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沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.3.1等积变形和行程问题第3章一元一次方程3.3.1等积变形和行程问题练习题讲解一元一次方程的实际应用是初中数学的重点与难点，而等积变形问题和行程问题是最基础、最常考的两类应用题。相较于单纯的解方程计算，实际应用题需要我们先分析题意、找出等量关系，再设未知数、列方程求解。两类题型核心逻辑一致：抓住“变化前后总量不变”或“题目中恒定的数量关系”，将文字语言转化为方程，实现用数学思维解决实际问题。熟练掌握这两类题型，是攻克一元一次方程应用题的关键。等积变形问题的核心原理是形变积不变。物体的形状、结构发生改变，但体积、面积、周长等总量始终保持恒定，这是列方程的核心等量关系。常见题型包括几何体锻造、拼接、分割、熔铸等，比如圆柱锻压、长方体重塑、铁丝围图形等。解题通用步骤为：首先确定变形前后不变的量，梳理变形前后的面积、体积计算公式；其次设出合理未知数，表示出变形前后的对应量；最后根据“变形前总量=变形后总量”列出一元一次方程，解方程并检验作答。需要注意区分周长不变、面积不变、体积不变的不同场景，切勿混淆公式。等积变形基础例题：用一根长80cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长是宽的3倍，求长方形的长和宽。本题属于周长不变的等积变形问题，铁丝长度即为长方形周长。解：设长方形的宽为$$x$$ cm，则长为$$3x$$ cm。根据长方形周长公式列方程：$$2(x+3x)=80$$，化简得$$8x=80$$，解得$$x=10$$。则长为$$3\times10=30$$ cm。答：长方形长30cm，宽10cm。本题精准体现了等积问题“总量恒定”的核心思路。行程问题是一元一次方程应用的经典题型，核心公式为：路程=速度×时间，根据运动状态分为相遇问题、追及问题、匀速行驶问题等。所有行程问题的本质都是围绕路程、速度、时间三者的等量关系展开。基础解题思路为：梳理运动对象、运动方向、运动时间，找准路程之间的和、差关系；设未知数表示未知的速度或时间；根据总路程、路程差列方程求解。其中相遇问题满足“甲路程+乙路程=总路程”，同向追及问题满足“快者路程-慢者路程=初始距离”。行程问题经典例题：甲、乙两人从相距240千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行50千米，乙每小时行30千米，经过几小时两人相遇。本题为典型相向相遇问题。解：设经过$$x$$小时两人相遇。根据相遇路程关系列方程：$$50x+30x=240$$，合并同类项得$$80x=240$$，解得$$x=3$$。答：经过3小时两人相遇。解题时需注意统一单位，速度、时间、路程单位需匹配，同时区分相向、同向、背向等不同运动场景。综合解题易错总结：等积变形问题最易出错的地方是公式记忆错误、混淆不变量，误将面积不变当成周长不变；行程问题易错点为找错路程关系、单位不统一、遗漏运动时间差。解决两类应用题的通用核心是：不急于列方程，先找恒定等量关系，理清已知量和未知量，规范设元、列方程、求解、检验、作答完整步骤。掌握这两类基础题型，能为后续工程问题、利润问题等复杂应用题的学习打下坚实基础，建立方程建模的解题思维。会用一元一次方程解决关于等积变形与行程的实际问题.
掌握列方程解应用题的一般步骤.
能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型.
根据图中给出的信息，正确的方程是什么呢？
探索新知
例1：如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少
4
5
（单位：cm）
【教材P103 例1】
思考：1.本题中有什么等量关系？
4
5
（单位：cm）
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
2.设正方形的边长是 x cm，完成下表：
宽 长 面积
图形1 4 x 4x
图形2 5 x-4 5(x-4)
4x
5(x-4)
4
5
（单位：cm）
解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的边长为20cm.
4x
5(x-4)
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
形积变化中的等量关系
①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是：
变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积
②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是：
变化前图形的周长=变化后图形的周长
③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系．
如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽.
练一练
解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm.
根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12.
答：原长方形纸片的宽为12cm.
例2：某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表：
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离.
8.2km
起点
补给站
终点
跑步距离+登山距离=总距离
【教材P103 例2】
8.2km
起点
补给站
终点
x km
8.2-x km
跑步时间+登山时间=总用时-休息时间
解：设补给站离起点x km. 根据题意，得
注意单位换算!
解方程，得x=6.
答：补给站与起点的距离为6km.
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤如下：
⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数；
⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）；
⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；
⑷解这个方程，求出未知数的值；
⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）.
1. 一个宽为 3 cm 的长方形与一个边长为 6 cm 的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ）
A. 12.5 千米/时 B. 15 千米/时
C. 17.5 千米/时 D. 20 千米/时
2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 2.5 千米，则乙的时速是（ ）
A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 30 cm
D
B
3. 一个底面直径为 16 厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为 8 厘米、高为 15 厘米的铁质小圆柱体. 当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？
[解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积 ＝ 铁质小圆柱体体积．
解：设木桶内水面下降 x cm. 由题意，得
解方程，得
答：木桶内水面下降
4. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时. 已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度.
解：设船在静水中的平均速度为 x 千米/时，则顺流速度为 (x + 3) 千米/时，逆流速度为 (x - 3) 千米/时.
根据题意，得
2(x + 3) = 2.5(x - 3).
解方程，得
x = 27.
答：船在静水中的平均速度为 27 千米/时.
知识点1 几何图形问题
（第1题）
1. 如图，小明从一张正方
形纸片上剪去一张宽为 的长方形纸
条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一张
宽为 的长方形纸条，如果两次剪下
的长方形纸条面积正好相等，那么原来正
方形纸片的面积是( )
D
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙
子做成了如图所示的沙漏（两个瓶子的瓶
底相连，中间有一个小孔）.初始时刻上方
瓶子中沙子的高度为 ，终止时刻下
方瓶子中空余部分的高度为 .若每个瓶
B
A. B.
C. D.
子的容积都为 ，则沙子的体积为 ( )
【点拨】设瓶子的底面积为 ，初始
时刻时，沙子的体积是 ，终止时
刻时，空白部分的体积是 .根据题意
列方程得， ，解得
，则沙子的体积为
.
（第2题）
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3.一个圆柱形容器的底面半径为，高为 ，里面盛
有深的水，将底面半径为、高为 的圆柱形铁块
沉入水中，则容器内水面将升高_____ .
0.18
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4.［2025金华期末］现有一张宽
为 的长方形纸条，纸条两面
的颜色分别为灰色和白色
（图①是白色面，图②是灰色
面），折叠该纸条得到如图③所
47
示的图形.已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的
长方形纸条的长度为____ .
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知识点2 行程问题
5. 轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回 港少用3小
时，若船在静水中的速度为26千米/时，水速为2千米/时，求
港和港相距多少千米？设港和港相距 千米，根据题意，
可列出的方程是( )
A
A. B.
C. D.
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6.［2024扬州］《九章算术》是中国古代的数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记
载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走
100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100
米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要____分钟.
2.5
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课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案

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