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沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第3章一元一次方程第3章一元一次方程全章知识点总结与习题讲解一元一次方程是初中代数的核心基础内容，贯穿整个初中数学计算与应用体系。本章循序渐进，从方程基础变形、各类解方程方法，到生活中各类实际应用题建模，层层递进，构建了完整的方程解题思维。核心学习思想为“转化化简”，将复杂方程转化为标准一元一次方程求解，将生活文字问题转化为数学方程求解。本章所有知识点、解题方法、必考题型汇总如下，方便系统复习巩固。3.2.1利用移项解一元一次方程移项是解一元一次方程的基础核心方法，依据等式基本性质，实现方程项的分类整理。核心规则为移项必变号，不移项符号不变，加变减、减变加。标准解题步骤：移项（未知项靠左、常数项靠右）→合并同类项→系数化为1。基础例题：解方程$$4x-7=2x+3$$。移项得$$4x-2x=3+7$$，合并同类项得$$2x=10$$，解得$$x=5$$。易错点：移项忘记变号、同类项合并计算失误、未完整执行系数化为1步骤。3.2.2利用去括号解一元一次方程本节为解方程进阶知识点，针对含括号的一元一次方程，核心依据去括号法则和乘法分配律。核心规则：括号前是正号，去括号各项不变号；括号前是负号，去括号各项全变号；括号有系数需逐项相乘，杜绝漏乘。标准步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1。基础例题：解方程$$4-(2x-1)=7$$。去括号得$$4-2x+1=7$$，合并得$$5-2x=7$$，移项化简得$$-2x=2$$，解得$$x=-1$$。易错点：负号去括号漏变号、括号系数漏乘单项、去括号后整理式子混乱。3.2.3利用去分母解一元一次方程本节是一元一次方程计算的重难点，针对分数系数方程。核心原理：等式两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。核心要求：方程所有项必须整体同乘，常数项绝不遗漏；分子为多项式时，去分母后需添加括号。标准步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。基础例题：解方程$$\frac{1}{2}x+1=3$$。两边同乘2得$$x+2=6$$，移项解得$$x=4$$。易错点：常数项漏乘最小公倍数、分子多项式未加括号、去分母后符号出错。3.3.1等积变形和行程问题本节为一元一次方程基础应用题，核心是找准等量关系。等积变形问题核心：形变积不变，周长、面积、体积变形前后总量恒定，常见于铁丝围图形、几何体熔铸锻造。行程问题核心公式：路程=速度×时间，分为相向相遇、同向追及两类核心模型。核心等量关系：等积变形（变形前总量=变形后总量）；相遇问题（甲路程+乙路程=总路程）；追及问题（快者路程-慢者路程=初始距离）。易错点：混淆周长、面积、体积不变量；行程问题运动方向判断错误、单位不统一。3.3.2储蓄与销售问题本节为生活类高频应用题，依托固定公式建模求解。储蓄问题核心公式：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息。销售问题核心公式：利润=售价-进价，利润率=$$\frac{利润}{进价} \times 100\%$$，售价=标价×折扣。核心要点：储蓄问题需匹配利率与期数（年/月）；销售问题牢记利润率基数为进价，而非标价、售价。易错点：利润率公式用错、折扣计算失误、储蓄期数与利率不匹配。3.3.3比例与和、差、倍、分问题本节是所有应用题的基础，侧重文字数量关系转化。和差倍分核心关系：大数=小数×倍数±差、和=大数+小数、差=大数-小数，解题优先设小量为未知数。比例问题专属技巧：已知比例a:b:c，设每份为$$x$$，各量分别为$$ax、bx、cx$$，规避分数计算。易错点：倍数关系颠倒、比例设元错误、和差条件判断相反。3.4.1二元一次方程与二元一次方程组核心定义：二元一次方程需同时满足三个条件，含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程。二元一次方程组由两个及以上二元一次整式方程组成。核心区别：单个二元一次方程有无数组解，二元一次方程组有唯一一组解，且解需同时满足方程组所有方程。易错点：误判含平方项、乘积项、分式的方程为二元一次方程；验证方程组的解只代入单个方程。3.4.2用代入法解二元一次方程组核心思想：消元（化二元为一元）。标准步骤：变形（用一个未知数表示另一个未知数）→代入（代入另一方程消元）→求解一元一次方程→回代求另一未知数→写解。解题技巧：优先变形未知数系数为±1的方程，简化计算。易错点：移项变形符号出错、代入原变形方程、遗漏回代步骤。3.4.3用加减法解二元一次方程组核心思想：同过方程加减消元。规则：同系数相减、反系数相加；系数不同先找最小公倍数统一系数，再加减消元。标准步骤：统一系数→加减消元→求解→回代→写解。是考试最常用的方程组解法。易错点：统一系数漏乘常数项、方程相减时整体变号不彻底、符号运算失误。3.5.1简单实际问题和行程问题（二元方程组应用）针对含两个未知量、两组等量关系的应用题。简单实际问题依托和差倍分双条件列式；行程问题双人运动题型，用方程组区分相遇、追及模型，列式更直观、不易出错。解题规范：审题找双等量关系→设双未知数→列方程组→求解→检验实际意义→作答。3.5.2物质配比与变化率问题配比问题核心：混合前后纯物质质量守恒、总质量守恒，适用于溶液调配、材料混合。变化率问题核心公式：变化后数量=原数量×(1±变化率)，依托变化前、变化后总量双条件列方程组。易错点：混淆溶质与溶液、变化率基数判断错误、百分数换算失误。3.5.3调配与配套问题调配问题：人员、物资调动，核心是总数量不变，根据调配后数量关系列方程。配套问题：依据产品配套比例建立倍数关系，核心是匹配零件数量，保证刚好配套，是考试重难点。易错点：调配方向搞反、配套比例列式颠倒、出现无意义小数/负数结果不舍去。3.6三元一次方程组及其解法核心思想：逐层消元，三元→二元→一元。定义：含三个未知数、次数为1、整式方程组成的方程组。解题关键：全程固定消去同一个未知数，优先消去有缺项、系数简单的未知数；对称型方程组可整体相加求和，简化运算。易错点：随意更换消元对象、加减消元计算失误、遗漏求解第三个未知数。全章核心总结本章整体遵循“计算→应用→升级拓展”的学习逻辑，从一元一次方程的四种基础解法，到各类生活应用题建模，再升级为二元、三元一次方程组的求解与应用。贯穿全章的核心数学思想是消元转化、建模思想，所有题型均可通过规范步骤、找准等量关系、规避易错点精准求解，是初中代数运算和应用题的核心基础。一次方程与方程组
一元一次方程及其解法
一元一次方程的相关概念
一元一次方程的应用
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组的应用
等式的基本性质
一元一次方程的解法
二元一次方程(组)的相关概念
二元一次方程的解法
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，且等式两边都是______的方程叫作一元一次方程．
3. 方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解．
4. 解方程：求方程的解的过程．
一
1
整式
1. 二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫作二元一次方程.
2. 二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫作二元一次方程组.
3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解.
二、二（三）元一次方程组的有关概念
两个
一次
一次
两个
4. 三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫作三元一次方程组.
一次
三个
1. 等式的性质1：等式的两边都加上 (或减去)同一个整式，所得结果仍是整式．
如果 a＝b，那么 a± ＝b±c.
2. 等式的性质2：等式的两边都乘以 (或除以) 同一个数
(除数不能为 0 )，所得结果仍是等式．
如果 a＝b，那么 ac＝ ___ ， ＝ (c ≠ 0).
三、等式的性质
c
3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性）
4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性）
bc
___
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
(2)去括号：注意括号前的系数与符号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，
常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4)合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得 x＝m 的形式.
四、一元一次方程的解法
五、二元一次方程组的解法
（1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.
（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
六、三元一次方程组的解法
消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.
1. 列方程(组)的应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程（组）．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案(包括单位)．
[注意] 审题是基础，找等量关系是关键.
七、用一次方程与方程组解决实际问题
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
(1)行程问题中基本量之间的关系：
① 路程＝速度×时间；
②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；
④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
（2）等积变形问题中基本量之间的关系：
① 原料面积 = 成品面积；
② 原料体积 = 成品体积.
（3）储蓄问题中基本量之间的关系：
① 本金×利率×年数 = 利息；
② 本金 + 利息 = 本息和.
（4）销售问题中基本量之间的关系：
① 实际售价 - 进价(成本) = 利润；
② 利润÷进价×100% = 利润率；
③ 进价×(1 + 利润率) = 售价；
标价×折扣数÷10 = 进价.
（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：
① 增长率 = 原有量×增长率；
现有量 = 原有量 + 增长量.
② 降低量 = 原有量×降低率；
现有量 = 原有量 - 降低量.
（6）百分率问题中基本量之间的关系：
① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；
② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量；
原量×(1 - 减少率) = 减少后的量.
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
解: （1）移项，得 7x + 3x = 5.
合并同类项，得 10x = 5.
两边同除以 10，得 x = .
A 组
1. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第1题】
（1）7x = -3x + 5； （2）3x - 27 = 15 – 3x；
（2）移项，得 3x + 3x = 15 + 27.
合并同类项，得 6x = 42.
两边同除以 6，得 x = 7.
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
（3）去括号，得 12 – 6 + 3y = 6y + 5.
合并同类项，得 -3y = -1.
两边同除以 -3，得 y = .
移项，得 3y - 6y = 5 - 12 + 6.
（3）12-3(2-y) = 6y + 5； （4）6(y+7)-3 = 4(3 – y) + 3.
（4）去括号，得 6y + 42 - 3 = 12 - 4y + 3.
合并同类项，得 10y = -24.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y + 4y = 12 + 3 - 42 + 3.
2. 解下列一元一次方程：
【教材P132 第2题】
（1） ；
解：去分母，得 5(2x + 1) = 3(x + 1).
合并同类项，得 7x = 28.
两边同除以 7，得 x = 4.
移项，得 10x–3x = 33 - 5.
去括号，得 10x + 5 = 3x + 33.
（2） .
去分母，得 6(y - 3) = 5y - 9(y - 7).
合并同类项，得 10y = 81.
两边同除以 10，得 y = .
移项，得 6y–5y + 9y = 63 + 18.
去括号，得 6y - 18 = 5y - 9y + 63.
3. 解下列方程组：
（1）
3x – 2y = 10，
4x – 3y = 13；
（2）
2x + 3y - 2 = 0，
4x – 9y + 1 = 0；
x = 4，
y = 1.
x = ，
y = .
【教材P132 第3题】
（3）
x + 1 = 5(y + 2)，
3(2x – 5) - 4(3y + 4) = 5；
（4）
x = 4，
y = -1.
x = -7，
y = 6.
4. 在等式 y = kx + b 中，当 x = 1 时，y = 3；当 x = -2 时，y = 9. 试求 k，b 的值.
【教材P133 第4题】
解：根据题意，得
k + b = 3，
-2k + b = 9.
解方程组，得
k = -2，
b = 5.
5. 把一根 9 m 长的铜管截成 1 m 和 2 m 长两种规格的短铜管，且没有剩余，求一共有多少种不同的截法.
【教材P133 第5题】
解:设截得的 1 m 长的短铜管有 x 根，2 m 长的短铜管有 y 根.
根据题意，得 x＋2y ＝ 9. 所以 x ＝ 9－2y.
由题意可知 x，y 都是正整数，所以 x ＝1，y ＝4
或 x ＝3，y ＝3 或 x ＝ 5，y ＝2 或 x ＝ 7，y ＝ 1.
因此，一共有 4 种不同的截法.
6.某公路收费站的货车收费标准是：第一类 10 元/车次，第二类 20 元/车次，第三类 30 元/车次，某天通过该收费站的三类货车的车次之比是 10 : 3 : 2，共收费 4.4 万元.
这天通过该收费站的三类货车各有多少车次？
【教材P133 第6题】
解: 设这天通过该收费站的第一类货车有 10x 车次，
第二类货车有 3x 车次，第三类货车有 2x 车次.
由题意得 10x·10 + 3x·20 + 2x·30 ＝44 000.
解方程，得 x ＝ 200.
10x ＝ 10×200 ＝ 2 000，3x ＝3×200 ＝ 600，
2x ＝ 2×200 ＝ 400.
答:这天通过该收费站的第一类货车有 2 000 车次，
第二类货车有 600 车次，第三类货车有 400 车次.
7. 运输户承包运送 2000 套玻璃茶具，运输合同规定: 每套运费1.6 元；如有损坏，每套不仅得不到运费，还要赔 18 元. 结果，这个运输户得到运费 3 102 元，运输过程中损坏了几套茶具？
【教材P133 第7题】
解: 设运输过程中损坏了 x 套茶具.
根据题意，得 1.6(2 000－x)－18x ＝ 3 102.
解方程，得 x ＝ 5.
答: 运输过程中损坏了 5 套茶具.
8.甲便民服务点有工作人员27人，乙便民服务点有工作人员19人.现有 20 名志愿者前来支援. 要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的 2 倍，应怎样分配前来的志愿者？
【教材P133 第8题】
解:设应分配给甲便民服务点 x 人，则分配给乙便民服务点
(20－x)人.
根据题意，得 27 + x ＝2[19 + (20－x)].
解方程，得 x ＝ 17. 所以 20－x ＝20－17 ＝ 3.
答: 应分配给甲便民服务点 17 人，乙便民服务点 3 人.
9. 一旅客携带 30 kg 行李乘飞机. 按规定，旅客最多可免费托运 20 kg 行李，超重部分每千克按当班飞机票价格的 1.5% 收费. 现该旅客支付了 120 元的托运费，当班飞机票的价格是多少元？
【教材P133 第9题】
解: 设当班飞机票的价格为 x 元.
根据题意，得(30－20)×1.5％x ＝ 120.
解方程，得 x ＝ 800.
答: 当班飞机票的价格是 800 元.
10.在长方形 ABCD 中，放入 8 个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示. 试求阴影部分的面积.
【教材P133 第10题】
根据题意，得
3y + 4 = x + y，
x + 4y = 16.
解：设每个小长方形的长为 x，宽为 y.
解方程组，得
x = 8，
y = 2.
所以大长方形的宽为 3y + 4 = 3×2 + 4 = 10.
所以阴影部分的面积为 16×10–8×8×2 = 32.
11. 某厂现有厂房 15 000 m2，计划拆除部分旧厂房，重建新厂房，使厂房总面积扩大 40%. 如果新建厂房的面积是拆除的旧厂房面积的 3 倍，那么应该拆除多大面积的旧厂房？新建厂房面积有多大？
【教材P134 第11题】
解:设应该拆除的旧厂房的面积为 x m2 ，则新建厂房的面积为 3x m2 .
根据题意，得 15 000×(1+40％) ＝ 15 000－x + 3x.
解方程，得 x ＝ 3 000. 3x ＝3×3 000 ＝9 000.
答:应该拆除 3 000 m2 的旧厂房，新建厂房面积为 9 000 m2.
12. 某校今年秋季招收七年级、高中一年级新生共 500 人. 计划明年秋季这两个年级招生数比今年增加 18%，其中七年级增加 20%，高中一年级增加 15%. 该校明年计划招收七年级、高中一年级新生各多少人？
【教材P134 第12题】
解: 设该校今年秋季招收七年级新生 x 人，高中一年级
新生 y 人.
根据题意，得
x + y = 500，
(1+20%)x + (1+15%)y = 500×(1+18%).
解方程组，得
x = 300，
y = 200.
所以该校明年计划招收七年级新生 300×(1+20%)＝ 360 (人)，
招收高中一年级新生 200×(1+15%)＝ 230 (人).
13. 将浓度为 65% 的酒精与浓度为 95% 的酒精混合，制成了浓度为 75% 的酒精 0.9 kg. 两种酒精各使用了多少千克？
【教材P134 第13题】
解: 设浓度为 65％ 的酒精使用了x kg，浓度为 95％ 的酒精使用了 y kg.
根据题意，得
x + y = 0.9，
65%x + 95%y = 75%×0.9.
解方程组，得
x = 0.6，
y = 0.3.
答: 浓度为 65％ 的酒精使用了 0.6 kg，浓度为 95％ 的酒精使用了 0.3 kg.
14. 某天，一蔬菜经营户用 218 元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共 40 kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天每千克的批发价与零售价如下表所示.
【教材P134 第14题】
卖出这些西红柿和豆角，共能赚多少钱？
品名 西红柿 豆角
批发价/元 5.6 5.0
零售价/元 9.2 8.2
解: 设该蔬菜经营户批发了西红柿 x kg，豆角 y kg.
根据题意，得
x + y = 40，
5.6x + 5.0y = 218.
解方程组，得
x = 30，
y = 10.
30×(9.2-5.6) + 10×(8.2-5.0) = 140（元）.
答:卖出这些西红柿和豆角，共能赚 140 元.
15.《算法统宗》中有这样的问题:“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约 5尺）.”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长 5 尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短 5 尺，求竿子长几尺.
【教材P134 第15题】
解: 设竿子长 x 尺，则绳子长 (x + 5) 尺.
根据题意，得 . 解方程，得 x = 15.
答：竿子长 15 尺.
16. 我国古代数学著作《九章算术》中有一题: 用卖 2 头牛、5 头羊的钱买 13 头猪，剩钱1000；用卖 3 头牛、3 头猪的钱买 9 头羊，钱正好；用卖 6 头羊、8 头猪的钱买 5 头牛，还差钱 600. 牛、羊、猪每头的价钱各为多少？
【教材P134 第16题】
解: 设牛、羊、猪每头的价钱分别为 x，y，z.
根据题意，得
2x + 5y = 13z + 1000，
3x + 3z = 9y，
6y +8z + 600 = 5x.
解方程组，得
x = 1200，
y = 500，
z = 300.
答：每头牛的价钱为 1200，每头羊的价钱为 500，每头猪的价钱为 300.
B 组
【教材P134 第1题】
1. 甲、乙两人同时解关于 x，y 的方程组
ax + by = 2，
mx -7y = 8.
甲解对了，得 乙写错了 m，得
x = 3，
y = 2.
x = -2，
y = -2.
试求原方程组中 a，b，m 的值.
解: 将 和 分别代入 ax + by = 2，
x = 3，
y = 2
x = -2，
y = -2
得 解方程组，得
3a + 2b = 2，
-2a-2b = 2.
a = 4，
b = -5.
将 代入 mx - 7y = 8，得 3m – 14 = 8，
x = 3，
y = 2.
所以 m = .
2. 某商品的进价为 200 元，标价为 300 元，打折销售后的利润率为 5%. 此商品是按几折销售的？
（ ）
利润率 =
利润
进价
解: 设此商品是按 x 折销售的.
解方程，得 x = 7.
答：此商品是按 7 折销售的.
根据题意，得 300× - 200 = 200×5%，
【教材P135 第2题】
3. 设 a，b，c 为互不相等的有理数，且 ，
则下列结论正确的是（ ）.
（A）a>b>c （B）a>c>b
（C）a-b > 4(b-c) （D）a-c =5(a-b)
D
【教材P135 第3题】
4. 用 1 块 A 型钢板可制成 4 件甲种产品和 1 件乙种产品；用 1 块 B 型钢板可制成 3 件甲种产品和 2 件乙种产品. 要生产甲种产品 37 件，乙种产品 18 件恰好需用 A，B 两种型号的钢板共多少块？
解: 设恰好需用 A 型钢板 x 块，B 型钢板 y 块.
根据题意，得
4x + 3y = 37，
x + 2y = 18.
解方程组，得
x = 4，
y = 7.
解: 恰好需用 A 型钢板 4 块，B 型钢板 7 块.
【教材P135 第4题】
5. 将两块完全相同的长方体木块先按左图的方式放置，再按右图的方式放置，测得的数据如图所示，求桌子的高度，
解: 设图中长方形的长为 x cm，宽为 y cm.
根据题意，得
h + x = 80 + y，①
h + y = 60 + x. ②
① + ②，得 2h = 140. h = 70.
答：桌子的高度为 70 cm.
【教材P135 第5题】
C 组
1. 三个连续整数的和为 66，求这三个数. 如果是三个连续偶数，是否有解？如果是三个连续奇数，是否有解？
解: 设三个连续整数中间的数为 x，则较小数为 (x-1)，
较大数为(x + 1).
根据题意，得 (x-1)＋x＋(x＋1)＝ 66. 解方程，得 x ＝ 22.
x－1＝21，x＋1＝23.
所以这三个数分别为 21，22，23.
【教材P135 第1题】
如果是 3 个连续偶数，设中间的偶数为 2n (n 为整数)，
则较小偶数为 (2n－2)，较大偶数为 (2n＋2).
根据题意，得 (2n－2)＋2n＋(2n＋2)＝ 66，
解方程，得 n ＝11.
2n－2 ＝20，2n ＝22，2n＋2 ＝24.
如果是 3 个连续奇数，设中间的奇数为(2n－1) (n 为整数)，
则较小奇数为(2n－3)，较大奇数为 (2n＋1).
根据题意，得(2n－3)＋(2n－1)＋(2n＋1)＝ 66，
解方程，得 n = .
因为 n 为整数，
所以 n = 不合题意，所以三个连续奇数的和为 66 时无解.
2. 某电视台在黄金时段的 2 min 广告时间内，计划插播长度为15 s 和 30 s 的两种广告，15 s 广告每播 1 次收费 0.6 万元，
30 s 广告每播 1 次收费 1 万元，若要求每种广告播放不少于
2次，插播的广告正好排满 2 min.
（1）两种广告的播放次数有哪几种安排方式？
（2）电视台选择哪种方式播放收益最大？
【教材P136 第2题】
解:（1）设安排 15 s 广告播放 x 次，30 s 广告播放 y 次.
根据题意，得 15x＋30y ＝120. x＋2y ＝8.
由题意可知，x，y 都是不小于 2 的正整数，
所以 或
x = 2，
y = 3
x = 4，
y = 2.
因此，共有以下 2 种安排方式：
①安排 15 s 广告播放 2 次，30 s 广告播放 3 次；
②安排 15 s 广告播放 4 次，30 s 广告播放 2 次.
（2）方式①的播放收益为0.6×2＋1×3＝4.2 (万元)，
方式②的播放收益为0.6×4＋1×2＝4.4 (万元).
因为 4.2 <4.4，
所以电视台选择方式②的播放收益最大.
3.某企业有 A，B 两条加工同种原材料的生产线. 在一天内，
A 生产线共加工 a t 原材料，加工时间为 (4a+1) h，B 生产线共加工 b t 原材料，加工时间为 (2b +3)h，第一天，该企业将
5 t 原材料分配到 A，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 A 生产线的原材料质量与分配到 B 生产线的比为________. 第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 t 原材料后，又给 A 生产线分配了 m t 原材料，给 B 生产线分配了 n t 原材料，若两条生产线仍能在一天内加工完各自分配到的原材料，且加工时间相同，则 的值为_______
2 : 3
考点1 三个概念
概念1 方程
1.下列各式中，是方程的是______.（填序号）
; ; ;
; .
②④
返回
概念2 一元一次方程及其解
2. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 若方程与关于的方程 的解
互为相反数，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
返回
概念3 二元一次方程（组）及其解
4. 下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
5.已知是方程的解，则 的值为____.
返回
考点2 一个性质——等式的基本性质
6. 已知，且 ，下列各式：
;; ;
.其中一定正确的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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考点3 两个解法
解法1 一元一次方程的解法
7.解方程： .
【解】去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
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解法2 二元一次方程组的解法
8.解方程组：
【解】由②，得 ，③
把③代入①，得,解得 .
把代入③,得 .
所以原方程组的解为
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考点4 两个应用
应用1 一元一次方程的实际应用
9.［2024连云港］我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，
以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方
分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活
动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示：
邮购数量/把 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，两次邮购的折扇各多少把？
【解】若两次邮购折扇都是100把，则
（元） 元.
所以一次邮购折扇少于100把，另一次邮购折扇多于100把.
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇 把.
由题意，得 ，
解得.所以 .
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把.
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应用2 二元一次方程（组）的实际应用
10.［2025淮南月考］近几年来，新能源汽车在中国已然成为
汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电
动汽车，计划一年生产安装288辆.由于抽调不出足够的熟练
工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人.他
们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始
后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆
电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
【解】设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工
人每月可以安装辆电动汽车，依题意，得 解
得
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每
月可以安装2辆电动汽车.
（2）如果工厂抽调 名熟练工，使得招聘的新工
人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有
哪几种新工人的招聘方案？
设招聘名新工人，依题意，得 ，整理，
得 .
因为，且， 均为正整数，
所以或或或
所以工厂有4种新工人的招聘方案，分别为：
方案1：招聘10名新工人，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新工人，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新工人，抽调4名熟练工.
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考点5 四种技巧
技巧1 巧设未知数——设辅助未知数法
11.某校举行英语竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的 .已知选拔
赛的分数线比全部参赛学生的平均分数少2分，比被选中的
学生的平均分数少11分，并且等于被淘汰的学生的平均分数
的2倍，选拔赛的分数线是多少？
【解】设选拔赛的分数线为分，淘汰了 人，则
，
解得 .故选拔赛的分数线为50分.
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技巧2 列表分析数量关系法
12. 甲厂有91名工人，乙厂有49名工人，
为了赶制一批产品又调来了100名工人，要使甲厂的人数比
乙厂人数的3倍少12人，应往甲、乙两厂各调多少名工人？
【解】设应往甲厂调名工人，则往乙厂调 名工人，
依题意，得
，
解得.所以 .
故应往甲厂调86名工人，往乙厂调14名工人.
【点拨】此题可以列表分析为：
原有工人/名 调入工人/名
甲厂 91
乙厂 49
再由题意列出方程求解.
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技巧3 画图分析数量关系法
13.某班有学生45人，选举甲、乙两人作为学生会干部候选人，
结果有40人赞成甲，有37人赞成乙，对甲、乙都不赞成的人
数是都赞成人数的 ，那么对甲、乙都赞成的有多少人？
【解】设对甲、乙都赞成的有人，则都不赞成的有 人.由
题意，得 ，
解得 .故对甲、乙都赞成的有36人.
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技巧4 换元法
14. 解方程组：
【解】令, ,将原方程组化为
，得,解得 .
把代入①，得 .
所以, ，
解得, .
所以原方程组的解为
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考点6 四种思想
思想1 整体思想
15.解方程：
.
返回
【解】原方程可化为
，
整理，得 ，
即，解得 .
思想2 分类讨论思想
16.解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
①当，即 时，方程只有一个解，其解为
.
②当且 时，方程有无数个解.
由，得;由，得 .
所以当且 时，方程有无数个解.
③当且 时，方程无解.
由，得;由，得 .
所以当且 时，方程无解.
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思想3 转化思想
17.已知，求 的值.
【解】由题意，得解得
所以 .
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思想4 数形结合思想
18.如图，数轴上两个动点，开始时所表示的数分别为 ，
4，，两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点 的运
动速度为每秒2个单位长度.
（1）若， 两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点
的运动速度.
【解】设点的运动速度为每秒 个单位长度，由题意，得
,解得 .
答：点 的运动速度为每秒1个单位长度.
（2）若， 两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运
动，几秒时两点相距6个单位长度？
设,两点运动 秒时相距6个单位长度.
①当点在点左侧时，，解得 .
②当点在点右侧时，，解得 .
答：当， 两点运动6秒或18秒时相距6个单位长度.
（3）若， 两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运
动，与此同时，点 从原点出发向同方向运动，且在运动过
程中，始终有，若干秒后,点在 所对应的
点处，求此时点 的位置.
设点运动的速度为每秒个单位长度，运动时间为 秒.
因为始终有 ，所以列方程得
,整理，得 ，
解得 .
当点在 所对应的点处时,
所用的时间为 （秒），
此时点所表示的数为 .
答：此时点的位置在 所对应的点处.
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