉模拟)某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10 m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为x0＝5 m。甲车由静止开始做加速度a1＝1 m/s2的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为v0＝1 m/s、加速度为a2＝0.5 m/s2的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求：
(1)甲、乙两车间的最小距离Δx；
(2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。
题号
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[解析]　(1)设经过时间t，甲乙两车达到共速，此时两车之间的距离最小，则有v＝a1t＝v0＋a2t
解得t＝2 s，v＝2 m/s
则此过程中，甲车的位移x1＝t＝2 m
乙车的位移x2＝t＝3 m
故两车之间的最小距离Δx＝x1＋x0－x2＝4 m。
题号
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(2)由于x0＝5 m0，乙车没有追上甲车，设经过Δt，二者之间的通讯中断，则有
a1(Δt)2＋x0－＝d
解得Δt＝(2＋2) s(为负值的解舍去)。
[答案]　(1)4 m　(2)(2＋2) s
题号
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10．在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件 (试用多种方法求解)
题号
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[解析]　方法一　情境分析法
利用位移公式、速度公式求解。对A车有xA＝v0t＋×(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t，对B车有xB＝at2，vB＝at，两车位移关系有x＝xA－xB，追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，联立以上各式解得v0＝，故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
题号
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方法二　函数分析法
利用判别式求解。由法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)t2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
题号
1
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方法三　图像分析法
利用v-t图像求解。先作A、B两车的v-t图像，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v'＝v0－2at
对B车有vB＝v'＝at，以上两式联立解得t＝，经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
[答案]　v0≤
谢谢！课时作业(五)　追及相遇问题
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共58分。
1．(2025·贵州遵义模拟)警犬驯导员正在测试警犬的服从性。初始时刻，警犬和皮球(均可视为质点)在同一位置，驯导员将皮球沿平直地面瞬间踢出，警犬立即从静止开始追赶皮球，皮球和警犬沿同一直线运动，且在t1时刻警犬追上皮球。下列能反映该过程两者速度v与时间t关系图像的是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
2．(2025·重庆模拟)如图所示，在一条足够长的水平直道上，汽车甲做匀速直线运动，汽车乙从t＝0时刻由静止开始做匀加速直线运动。在t＝0到t＝t0时间段内，下列说法正确的是(　　)
A．若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙一定能追上甲
B．若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙可能追上甲
C．若t＝0时刻，甲在后、乙在前，则甲一定能追上乙
D．若t＝0时刻，甲在后、乙在前，则甲可能追上乙
3．(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v-t和s-t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
4．(多选)(2025·山东青岛模拟)图甲为a、b两名运动员4×100 m接力赛交接棒的情境。某次比赛时，在直道接力区域完成交接棒过程中，a、b两运动员运动的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．a为接棒运动员，b为交棒运动员
B．0～t1时间内，a和b二者间距离越来越大
C．由图乙可知，两运动员在t1时刻完成交接棒
D．交接棒时的速度越大，因交接棒对比赛成绩的影响越小
5．(多选)甲、乙两质点以某时刻作为计时起点，得到的x-t图像如图所示，甲图线为一曲线，且曲线在O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的
B．在两质点相遇前，t1时刻两质点相距最远
C．t2时刻甲质点与乙质点的速度大小相等
D．t3时刻甲质点在乙质点的前方
6．(多选)(2025·新疆乌鲁木齐一模)如图所示，甲、乙两车在平直的公路上沿各自车道向同一方向运动，t＝0时刻乙车在甲车前5 m的位置，它们的v-t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2 s时，甲、乙两车并排行驶
B．t＝4 s时，甲、乙两车并排行驶
C．全程甲、乙两车两次并排行驶
D．全程甲、乙两车三次并排行驶
7．(2025·陕西铜川模拟)为了测试某品牌新能源汽车的性能，现有甲、乙两辆汽车沿平直的公路运动，t＝0时刻甲车在乙车前方x0＝60 m处，该时刻两车开始刹车，此后过程中两辆汽车的速度随时间的变化规律如图所示。则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙的加速度大小之比为4∶3
B．t＝10 s时两车之间的距离最小
C．两车可能发生碰撞
D．t＝30 s时两车相距10 m
8．(2025·云南昆明模拟)一辆轿车在平直公路上以30 m/s的速度行驶，突然发现前方90 m处旁边车道上的重型货车以10 m/s的速度匀速行驶，由于前方路况复杂，为规避风险，轿车刹车做匀减速运动，轿车减速的加速度大小为2 m/s2，轿车与货车在共速前运动的x-v2(x为位移，v为速度)图像如图中①、②所示，则轿车与货车共速前(　　)
A．轿车会超过货车
B．轿车刚好能追上货车
C．轿车不能追上货车
D．两者间的距离先增大后减小
9．(10分)(2025·湖北武汉模拟)某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10 m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为x0＝5 m。甲车由静止开始做加速度a1＝1 m/s2的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为v0＝1 m/s、加速度为a2＝0.5 m/s2的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求：
(1)甲、乙两车间的最小距离Δx；
(2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。
10．(8分)在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件 (试用多种方法求解)
课时作业(五)
1．D　[由题可知，皮球在整个过程中做匀减速运动，警犬做初速度为0的匀加速直线运动，追上皮球时，皮球的位移与警犬的位移大小应相等，即v-t图像中，图像与坐标轴围成的面积大小相等。故选D。]
2．D　[若t＝0时刻，甲在前、乙在后，则乙与甲的距离将越来越大，乙一定不能追上甲，故A、B错误；若t＝0时刻，甲在后、乙在前，当甲、乙的初始距离较小(小于或等于0～t0内的相对位移)时，甲能追上乙，反之则不能追上乙，可知甲可能追上乙，故D正确，C错误。故选D。]
3．BD　[由题图A可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在途中不可能出现船头并齐，故A错误；由题图B可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，由题图可以判断，甲、丙在途中会出现位移相同的时刻，所以甲、丙在途中会出现船头并齐，故B正确；由题图C可知，丁一直运动在甲的前面，所以甲、丁在途中不可能出现船头并齐，故C错误；题图D的s-t图像中交点表示两船相遇，所以甲、戊在途中会出现船头并齐，故D正确。]
4．CD　[由题图乙可知，交接棒过程中，接棒运动员在前，从静止开始向前加速运动，交棒运动员在后，开始时交棒运动员速度大于接棒运动员速度，二者之间的距离越来越小，当二者速度相等时，二者距离达到最小，即t1时刻完成交接棒动作。交接棒完成后，接棒运动员继续加速直到达到最大速度，交棒运动员继续减速直到停下，综上分析，a为交棒运动员，b为接棒运动员，故A错误，C正确；根据上述可知，0～t1过程中，b在前，a在后，二者距离越来越小，故B错误；交接棒时的速度越大，移动相同位移所需时间越短，因交接棒而损失的时间越少，对比赛成绩的影响越小，故D正确。故选CD。]
5．AB　[由x-t图像可知，图像的斜率等于速度，则甲、乙两质点是同时、同地、同向出发的，A正确；在两质点相遇前，t1时刻之前甲的速度大于乙的速度，在t1时刻两质点速度相等，此时两质点相距最远，B正确；在t1时刻两质点速度相等，则t2时刻甲质点的速度小于乙质点的速度，C错误；t3时刻两质点位移相等，则此时甲、乙两质点相遇，D错误。]
6．AD　[根据v-t图像得t＝2 s时，甲车的位移x甲＝5 m，乙车的位移x乙＝0，因为初始乙车在甲车前5 m，故此时两车并排行驶，故A正确；t＝4 s时，甲车的位移x甲＝20 m，乙车的位移x乙＝10 m，由于初始乙车在甲车前5 m，故此时两车不并排行驶，故B错误；由题图知，全过程中t＝2 s、t＝6 s、t＝10 s时两车均并排行驶，所以全程甲、乙两车三次并排行驶，故C错误，D正确。故选AD。]
7．D　[v-t图像的斜率表示加速度，所以a甲＝－ m/s2＝－2 m/s2，a乙＝－ m/s2＝－1 m/s2，则甲、乙的加速度大小之比为2∶1，故A错误；因为甲车在前，乙车在后，且在10 s之前，甲车的速度大于乙车的速度，在10 s之后，甲车的速度小于乙车的速度，所以在10 s时，两车相距最远，故B错误；根据题图可知，甲车运动的总位移为x甲＝×40×20 m＝400 m，乙车运动的总位移为x乙＝×30×30 m＝450 m，则两车的最小距离为Δx＝x0－(x乙－x甲)＝[60－(450－400)] m＝10 m，则两车不可能发生碰撞，故C错误，D正确。]
8．A　[由题图可知共速时轿车位移为200 m，货车位移为100 m，共速时的位移差为100 m，超过初始距离90 m，故轿车会超过货车，故A正确，B、C错误。共速前轿车速度大于货车，所以二者距离先减少，直到轿车超过货车后再增大，故D错误。]
9．解析：(1)设经过时间t，甲乙两车达到共速，此时两车之间的距离最小，则有v＝a1t＝v0＋a2t
解得t＝2 s，v＝2 m/s
则此过程中，甲车的位移x1＝t＝2 m
乙车的位移x2＝t＝3 m
故两车之间的最小距离Δx＝x1＋x0－x2＝4 m。
(2)由于x0＝5 m0，乙车没有追上甲车，设经过Δt，二者之间的通讯中断，则有
a1(Δt)2＋x0－＝d
解得Δt＝(2＋2) s(为负值的解舍去)。
答案：(1)4 m　(2)(2＋2) s
10．解析：方法一　情境分析法
利用位移公式、速度公式求解。对A车有xA＝v0t＋×(－2a)t2，vA＝v0＋(－2a)t，对B车有xB＝at2，vB＝at，两车位移关系有x＝xA－xB，追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，联立以上各式解得v0＝，故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法二　函数分析法
利用判别式求解。由法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)t2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2x＝0时，两车刚好不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法三　图像分析法
利用v-t图像求解。先作A、B两车的v-t图像，如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v'＝v0－2at
对B车有vB＝v'＝at，以上两式联立解得t＝，经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
答案：v0≤
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