资源简介

(共25张PPT)
沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.5.1简单实际问题和行程问题第3章一元一次方程3.5.1简单实际问题和行程问题练习题讲解在前几节的学习中，我们已经熟练掌握了代入消元法与加减消元法解二元一次方程组。学习方程组的最终目的是解决生活中的实际问题，相较于一元一次方程应用题，二元一次方程组更适合处理含有**两个未知量、两个等量关系**的复杂问题。本节主要包含简单数量问题和行程问题两大类，是二元一次方程组应用题的入门重点，核心解题思想是通过设两个未知数，根据题意列出两组等量关系，建立方程组求解，步骤清晰、模型固定，是考试必考基础题型。利用二元一次方程组解决实际问题，拥有固定的标准解题步骤，适用于本节所有题型。第一步：审题，读懂题意，找出题目中的两个未知量和两组独立的等量关系；第二步：设元，通常直接设题目中的两个未知量为x、y；第三步：列方程，根据两组等量关系列出二元一次方程组；第四步：求解，利用代入法或加减法解出方程组；第五步：检验，验证解是否符合实际意义；第六步：作答，规范写出完整答案。相较于一元方程，方程组解题无需逆向推导，顺着题意列式即可，思维更简单、更不易出错。简单实际问题（和差倍分问题）是本节基础题型，主要围绕两个量的和、差、倍、分关系出题。题目一般给出两个数量的总和与差值，或者倍数关系，非常适合用二元一次方程组求解。此类问题的核心是找准两组关系式：两数之和、两数之差、倍数对应关系。避开一元方程繁琐的设元逻辑，直接双未知数列式，解题效率更高。基础例题：已知两个数的和为35，差为15，求这两个数。解：设较大数为$$x$$，较小数为$$y$$。根据题意列方程组$$\begin{cases} x+y=35 \\ x-y=15 \end{cases}$$，两式相加得$$2x=50$$，解得$$x=25$$，回代得$$y=10$$。答：这两个数分别为25和10。行程问题是本节重难点，延续小学路程、速度、时间核心公式：路程=速度×时间。但二元一次方程组行程问题多为**双人、双条件**题型，包含相向相遇、同向追及两类经典模型，需要依靠两个等量关系列方程组求解。相遇问题核心关系：甲路程+乙路程=总路程；追及问题核心关系：快者路程-慢者路程=初始相距路程。进阶经典例题：甲、乙两人在同一路线上匀速前进，相向而行，2小时相遇；同向而行，10小时甲追上乙。已知两地相距100千米，求甲、乙两人的速度。解：设甲速度为$$x$$ km/h，乙速度为$$y$$ km/h。列方程组$$\begin{cases} 2x+2y=100 \\ 10x-10y=100 \end{cases}$$，化简得$$\begin{cases} x+y=50 \\ x-y=10 \end{cases}$$，解得$$x=30，y=20$$。答：甲速度30km/h，乙速度20km/h。综合解题易错总结：本节题型常见错误分为两类。简单实际问题易错点：找错和差关系、颠倒大小量，只找到一个等量关系无法列式，忽略题目隐藏条件。行程问题高频易错点：相遇与追及模型混淆、路程关系列反、时间与速度不对应、单位不统一。同时普遍存在的问题是：只解方程不检验，出现负数速度、负数路程等不符合实际的结果，未及时舍去。解题核心技巧：遇到两个未知量、两个条件的题目，优先使用二元一次方程组，条件一一对应，列式直观、正确率更高。本节内容是方程组应用题的开端，实现了从纯计算解方程到实际应用建模的跨越。简单和差倍分问题夯实双等量关系的找题能力，行程问题训练模型识别与公式运用能力。熟练掌握本节内容，能够完全应对基础应用题，同时为后续工程问题、销售问题、方案选择问题等复杂方程组应用题筑牢建模基础，是初中数学方程应用体系中承上启下的关键章节。情境导入
同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？
比赛积分问题的相等关系：
（1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数；
（2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分.
探索新知
例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分.
该队胜几场，平几场？
解法一：如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11 - x) 场. 相据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 (11 - x) 场，得 (11 - x) 分，共得 27 分，得方程
解方程，得 x＝8.
3x＋(11－x)＝27.
此时 11－x＝11－8＝3.
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
解法二：设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场由该队共比赛 11 场，得方程
x＋y＝11. ①
又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程
3x＋y＝27. ②
x＋y＝11，
3x＋y＝27
x＝8，
y＝3.
解方程①②组成的方程组 ，得
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；
(2) 设元：用___________表示题目中的未知数；
(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4) 解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
方法总结
2
利用二元一次方程组解决行程问题
例2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
(1) 同时出发，
同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲追上乙
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程
甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程
(2) 同时出发，
相向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲 0.5 h 行程
乙 0.5 h 行程
甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4km
相遇地
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
解方程组，得
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
2x－2y＝4，
0.5x＋0.5y＝4
x＝5，
y＝3.
练 习
1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？
【教材P120 练习 第1题】
解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元.
根据题意，得 解方程组，得
9x + 7y = 700，
2x - y = 15.
x = 35，
y = 55.
答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元.
2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间.
【教材P120 练习 第2题】
解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h.
6 min = h，20 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h.
3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度.
（顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度）
【教材P120 练习 第3题】
解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h.
4 h 48 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
4(x + y) = 72，
答：江轮在静水中的速度是 km/h.
应用1 积分问题
1. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得
2分，负一场得1分.某队在12场比赛中得20分，设该队胜 场，
负场，则根据题意，列出关于， 的二元一次方程组正确
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.［2025滁州月考］某中学组织学生进行安全知识竞赛，共
有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分.用二
元一次方程组的知识解决下列问题.
（1）甲同学参加了竞赛，成绩是96分，设甲同学在竞赛中
答对了道题，不答或答错了道题，求和 的值；
【解】根据题意，得解方程组，得
（2）乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能
拿到100分.”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由.
乙同学没有可能拿到100分.理由如下：
设乙同学在竞赛中答对了道题，则不答或答错了 道
题，
根据题意，得，解得 .
因为为整数，所以 不符合题意.
所以乙同学没有可能拿到100分.
返回
应用2 行程问题
3.甲、乙两名同学在 环形跑道上练习赛跑.若两人同时
同地反向跑，则经过 两人第一次相遇；若两人同时同地
同向跑，则经过甲第一次追上乙.甲的速度为___ ，
乙的速度为___ .
7
5
返回
4.［2025孝感期末］一只小船从港口顺水航行到 港口需8
小时，而从港口逆水返回到 港口需12小时.某日，该小船
在早晨8时出发，由港口顺水航行到 港口时，发现船上一
个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小
时后找到救生圈.
（1）若港口到 港口的航程为240千米，求水流速度是每小
时多少千米？
【解】设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为 千米
/时，
由题意，得解方程组，得
答：水流速度是每小时5千米.
（2）若救生圈从港口漂流到 港口，需要多长时间？
设小船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时，
港口到港口的距离为 千米，由题意，得
解方程组，得
所以救生圈按水流速度由港口漂流到 港口需要的时间为
（小时）.
答：救生圈从港口漂流到 港口所需时间为48小时.
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
行程问题
路程 = 平均速度×时间
审题：弄清题意和题目中的__________
设元：用______表示题目中的未知数
列方程组：根据___个等量关系列出方程组
解方程组：_______________
检验作答
数量关系
字母
2
代入法，
加减法

展开更多......

收起↑