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第8讲函数的单调性
考点一　函数单调性的判断
[例1]　(1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得 <0”的是 (　　)
A.f(x)=-x2-2x+1　
B.f(x)=x-
C.f(x)=x+1
D.f(x)=log2(2x)+1
[答案]　A
[解析]　根据题意,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得<0”,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.
对于A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
对于B,f(x)=x-,其导数f'(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于C,f(x)=x+1为一次函数,且在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
(2)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=在(0,+∞)上单调递增
[答案]　C
[解析]　因为y=f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
不妨令f(x)=x,y=f(x)+x2=x+x2=(x+)2-,所以y=f(x)+x2在(-∞ ,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,故A错误;
不妨令f(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2=-(x-)2+,所以y=f(x)-x2在(-∞ ,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故B错误;
y=x2f(x),其定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,任取0所以y=x2f(x)在R上单调递增,故C正确;
不妨令f(x)=x,y===,x≠0,由反比例函数的单调性可知y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误.
方法总结
确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法.
1.(多选)下列说法中,正确的是 (　　)
A.函数y=-在(-∞,0)上单调递减
B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数
C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1)
D.函数f(x)=的单调递增区间为(1,+∞)
答案:ABC
解析:在(-∞,0)上函数y=e-x与y=-都单调递减,所以y=e-x-在(-∞,0)上单调递减,故A正确;
两个增函数的和为增函数,故B正确;
作出函数y=2|x+1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1),故C正确;
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞,1),故D错误.
考点二　利用定义证明函数的单调性
[例2]　讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
[解]　设-1因为f(x)=a·=a(1+),
所以f(x1)-f(x2)
=a(1+)-a(1+)
=,
由于-1所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1) 方法总结
利用定义法证明函数单调性的步骤
1.取值并规定大小.
2.作差变形.
3.定号.
4.得出结论.
2.已知函数f(x)=,判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
解:f(x)在[1,+∞)上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=-
==.
因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0,x1x2-1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.
考点三　求函数的单调区间
[例3]　(1)函数y=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
[答案]　D
[解析]　要使函数y=有意义,则x2-2x>0,
即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,∴函数定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).
令t=x2-2x,则y=(t>0),y=在(0,+∞)上单调递减,
t=x2-2x图象的对称轴为x=1,开口向上,
在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
根据复合函数“同增异减”原则,可知y=的单调递减区间是(2,+∞).
(2)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,) B.(,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,)∪(1,+∞)
[答案]　B
[解析]　g(x)=x|x-1|+1=
画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为(,1).
方法总结
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.
3.函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　　　　.
答案:(-∞,-),(0,)
解析:因为y=x2-3|x|+1=
由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示,
由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为(-∞,-),(0,).
4.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
答案:(-∞,-),(-,+∞)
解析:f(x)===2-,
由2x+3≠0,得x≠-,
当x∈(-∞,-)时,y=单调递减,f(x)单调递增;
当x∈(-,+∞)时,y=单调递减,f(x)单调递增,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-),(-,+∞).(共19张PPT)
第8讲 函数的单调性
考点一　函数单调性的判断
[例1]　(1)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得 <0”的是(　　)
A.f(x)=-x2-2x+1　
B.f(x)=x-
C.f(x)=x+1
D.f(x)=log2(2x)+1
A
[解析]　根据题意,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,使得<0”,则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.
对于A,f(x)=-x2-2x+1为二次函数,其对称轴为x=-1,在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
对于B,f(x)=x-,其导数f'(x)=1+>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于C,f(x)=x+1为一次函数,且在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于D,由复合函数单调性“同增异减”知,f(x)=log2(2x)+1在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
(2)已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则下列说法正确的是(　　)
A.函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B.函数y=f(x)-x2在(0,+∞)上单调递增
C.函数y=x2f(x)在R上单调递增
D.函数y=在(0,+∞)上单调递增
C
[解析]　因为y=f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=f(x)在
(-∞,0)上也单调递增.
不妨令f(x)=x,y=f(x)+x2=x+x2=(x+)2-,所以y=f(x)+x2在(-∞ ,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增,故A错误;
不妨令f(x)=x,y=f(x)-x2=x-x2=-(x-)2+,所以y=f(x)-x2在(-∞ ,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故B错误;
y=x2f(x),其定义域为R,又(-x)2f(-x)=-x2f(x),所以y=x2f(x)是奇函数,任取0-f(x2)<0,则函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数y=x2f(x)在(-∞,0)上也单调递增,且当x=0时,y=x2f(x)=0,
所以y=x2f(x)在R上单调递增,故C正确;
不妨令f(x)=x,y===,x≠0,由反比例函数的单调性可知y=在
(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故D错误.
方法总结
确定函数单调性的方法:定义法、导数法、图象法和性质法.
跟踪训练
1.(多选)下列说法中,正确的是(　 　)
A.函数y=-在(-∞,0)上单调递减
B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)=f(x)+g(x)也是R上的增函数
C.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1)
D.函数f(x)=的单调递增区间为(1,+∞)
ABC
解析:在(-∞,0)上函数y=e-x与y=-都单调递减,所以y=e-x-在(-∞,0)上单调递减,故A正确;
两个增函数的和为增函数,故B正确;
作出函数y=2|x+1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞,-1),故C正确;
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(-∞,1),故D错误.
考点二　利用定义证明函数的单调性
[例2]　讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
[解]　设-1因为f(x)=a·=a(1+),
所以f(x1)-f(x2)
=a(1+)-a(1+)
=,
由于-1所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)方法总结
利用定义法证明函数单调性的步骤
1.取值并规定大小.
2.作差变形.
3.定号.
4.得出结论.
跟踪训练
2.已知函数f(x)=,判断函数y=f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
解:f(x)在[1,+∞)上单调递减,证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=-
==.
因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0,x1x2-1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.
考点三　求函数的单调区间
[例3]　(1)函数y=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
D
[解析]　要使函数y=有意义,则x2-2x>0,
即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,∴函数定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).
令t=x2-2x,则y=(t>0),y=在(0,+∞)上单调递减,
t=x2-2x图象的对称轴为x=1,开口向上,
在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
根据复合函数“同增异减”原则,可知y=的单调递减区间是(2,+∞).
(2)函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,) B.(,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,)∪(1,+∞)
[解析]　g(x)=x|x-1|+1=
画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为(,1).
B
方法总结
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.
跟踪训练
3.函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　 　　　.
解析:因为y=x2-3|x|+1=
由此画出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示,
由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为(-∞,-),(0,).
(-∞,-),(0,)
4.函数f(x)=的单调递增区间为　 　　　.
解析:f(x)===2-,
由2x+3≠0,得x≠-,
当x∈(-∞,-)时,y=单调递减,f(x)单调递增;
当x∈(-,+∞)时,y=单调递减,f(x)单调递增,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-),(-,+∞).
(-∞,-),(-,+∞)(共17张PPT)
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A组　基础保分练
1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,2)　　　　　　 B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(0,+∞)
解析:∵y=|x-2|=
∴函数y=|x-2|的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间为(2,+∞),
∴f(x)=-|x-2|的单调递减区间是(2,+∞).
B
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2.若函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论不正确的是(　　)
A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)解析:由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则
x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D都正确.
若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故选项C不正确.
C
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3.函数f(x)=则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,0)∪(0,1) B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,0)和(0,1) D.(1,+∞)
解析:函数f(x)的定义域为R,
当x<0时,f(x)=单调递减,
当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,1).
C
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4.函数f(x)=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,3) B.(3,4)
C.(5,+∞) D.(4,+∞)
解析:由f(x)=可得x2-8x+15>0,解得x<3或x>5,
由y=x2-8x+15图象的对称轴为x=4,
则y=x2-8x+15在(5,+∞)上单调递增,
故f(x)=的单调递减区间为(5,+∞).
C
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5.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
A
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解析:不妨令x1∴x1-x2<0.
∵>-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x,
∴g(x1)又x1∴g(x)=f(x)+x是增函数.
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6.(多选)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　 　)
A.y=x-　　　　　　　 B.y=|x2-2x|
C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1)
ACD
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解析:∵y=x与y=-在(0,+∞)上单调递增,
∴y=x-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;
由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;
∵y'=2-2sin x≥0,
∴y=2x+2cos x是R上的增函数,故C正确;
函数y=lg(x+1)是(-1,+∞)上的增函数,故D正确.
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7.已知命题p:若f(x)　　 　　.
解析:由题意知,令f(x)=(x-1)2,x∈(0,4),
则函数f(x)在(0,4)上先单调递减再单调递增,
当x=1时,函数值最小,且f(x)所以函数f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)可以说明命题p为假命题.
(答案不唯一,如f(x)=只要满足题意即可)
f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)
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8.函数f(x)=的单调递减区间为　 　　　　　.
(-∞,4)和(4,+∞)
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解析:由题意得f(x)的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),
且f(x)===3+.
而对任意x14-x2>0可知<,即>,
故f(x2)-f(x1)=-<0.
又对任意4x1-4>0可知<,
故f(x2)-f(x1)=-<0.
因此f(x)在区间(-∞,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递减,
故函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,4)和(4,+∞).
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9.已知函数f(x-1)在R上单调递增,则f()的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
B组　能力提升练
B
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解析:因为函数f(x-1)在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.
设g(x)==,
由x2+2x≥0,解得x≤-2或x≥0,
所以g(x)在(-∞,-2)上单调递减,
所以f()的单调递减区间为(-∞,-2).
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10.(多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有>0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个定义域为(0,+∞)的函数,其中能被称为“理想函数”的是 (　　)
A.f(x)=1 B.f(x)=x2
C.f(x)=x2+1 D.f(x)=x2+x
BD
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解析:由题可得,f(x)应满足当x1≠x2时,恒有>0,令x1>x2,则x2f(x1)-x1f(x2)>0,又f(x)的定义域为(0,+∞),故>,即在(0,+∞)上单调递增.对于A,=在(0,+∞)上单调递减,故A不正确;对于B,=x在(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C不正确;对于D,=x+1在(0,+∞)上单调递增,故D正确.
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11.已知函数f(x)对任意的实数m,n,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
解:由f(m+n)=f(m)+f(n)-1,
令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,则f(0)=1.
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(2)证明:f(x)在R上为增函数.
证明:设x1,x2是R上任意两个实数,且x1则f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,
由x10,所以f(x2-x1)>1,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)故函数f(x)为R上的增函数.[A组　基础保分练]
1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,2)　　　　　　 B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(0,+∞)
答案:B
解析:∵y=|x-2|=
∴函数y=|x-2|的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间为(2,+∞),
∴f(x)=-|x-2|的单调递减区间是(2,+∞).
2.若函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论不正确的是 (　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.f(x1)≠f(x2)
答案:C
解析:由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D都正确.
若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故选项C不正确.
3.函数f(x)=则函数f(x)的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,0)∪(0,1)
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,0)和(0,1)
D.(1,+∞)
答案:C
解析:函数f(x)的定义域为R,
当x<0时,f(x)=单调递减,
当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,1).
4.函数f(x)=的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,3) B.(3,4)
C.(5,+∞) D.(4,+∞)
答案:C
解析:由f(x)=可得x2-8x+15>0,解得x<3或x>5,
由y=x2-8x+15图象的对称轴为x=4,
则y=x2-8x+15在(5,+∞)上单调递增,
故f(x)=的单调递减区间为(5,+∞).
5.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是 (　　)
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
答案:A
解析:不妨令x1∴x1-x2<0.
∵>-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x,
∴g(x1)又x1∴g(x)=f(x)+x是增函数.
6.(多选)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x-　　　　　　　 B.y=|x2-2x|
C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1)
答案:ACD
解析:∵y=x与y=-在(0,+∞)上单调递增,
∴y=x-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;
由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;
∵y'=2-2sin x≥0,
∴y=2x+2cos x是R上的增函数,故C正确;
函数y=lg(x+1)是(-1,+∞)上的增函数,故D正确.
7.已知命题p:若f(x)答案:f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)(答案不唯一,如f(x)=只要满足题意即可)
解析:由题意知,令f(x)=(x-1)2,x∈(0,4),
则函数f(x)在(0,4)上先单调递减再单调递增,
当x=1时,函数值最小,且f(x)所以函数f(x)=(x-1)2,x∈(0,4)可以说明命题p为假命题.
8.函数f(x)=的单调递减区间为　　　　　　.
答案:(-∞,4)和(4,+∞)
解析:由题意得f(x)的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),
且f(x)===3+.
而对任意x14-x2>0可知<,即>,
故f(x2)-f(x1)=-<0.
又对任意4x1-4>0可知<,
故f(x2)-f(x1)=-<0.
因此f(x)在区间(-∞,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递减,
故函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,4)和(4,+∞).
[B组　能力提升练]
9.已知函数f(x-1)在R上单调递增,则f()的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
答案:B
解析:因为函数f(x-1)在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.
设g(x)==,
由x2+2x≥0,解得x≤-2或x≥0,
所以g(x)在(-∞,-2)上单调递减,
所以f()的单调递减区间为(-∞,-2).
10.(多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有>0,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个定义域为(0,+∞)的函数,其中能被称为“理想函数”的是 (　　)
A.f(x)=1 B.f(x)=x2
C.f(x)=x2+1 D.f(x)=x2+x
答案:BD
解析:由题可得,f(x)应满足当x1≠x2时,恒有>0,令x1>x2,则x2f(x1)-x1f(x2)>0,又f(x)的定义域为(0,+∞),故>,即在(0,+∞)上单调递增.对于A,=在(0,+∞)上单调递减,故A不正确;对于B,=x在(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C不正确;对于D,=x+1在(0,+∞)上单调递增,故D正确.
11.已知函数f(x)对任意的实数m,n,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:f(x)在R上为增函数.
(1)解:由f(m+n)=f(m)+f(n)-1,
令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,则f(0)=1.
(2)证明:设x1,x2是R上任意两个实数,且x1则f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,
由x10,所以f(x2-x1)>1,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)故函数f(x)为R上的增函数.

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