资源简介

(共23张PPT)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
A组　基础保分练
1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是(　　)
A.f(x)=　　　　　 B.f(x)=
C.f(x)=lox D.f(x)=2-x-2x
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:A选项,f(x)=的定义域是R,且在R上单调递增,不符合题意;
B选项,f(x)=的定义域是{x|x≠0},且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
C选项,因为f(x)=x的定义域是{x|x>0},所以f(x)是非奇非偶函数,不符合题意;
D选项,因为f(x)=2-x-2x的定义域是R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)=2-x-2x是奇函数,且在R上单调递减,符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=　　　　　 B.y=
C.y= D.y=
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:对于A,设f(x)=,函数定义域为R,但f(-1)=,f(1)=,则f(-1)≠f(1),故A错误;
对于B,设g(x)=,函数定义域为R,
且g(-x)===g(x),则g(x)为偶函数,故B正确;
对于C,设h(x)=,函数定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 则h(x)不是偶函数,故C错误;
对于D,设φ(x)=,函数定义域为R,因为φ(1)=,φ(-1)=,
则φ(1)≠φ(-1),则φ(x)不是偶函数,故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3.(2026·吉林长春模拟)已知函数f(x)=(x+a-2)·(x2+a-1)为奇函数,则a的值是(　　)
A.3 B.1或3
C.2 D.1或2
解析:因为f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,所以f(0)=(a-2)(a-1)=0,
解得a=1或a=2.
当a=1时,f(x)=x2(x-1),f(-x)=x2(-x-1)≠-f(x),故a=1不合题意,舍去;
当a=2时,f(x)=x(x2+1),f(-x)=-x(x2+1)=-f(x),故a=2符合题意.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4.(2026·江西赣州模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)=(　　)
A.-5 B.0
C.2 D.5
解析:因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,所以f(-5)=f(-5+4)= f(-1).
又因为f(-5)=f(-5+6)=f(1),所以f(1)=f(-1)=-f(1),故f(1)=0,
即f(-5)=f(1)=0.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5.已知f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x+m,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.x2-4-x+1 B.-x2-4-x-1
C.-x2+4-x-1 D.-x2+4-x+1
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=m-1=0,即m=1.当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x) =-[(-x)2-4-x+1]=-x2+4-x-1.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6.(2026·辽宁大连调研)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为(　　)
A.(-∞,) B.[0,)
C.[-2,) D.[-,)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
且f(x)在[-2,0]上单调递增,
所以f(x)在[-2,2]上单调递增.
又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),
所以f(2t-1)所以
解得-≤t<,
故实数t的取值范围为[-,).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7.(多选)已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x+m,则(　 　)
A.f(1)=1
B.当x<0时,f(x)=x2+2x
C.当0f()
D.当1ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即m=0,
∴当x≥0时,f(x)=-x2+2x.
对于A,f(1)=-12+2×1=1,A正确;
对于B,当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+2×(-x)]=x2+2x,B正确;
对于C,当0∵f(x)在(0,1)上单调递增,∴f(x)对于D,当1∴f(-x-2)>f(-3)=9-6=3,f(x)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8.已知f(x)为偶函数,当x≥0时, f(x)=x2+4x,则f(x)的解析式
是　　 　　　　.
解析:若x<0,则-x>0,则当-x>0时,f(-x)=x2-4x.
又f(x)为偶函数,则f(-x)=x2-4x=f(x),即当x<0时,f(x)=x2-4x,
因此可得f(x)=
f(x)=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=3,且f(1)=-1,则f(2 024)+ f(2 025)+f(2 026)=　　　　.
解析:由f(x+1)+f(x-1)=3,可得f(x+2)=3-f(x),
则f(x+4)=3-f(x+2)=f(x),可得f(x)的一个周期为4,则f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=-1,
由f(x+1)+f(x-1)=3,令x=2 025,则f(2 026)+f(2 024)=3,
所以f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,则以下说法错误的是(　　)
A.f(0)=0 B.f(x)是周期函数
C.f(2 024)=1 D.f(1)+f(3)=f(4)
B组　能力提升练
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:由f(x)为定义在R上的奇函数,故f(0)=0,故A正确;
由f(x+2)+f(x)=0,则f(x+4)+f(x+2)=0,即有f(x)=f(x+4),
故f(x)是以4为周期的周期函数,故B正确;
由2 024=4×506,得f(2 024)=f(0)=0,故C错误;
由f(x+2)+f(x)=0,令x=1,则f(3)+f(1)=0,又f(4)=f(0)=0,
故f(1)+f(3)=f(4),故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11.(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)
f(y),f(1)=1,则f(2 025)=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:令x=0,则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),∴f(y)=-f(-y),
∴f(x)为奇函数.令y=1,则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x).
∵f(x)为奇函数,
∴f(1-x)=-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)的周期为4,∴f(2 025)=f(1)=1.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数,对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(2-x),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.f(2 025)=1
C.当x∈[2,3]时,f(x)=-log2(4-x)
D.函数f(x)在[0,2 025]内有1 012个零点
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4,故A正确;
f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=0,故B错误;
当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],则f(x)=-f(x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),故C正确;
易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 023)=f(2 025)=0,于是函数f(x)在[0,2 025]内有1 013个零点,故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
13
13.(2026·河北石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立,f(2 026)=2 026,则不等式f(x)-x>0的解集为(　　)
A.(-∞,-2 026)∪(2 026,+∞)
B.(-2 026,0)∪(2 026,+∞)
C.(-2 026,2 026)
D.(-,)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:构造函数g(x)=,其中x≠0,则g(-x)===g(x),
故函数g(x)为偶函数,
当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立,
不妨设x1即g(x1)故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因为f(2 026)=2 026,则g(-2 026)=g(2 026)==1,
当x>0时,由f(x)-x>0得>1,即g(x)>g(2 026),解得x>2 026;
当x<0时,由f(x)-x>0得<1,即g(x)综上所述,不等式f(x)-x>0的解集为(-2 026,0)∪(2 026,+∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14.(2026·重庆模拟)已知函数f(x) 满足 f(x+2)=f(x+1)-f(x),且 f(1)=3, f(5)=5,则f(k)=　　　　.
-13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:由f(x+2)=f(x+1)-f(x),得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
两式相加得f(x+3)=-f(x),则f(x+6)=f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
设f(2)=a,则f(3)=f(2)-f(1)=a-3,f(4)=f(3)-f(2)=a-3-a=-3,
f(5)=f(4)-f(3)=-a.又f(5)=5,则-a=5,即a=-5,
所以f(2)=-5,f(3)=-8,f(4)=-3,f(5)=5,f(6)=8,
所以f(k)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=337×0-13=-13.(共23张PPT)
第10讲 函数的奇偶性、周期性
考点一　函数奇偶性的判断
[例1]　(1)(多选)下列奇偶性的判断,错误的是(　 　)
A.f(x)=ln(-x)是偶函数
B.f(x)=+是非奇非偶函数
C.f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]是偶函数
D.f(x)=是奇函数
ABC
[解析]　对于A,f(x)的定义域为R,由f(x)+f(-x)=ln(-x)+ln(+x)=ln[(1+x2)-x2]=ln 1=0,知f(x)=ln(-x)是奇函数, A错误;
对于B,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,
f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数,又是偶函数,B错误;
对于C,因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,C错误;
对于D,法一(定义法): 当x>0 时,f(x)=-x2+2x+1,
此时-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0 时,f(x)=x2+2x-1,
此时-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),
所以f(x) 为奇函数,D正确.
法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数,D正确.
(2)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则( 　　)
A.f(x)+g(x)是奇函数　 B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(g(x))是偶函数
[解析]　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)不是奇函数,故A错误;
因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;
因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故C正确;
因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确.
BCD
跟踪训练
1.(2026·河南许昌模拟)下列函数中,值域为R且为奇函数的是(　　)
A.y=ex-1 B.y=xsin x
C.y= D.y=x-
D
解析:对于函数y=ex-1,定义域为R,而f(-x)≠-f(x),∴该函数不是奇函数,故A错误.
对于函数y=xsin x,定义域为R,f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-sin x)=xsin x=f(x),∴该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误.
对于函数y=,定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),∴该函数是奇函数.对于值域,其值域为(-∞,0)∪(0,+∞),不是R,故C错误.
对于函数y=x-,定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),∴该函数是奇函数.当x→+∞时,y=x-→+∞;当x→-∞时,y=x-→-∞;当x→0-时,y=x-→+∞;当x→0+时,y=x-→-∞,∴值域为R,故D正确.
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　求解析式(函数值)
[例2]　已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=4-x+1,则函数f(x)的
解析式为　　　　　 　　 .
f(x)=
[解析]　当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-(4x+1)=-4x-1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
综上,函数f(x)的解析式为f(x)=
角度2　求参数值
[例3]　已知函数f(x)=(x+a)是偶函数,则实数a=(　　)
A.-2 B.0
C.2 D.4
[解析]　对于函数f(x)=(x+a)·,有e2x-1≠0,解得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)=(x+a)·=.
因为函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即=,可得a-x=-(x+a)对任意的x≠0恒成立,则a=0.
B
角度3　比较大小或解不等式
[例4]　(1)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2,则不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为(　　)
A.[-5,-]
B.(-∞,-5]∪[-,+∞)
C.[,5]
D.(-∞,]∪[5,+∞)
D
[解析]　易知函数f(x)的定义域为R,
又f(-x)=(-x)2+ln(e-x+ex)-2=x2+ln(ex+e-x)-2=f(x),故f(x)为偶函数,
当x≥0时,ex≥1,
令t=ex≥1,结合对勾函数y=t+在[1,+∞)上单调递增,y=ex在[0,+∞)上单调递增,
由复合函数的单调性可知y=ex+e-x在[0,+∞)上单调递增.
又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,故y=ln(ex+e-x)在[0,+∞)上单调递增,
易知f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2在[0,+∞)上单调递增,
结合函数为偶函数,所以由f(x+2)≤f(2x-3)可得|x+2|≤|2x-3|,
即3x2-16x+5≥0,解得x≥5或x≤,
所以不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为(-∞,]∪[5,+∞).
(2)(2026·山东日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)
-f(x)=0;②对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0.则f(-), f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)A
[解析]　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0,
所以函数f(x)是偶函数.
对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0,
所以不妨设x1>x2,则有f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2),
因此当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数.
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3).
因为当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数,
所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-).
方法总结
1.求函数值或参数的取值,关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值,或得到关于参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,利用单调性把符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
跟踪训练
2.(2026·天津模拟)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)=(　　)
A.-3 B.4
C.5 D.6
解析:因为函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)-2=f(2)+2,
故f(-2)=f(2)+4=2+4=6.
D
3.(2026·河北唐山模拟)已知f(x)=e|x|,则下列说法正确的是(　　)
A.f(5)>f(-3)>f(2) B.f(-3)>f(2)>f(5)
C.f(5)>f(2)>f(-3) D.f(2)>f(5)>f(-3)
解析:已知f(x)=e|x|,其定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,
所以f(-3)=f(3).
当x≥0时,f(x)=ex.
因为e>1,所以f(x)=ex在[0,+∞)上单调递增.
因为5>3>2,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(5)>f(3)>f(2).
又因为f(-3)=f(3),所以f(5)>f(-3)>f(2).
A
4.已知函数f(x)=x(2|x|+3),则使f(2t+1)+f(t2-1)<0成立的实数t的取值范围是　　　　.
解析:由题意得f(x)的定义域为R,其定义域关于原点对称,
f(-x)=-x(2|-x|+3)=-x(2|x|+3)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
当x≥0时,f(x)=x(2x+3)=2(x+)2-,
则当x≥0时,f(x)单调递增.因为f(x)为奇函数,则f(x)在R上单调递增,
f(2t+1)+f(t2-1)<0,
即f(2t+1)<-f(t2-1),
即f(2t+1)(-2,0)
考点三　函数的周期性
[例5]　(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则下列说法正确的是(　 　)
A.函数f(x)的周期为2
B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=0
C.f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=0,n∈N*
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),n∈N*的值可能为2
BCD
[解析]　由题得f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,A选项错误;
f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2, f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,B选项正确;
f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+0-2=0,C选项正确;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(1)=2,D选项正确.
方法总结
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
2.利用函数的周期性,可以将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
跟踪训练
5.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　)
A.-　　　　　　　　 B. -
C. D.
解析:由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立,
所以f(-)=f()=f()=5-2×=-.
A
6.设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在(5,6]上的解析式f(x)=　　　 　.
解析:当x∈(5,6]时,x-6∈(-1,0],-(x-6)∈[0,1),故f(x)=f(x-6)=-f(-(x-6))=
-log2(7-x).
-log2(7-x)[A组　基础保分练]
1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是 (　　)
A.f(x)=　　　　　 B.f(x)=
C.f(x)=lox D.f(x)=2-x-2x
答案:D
解析:A选项,f(x)=的定义域是R,且在R上单调递增,不符合题意;
B选项,f(x)=的定义域是{x|x≠0},且在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
C选项,因为f(x)=x的定义域是{x|x>0},所以f(x)是非奇非偶函数,不符合题意;
D选项,因为f(x)=2-x-2x的定义域是R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)=2-x-2x是奇函数,且在R上单调递减,符合题意.
2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 (　　)
A.y=　　　　　 B.y=
C.y= D.y=
答案:B
解析:对于A,设f(x)=,函数定义域为R,但f(-1)=,f(1)=,则f(-1)≠f(1),故A错误;
对于B,设g(x)=,函数定义域为R,
且g(-x)===g(x),则g(x)为偶函数,故B正确;
对于C,设h(x)=,函数定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 则h(x)不是偶函数,故C错误;
对于D,设φ(x)=,函数定义域为R,因为φ(1)=,φ(-1)=,
则φ(1)≠φ(-1),则φ(x)不是偶函数,故D错误.
3.(2026·吉林长春模拟)已知函数f(x)=(x+a-2)·(x2+a-1)为奇函数,则a的值是 (　　)
A.3 B.1或3
C.2 D.1或2
答案:C
解析:因为f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,所以f(0)=(a-2)(a-1)=0,
解得a=1或a=2.
当a=1时,f(x)=x2(x-1),f(-x)=x2(-x-1)≠-f(x),故a=1不合题意,舍去;
当a=2时,f(x)=x(x2+1),f(-x)=-x(x2+1)=-f(x),故a=2符合题意.
4.(2026·江西赣州模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)= (　　)
A.-5 B.0
C.2 D.5
答案:B
解析:因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,所以f(-5)=f(-5+4)=f(-1).
又因为f(-5)=f(-5+6)=f(1),所以f(1)=f(-1)=-f(1),故f(1)=0,
即f(-5)=f(1)=0.
5.已知f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x+m,则当x<0时,f(x)= (　　)
A.x2-4-x+1 B.-x2-4-x-1
C.-x2+4-x-1 D.-x2+4-x+1
答案:C
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=m-1=0,即m=1.当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4-x+1]=-x2+4-x-1.
6.(2026·辽宁大连调研)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为(　　)
A.(-∞,) B.[0,)
C.[-2,) D.[-,)
答案:D
解析:因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
且f(x)在[-2,0]上单调递增,
所以f(x)在[-2,2]上单调递增.
又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),
所以f(2t-1)所以
解得-≤t<,
故实数t的取值范围为[-,).
7.(多选)已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+2x+m,则 (　　)
A.f(1)=1
B.当x<0时,f(x)=x2+2x
C.当0f()
D.当1答案:ABD
解析:∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,即m=0,
∴当x≥0时,f(x)=-x2+2x.
对于A,f(1)=-12+2×1=1,A正确;
对于B,当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+2×(-x)]=x2+2x,B正确;
对于C,当0∵f(x)在(0,1)上单调递增,∴f(x)对于D,当1∴f(-x-2)>f(-3)=9-6=3,f(x)8.已知f(x)为偶函数,当x≥0时, f(x)=x2+4x,则f(x)的解析式是　　　　　　.
答案:f(x)=
解析:若x<0,则-x>0,则当-x>0时,f(-x)=x2-4x.
又f(x)为偶函数,则f(-x)=x2-4x=f(x),即当x<0时,f(x)=x2-4x,
因此可得f(x)=
9.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=3,且f(1)=-1,则f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=　　　　.
答案:2
解析:由f(x+1)+f(x-1)=3,可得f(x+2)=3-f(x),
则f(x+4)=3-f(x+2)=f(x),可得f(x)的一个周期为4,则f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=-1,
由f(x+1)+f(x-1)=3,令x=2 025,则f(2 026)+f(2 024)=3,
所以f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=2.
[B组　能力提升练]
10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,则以下说法错误的是 (　　)
A.f(0)=0 B.f(x)是周期函数
C.f(2 024)=1 D.f(1)+f(3)=f(4)
答案:C
解析:由f(x)为定义在R上的奇函数,故f(0)=0,故A正确;
由f(x+2)+f(x)=0,则f(x+4)+f(x+2)=0,即有f(x)=f(x+4),
故f(x)是以4为周期的周期函数,故B正确;
由2 024=4×506,得f(2 024)=f(0)=0,故C错误;
由f(x+2)+f(x)=0,令x=1,则f(3)+f(1)=0,又f(4)=f(0)=0,
故f(1)+f(3)=f(4),故D正确.
11.(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),f(1)=1,则f(2 025)= (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案:C
解析:令x=0,则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),∴f(y)=-f(-y),
∴f(x)为奇函数.令y=1,则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x).
∵f(x)为奇函数,
∴f(1-x)=-f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)的周期为4,∴f(2 025)=f(1)=1.
12.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数,对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(2-x),则下列结论正确的是 (　　)
A.函数f(x)的一个周期为4
B.f(2 025)=1
C.当x∈[2,3]时,f(x)=-log2(4-x)
D.函数f(x)在[0,2 025]内有1 012个零点
答案:AC
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,对 x∈R,均有f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4,故A正确;
f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=0,故B错误;
当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],则f(x)=-f(x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),故C正确;
易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 023)=f(2 025)=0,于是函数f(x)在[0,2 025]内有1 013个零点,故D错误.
13.(2026·河北石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立,f(2 026)=2 026,则不等式f(x)-x>0的解集为 (　　)
A.(-∞,-2 026)∪(2 026,+∞)
B.(-2 026,0)∪(2 026,+∞)
C.(-2 026,2 026)
D.(-,)
答案:B
解析:构造函数g(x)=,其中x≠0,则g(-x)===g(x),
故函数g(x)为偶函数,
当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,都有>0成立,
不妨设x1即g(x1)故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数.
因为f(2 026)=2 026,则g(-2 026)=g(2 026)==1,
当x>0时,由f(x)-x>0得>1,即g(x)>g(2 026),解得x>2 026;
当x<0时,由f(x)-x>0得<1,即g(x)综上所述,不等式f(x)-x>0的解集为(-2 026,0)∪(2 026,+∞).
14.(2026·重庆模拟)已知函数f(x) 满足 f(x+2)=f(x+1)-f(x),且 f(1)=3,f(5)=5,则f(k)=　　　　.
答案:-13
解析:由f(x+2)=f(x+1)-f(x),得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
两式相加得f(x+3)=-f(x),则f(x+6)=f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
设f(2)=a,则f(3)=f(2)-f(1)=a-3,f(4)=f(3)-f(2)=a-3-a=-3,
f(5)=f(4)-f(3)=-a.又f(5)=5,则-a=5,即a=-5,
所以f(2)=-5,f(3)=-8,f(4)=-3,f(5)=5,f(6)=8,
所以f(k)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=337×0-13=-13.第10讲函数的奇偶性、周期性
考点一　函数奇偶性的判断
[例1]　(1)(多选)下列奇偶性的判断,错误的是 (　　)
A.f(x)=ln(-x)是偶函数
B.f(x)=+是非奇非偶函数
C.f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]是偶函数
D.f(x)=是奇函数
[答案]　ABC
[解析]　对于A,f(x)的定义域为R,由f(x)+f(-x)=ln(-x)+ln(+x)=ln[(1+x2)-x2]=ln 1=0,知f(x)=ln(-x)是奇函数, A错误;
对于B,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,
f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数,又是偶函数,B错误;
对于C,因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数,C错误;
对于D,法一(定义法): 当x>0 时,f(x)=-x2+2x+1,
此时-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0 时,f(x)=x2+2x-1,
此时-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),
所以f(x) 为奇函数,D正确.
法二(图象法):作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特性知函数f(x)为奇函数,D正确.
(2)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　　)
A.f(x)+g(x)是奇函数　
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)g(x)是奇函数
D.f(g(x))是偶函数
[答案]　BCD
[解析]　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)不是奇函数,故A错误;
因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;
因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故C正确;
因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确.
1.(2026·河南许昌模拟)下列函数中,值域为R且为奇函数的是 (　　)
A.y=ex-1 B.y=xsin x
C.y= D.y=x-
答案:D
解析:对于函数y=ex-1,定义域为R,而f(-x)≠-f(x),∴该函数不是奇函数,故A错误.
对于函数y=xsin x,定义域为R,f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-sin x)=xsin x=f(x),∴该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误.
对于函数y=,定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),∴该函数是奇函数.对于值域,其值域为(-∞,0)∪(0,+∞),不是R,故C错误.
对于函数y=x-,定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),∴该函数是奇函数.当x→+∞时,y=x-→+∞;当x→-∞时,y=x-→-∞;当x→0-时,y=x-→+∞;当x→0+时,y=x-→-∞,∴值域为R,故D正确.
考点二　函数奇偶性的应用
角度1　求解析式(函数值)
[例2]　已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=4-x+1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　 .
[答案]　f(x)=
[解析]　当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-(4x+1)=-4x-1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
综上,函数f(x)的解析式为f(x)=
角度2　求参数值
[例3]　已知函数f(x)=(x+a)是偶函数,则实数a= (　　)
A.-2 B.0
C.2 D.4
[答案]　B
[解析]　对于函数f(x)=(x+a)·,有e2x-1≠0,解得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(x)=(x+a)·=.
因为函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即=,可得a-x=-(x+a)对任意的x≠0恒成立,则a=0.
角度3　比较大小或解不等式
[例4]　(1)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2,则不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为 (　　)
A.[-5,-]
B.(-∞,-5]∪[-,+∞)
C.[,5]
D.(-∞,]∪[5,+∞)
[答案]　D
[解析]　易知函数f(x)的定义域为R,
又f(-x)=(-x)2+ln(e-x+ex)-2=x2+ln(ex+e-x)-2=f(x),故f(x)为偶函数,
当x≥0时,ex≥1,
令t=ex≥1,结合对勾函数y=t+在[1,+∞)上单调递增,y=ex在[0,+∞)上单调递增,
由复合函数的单调性可知y=ex+e-x在[0,+∞)上单调递增.
又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,故y=ln(ex+e-x)在[0,+∞)上单调递增,
易知f(x)=x2+ln(ex+e-x)-2在[0,+∞)上单调递增,
结合函数为偶函数,所以由f(x+2)≤f(2x-3)可得|x+2|≤|2x-3|,
即3x2-16x+5≥0,解得x≥5或x≤,
所以不等式f(x+2)≤f(2x-3)的解集为(-∞,]∪[5,+∞).
(2)(2026·山东日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①f(-x)-f(x)=0;②对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0.则f(-),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-)
B.f(π)>f(-)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)[答案]　A
[解析]　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0,
所以函数f(x)是偶函数.
对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1≠x2时都有>0,
所以不妨设x1>x2,则有f(x1)-f(x2)>0 f(x1)>f(x2),
因此当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数.
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-)=f(),f(-3)=f(3).
因为当x∈[0,+∞)时,函数f(x)是增函数,
所以f(π)>f(3)>f(),即f(π)>f(-3)>f(-).
方法总结
1.求函数值或参数的取值,关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值,或得到关于参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,利用单调性把符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
2.(2026·天津模拟)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)= (　　)
A.-3 B.4
C.5 D.6
答案:D
解析:因为函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)-2=f(2)+2,
故f(-2)=f(2)+4=2+4=6.
3.(2026·河北唐山模拟)已知f(x)=e|x|,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(5)>f(-3)>f(2)
B.f(-3)>f(2)>f(5)
C.f(5)>f(2)>f(-3)
D.f(2)>f(5)>f(-3)
答案:A
解析:已知f(x)=e|x|,其定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,
所以f(-3)=f(3).
当x≥0时,f(x)=ex.
因为e>1,所以f(x)=ex在[0,+∞)上单调递增.
因为5>3>2,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(5)>f(3)>f(2).
又因为f(-3)=f(3),所以f(5)>f(-3)>f(2).
4.已知函数f(x)=x(2|x|+3),则使f(2t+1)+f(t2-1)<0成立的实数t的取值范围是　　　　.
答案:(-2,0)
解析:由题意得f(x)的定义域为R,其定义域关于原点对称,
f(-x)=-x(2|-x|+3)=-x(2|x|+3)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
当x≥0时,f(x)=x(2x+3)=2(x+)2-,
则当x≥0时,f(x)单调递增.因为f(x)为奇函数,则f(x)在R上单调递增,
f(2t+1)+f(t2-1)<0,
即f(2t+1)<-f(t2-1),
即f(2t+1)考点三　函数的周期性
[例5]　(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的周期为2
B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=0
C.f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=0,n∈N*
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),n∈N*的值可能为2
[答案]　BCD
[解析]　由题得f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,A选项错误;
f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,B选项正确;
f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+0-2=0,C选项正确;
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=f(1)=2,D选项正确.
方法总结
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
2.利用函数的周期性,可以将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
5.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)= (　　)
A.-　　　　　　　　 B. -
C. D.
答案:A
解析:由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立,
所以f(-)=f()=f()=5-2×=-.
6.设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在(5,6]上的解析式f(x)=　　　　.
答案:-log2(7-x)
解析:当x∈(5,6]时,x-6∈(-1,0],-(x-6)∈[0,1),故f(x)=f(x-6)=-f(-(x-6))=-log2(7-x).

展开更多......

收起↑