资源简介 第11课时 动态平衡和平衡中的临界、极值问题[学习目标] 1．学会用图解法、解析法等方法解决动态平衡问题。2．会分析平衡中的临界与极值问题。共点力的动态平衡 解析法的应用物体受三个及以上力的作用并处于平衡状态，且能利用力的矢量三角形或正交分解写出各力之间的关系。根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。[典例1] (2025·陕西渭南一模)如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是( )A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小C．地面对大理石半球的摩擦力始终为0D．地面对大理石半球的支持力变小_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 图解法的应用一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。例如：挡板P由竖直位置沿逆时针方向向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化(如图所示)。[典例2] (2025·海南三亚模拟)《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示，轻绳一端固定，另一端系在重物上，现向左推动车梯，重物沿斜面缓慢上升，忽略重物和车梯间的摩擦阻力，则此过程中( )A．小球受到的轻绳拉力不变B．小球受到的轻绳拉力增大C．小球受到的斜面支持力不变D．小球受到的斜面支持力增大__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 相似三角形法的应用一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示)受力分析 力的矢量三角形 和几何三角形相似 比例＝＝＝＝＝＝[典例3] (2025·湖南株洲一模)如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L0的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为θ，已知k＝，L0＝R，则下列选项正确的是( )A．θ＝45°B．弹簧的长度为2L0C．小环受到大环的支持力为mgD．弹簧弹力大小是____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 正弦定理的应用如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。[典例4] 物理兴趣小组，在学习了力的合成和分解后，设计了如图所示的情境来体验力的作用效果，细线OB一端系于铅笔右端，另一端拴在手指上，使OA水平，手掌始终伸直，再在O处悬挂一物块，假设铅笔的重力可以忽略不计，在保证装置不散架的情况下，将整个装置绕过点A垂直于纸面的轴在竖直平面内逆时针缓慢转动的过程中，下列说法正确的是( )A．A点的刺痛感会增强B．A点的刺痛感会减弱C．OB绳一定不会被拉断D．OB绳可能被拉断___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。2．极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3．解题方法极限法 首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点数学分 析法 根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)物理分 析方法 根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值[典例5] (多选)如图所示，一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接，现用一水平力F拉小球，使细线偏离竖直方向30°，然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向，在转动过程中小球静止不动，g取10 m/s2，那么F的大小可能为( )A．15 N B．30 NC．50 N D．100 N_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________拓展思考 如图，若再用一根轻质细线把另一个球A竖直悬挂在同一点，并用另一根轻质细线连接两球，两球均处于静止状态，三根细线均处于拉直状态，那么F转动过程中竖直细线和连接两球的细线拉力如何变化 [典例5]中的四个选项哪些是正确的 若把连接两球的细线换成轻杆呢 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[典例6] (2025·陕西西安一模)在一个倾角为37°的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为m＝2 kg的物块，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力F，使物块在斜面上以恒定速度v＝2 m/s沿斜面向上运动。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，则外力F的最小值为( )A．4 N B．8 NC．12 N D．16 N_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________方法技巧：辅助角公式的应用y＝acos θ＋bsin θ＝·cos θ＋sin θ令sin φ＝，cos φ＝则有y＝(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝sin(φ＋θ)，所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝。第11课时 进阶点1典例1 C [对小蚂蚁受力分析如图所示。可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为f＝mgsin θ，蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcos θ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故A、B错误；选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力大小始终等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。故选C。]典例2 D [缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力的大小、方向不变，支持力的方向不变，而轻绳拉力的方向不断变化，受力如图所示。由图可知，重物所受支持力FN不断增大，轻绳拉力T先减小后增大。故选D。]典例3 C [对小环受力分析，如图所示，由力矢量三角形与几何三角形相似可得＝＝，可得小环受到大环的支持力FN＝mg，设弹簧长度为AB＝L，由胡克定律有k(L－L0)＝2mgcos θ，由几何关系有L＝2Rcos θ，联立方程解得θ＝30°，L＝R＝3L0，弹簧弹力为k(L－L0)＝mg，故选C。]典例4 C [对O点进行受力分析，如答图所示。根据正弦定理可得＝＝，由题意可知，在整个装置绕过A点垂直于纸面的轴在竖直平面内逆时针缓慢转动的过程中，(π－θ)保持不变，即保持不变。由于∠1变小，从钝角变为锐角，sin∠1先变大后变小，则铅笔的弹力FAO先变大后变小，A点的刺痛感先增强后减弱。由于∠2变大，sin∠2变小，则OB绳的拉力FBO变小，所以OB绳一定不会被拉断。故选C。]进阶点2典例5 BC [如图，小球受重力mg、细线拉力FT、拉力F，三个力的合力为0，逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中，F先减小后增大。初位置F＝mgtan 30°≈28.9 N；F与细线垂直时最小，为F＝mgsin 30°＝25 N；竖直位置F＝mg＝50 N。故A、D错误，B、C正确。]拓展思考 解析：对球A受力分析，受重力和竖直细线的拉力，根据受力平衡，连接两球的细线拉力为0，竖直细线拉力等于球A的重力，所以F转动过程中，竖直细线和连接两球的细线拉力不变，F的最大值、最小值与[典例5]中相同，答案仍为BC。若把连接两球的细线换成轻杆，结论也是如此。答案：见解析典例6 B [设外力F与斜面的夹角为θ，物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动，由垂直于斜面方向平衡得FN＋Fsin θ＝mgcos 37°，由平行于斜面方向平衡得Fcos θ－mgsin 37°－Ff＝0，又Ff＝μFN，设sin α＝，cos α ＝ ，整理得F＝，当α＋θ＝90°时，外力F有最小值，F＝＝8 N，故选B。]1 / 1(共52张PPT)第二章 相互作用——力第11课时 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)[学习目标] 1．学会用图解法、解析法等方法解决动态平衡问题。2．会分析平衡中的临界与极值问题。进阶点1 共点力的动态平衡角度1 解析法的应用物体受三个及以上力的作用并处于平衡状态，且能利用力的矢量三角形或正交分解写出各力之间的关系。根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。[典例1] (2025·陕西渭南一模)如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此过程中，下列说法正确的是( )A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小C．地面对大理石半球的摩擦力始终为0D．地面对大理石半球的支持力变小√C [对小蚂蚁受力分析如图所示。可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为f＝mgsin θ，蚂蚁受到的支持力为FN＝mgcos θ，小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向P点的过程中θ逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故A、B错误；选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力大小始终等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。故选C。]角度2 图解法的应用一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。例如：挡板P由竖直位置沿逆时针方向向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化(如图所示)。[典例2] (2025·海南三亚模拟)《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示，轻绳一端固定，另一端系在重物上，现向左推动车梯，重物沿斜面缓慢上升，忽略重物和车梯间的摩擦阻力，则此过程中( )A．小球受到的轻绳拉力不变B．小球受到的轻绳拉力增大C．小球受到的斜面支持力不变D．小球受到的斜面支持力增大√D [缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力的大小、方向不变，支持力的方向不变，而轻绳拉力的方向不断变化，受力如图所示。由图可知，重物所受支持力FN不断增大，轻绳拉力T先减小后增大。故选D。]【教师备选资源】如图(a)所示，某人借助瑜伽球锻炼腿部力量，她屈膝静蹲，背部倚靠在瑜伽球上，瑜伽球紧靠竖直墙面，假设瑜伽球光滑且可视为均匀球体，整体可简化成如图(b)所示。当人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角θ<，下列说法正确的是( )A．墙面对球的力保持不变B．人受到地面的摩擦力变大C．地面对人的支持力变大D．球对人的压力先增大后减小√B [对瑜伽球受力分析，如答图甲所示，由平衡条件可知N1＝mgtan θ，N2＝，人缓慢竖直站立的过程中，人的背部与水平面夹角逐渐变大，则墙面对球的力N1增大，人对球的支持力N2增大，根据牛顿第三定律可知，球对人的压力增大，故A、D错误；对整体受力分析，如答图乙所示，由平衡条件可知FN＝(M＋m)g，f＝N1，人受到地面的摩擦力变大，地面对人的支持力不变，故B正确，C错误。图解法：A、D选项的分析也可以用图解法。如图丙所示，人缓慢竖直站立的过程中，人的背部对球的弹力方向与竖直方向的夹角逐渐变大，则墙面对球的力N1增大，人对球的支持力N2增大。]角度3 相似三角形法的应用一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法。(如表所示)受力分析 力的矢量三角形和几何三角形相似 比例 ＝＝受力分析 力的矢量三角形和几何三角形相似 比例 ＝＝受力分析 力的矢量三角形和几何三角形相似 比例 ＝＝[典例3] (2025·湖南株洲一模)如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L0的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为θ，已知k＝，L0＝R，则下列选项正确的是( )A．θ＝45°B．弹簧的长度为2L0C．小环受到大环的支持力为mgD．弹簧弹力大小是√C [对小环受力分析，如图所示，由力矢量三角形与几何三角形相似可得＝＝，可得小环受到大环的支持力FN＝mg，设弹簧长度为AB＝L，由胡克定律有k(L－L0)＝2mgcos θ，由几何关系有L＝2Rcos θ，联立方程解得θ＝30°，L＝R＝3L0，弹簧弹力为k(L－L0)＝mg，故选C。]角度4 正弦定理的应用如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。[典例4] 物理兴趣小组，在学习了力的合成和分解后，设计了如图所示的情境来体验力的作用效果，细线OB一端系于铅笔右端，另一端拴在手指上，使OA水平，手掌始终伸直，再在O处悬挂一物块，假设铅笔的重力可以忽略不计，在保证装置不散架的情况下，将整个装置绕过点A垂直于纸面的轴在竖直平面内逆时针缓慢转动的过程中，下列说法正确的是( )A．A点的刺痛感会增强B．A点的刺痛感会减弱C．OB绳一定不会被拉断D．OB绳可能被拉断√C [对O点进行受力分析，如答图所示。根据正弦定理可得＝＝，由题意可知，在整个装置绕过A点垂直于纸面的轴在竖直平面内逆时针缓慢转动的过程中，(π－θ)保持不变，即保持不变。由于∠1变小，从钝角变为锐角，sin∠1先变大后变小，则铅笔的弹力FAO先变大后变小，A点的刺痛感先增强后减弱。由于∠2变大，sin∠2变小，则OB绳的拉力FBO变小，所以OB绳一定不会被拉断。故选C。]【教师备选资源】(辅助圆法)如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为m的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。开始时，F方向水平。现缓慢增大θ角，同时保持α角(α>90°)不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则下列说法正确的是( )A．外力F逐渐增大B．外力F与细线拉力FT的比值保持不变C．地面对斜面的摩擦力逐渐增大D．地面对斜面的作用力保持不变√A [如答图所示，作出外力F、细线拉力FT的合力，二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至细线水平，因此外力F逐渐增大，细线拉力FT逐渐减小，外力F与细线拉力FT的比值增加，故A正确，B错误；在此过程中，拉力F变为F'时，水平分力最大，即水平分力先增大后减小，应用整体法可分析出地面对斜面的摩擦力先增大后减小，故C错误；在此过程中，拉力F的竖直分力逐渐增大，根据整体法可分析出地面对斜面的支持力一直在减小，由C项知地面对斜面的摩擦力先增大后减小，地面对斜面的作用力为支持力与摩擦力的合力，由勾股定理知，地面对斜面的作用力发生变化，故D错误。]辅助圆法：一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题，利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。进阶点2 平衡中的临界与极值问题2．极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。3．解题方法极限法 首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点数学分 析法 根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)物理分 析方法 根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值[典例5] (多选)如图所示，一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接，现用一水平力F拉小球，使细线偏离竖直方向30°，然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向，在转动过程中小球静止不动，g取10 m/s2，那么F的大小可能为( )A．15 N B．30 NC．50 N D．100 N√√BC [如图，小球受重力mg、细线拉力FT、拉力F，三个力的合力为0，逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中，F先减小后增大。初位置F＝mgtan 30°≈28.9 N；F与细线垂直时最小，为F＝mgsin 30°＝25 N；竖直位置F＝mg＝50 N。故A、D错误，B、C正确。]拓展思考 如图，若再用一根轻质细线把另一个球A竖直悬挂在同一点，并用另一根轻质细线连接两球，两球均处于静止状态，三根细线均处于拉直状态，那么F转动过程中竖直细线和连接两球的细线拉力如何变化 [典例5]中的四个选项哪些是正确的 若把连接两球的细线换成轻杆呢 [解析] 对球A受力分析，受重力和竖直细线的拉力，根据受力平衡，连接两球的细线拉力为0，竖直细线拉力等于球A的重力，所以F转动过程中，竖直细线和连接两球的细线拉力不变，F的最大值、最小值与[典例5]中相同，答案仍为BC。若把连接两球的细线换成轻杆，结论也是如此。[答案] 见解析[典例6] (2025·陕西西安一模)在一个倾角为37°的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为m＝2 kg的物块，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力F，使物块在斜面上以恒定速度v＝2 m/s沿斜面向上运动。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，则外力F的最小值为( )A．4 N B．8 NC．12 N D．16 N√B [设外力F与斜面的夹角为θ，物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动，由垂直于斜面方向平衡得FN＋Fsin θ＝mgcos 37°，由平行于斜面方向平衡得Fcos θ－mgsin 37°－Ff＝0，又Ff＝μFN，设sin α＝，cos α＝，整理得F＝，当α＋θ＝90°时，外力F有最小值，F＝＝8 N，故选B。]方法技巧：辅助角公式的应用y＝acos θ＋bsin θ＝cos θ＋sin θ令sin φ＝，cos φ＝则有y＝(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝sin(φ＋θ)，所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝。课时作业(十一) 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)题号13524687910111．(2025·河北卷)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为( )A．G B．G C．G D．G√B [分析可知当凹槽底部对小球支持力为0时，此时拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G ，解得Fm＝G，故选B。]题号13524687910112．(2025·四川巴中一模)2025年某市物理竞赛中，小球在轻绳悬挂下施加水平力F，最终稳定于与竖直方向夹角为θ的位置(如图所示)。不计空气阻力。下列描述中，能正确描述绳子拉力T的是( )A．T与cos θ成反比关系B．T随θ变大而减小C．T与θ成反比关系D．T与cos θ成正比关系√题号1352468791011A [对小球进行受力分析，如图所示。由答图可知，小球竖直方向受力平衡，故Tcos θ－mg＝0，即T＝，可知T与cos θ成反比关系。故选A。]题号13524687910113．(2024·山东卷)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于( ) A． B． C． D．√题号1352468791011B [只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，B正确。]题号13524687910114．(2025·湖北黄冈模拟)某品牌双肩书包在人体工学设计和舒适度提升方面进行了特别研究。如图所示为学生背上书包时的侧视图，书包与背部接触面竖直，两条长度相同的背带(图中仅展示了一条)分别跨过左、右肩部并连接到书包，确保两条背带的上(下)端连接点P与P'(Q与Q')等高，左、右肩部的背带平面平行且与背部平面垂直。在忽略背部与书包、肩部与背带之间的摩擦力，以及不考虑背带质量的情况下，若背上书包后，仅对两条背带增加相同长度，则( )A．背部对书包的作用力大小变大B．背部对书包的作用力大小先变大后变小C．背带对肩部的作用力大小变小D．背带对肩部的作用力大小先变小后变大√题号1352468791011C [设两条背带对肩部的作用力大小合力为F1，两条背带对书包的作用力大小为F2，背部对书包的作用力大小为F3。不考虑背带与肩部的摩擦力，则背带上各处张力相等且F1与F2大小相等、方向相反。分析书包受力如图，若仅对两条背带增加相同长度，F2与竖直方向的夹角变小，F2与F3的大小均变小。故选C。]题号13524687910115．(2025·甘肃天水模拟)如图所示，一根细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹角为37°且绷紧，小球A处于静止状态，sin 37°＝，cos 37°＝，重力加速度为g，则需对小球施加的最小力等于( )A．mg B．mgC．mg D．mg√题号1352468791011C [以小球为研究对象，分析受力，如图所示，根据作图法分析，当对小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小，根据平衡条件，F的最小值Fmin＝mgsin 37°＝mg，故选C。]题号13524687910116．(2025·辽宁朝阳模拟)如图所示，水平杆AO与光滑竖直杆OB，金属球P、Q分别套在杆OB和OA上，并用轻绳连接，水平杆粗糙，现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许，则P 球受到的摩擦力f和OB杆和OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T的变化情况为( )A．f 减小，NB增大B．f 增大，NA增大C．f 增大，T减小D．NA不变，T增大√题号1352468791011D [设每个小球的质量为m。以整体为研究对象，在竖直方向有N＝2mg，故将P环稍微向左移动少许后NA不变；以Q为研究对象，Q静止时合力为0，没有变化，Q受力情况如图所示，故有Tcos θ＝mg，可得T＝，由于P向右移动一小段，故θ增大，所以T增大。而NB＝Tsin θ＝mgtan θ，由于θ增大，所以竖杆对Q的弹力NB增大。对整体来说，NB＝f，故P所受的摩擦力f增大。故选D。]题号13524687910117．(2025·江苏苏州高三专题检测)如图所示，一个晾衣架放在水平地面上静止，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢减小时，每根斜杆受到地面的( )A．支持力增大 B．支持力减小C．摩擦力增大 D．摩擦力减小√题号1352468791011D [对衣架、横杆、衣服组成的整体受力分析，整体所受重力与地面的支持力平衡。设整体重力为G，则每根斜杆受到地面的支持力FN＝，即θ变化不影响支持力大小，故A、B错误；每根斜杆中的力在水平方向为Fx＝Fntan ＝G＝f，随着角度θ缓慢减小，则tan 减小，摩擦力f也减小，故C错误，D正确。故选D。]题号13524687910118．(2025·黑龙江哈尔滨期末)如图所示，圆心为O、半径为R＝1 m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5 m，轻绳的一端系一质量为1 kg的小球(小球和小定滑轮均可视为质点)，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2 m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝5 NB．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小FT＝10 ND．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大√题号1352468791011B [小球受力如答图所示。由答图可知力的矢量三角形与几何三角形△AOC相似，则有＝＝，解得FN＝＝4 N，FT＝＝8 N，故A、C错误；缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，根据FN＝，FT＝，其中mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小，故B正确，D错误。故选B。]题号13524687910119．(2025·河南郑州一模)如图所示，重型自卸车能利用液压装置使车厢缓慢倾斜，车厢内的货物包会自动滑下。已知货物包重力为G，与车厢底板间的静摩擦因数为0.75(静摩擦因数是最大静摩擦力与正压力的比值)，动摩擦因数为0.70。下列四个图像中的曲线都是正弦或余弦曲线，其中的实曲线能正确描述货物包所受摩擦力Ff随车厢倾角θ变化关系的是( )√A BC D题号1352468791011B [当车厢倾角从水平开始增加时，开始阶段货物与车厢间的摩擦力为静摩擦力，大小为f＝Gsin θ，静摩擦力的最大值为fm＝μmGcos θ＝0.75Gcos θ，即当f＝fm时货物开始将要滑动，此位置在函数f＝Gsin θ与fm＝0.75Gcos θ图像的交点位置；之后货物向下滑动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μGcos θ＝0.7Gcos θ，随θ增加，滑动摩擦力减小。故选B。]题号135246879101110．(2025·山东日照一模)如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ＝30°，轨道对小球的支持力大小为FN，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是( )A．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为mgB．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为(－1)mgC．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大D．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为2mg√题号1352468791011B [将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球若能静止在A点，根据三角形法则，画出小球的受力变化情况，如图甲所示。由图甲可以看出，F先变小后变大，当F与FN垂直时拉力最小为Fmin＝mgsin 30°＝mg，FN一直减小，根据正弦定理可知最小值为＝，解得FNmin＝(－1)mg，故A错误，B正确；将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，如图乙所示。则拉力F、FN都在增大，FN的最小值为F'Nmin＝＝mg，故C、D错误。故选B。]题号135246879101111．(2025·河北邯郸模拟)我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为( )A．mg B．mgC．mg D．mg√题号1352468791011A [对矿石受力分析如图所示，将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Tmin＝mgsin(α＋β)，得Tmin＝mg。故选A。]谢谢！课时作业(十一) 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课)说明：选择题每小题4分；本试卷共44分。 1．(2025·河北卷)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为( )A．G B．GC．G D．G2．(2025·四川巴中一模)2025年某市物理竞赛中，小球在轻绳悬挂下施加水平力F，最终稳定于与竖直方向夹角为θ的位置(如图所示)。不计空气阻力。下列描述中，能正确描述绳子拉力T的是( )A．T与cos θ成反比关系B．T随θ变大而减小C．T与θ成反比关系D．T与cos θ成正比关系3．(2024·山东卷)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于( )A． B． C． D．4．(2025·湖北黄冈模拟)某品牌双肩书包在人体工学设计和舒适度提升方面进行了特别研究。如图所示为学生背上书包时的侧视图，书包与背部接触面竖直，两条长度相同的背带(图中仅展示了一条)分别跨过左、右肩部并连接到书包，确保两条背带的上(下)端连接点P与P'(Q与Q')等高，左、右肩部的背带平面平行且与背部平面垂直。在忽略背部与书包、肩部与背带之间的摩擦力，以及不考虑背带质量的情况下，若背上书包后，仅对两条背带增加相同长度，则( )A．背部对书包的作用力大小变大B．背部对书包的作用力大小先变大后变小C．背带对肩部的作用力大小变小D．背带对肩部的作用力大小先变小后变大5．(2025·甘肃天水模拟)如图所示，一根细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹角为37°且绷紧，小球A处于静止状态，sin 37°＝，cos 37°＝，重力加速度为g，则需对小球施加的最小力等于( )A．mg B．mgC．mg D．mg6．(2025·辽宁朝阳模拟)如图所示，水平杆AO与光滑竖直杆OB，金属球P、Q分别套在杆OB和OA上，并用轻绳连接，水平杆粗糙，现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许，则P 球受到的摩擦力f和OB杆和OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T的变化情况为( )A．f减小，NB增大B．f增大，NA增大C．f增大，T减小D．NA不变，T增大7．(2025·江苏苏州高三专题检测)如图所示，一个晾衣架放在水平地面上静止，水平横杆与四根相同的轻质斜杆垂直，两斜杆间的夹角为θ，当θ缓慢减小时，每根斜杆受到地面的( )A．支持力增大 B．支持力减小C．摩擦力增大 D．摩擦力减小8．(2025·黑龙江哈尔滨期末)如图所示，圆心为O、半径为R＝1 m的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5 m，轻绳的一端系一质量为1 kg的小球(小球和小定滑轮均可视为质点)，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2 m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝5 NB．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小FT＝10 ND．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大9．(2025·河南郑州一模)如图所示，重型自卸车能利用液压装置使车厢缓慢倾斜，车厢内的货物包会自动滑下。已知货物包重力为G，与车厢底板间的静摩擦因数为0.75(静摩擦因数是最大静摩擦力与正压力的比值)，动摩擦因数为0.70。下列四个图像中的曲线都是正弦或余弦曲线，其中的实曲线能正确描述货物包所受摩擦力Ff随车厢倾角θ变化关系的是( )A BC D10．(2025·山东日照一模)如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ＝30°，轨道对小球的支持力大小为FN，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是( )A．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为mgB．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为(－1)mgC．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大D．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为2mg11．(2025·河北邯郸模拟)我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为( )A．mg B．mgC．mg D．mg课时作业(十一)1．B [分析可知当凹槽底部对小球支持力为0时，此时拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G ，解得Fm＝G，故选B。]2．A [对小球进行受力分析，如图所示。由答图可知，小球竖直方向受力平衡，故Tcos θ－mg＝0，即T＝，可知T与cos θ成反比关系。故选A。]3．B [只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，B正确。]4．C [设两条背带对肩部的作用力大小合力为F1，两条背带对书包的作用力大小为F2，背部对书包的作用力大小为F3。不考虑背带与肩部的摩擦力，则背带上各处张力相等且F1与F2大小相等、方向相反。分析书包受力如图，若仅对两条背带增加相同长度，F2与竖直方向的夹角变小，F2与F3的大小均变小。故选C。]5．C [以小球为研究对象，分析受力，如图所示，根据作图法分析，当对小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小，根据平衡条件，F的最小值Fmin＝mgsin 37°＝mg，故选C。]6．D [设每个小球的质量为m。以整体为研究对象，在竖直方向有N＝2mg，故将P环稍微向左移动少许后NA不变；以Q为研究对象，Q静止时合力为0，没有变化，Q受力情况如图所示，故有Tcos θ＝mg，可得T＝，由于P向右移动一小段，故θ增大，所以T增大。而NB＝Tsin θ＝mgtan θ，由于θ增大，所以竖杆对Q的弹力NB增大。对整体来说，NB＝f，故P所受的摩擦力f增大。故选D。]7．D [对衣架、横杆、衣服组成的整体受力分析，整体所受重力与地面的支持力平衡。设整体重力为G，则每根斜杆受到地面的支持力FN＝，即θ变化不影响支持力大小，故A、B错误；每根斜杆中的力在水平方向为Fx＝FNtan＝G＝f，随着角度θ缓慢减小，则tan减小，摩擦力f也减小，故C错误，D正确。故选D。]8．B [小球受力如答图所示。由答图可知力的矢量三角形与几何三角形△AOC相似，则有＝＝，解得FN＝＝4 N，FT＝＝8 N，故A、C错误；缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，根据FN＝，FT＝，其中mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小，故B正确，D错误。故选B。]9．B [当车厢倾角从水平开始增加时，开始阶段货物与车厢间的摩擦力为静摩擦力，大小为f＝Gsin θ，静摩擦力的最大值为fm＝μmGcos θ＝0.75Gcos θ，即当f＝fm时货物开始将要滑动，此位置在函数f＝Gsin θ与fm＝0.75Gcos θ图像的交点位置；之后货物向下滑动，摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μGcos θ＝0.7Gcos θ，随θ增加，滑动摩擦力减小。故选B。]10．B [将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球若能静止在A点，根据三角形法则，画出小球的受力变化情况，如图甲所示。由答图甲可以看出，F先变小后变大，当F与FN垂直时拉力最小为Fmin＝mgsin 30°＝mg，FN一直减小，根据正弦定理可知最小值为＝，解得FNmin＝(－1)mg，故A错误，B正确；将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，如图乙所示。则拉力F、FN都在增大，FN的最小值为F'Nmin＝ ＝ mg，故C、D错误。故选B。]11．A [对矿石受力分析如图所示，将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Tmin＝mgsin(α＋β)，得Tmin＝mg。故选A。]1 / 1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第二章 第11课时 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课).docx 第二章 第11课时 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课).pptx 课时作业11 动态平衡和平衡中的临界、极值问题(思维进阶课).docx
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