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[A组　基础保分练]
1.下列各组函数表示同一个函数的是 (　　)
A.f(x)=,g(x)=()2
B.f(x)=-1,g(x)=
C.f(x)=g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
答案:C
解析:对于A,f(x)=的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),不是同一个函数;
对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;
对于C,两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一个函数;
对于D,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数.
2.(2026·重庆质检)函数f(x)=+的定义域是 (　　)
A.[1,4]　　　　　　　　 B.[1,4)
C.[1,+∞) D.[2,4)
答案:B
解析:由题意知,函数f(x)=+有意义,
需满足
解得1≤x<4,
故f(x)=+的定义域为[1,4).
3.(2026·吉林长春模拟)已知f(x)=则f(f(-))= (　　)
A.- B.
C. D.
答案:A
解析:函数f(x)=则f(-)==,所以f(f(-))=f()=log2=-.
4.已知函数f(x)满足f(x)+3f(1-x)=2x+3,则f(x)= (　　)
A.+ B.-x+
C.-x+ D.-x+
答案:D
解析:因为f(x)+3f(1-x)=2x+3,①
所以用1-x代替①中的x得f(1-x)+3f(x)=2(1-x)+3=5-2x,②
则②×3-①得:8f(x)=12-8x,解得f(x)=-x.
5.已知函数f(x)=则不等式2f(x)+x-2>0的解集为 (　　)
A.{x|x<-} B.{x|-C.{x|x<-,或x>0} D.{x|x<-,或x>0}
答案:A
解析:由题意可得解得x<-,所以不等式2f(x)+x-2>0的解集为{x|x<-}.
6.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　)
A.A=Z,B=Z,f:x→y=x2
B.A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|
C.A={-1,2,1},B={0},f:x→y=0
D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x
答案:ACD
解析:根据函数定义,集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一元素与之对应.
对于A,符合函数的定义,是从A到B的函数,故A正确;
对于B,A中有元素0,在对应关系下y=0,不在集合B中,不是函数,故B错误;
对于C,A中任意元素,在对应关系下y=0,都在集合B中,是从A到B的函数,故C正确;
对于D,符合函数的定义,是从A到B的函数,故D正确.
7.(多选)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论,正确的是 (　　)
A.f(f(-1))=1
B.若f(x)=3,则x的值是
C.f(x)<1的解集为(-∞,1)
D.f(x)的值域为(-∞,4]
答案:AB
解析:因为f(-1)=-1+2=1,则f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;
当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去),
当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,
当-1所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误;
当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1因此f(x)的值域为(-∞,4),故D错误.
8.(多选)下列命题中正确的有 (　　)
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1
B.若f(3x)=x2+4x,则函数f(x)的定义域为(0,+∞)
C.若f(x-)=x3-,则函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x,则f(x)=-x
答案:BCD
解析:对于A,设f(x)=kx+b,k≠0,
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
因为f(f(x))=4x+3,
所以
故函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3,A错误;
对于B,令t=3x,则x=log3t(t>0),
则f(t)=(log3t)2+4log3t(t>0),
故函数f(x)的定义域为(0,+∞),B正确;
对于C,f(x-)=x3-=(x-)(x2+1+)=(x-)[(x-)2+3],
且x-的取值范围是R,
所以f(x)=x(x2+3)=x3+3x,C正确;
对于D,由f(x)+2f()=3x,
得f()+2f(x)=,
联立解得f(x)=-x,D正确.
9.已知函数f()=x+2,若f(a)=4,则a=　　　　　.
答案:1
解析:令=t,t≥0,
则x=t2+1(t≥0),f(t)=t2+3(t≥0),
故f(a)=a2+3=4(a≥0),解得a=1.
10.若函数f(x)=的定义域为[3,+∞),则实数a=　　　　　,实数b的取值范围为　　　　　.
答案:-3　(-∞,3)
解析:因为函数f(x)=
而函数f(x)=的定义域为[3,+∞),
所以-a=3,b<3,即a=-3,
实数b的取值范围为(-∞,3).
[B组　能力提升练]
11.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域为 (　　)
A.(-∞,-2)∪(-2,3]
B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.[-,-2)∪(-2,0]
D.[-,-2]
答案:C
解析:f(x)定义域为[-8,1],
由题意
解得-≤x≤0且x≠-2,
所以g(x)的定义域为[-,-2)∪(-2,0].
12.已知函数f(x)= 若f(2 030)=1,则实数a的值为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
答案:D
解析:因为当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),
f(x+1)=-f(x-2),
即f(x+3)=-f(x),
f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
所以f(2 030)=f(338×6+2)=f(2)
=-f(-1)=-1=1,则a=4.
13.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是　　　　.
答案:[-2,1]
解析:f(x)=当x当x≥a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),在(2,+∞)上f(x)>0.
①当a>0时,2a≤2,即00恒成立;③当a<0时,-a≤2,即-2≤a<0.综上,-2≤a≤1.(共25张PPT)
第7讲 函数的概念与表示
考点一　函数的概念
[例1]　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.函数y=·与函数y=表示同一个函数
B.已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|0≤x≤2},对应关系f:x→能构成从A到B的函数
C.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
D.若f(x)=|x-1|-x,则f(f())=0
BC
[解析]　对于y=·,有解得x≥1,
则y=·的定义域为[1,+∞),
对于y=,有x2-1≥0,解得x≤-1或x≥1,
则y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),
即y=·与y=的定义域不一致,
所以这两个函数不表示同一个函数,故A错误;
当x∈A时,0≤≤2,且x与唯一一个对应,根据函数定义可得f:x→能构成从A到B的函数,故B正确;
由函数的定义知,f(x)的图象与y轴最多有一个交点,故C正确;
由f(x)=|x-1|-x,可得f()=0,所以f(f())=f(0)=1,故D错误.
(2)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数y=的定义域为(　　)
A.(1,8]　　　　　　　　 B.[-4,1)∪(1,8]
C.(1,2] D.[-1,1)∪(1,2]
[解析]　由题意得
解得-1≤x≤2且x≠1.故y=的定义域为[-1,1)∪(1,2].
D
方法总结
1.两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.
2.抽象函数的定义域
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
跟踪训练
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
A.x+|y|=1　　　　　　 B.x2+y2=1
C.2x2+y=1 D.2x+y2=1
解析:对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数的定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.
C
2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f()+f(x-1)的定义域.
解:由f(x)的定义域为[-1,1],
∴
解得0≤x≤2,
即f()+f(x-1)的定义域为[0,2].
考点二　求函数的解析式
[例2]　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式;
[解]　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],
则sin x=1-t.
∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,
∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].
∴f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
(2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式;
[解]　(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2,
又x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±1时等号成立.
设t=x2+,
则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2),
∴f(x)=x2-2(x≥2).
(3)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.
[解]　(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2,①
∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,②
由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,
∴f(x)=3x-2(x∈R).
方法总结
函数解析式的求法
1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2+,ax±a-x与a2x+a-2x,sin x±cos x与sin xcos x,一般都运用配凑法.
2.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
3.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,可用待定系数法.
4.解方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x),这充分体现了方程思想的应用.
跟踪训练
3.已知f(+1)=lg x,则f(x)=　　 　　.
解析:令t=+1,因为x>0,则t>1,则x=,f(t)=lg,t>1,
则f(x)=lg(x>1).
lg(x>1)
4.f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则f(x)=　　　　.
解析:依题意,可设函数f(x)=kx+b(k≠0),
则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b,
由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9,
所以
故函数f(x)的解析式为f(x)=x+3.
x+3
5.f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　　　　 .
解析:已知2f(x)+f()=3x-1,①
以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1,②
①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0).
2x--(x≠0)
考点三　分段函数
角度1　分段函数求值
[例3]　(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=
则f(f(-1))=(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
[解析]　将x=-1代入,得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0,
所以f(f(-1))=f(0),将x=0代入,得到f(0)=e0+ln 1=1.
因此f(f(-1))=f(0)=1.
角度2　分段函数方程与不等式
[例4]　(1)(2026·江西宜春模拟)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为(　　)
A.0或 B.0或
C. D.
A
[解析]　若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4,
解得a=0,符合;
若1-a<0,即a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合.
综上可知,a的值为0或.
(2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(-3,1)∪(2,+∞) B.(-3,1)∪(3,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
B
[解析]　因为f(x)=所以f(1)=12-4+6=3,不等式f(x)>f(1)等价于
解得0≤x<1或x>3或-3所以不等式f(x)>f(1)的解集为(-3,1)∪(3,+∞).
方法总结
解决分段函数问题的方法
1.求分段函数的函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f(a))的值时,应由内到外依次求值.
2.已知函数值或范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
跟踪训练
6.(2026·安徽六安模拟)已知函数f(x)=则f(10)=(　　)
A.1 B.3
C.4 D.6
解析:f(10)=f(7)+1=f(4)+2=f(1)+3=30+3=4.
C
7.设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,) B.(-∞,-1)∪(,1)
C.(-1,) D.(-∞,)
A
解析:因为f(x)=
所以所以x<-1或0所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(0,).(共20张PPT)
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A组　基础保分练
1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=,g(x)=()2
B.f(x)=-1,g(x)=
C.f(x)=g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
C
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解析:对于A,f(x)=的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),不是同一个函数;
对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;
对于C,两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一个函数;
对于D,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠1},不是同一个函数.
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2.(2026·重庆质检)函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.[1,4]　　　　　　　　 B.[1,4)
C.[1,+∞) D.[2,4)
解析:由题意知,函数f(x)=+有意义,
需满足
解得1≤x<4,
故f(x)=+的定义域为[1,4).
B
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3.(2026·吉林长春模拟)已知f(x)=则f(f(-))=(　　)
A.- B.
C. D.
解析:函数f(x)=则f(-)==,所以f(f(-))=f()= log2=-.
A
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4.已知函数f(x)满足f(x)+3f(1-x)=2x+3,则f(x)=(　　)
A.+ B.-x+
C.-x+ D.-x+
解析:因为f(x)+3f(1-x)=2x+3,①
所以用1-x代替①中的x得f(1-x)+3f(x)=2(1-x)+3=5-2x,②
则②×3-①得:8f(x)=12-8x,解得f(x)=-x.
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5.已知函数f(x)=则不等式2f(x)+x-2>0的解集为 (　　)
A.{x|x<-} B.{x|-C.{x|x<-,或x>0} D.{x|x<-,或x>0}
解析:由题意可得解得x<-,所以不等式2f(x)+x-2>0的解集为{x|x<-}.
A
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6.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　 )
A.A=Z,B=Z,f:x→y=x2
B.A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|
C.A={-1,2,1},B={0},f:x→y=0
D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x
ACD
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解析:根据函数定义,集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一元素与之对应.
对于A,符合函数的定义,是从A到B的函数,故A正确;
对于B,A中有元素0,在对应关系下y=0,不在集合B中,不是函数,故B错误;
对于C,A中任意元素,在对应关系下y=0,都在集合B中,是从A到B的函数,故C正确;
对于D,符合函数的定义,是从A到B的函数,故D正确.
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7.(多选)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论,正确的是(　　)
A.f(f(-1))=1
B.若f(x)=3,则x的值是
C.f(x)<1的解集为(-∞,1)
D.f(x)的值域为(-∞,4]
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解析:因为f(-1)=-1+2=1,则f(f(-1))=f(1)=12=1,故A正确;
当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去),
当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,
当-1所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C错误;
当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1因此f(x)的值域为(-∞,4),故D错误.
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8.(多选)下列命题中正确的有(　 　)
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1
B.若f(3x)=x2+4x,则函数f(x)的定义域为(0,+∞)
C.若f(x-)=x3-,则函数f(x)的解析式为f(x)=x3+3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x,则f(x)=-x
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解析:对于A,设f(x)=kx+b,k≠0,
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
因为f(f(x))=4x+3,
所以
故函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3,A错误;
对于B,令t=3x,则x=log3t(t>0),
则f(t)=(log3t)2+4log3t(t>0),
故函数f(x)的定义域为(0,+∞),B正确;
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对于C,f(x-)=x3-=(x-)(x2+1+)=(x-)[(x-)2+3],
且x-的取值范围是R,
所以f(x)=x(x2+3)=x3+3x,C正确;
对于D,由f(x)+2f()=3x,
得f()+2f(x)=,
联立解得f(x)=-x,D正确.
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9.已知函数f()=x+2,若f(a)=4,则a=　　　　　.
解析:令=t,t≥0,
则x=t2+1(t≥0),f(t)=t2+3(t≥0),
故f(a)=a2+3=4(a≥0),解得a=1.
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10.若函数f(x)=的定义域为[3,+∞),则实数a=　　　　　,实数b的取值范围为　　　　　.
解析:因为函数f(x)=
而函数f(x)=的定义域为[3,+∞),
所以-a=3,b<3,即a=-3,
实数b的取值范围为(-∞,3).
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11.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(-∞,-2)∪(-2,3]
B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.[-,-2)∪(-2,0]
D.[-,-2]
B组　能力提升练
C
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解析:f(x)定义域为[-8,1],
由题意
解得-≤x≤0且x≠-2,
所以g(x)的定义域为[-,-2)∪(-2,0].
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12.已知函数f(x)= 若f(2 030)=1,则实数a的值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
D
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解析:因为当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),
所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),
f(x+1)=-f(x-2),
即f(x+3)=-f(x),
f(x+6)=-f(x+3)=f(x),
所以f(2 030)=f(338×6+2)=f(2)
=-f(-1)=-1=1,则a=4.
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13.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是　　　　.
解析:f(x)=当x当x≥a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),在(2,+∞)上f(x)>0.
①当a>0时,2a≤2,即00恒成立;③当a<0时,-a
≤2,即-2≤a<0.综上,-2≤a≤1.
[-2,1]第7讲函数的概念与表示
考点一　函数的概念
[例1]　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.函数y=·与函数y=表示同一个函数
B.已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|0≤x≤2},对应关系f:x→能构成从A到B的函数
C.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点
D.若f(x)=|x-1|-x,则f(f())=0
[答案]　BC
[解析]　对于y=·,有解得x≥1,
则y=·的定义域为[1,+∞),
对于y=,有x2-1≥0,解得x≤-1或x≥1,
则y=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),
即y=·与y=的定义域不一致,
所以这两个函数不表示同一个函数,故A错误;
当x∈A时,0≤≤2,且x与唯一一个对应,根据函数定义可得f:x→能构成从A到B的函数,故B正确;
由函数的定义知,f(x)的图象与y轴最多有一个交点,故C正确;
由f(x)=|x-1|-x,可得f()=0,所以f(f())=f(0)=1,故D错误.
(2)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数y=的定义域为 (　　)
A.(1,8]　　　　　　　　 B.[-4,1)∪(1,8]
C.(1,2] D.[-1,1)∪(1,2]
[答案]　D
[解析]　由题意得
解得-1≤x≤2且x≠1.故y=的定义域为[-1,1)∪(1,2].
方法总结
1.两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.
2.抽象函数的定义域
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是 (　　)
A.x+|y|=1　　　　　　 B.x2+y2=1
C.2x2+y=1 D.2x+y2=1
答案:C
解析:对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数的定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.
2.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],求f()+f(x-1)的定义域.
解:由f(x)的定义域为[-1,1],
∴
解得0≤x≤2,
即f()+f(x-1)的定义域为[0,2].
考点二　求函数的解析式
[例2]　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x2+)=x4+,求f(x)的解析式;
(3)若对任意实数x,均有f(x)-2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.
[解]　(1)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],
则sin x=1-t.
∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,
∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].
∴f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
(2)(配凑法)f(x2+)=x4+=(x2+)2-2,
又x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±1时等号成立.
设t=x2+,
则t≥2,∴f(t)=t2-2(t≥2),
∴f(x)=x2-2(x≥2).
(3)(解方程组法)∵f(x)-2f(-x)=9x+2,①
∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2,②
由①+2×②得-3f(x)=-9x+6,
∴f(x)=3x-2(x∈R).
方法总结
函数解析式的求法
1.配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.特别注意形如x±与x2+,ax±a-x与a2x+a-2x,sin x±cos x与sin xcos x,一般都运用配凑法.
2.换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
3.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,可用待定系数法.
4.解方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x),这充分体现了方程思想的应用.
3.已知f(+1)=lg x,则f(x)=　　　　.
答案:lg(x>1)
解析:令t=+1,因为x>0,则t>1,则x=,f(t)=lg,t>1,
则f(x)=lg(x>1).
4.f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则f(x)=　　　　.
答案:x+3
解析:依题意,可设函数f(x)=kx+b(k≠0),
则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b,
由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9,
所以
故函数f(x)的解析式为f(x)=x+3.
5.f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)=　　　　　.
答案:2x--(x≠0)
解析:已知2f(x)+f()=3x-1,①
以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1,②
①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0).
考点三　分段函数
角度1　分段函数求值
[例3]　(2026·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=则f(f(-1))= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案]　B
[解析]　将x=-1代入,得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0,
所以f(f(-1))=f(0),将x=0代入,得到f(0)=e0+ln 1=1.
因此f(f(-1))=f(0)=1.
角度2　分段函数方程与不等式
[例4]　(1)(2026·江西宜春模拟)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为 (　　)
A.0或 B.0或
C. D.
[答案]　A
[解析]　若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4,
解得a=0,符合;
若1-a<0,即a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合.
综上可知,a的值为0或.
(2)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 (　　)
A.(-3,1)∪(2,+∞) B.(-3,1)∪(3,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
[答案]　B
[解析]　因为f(x)=所以f(1)=12-4+6=3,不等式f(x)>f(1)等价于
解得0≤x<1或x>3或-3所以不等式f(x)>f(1)的解集为(-3,1)∪(3,+∞).
方法总结
解决分段函数问题的方法
1.求分段函数的函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.当求f(f(a))的值时,应由内到外依次求值.
2.已知函数值或范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
6.(2026·安徽六安模拟)已知函数f(x)=则f(10)= (　　)
A.1 B.3
C.4 D.6
答案:C
解析:f(10)=f(7)+1=f(4)+2=f(1)+3=30+3=4.
7.设函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(0,) B.(-∞,-1)∪(,1)
C.(-1,) D.(-∞,)
答案:A
解析:因为f(x)=
所以所以x<-1或0所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(0,).

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