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沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.5.2物质配比与变化率问题第3章一元一次方程3.5.2物质配比与变化率问题练习题讲解本节我们继续学习二元一次方程组的实际应用，重点掌握物质配比问题与变化率问题两大类高频题型。相较于上一节的和差倍分与行程问题，本节题型更贴合生活中的溶液调配、物资混合、数量增减变化场景，题目条件更隐蔽、数量关系更抽象。两类题型均含有两个未知量、两组独立等量关系，非常适合用二元一次方程组求解，核心解题思路依旧是审题找关系、设元列方程、消元求解、检验作答，进一步巩固数学建模的核心思想。物质配比问题是本节基础重点，常见于溶液混合、材料配比、物资搭配等题型，最典型的是浓度配比问题。其核心原理是：混合前后**纯物质的总质量不变**，溶剂质量不变，这是列方程的核心等量关系。核心公式：纯物质质量=溶液质量×浓度。两种不同浓度的溶液混合配制成新溶液时，满足：第一种溶液纯物质质量+第二种溶液纯物质质量=混合后溶液纯物质质量，第一种溶液质量+第二种溶液质量=混合后溶液总质量。两组固定等量关系，可直接建立二元一次方程组求解。物质配比经典例题：现有甲、乙两种盐水，甲盐水浓度为20%，乙盐水浓度为5%。将两种盐水混合，配制150克浓度为15%的盐水，求甲、乙两种盐水各需多少克。解：设需要甲盐水$$x$$克，乙盐水$$y$$克。根据总质量和纯盐质量不变列方程组：$$\begin{cases} x+y=150 \\ 20\%x+5\%y=150\times15\% \end{cases}$$，化简得$$\begin{cases} x+y=150 \\ 0.2x+0.05y=22.5 \end{cases}$$，解得$$x=100，y=50$$。答：需要甲盐水100克，乙盐水50克。本题是配比问题标准模型，适配所有混合调配题型。变化率问题是本节重难点，主要包括增长率、减少率、价格变动、数量增减等题型，广泛应用于产量变化、价格调整、人数变动等场景。核心公式：变化后数量=原有数量×(1±变化率)。此类题目一般有两种基础量，分别对应不同的增长率或减少率，通过“变化前总量、变化后总量”两组等量关系建立方程组。解题关键是区分原有基数和变化后的数值，准确套用变化率公式，避免基数混淆错误。变化率经典例题：某工厂原有甲、乙两个车间共有员工200人，本年度甲车间人数增加10%，乙车间人数减少5%，调整后两个车间总人数为206人。求甲、乙两个车间原来各有多少人。解：设甲车间原有$$x$$人，乙车间原有$$y$$人。根据题意列方程组：$$\begin{cases} x+y=200 \\ (1+10\%)x+(1-5\%)y=206 \end{cases}$$，化简得$$\begin{cases} x+y=200 \\ 1.1x+0.95y=206 \end{cases}$$，解得$$x=120，y=80$$。答：甲车间原有120人，乙车间原有80人。综合解题易错总结：物质配比问题高频错误为混淆溶液、溶剂、溶质质量，混合前后纯物质质量找错，忽略总质量守恒；变化率问题易错点是搞错变化基数，误将变化后数值当作基数，增长率、减少率公式用反，百分数换算出错。同时两类题型通用易错点：只找一组等量关系、遗漏总数量关系，解方程后不检验实际意义，出现负数质量、负数人数等不合理结果。解题技巧：配比紧抓“纯量守恒”，变化率紧抓“原基数不变”，双条件对应双方程，解题精准不混乱。物质配比与变化率问题，完善了二元一次方程组的应用体系，从具象的行程问题延伸到抽象的比例变化、浓度变化问题。熟练掌握本节题型，能够提升学生对百分数、比例、守恒关系的分析能力，强化方程建模思维，为后续更复杂的综合应用题、函数实际应用的学习打下坚实基础。会列二元一次方程组解决物质配比、变化率问题.
知道列表能帮助我们弄清题意、找出等量关系.
培养学生方程中“数学建模”的思想，进一步培养分析问题和解决问题的能力.
探索新知
例 3 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 已知石英砂中含二氧化硅 99%，长石粉中含二氧化硅 67%. 在 3.2 t 原料中，石英砂和长石粉各多少？
原料成分 石英砂 长石粉 总量
质量/t x y
含二氧化硅量/t 99%x 67%y
3.2
70%×3.2
解 设原料中石英砂 x t，长石粉有 y t. 根据题意，得
x + y = 3.2，
99%x + 67%y = 70%×3.2.
解方程组，得
x = 0.3，
y = 2.9.
答：在 3.2 t 原料中，石英砂有 0.3 t，长石粉有 2.9 t.
百分比问题中常见的是增长（下降）率问题、与浓度有关的问题等，其中增长（下降）率问题中的等量关系如下：
（1）增长率 = ×100%；
增长后的量 – 增长前的量
增长前的量
（2）增长后的量 = 增长前的量×（1 + 增长率）；
（3）下降率 = ×100%；
下降前的量 – 下降后的量
下降前的量
（4）下降后的量 = 下降前的量×（1 – 下降率）.
巩固练习
某皮鞋厂前年的利润为 100 万元，去年的总产值比前年增加了 20％ ，总支出比前年减少了 5％ ，去年的利润为 400 万元，那么该皮鞋厂前年的总产值和总支出各是多少万元？
分析:设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元，
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
前年 x y 100
去年 (1+20%)x (1-5%)y 400
解: 设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元.
根据题意，得
x - y = 100，
(1+20%)x - (1-5%)y = 400.
解方程组，得
x = 1220，
y = 1120.
答: 该皮鞋厂前年的总产值是 1220 万元，总支出是 1120 万元.
1. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％、12％ 的两种配料. 用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
解：设需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 x kg、y kg，根据题意列出方程组得
解得
答：需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 37.5 kg、62.5 kg.
2. 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50%、乙商品加价 40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打 8 折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款 538 元，已知商场盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少？
解：设甲、乙两种商品的进价分别为 x 元/件、y 元/件， 根据题意列出方程组得
解得
答：甲、乙两种商品的进价各是 250 元/件，200元/件.
应用1 百分比问题
1. 茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生
产业.某村有土地60公顷，计划将其中 的土地种植蔬菜，其余的
土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种植粮食面积的2倍
少3公顷，问茶园和种植粮食的面积各为多少公顷？设茶园的面积为
公顷，种植粮食的面积为 公顷，可列方程组为 ( )
B
A. B.
C. D.
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2.［2025黄山月考］“预防为主，生命至上”.某商场计划购进
一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消
防自救呼吸器共需1 500元，购进20个干粉灭火器和25个消
防自救呼吸器共需1 950元.
（1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别
是多少元；
【解】设一个干粉灭火器的进价为 元，一个消防自救呼吸
器的进价为 元，
由题意，得解方程组，得
答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的
进价为30元.
（2）该商场计划用4 800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸
器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价
进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部
售出后共获利多少元.
设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器 个，
由题意，得解方程组，得
所以购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个.
所以全部售出后共获利
（元）.
答：全部售出后共获利1 480元.
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3.营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生
快餐进行检测，得到以下信息：
根据上述信息回答下列问题：
（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共_____克；
150
（2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量；
【解】设这份快餐中矿物质的质量为克，脂肪的质量为 克，
则蛋白质的质量为 克，
根据题意，得 解方程组，得
答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克.
（3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为碳水化合物
脂肪蛋白质,同时三者含量为总质量的 .试判断这
份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”.如果符合，
直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的
质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、
矿物质的质量（总质量仍为300克）.
易知这份快餐的碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量分别为
120克、60克、90克，这三种成分的质量比为 ，不符合
“理想比”.
设符合“理想比”的碳水化合物的质量为 克，脂肪的质量为
克，蛋白质的质量为 克.
根据题意，得，解得 ，
矿物质的质量为 （克）.
答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质
的质量为30克.
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