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沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.3.3比例与和、差、倍、分问题第3章一元一次方程3.3.3比例与和、差、倍、分问题练习题讲解比例问题与和、差、倍、分问题是一元一次方程实际应用中最基础、最通用的题型，也是各类应用题的解题根基。这类题目没有复杂的生活场景公式，主要依靠题目文字描述的数量关系建立方程，广泛应用于分配问题、配比问题、数量对比问题等场景。相较于行程、销售问题，此类题型更加考验读题分析和数量转化能力，核心解题思路是找准题目中的和、差、倍数、比例关系，通过设未知数将文字条件转化为规范的一元一次方程，进而求解作答。和、差、倍、分问题是数量关系应用题的基础类型，所有题型都围绕四个核心数量关系展开。核心公式总结：大数=小数×倍数±差；两数和=大数+小数；两数差=大数-小数。题目常见表述为“A是B的几倍、A比B多多少、A与B的和为多少、A比B少多少”等。解题最简便的方法是设较小的数为未知数，再用含未知数的代数式表示另一个量，最后根据题目给出的和、差条件列方程，有效简化计算、减少符号错误。和差倍分基础例题：甲数比乙数大15，且甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数分别是多少。解：设乙数为$$x$$，则甲数为$$4x$$。根据“甲数-乙数=15”的数量关系列方程：$$4x-x=15$$，合并同类项得$$3x=15$$，解得$$x=5$$。则甲数为$$4\times5=20$$。答：甲数为20，乙数为5。本题是典型的差倍问题，通过设小量为未知数，可快速梳理倍数与差值关系，是和差倍分题型的标准解题模板。比例问题是本节的重点和常考题型，多用于物资分配、人数配比、溶液配比等场景。当题目出现几个量的比值时，常规方法是**设每份为未知数**，这是比例问题的专属解题技巧。若已知三个量之比为a:b:c，可直接设每份为$$x$$，那么三个量分别为$$ax、bx、cx$$，再根据题目中的和、差、总量条件列方程求解。这种设元方式能完美规避分数计算，简化解题过程，大幅降低计算失误率。比例问题经典例题：现有一批树苗按照2:3:5的比例分给甲、乙、丙三个班级，已知三个班级分得树苗的总数为100棵，求三个班级各分得多少棵树苗。解：设每份数量为$$x$$棵，则甲班分得$$2x$$棵，乙班分得$$3x$$棵，丙班分得$$5x$$棵。根据总量和为100列方程：$$2x+3x+5x=100$$，合并同类项得$$10x=100$$，解得$$x=10$$。因此甲班20棵，乙班30棵，丙班50棵。答：甲班分得20棵，乙班分得30棵，丙班分得50棵。综合解题易错总结：和差倍分问题常见错误为倍数关系颠倒、和差条件判断相反、大小数设反导致结果出错；比例问题高频易错点是不按份数设元、私自更改比例系数、求和时漏加部分份数。解决两类题型的核心技巧是：和差倍分问题优先设小量，理顺谁大谁小、谁是谁的几倍；比例问题固定设每份为x，统一量化所有比例量。熟练掌握比例与和差倍分问题，能够建立最基础的方程建模思维，为后续复杂分配问题、工程问题、综合应用题的学习打下坚实基础。e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立方程模型
解方程
检验解的
合理性
分析等量关系
设未知数
议一议
1
比例问题
例1 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦 300 hm2.
如果三支服务队收割小麦的面积之比为 4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷.
分析：
小麦面积共有 4 + 5 + 6 = 15 份，总计 300 hm2.
因而 300 hm2 可由 15 份共同分担.
解：设收割小麦的面积每份为 x hm2，三支服务队收割面积分别为 4x hm2，5x hm2，6x hm2.
依据题意，得 4x + 5x + 6x = 300.
解方程，得 x = 20.
4x = 80，5x = 100，6x = 120.
答：三支服务队分别收割面积 80 hm2、100 hm2、120 hm2.
方法总结
比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程.
1. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少
解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克.
依据题意，得 x + 2x + 6x = 45.
解方程，得 x = 5.
则 2x = 10，6x = 30.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5 克、10 克、30 克.
练一练
和、差、倍、分问题
2
合作探究
例2 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，筹得票款 69500 元，成人票与学生票各售出多少张？
成人票 80元/张
学生票 50元/张
成人票数＋__________＝1000 张；　 ①
__________＋学生票款＝__________．②
分析题意可得此题中的等量关系有：
学生票数
成人票款
69500 元
设售出的学生票为 x 张，填写下表：
学生 成人
票数/张
票款/元
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得 x＝ .
因此，售出学生票 张，成人票 张
x
1000－x
50x
80(1000－x)
成人票款＋学生票款＝69500元
50x + 80(1000－x) = 69500
350
350
650
可不可以设其他未知量？
设所得的学生票款为 y 元，填写下表：
学生 成人
票款/元
票数/张
根据等量关系①，可列出方程：
.
解得 y＝ .
因此，售出成人票 张，学生票 张.
y÷50
(69500－y)÷80
y
69500－y
y÷50 + (69500－ y)÷80 = 1000
17500
650
350
成人票数＋学生票款数＝1000张
17500÷50 = 350 (张)
例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母)
【分析】本题有两个等量关系值得关注，
一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29；
二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3.
解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母．
根据题意得
解得 x＝14.
29－x＝15.
答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓
和螺母正好配套．
随堂练习
1.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价之比为4∶3，单价之和为84元，则篮球的单价为_____元，排球的单价为_____元.
48
36
2.长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积.
【教材P106 练习 第1题】
解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm.
根据题意，得2(5x+2x)=56.
解方程，得x=4.
5x=20，2x=8.
故长方形的面积为20×8=160(cm2).
3.兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250000元，弟弟入股200000元，一年后盈利83520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元
【教材P106 练习 第2题】
解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250000∶ 200000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元.
根据题意，得5x+4x=83520.
解方程，得x=9280.
5x=46400，4x=37120.
答：兄弟两人各应分得46400元和37120元.
4.今年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为 3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为_________cm2.
2个边空宽+4个字宽+3个字距=宣纸长
3888
类型1 比例分配问题
1.小红把一根 长的铁丝分成两段，分别做成两个正方
形的数学模型（铁丝恰好用完）.如果这两个正方形的边长比
是 ,那么这两个正方形的边长分别是______________.
，
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类型2 工程问题
2.甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单
独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款
1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同.
（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.理由：
设甲、乙两人合作完成此项工程需 天.
则,解得 .
因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.
（2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事，
必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？
调走甲更合适.理由：设两人合作天完成了工程的 ，则
，解得 .
若调走甲，则乙还需 （天）；
若调走乙，则甲还需 （天）.
因为（天）天，（天） 天，
所以调走甲更合适.
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类型3 积分问题
3.每年的12月4日为全国法制宣传日.阳光中学组织学生参加
法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.
下表记录了其中2名学生的得分情况.
参赛者 答对题数 答错题数 得分
小宇 20 0 100
小辰 16 4 72
根据以上信息，请你解答下列问题：
（1）答对一题得___分，答错一题得____分.
5
（2）若参赛学生小浩得了65分，他答对了几道题？
【解】设参赛学生小浩答对了道题，则答错了 道题，
根据题意，得 ，
解得 .
答：小浩答对了15道题.
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一元一次方程的应用
比例问题
和、差、倍、分问题
步骤
方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x.
1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答
方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量

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