资源简介

2026北京门头沟初三一模
数 学
1．本试卷共 8页，共三道大题，28道小题，满分 100分．考试时间 120分钟．
考
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场．
生
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
须
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
知
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，是某几何体的侧面展开图，该几何体是（ ）
A. 正方体 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥
2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a 1 B. a b C. a b D. a b 0
3. 如果正多边形的一个外角是60 ，那么这个正多边形是（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并
摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）．
1 1 1 3
A. B. C. D.
4 3 2 4
5. 若关于 x的一元二次方程 x2 2x +m = 0有两个相等的实数根，则 m的值为（ ）
A. 1 B. 1 C. 4 D. 4
6. 2026 年，某人工智能超算中心正式投入运营，该中心平均每天处理的超高清视频数据量约为
4.5 104 TB，那么连续运行30天累计处理的超高清视频数据量约为（ ）
A. 1.35 104 TB B. 1.35 105 TB C. 1.35 106 TB D. 0.135 108 TB
7. 如图，直线m n，直线 l分别交直线m，n于点 A，B， 1= 62 ．如果以点 A为圆心，AB长为半径
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1
画弧，交直线 l于点C；分别以点 B，C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧在直线m上方交于点D，
2
画直线 AD交直线 n于点 E，那么 AEB的大小为（ ）
A. 28 B. 31 C. 38 D. 62
8. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A(4,0)，点 B，C是 x轴上方的两个动点，四边形OABC是菱形，
4
函数 y = (x 0)的图象与对角线OB交于点 P（点 P，B不重合），过点 P作 PD ⊥ x轴于点D，连接 AP，
x
CP．给出下面四个结论：
①△OPD的面积一定为 2；
② ABP和 BCP的面积一定不相等；
③ ABP一定为锐角三角形；
④ ABP可能为等腰三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 若 x 5 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是____．
10. 分解因式：3m2 27 = _______．
3 1
11. 方程 + = 0的解为_______．
x 4 x
12. 某中学为推行“健康第一”的教育理念，积极组织师生开展综合体育活动．从 2000 名学生中随机抽取
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100 名学生，获得他们每天的综合体育活动时间（单位：小时），数据整理如下：
时间 0 m 1 1 m 2 2 m 3 m 3
人数 4 6 70 20
根据相关规定，中学生每天的综合体育活动时间不低于 2 小时为“合格”．根据以上数据，估计该中学 2000
名学生中每天的综合体育活动时间达到“合格”的人数是_______．
13. 如图，AB是 O的直径，CD是弦，AB ⊥ CD于点 E，连接 AC，OD，如果 A = 30 ，OD = 2，
那么CD的长是_______．
k
14. 在平面直角坐标系 xOy中，点 A(2, y1 )，B (3, y2 )在反比例函数 y = (k 0)的图象上．如果 y1 y2 ，
x
那么 k的值可以为______（写出一个即可）．
15. 如图，在矩形 ABCD中，点 E在DC 上，连接 AE并延长，交 BC的延长线于点 F ．如果 AB = AE = 5，
BC = 3，那么CF 的长是________．
16. 某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用 1 台造雪机和 1 台压雪机对 A，B，C 三条不同
的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下：
①每条雪道必须先造雪、造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全；
②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道；
③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道：
④造雪机与压雪机可同时工作．
各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如下表：
雪道 造雪时间 压雪时间
A 10 5
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B 8 7
C 6 10
在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下：
（1）如果雪道按“A-B-C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要________
小时；
（2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为________
小时．
三、解答题（共 68分，第 17-19题每题 5分，第 20-21题每题 6分，第 22-23题每题 5分，第
24题 6分，第 25题 5分，第 26题 6分，第 27-28题每题 7分）解答应写出文字说明、演算步
骤或证明过程．
0
17. 计算： (π 2026) + 12 + 3 2sin60 ．
1+ 3x 2(x 1)

18. 解不等式组： x + 5
2x
3
a2 2ab +b2
19. 已知a b 5 = 0，求代数式 的值．
6a 2(a + 2b)
20. 如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点 E在 AB上，且 AE = CD，对角线 AC平分 DAB，连接
CE．
（1）求证：四边形 AECD是菱形；
4
（2）如果 E是 AB的中点，且 AB =10， tan∠CAE = ，求BC的长．
3
21. 屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠
的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图 1，已知折屏的上段高、中
段高与下段高的比是1: 5 : 4 ，横楣条的长度是上段高的 2 倍．屏芯为装饰区，其高 AB比中段高短 27 厘米，
7
宽 BC是横楣条的一半，如果屏芯的高 AB是宽BC的 ．求该单扇折屏的总高．
2
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22. 在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = kx +b (k 0)的图象由函数 y = x的图象平移得到，且经过点
(1,2)．
（1）求 k，b的值；
（2）当 x 1时，对于 x的每一个值， y = mx (m 0)的函数值大于 y = kx + b的函数值，且小于
y = bx +1的函数值，直接写出m的取值范围．
23. 随着科学技术的发展，人工智能在生产、生活中发挥着越来越大的作用．某中学为了解学生对智能助手
的使用体验，随机抽取了10名学生对A，B，C，D 四款智能助手的满意度进行评分（十分制），收集数据
并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．对A，B两款智能助手满意度的评分数据的折线图：
b．对C 款智能助手满意度的评分数据： 4，5，5，6，6，7，9，9，9，10
c．对A，B，C，D 四款智能助手满意度的评分数据的平均数、中位数、众数和方差：
智能助手 平均数 中位数 众数 方差
A 8 8 m 1
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B 8 8 8 p
C 7 n 9 4
D 8 8 7 1
（1）表中m的值为 ， n的值为 ；
（2）表中 p的取值范围是 （填序号）；
① 0 p 1 ②1 p 4 ③ p 4
（3）如果按照以下规则：先比较平均数，平均数较大者满意度更高；若平均数相同，则比较方差，方差
较小者满意度更高；若平均数，方差均相同，则比较中位数，中位数较大者满意度更高；若平均数，方
差，中位数均相同，则比较众数，众数较大者满意度更高，请对A，B，C，D 四款智能助手的满意度按
照由高到低排序 ．
24. 如图，在 Rt ABC中， ABC = 90 ，以 AB为直径作 O交 AC于点D，取BC中点 E，连接DE
并延长，交 AB的延长线于点 F ，连接OE．
（1）求证：DF是 O的切线；
（2）如果 AD = 3CD，OE = 4 ，求 BF的长．
25. 2026 年 2 月 3 日发布的中央一号文件是新时代以来第 14 个聚焦“三农”的文件，该文件指出要促进“菜
篮子”产业提质增效．某科研小组为研究甲肥、乙肥两种新型肥料对某种蔬菜中维生素 C含量的影响，选取
等面积的试验田，在相同种植条件下，当施肥量为 x（单位：kg / 亩，0 x 35）时，分别记录了甲肥作用
下蔬菜中维生素C 的含量为 y1 （单位： mg /100g ），乙肥作用下蔬菜中维生素C 的含量为 y2 （单位：
mg /100g ），部分数据如下：
施肥量 x / (kg / 亩) 0 5 10 15 20 25 30 35
y1 / (mg /100g) 30 50 80 100 90 70 40 20
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y2 / (mg /100g) 30 45 60 70 75 80 65 50
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画 y x x1 与 ， y2 与 之间的关系．在同一平面直角坐标系 xOy中，
已经画出 y2 与 x的函数图象，请补全 y 与 x1 的函数图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①如果要求蔬菜中维生素 C 的含量不低于 80mg/100g，且施肥量尽可能低，那么应选择的肥料是
（填“甲肥”或“乙肥”）；
②当施肥量相同时，如果甲肥作用下蔬菜中维生素 C 的含量比乙肥作用下蔬菜中维生素 C 的含量至少多
15mg/100g，那么施肥量 x的取值范围是 （结果取整）；
③已知每使用1kg / 亩的施肥量，甲肥的成本是 0.4 元，乙肥的成本是 0.2 元，而且蔬菜中维生素 C的含量
也影响蔬菜的品质和利润，当维生素 C 的含量低于80mg /100g 时，每低1mg /100g 则利润损失 1 元．如
果施肥量为 5kg / 亩时，那么施用甲肥的额外成本 施用乙肥的额外成本（填“大于”“等于”或
“小于”）．注：额外成本=肥料成本+利润损失
2
26. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y = ax + bx (a 0)经过点 A(a,m)和点B ( 3a,m)．
（1）求抛物线的对称轴，并用含 a的式子表示b；
（2）过点C (t, 0)作 x轴的垂线，交抛物线于点 P，交直线 y = a2x于点Q，
①如果 a = 2 ， t =1，求线段 PQ的长；
②已知点D (t +3,n)在抛物线上，当n m时，线段 PQ的长随着 t的增大而减小，求a的取值范围．
27. 在 ABC中，AB = AC 且 ACB = (0 a 90 )，点D在线段BC上（点D与点 B，C不重合），
连接 AD，将线段 AD绕点 A顺时针旋转180 2a得到线段 AE，过点 E作EF∥ AC交直线BC于点 F ．
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（1）如图 1，当点D与点 F 重合时，求证： AC = DE；
（2）如图 2，当点D与点 F 不重合时，过点 E作EG ⊥ EF 交直线 BC于点G ，
①依题意补全图 2；
②用等式表示GF 与DC 之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 xOy中，对于线段MN 和点 P，Q（点 P，Q不在直线MN 上），给出如下定义：如
果 MPN + MQN=180 ，那么称点Q是点 P关于线段MN 的“补角点”．
3
（1）如图 1，已知点M ( 1,0)，N (1,0)，P 0, ．
3
2 3
①在点Q1 (0, 3 )，Q2 (0,1)，Q3 1, 中，点 P关于线段MN 的“补角点”是 ；
3
②如果点Q是点 P关于线段MN 的“补角点”，那么点Q的纵坐标的最大值为 ；
（2）如图 2，已知 O的半径为 2，线段MN 是 O的一条弦，且 MON = 60 ，一次函数 y = x + b的
图象与 x轴， y轴分别交于点 B，C．如果线段 BC上存在点Q是点O关于线段MN 的“补角点”，直接
写出b的取值范围．
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参考答案
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A A C A B
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 【答案】 x≥5
【详解】解：若 x 5 在实数范围内有意义，
∴ x 5 0，
解得， x 5，
故答案为： x 5．
10.【答案】3(m+3)(m 3)
2 2
【详解】解：3m 27 = 3(m 9) = 3(m+3)(m 3)．
11. 【答案】 x =1
3 1
【详解】解：已知 + = 0，
x 4 x
3x + x 4 = 0 ，
4x = 4，
解得 x =1，
检验：当 x =1时，最简公分母 x (x 4) = 3 0，
故 x =1为原分式方程的解．
12. 【答案】800
【详解】解：由题意得，合格为每天综合体育活动时间不低于 2 小时，对应样本中合格的人数为 70+ 20 = 90 ，
90
样本中合格的频率为 = 0.9，
100
因此，估计该校 2000 名学生中合格人数为 2000 0.9 =1800 ．
13. 【答案】2 3
【详解】解：如图，连接CO，
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A = 30 ，
BOC = 2 A = 60 ，
AB 是 O 的直径， AB ⊥ CD，
1
B C = B D，CE = DE = CD，
2
BOD = BOC = 60 ，
在 Rt OED 中， OED = 90 ， EOD = 60 ，
ODE = 30 ，
OD = 2，
1
OE = OD =1，
2
由勾股定理得DE = OD2 OE2 = 22 12 = 3 ，
CD = 2DE = 2 3 ．
14. 【答案】1（答案不唯一，任意正数均可）
【详解】解：∵点 A(2, y1 )， B (3, y2 )的横坐标都大于0 ，
A,B两点在同一象限，
∵ y1 y2 ，
∴在该象限内， y随 x的增大而减小，
∴由反比例函数的性质可得 k 0 ，
k 的值可以为1，
故答案为：1．（答案不唯一）
3
15. 【答案】 ## 0.75
4
【详解】解： 四边形 ABCD是矩形，
AD = BC = 3、 AB = DC = 5、 D = B = ECF = 90 ，
在Rt ADE中，由勾股定理得：DE = AE2 AD2 = 52 32 = 4，
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EC = DC DE = 5 4 =1，
ECF = B = 90 、 EFC = AFB，
EFC∽ AFB，
CF CE
= ，
BF AB
CF 1
即 = ，
CF +3 5
3
解得：CF = ．
4
16. 【答案】 ①. 35 ②. 29
【详解】解：(1) 按“A B C”顺序作业，造雪完成时间依次为
A ：10， B ：10+8 =18 ， C：18+ 6 = 24
根据规则，压雪需满足压雪机空闲，且对应雪道已完成造雪，因此
A 压雪开始时间为max (10,0) =10 ，结束时间为10+ 5 =15，
B 压雪开始时间为max (18,15) =18，结束时间为18+ 7 = 25 ，
C压雪开始时间为max (24,25) = 25，结束时间为 25+10 = 35，
即完成全部作业需要35小时；
(2) 三条雪道共6 种不同作业顺序，除顺序A B C外，其余 5 种顺序的总时间分别为：
①顺序A C B，总时间为33，
②顺序B A C，总时间为34，
③顺序B C A，总时间为30，
④顺序C A B，总时间为31
⑤顺序C B A，
造雪完成时间依次为C : 6，B :14，A : 24 ，
C压雪结束：6+10 =16 ，
B 压雪结束：max (14,16)+ 7 = 23，
A 压雪结束：max (24,23)+ 5 = 29，
即该顺序总时间为 29 ．
综上可知，最短总时间为 29 ．
三、解答题（共 68分，第 17-19题每题 5分，第 20-21题每题 6分，第 22-23题每题 5分，第
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24题 6分，第 25题 5分，第 26题 6分，第 27-28题每题 7分）解答应写出文字说明、演算步
骤或证明过程．
17. 【答案】 4+ 3
3
【详解】解：原式=1+ 2 3 +3 2
2
=1+ 2 3 + 3 3
= 4 + 3 ．
18. 【答案】 3 x 1
1+ 3x 2(x 1)①

【详解】解： x + 5
2x②
3
由①可得： x 3，
由②可得： x 1，
∴原不等式组的解集为 3 x 1．
5
19. 【答案】
4
【详解】解： a b 5 = 0，
a b = 5，
a2 2ab+b2
2 2 2
(a b) (a b) (a b) a b 5
= = = = = ．
6a 2(a + 2b) 6a 2a 4b 4a 4b 4(a b) 4 4
20. 【答案】（1）见详解 （2） BC = 8
【小问 1 详解】
证明：∵ AB∥CD， AE = CD，
∴四边形 AECD是平行四边形，
∴ AD CE，
∴ DAC = ACE，
∵ AC平分 DAB，
∴ DAC = EAC = ACE，
∴ AE = CE，
∴四边形 AECD是菱形；
【小问 2 详解】
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解：∵ E是 AB的中点，
∴ AE = BE = CE，
∴ EAC = ACE, ECB = B，
∵ EAC + ACB + B =180 ，
∴ EAC + ACE + ECB + B =180 ，即 2( ACE + ECB) =180 ，
∴ ACE + ECB = ACB = 90 ，
4
∵ tan∠CAE = ，
3
BC 4
∴ = ，
AC 3
设 BC = 4x, AC = 3x，
∴16x2 + 9x2 =102，
解得： x = 2 （负根舍去），
∴ BC = 8 ．
21. 【答案】180厘米．
【详解】解：设折屏的上段高、中段高与下段高分别为 x,5x, 4x，则横楣条的长度是2x，
1
AB = 5x 27，BC = 2x = x，
2
7
∵屏芯的高 AB是宽 BC的 ．
2
7
∴ 5x 27 = x，
2
解得 x =18，
∴ x + 5x + 4x =10x =10 18 =180 ，
即该单扇折屏的总高为180厘米．
22. 【答案】（1） k = 1，b = 3 （2）2 m 3
【小问 1 详解】
解：∵函数 y = kx + b的图象由函数 y = x的图象平移得到，
∴ k = 1，
将点 (1,2)代入得， 1 1+ b = 2，
∴b = 3，
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∴ k = 1，b = 3．
【小问 2 详解】
解：由（1）可得 y = x + 3，
∵b = 3，
∴ y = bx +1= 3x +1，
∵当 x 1时，对于 x的每一个值， y = mx (m 0)的函数值大于 y = x + 3的函数值，且小于 y 3x 1
的函数值，
∴ x + 3 mx 3x +1，
由mx x + 3，得 (m +1) x 3，
∵ x 1，
3
∴ m+1 ，
x
3
当 x 1时，0 3，
x
3
∴当 x 1时，对于 x的每一个值，m+1 恒成立时，m +1 3，
x
∴m≥ 2 ；
由mx 3x +1，得 (m 3) x 1，
∵ x 1，
1
∴m 3 ，
x
1
当 x 1时，0 1，
x
1
∴当 x 1时，对于 x的每一个值，m 3 恒成立时，m 3 0 ，
x
∴m 3；
综上所述， 2 m 3．
23. 【答案】（1）9， 6.5 ； （2）②； （3）A，D，B，C ．
【小问 1 详解】
由 a的折线图可知，对A 款智能助手满意度的评分数据：6，8，7，9，7，8，9，8，9，9 ，
排序后为6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 ，即众数m为9；
由b对C 款智能助手满意度的评分数据： 4，5，5，6，6，7，9，9，9，10 ，
第14页/共23页
6 + 7
即中位数 n的值为 = 6.5；
2
【小问 2 详解】
由 a的折线图可知对B 款智能助手满意度的评分数据：8，7，8，6，8，9，6，10，8，10，
排序后为6，6，7，8，8，8，8，9，10，10，
由表格 c可知，B的平均数为8 ，
1 2 2 2 2 2∴ p = 2 (6 8) + (7 8) + 4 (8 8) + (9 8) + 2 (10 8) =1.8，
10
∴ p的取值范围是②，
【小问 3 详解】
先比较平均数，A 的平均数= B的平均数= D 的平均数 C 的平均数，
若平均数相同，则比较方差， A的方差= D 的方差 B 的方差,
若平均数，方差均相同，则比较中位数，A 的中位数= D 的中位数，
若平均数，方差，中位数均相同，则比较众数，A 的众数 D 的众数，
∴ A，B，C，D 四款智能助手的满意度按照由高到低排序为A，D，B，C ．
24. 【答案】（1）证明见解析 （2） 2 3
【小问 1 详解】
解：连接OD,BD，交OE于点G ，
AB是 O的直径，
ADB = BDC = 90 ，
BE = CE，
DE = BE = CE，
DBE = BDE，
OB =OD，
OBD = ODB，
ODE = ABC = 90 ，
∵点D在 O上，
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∴DF是 O的切线．
【小问 2 详解】
解： OA =OB,CE = BE，
∴OE是 ABC的中位线，
AC = 2OE = 8，
AD = 3CD， AC = AD +CD，
3CD +CD = 8，
即CD = 2， AD = 3CD = 6，
ADB = ABC = 90 ， DAB = DAB，
ABD∽ ACB，
AD AB
= ，
AB AC
即 AB2 = AD·AC = 48，
AB = 4 3 ，
1
OD =OA =OB = AB = 2 3 ，
2
ABC = 90 ，
BC = AC2 AB2 = 4 ，
1
DE = BE =CE = BC = 2，
2
EBF =ODF = 90 , F = F ，
BEF∽ DOF ，
BF BE
= ，
DF OD
DF = DE + EF = BE + EF ，EF = BF 2 + BE2 ，
BF BE
= ，
BE + BF 2 + BE2 OD
设 BF = x，
x 2
则 = ，
2+ x2 + 22 2 3
2 2
即 ( 3x 2) = ( x2 + 4 ) ，
第16页/共23页
解得： x = 2 3或 x = 0 （舍），
BF = 2 3 ．
25. 【答案】（1）图见详解 （2）①甲肥；②8 x 20 ；③小于
【分析】本题考查函数的图象，函数的实际应用，能够将实际问题转化成函数问题是解题的关键．
（1）根据表中数据，描点连线即可；
（2）①根据图象判断即可；②根据题意可得，当 x取值相同时， y1 y2 15，根据图象和表中数据即可求
解；③根据表中数据，可以计算甲肥和乙肥的额外成本，根据数量关系“额外成本=肥料成本+利润损失”，
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
①通过图象可知，当 x =10 时， y1 = 80， y2 = 60 80，即当蔬菜中维生素 C的含量不低于 80mg/100g
时，甲肥的施肥量尽可能低，故选择甲肥；
②当 x取值相同时， y1 y2 15，则8 x 20 ；
③当施肥量为5kg / 亩时，甲肥的成本是5 0.4 = 2， y1 = 50 ，则利润损失为 (80 50) 1= 30，即甲肥的
额外成本为 2+ 30 = 32 ；
乙肥的成本是5 0.2 =1， y2 45 ，则利润损失为 (80 45) 1= 35，即乙肥的额外成本为
1+ 35 = 36；
由于32 36 ，施用甲肥的额外成本小于施用乙肥的额外成本．
26. 【答案】（1）对称轴为直线 x = a，b = 2a2
（2）①PQ =10；② 1 a 0
【小问 1 详解】
解：将点 A(a,m)和点 B ( 3a,m) 2代入抛物线 y = ax + bx (a 0)得：
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a a
2 + ab = m
， 2
a ( 3a) 3ab = m
解得：b = 2a2 ，
抛物线 y = ax2 + 2a2x，
2a2
则抛物线对称轴为： x = = a；
2a
【小问 2 详解】
解：①由（ ）知，抛物线 y = ax2 + 2a21 x，
当 a = 2 ， t =1时，
抛物线 y = ax2 + 2a2x = 2x2 +8x，直线 y = a2x = 4x，C (1,0)，
将 x =1代入抛物线 y = 2x2 + 8x得： y = 2 12 +8 1= 6，
P (1,6)，
将 x =1代入直线 y = 4x得： y = 4 1= 4，
Q (1, 4)，
PQ = 6 ( 4) =10 ；
2
②解：由题意得，抛物线 y = ax + bx (a 0)图象开口向下，
2
由（1）知，抛物线 y = ax2 + 2a2x = a (x + a) a3 ，
a 0，
a 0、 a3 0 ，
设抛物线 y = ax2 + 2a2x与直线 y = a2x交于点 H，
y = ax2 + 2a2x
则 ，
y = a
2x
x = 0 x = 3a
解得： 或 ，
y = 0 y = 3a
3
(0,0)为原点坐标，
H ( 3a,a3 )，
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点D (t +3,n)在抛物线上，
当n m时， a t + 3 3a，
a 3 t 3a 3，
2 2 2
设 P (t,at + 2a t )、Q (t, a t )，
PQ = at 2 + 2a2t ( a2t ) = at 2 + 3a2t ，
如图，当 t 0或 a t 3a时，线段 PQ的长随着 t的增大而减小，
分情况讨论：
当 t 0时，
3a 3 0
由题意得： ，
a 0
1 a 0 ；
2
3a
3
9a
当 a t 3a时，PQ = at2 + 2a2t ( a2t ) = at 2 +3a2t = a t + ，
2 4
a 0，
3a
当 t = 时， PQ有最大值，
2
a 3 t 3a 3，
3a
a 3
2
，
3a 3 3a
a 0
此不等式组无解；
综上所述，当n m时，线段 PQ的长随着 t的增大而减小，a的取值范围为 1 a 0．
27. 【答案】（1）证明见详解；
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（2）①画图见详解；②GF = 2DC ，证明见详解；
【小问 1 详解】
证明： 点D与点 F 重合，
DE∥AC，
EDB = ACB = α，
将线段 AD绕点 A顺时针旋转180 2a得到线段 AE，
AE = AD， EAD = 180 2 ，
1
AED = ADE = 180 (180 2 ) = ， 2
AED = EDB，
AE∥DC ，
又 DE AC，
四边形 AEDC是平行四边形，
AC = DE；
【小问 2 详解】
解：①如图所示；
②GF = 2DC ，证明如下：
如图，设GF 的中点为O，连接OE， BE，
AB = AC ， ACB = ，
∴ ABC = ，
BAC =180 2 ，
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由旋转得， AE = AD， EAD = 180 2 ，
EAD = BAC，
又 EAD = EAB + BAD， BAC = CAD + BAD，
EAB = DAC，
在 EAB和△DAC 中，
AE = AD

EAB = DAC，

AB = AC
EAB≌ DAC (SAS)，
BE = DC， EBA = ，
AC∥EF ，
OFE = ACB = ，
GEF为直角三角形，
1
OE =OF =OG = GF，
2
OEF = OFE = α，
EOF =180 2α，
EOB = 2 ，
又 EBO = EBA+ ABC = 2α，
OE = BE = DC，
GF = 2DC．
2 3 4 4
28. 【答案】（1）①Q1 (0, 3 )，Q3 1, ；② 3 （2） 6 b 6
3 3 3
【小问 1 详解】
解：①若点Q和点 P在线段MN 的两边，根据 MPN + MQN=180 以及圆周角定理，可知点M ,N ,P,Q
在同一圆上，
又圆心在MN 中垂线上，则圆心在 y轴上，
3
由M ( 1,0)， N (1,0)，P 0, ，则MN 关于
y轴对称，
3

∴ ∠ = ∠ ，tan∠ = = √3，

∴∠ = 60° ，
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MPN = 2 MPO =120 ，故圆心在 x轴下方，
3
设圆的半径为 r，圆心为点 H ，则MH = NH = PH =QH = r，OH = PH OP = r ,
3
2
2
在Rt HON 中，有HN 2 =OH 2 +ON 2
3
，即 r 2 = r +1
2
，解得 r = 3 ，

3 3
3 2 3
H 0, ,QH = ；
3 3
若点Q和点 P在线段MN 的同一侧，则点Q的可能坐标在第一种情况所求圆在MN 下方圆弧关于MN 翻折
3 2
到MN 上方所得圆弧上，设圆心为点H1，则H1 0, , r = 3 ；
3

3
2 2
点Q1 (0, 3 ) 2到点 H 的距离为：d1 = (x ，故点Q 0, 3 是点 P关Q xH ) + ( yQ yH ) = 3 = r 1 ( )1 1 3
于线段MN 的“补角点”；
2 2 3
点Q2 (0,1)到点 H 的距离为： d2 = (xQ x ) + ( y y ， 2 H Q2 H ) = +1 r3
2 2
点Q2 (0,1)
3
到点H1的距离为：d
'
2 = (xQ xH ) + ( yQ y ) =1 r ，故点Q2 (0,1)不是点 P关2 1 2 H1 3
于线段MN 的“补角点”；
2 3 2 2 2 3 2 3
点Q3 1, 到点H 1的距离为： d3 = (xQ xH ) + ( yQ yH ) = = r ，故点Q3 1, 是点3 3 1 3 1 3 3
P关于线段MN 的“补角点”．
②画出①中所得点Q可能坐标组成的两段圆弧，如图所示，可得点Q的纵坐标的最大值为若点Q和点 P在
线段MN 的同一侧时所得圆弧与 y轴交点，此时点Q的纵坐标= yH + r = 3 ，即最大值为 3 ． 1
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【小问 2 详解】
解： 根据点Q是点O关于线段MN 的“补角点”， MON + MQN=180 ， MON = 60 得到
MQN =120 ，点M ,N ,O,Q在同一圆上，
由 MON = 60 ，可知△MON 是等边三角形，MN =ON =OM = 2,且点O在MN 中垂线上，
因此，点Q在以MN 为弦、圆周角为120 的圆上，圆心为 H ，
由 MQN =120 故该圆心在O与MN 之间，
3 1
设MN 位置如图，作OT ⊥ MN 于T ， H 在OT 上，OT = OM = 3,MT = OM =1，
2 2
设圆 H 的半径为 r， = = = ， = = √3 ,
2 2
在Rt HTM 中，有HM 2 = TH 2 +MT 2 ，即 2 = (√3 ) + 12，解得 r = 3 ，
3
点O到MN 的距离为： d =OT = 3,
r d ,
故该圆心在O与MN 之间，
4
OQ 3,
3
设 y = x + b图象如图，设与 x, y轴交于 B,C 两点，则 ( , 0), (0, )，
1
∴ = = | |, 2△ = , = √
2 + 2 = √2| |,
2
1 1 2
作OG ⊥ CB于G ， √ △ = =
2, = | |,
2 2 2
| |
O与一次函数 y = x b 2
4
+ 的距离 √ = = | |, = ≤ √3,
2 √2 3
4 4
6 b 6 ．
3 3
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