资源简介

(共20张PPT)
矩形的判定
特殊平行四边形
学习目标
壹
理解并掌握矩形的判定方法。解决有关的证明题和计算题，感受解析思路和方法。
贰
经历探索矩形判定方法的过程。
叁
经历探究矩形判定的过程，发展学生实验探究的意识。
肆
从数学活动中获得成功的体验，充满对学习的好奇心和求知欲。
知识回顾
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
矩形的判定1
矩形的定义：
平行四边形ABCD
∠A=90°
四边形ABCD是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
“矩形的对角线相等”，反过来，猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
验证结论
A
B
C
D
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
证明
∴ AB=CD, BC=BC（平行四边形对边相等）
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）
在 △ABC和△DCB中
AB=CD （已证）
BC=BC （已证）
AC=BD （已知）
∴ ∠ABC=90°（等式的性质）
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）
又∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）
矩形的判定2
平行四边形ABCD
AC=BD
四边形ABCD是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形.
B
A
C
D
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
∴ 四边形ABCD是矩形。
几何语言：
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
1、矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。
想一想
2、如果上述逆命题成立，那么进一步说，至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°
求证：四边形ABCD是矩形.
验证结论
D
A
B
C
证明：∵∠A＝∠B＝90°　
∴∠A＋∠B＝180°　
∴AD∥BC　
同理：AB∥CD　
∴四边形ABCD是平行四边形　
∵∠A＝90°　
∴四边形ABCD是矩形。
矩形的判定3
有三个角是直角的四边形是矩形.
B
A
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
几何语言：
例题讲解
如图,AC、BD是矩形ABCD的对角线，且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
例题讲解
如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在 □ ABCD 中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE +∠ABF= ∠DAB + ∠ABC=90°.
例题讲解
一张四边形纸板ABCD形状如图，它的两条对角线相互垂直.若要从这张纸中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
E
F
G
H
解：如图，在AB、BC、CD、AD上取中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE,
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF∥AC,
∵ AC⊥BD.
∴ EF⊥BD.
∵ EH是△ABD的中位线，
∴ EH∥BD,
∵ EF⊥EH,即∠HEF=90°
同理，∠EHG=90°，∠HGF=90°
∴四边形EFGH是矩形.
学以致用
1.如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于F.
(1)求证：BC=CF.
(2)当DB=DF时,求证：四边形ABCD是矩形．
学以致用
2.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且AD⊥BA交BC延长线于D，CF⊥BC交BA的延长线于F,连接EF．
(1)求证：AC是△BCF的中线；
(2)求证：四边形CDEF是矩形；
(3)已知AC=6，BC=4，求AE的长．
学以致用
3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．
（1）四边形PECF的形状是______；
（2）线段EF的最小值为______．
学以致用
4.如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．
学以致用
5.如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、BD相交于点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，求出经过几秒后，四边形BPDQ是矩形？

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