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（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值是3 B．开口向上
C．与轴无交点 D．对称轴是直线
2．如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值
C．图象的顶点坐标为 D．图象经过一、二、四象限
5．已知在二次函数的图象上有三点，其坐标分别为，，，则，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在中，，，，，则（ ）

A． B． C． D．
8．小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（ ）
A． B． C． D．
9．为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在纸片中，，裁出了两个边长分别为3和2的正方形，则边的长为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6 D．7.5
二、填空题
11．抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式是______．
12．某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，估计全市每月收集的垃圾总量为______吨．
13．服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为________ （用含根号的式子表示）．
14．如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为_________．

15．已知抛物线．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x=____________；
（2）当时将点向右平移9个单位得到点B，直接写出线段与抛物线有两个交点时a的取值范围____________．
16．如图，平面直角坐标系中，，．抛物线经过A，B，C三点，直线经过A，C．当时，x的取值范围为_________．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．计算题：
(1)；
(2)．
19．（1）计算：；
（2）若，求的值．
20．完成下列各题
(1)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知，求作正方形，使三点都在三角形的三条边上．
(2)在方格纸上任意连接不在同一直线上的三个格点，便可画出一个三角形．请用这种方式在如下的方格纸上画出1个大小不等的三角形，要求这个三角形与格点三角形相似，且相似比不为1．
21．为了制定更加合理的用水管理方案，某市对居民生活用水情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调查获得的若干户家庭去年的月均用水量（单位：吨）的频数分布直方图和扇形统计图（月用水量设为x，其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：）
请结合图中所给信息，解决下列问题：
(1)本次共调查了______户家庭去年的月均用水量；扇形统计图中______，B组所对应圆心角的大小为______度；
(2)补全频数分布直方图；
(3)为了鼓励居民节约用水，现计划确定一个月的用水量标准为14吨/月，低于这个标准的居民收费不受影响，超过部分按1.5倍价格收费，某市共有居民1200万户，根据以上信息，估计该市不受影响的家庭总户数．
22．某校组织七、八年级全体学生进行“心理健康知识问答”（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下：
．七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
．七、八年级成绩分析统计表
平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)__________，__________．
(2)七年级测试成绩的方差为，八年级测试成绩的方差为，则__________（填“”，“”或“”）；
(3)规定分数不低于分记为“优秀”，若本校七年级学生为人，八年级学生为人，请估计这两个年级成绩达到“优秀”的学生共多少人？
23．如图，点A是反比例函数上一点，点B是反比例函数上一点，点O为坐标原点，且A、O、B三点共线．
(1)若，求k的值．
(2)若，求k的值．
24．如图，是一张锐角三角形硬纸片，是边上的高，，．从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在，上．设与交于点M．
(1)求证：；
(2)求矩形的宽的长度．
《（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D C B A C A A
1．A
【分析】本题考查了的图象性质，根据抛物线，得顶点坐标为，则对称轴是直线，函数的开口方向向下，再列式，解得函数与轴有两个交点，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∴对称轴是直线，
故D选项不符合题意；
∵，
∴函数的开口方向向下，
故B选项不符合题意；
则函数的最大值是3，
故A选项符合题意；
令，
∴，
则，
解得
∴函数与轴有两个交点
故C选项不符合题意；
故选：A
2．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键；利用直角三角形的两个锐角互余证明，，证明，，，再利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：∵，于点D，
∴，，
∴，
同理可得：，故A不符合题意；
∵，，
∴；故B不符合题意；
同理可得：，
∴，
∴，故C符合题意；
同理可得：，
∴，
∴，故D不符合题意；
故选C．
3．C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．根据二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性及最值等性质，即可判断答案．
【详解】选项A，，
抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而增大，
所以选项A错误，不符合题意；
选项B，，
抛物线开口向上，
当时，y有最小值－1，
所以选项B错误，不符合题意；
选项C，图象的顶点坐标为，
所以选项C错误，不符合题意；
选项D，令，则，
所以抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又抛物线开口向上，顶点在第四象限，
所以图象经过一、二、四象限，所以选项D正确，符合题意；
故选D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，比较函数值的大小；由抛物线的对称性知，，两点关于对称轴对称，则，再利用增减性质可得，从而确定，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且，
∴，两点关于对称轴对称，
∴；
∵，二次项系数，
∴，
∴；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是构造直角三角形，利用相关知识求解的值．
先求出相关线段长度，再根据正弦函数的定义（对边与斜边的比值）计算．
【详解】如图：
在中，
，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，，
即．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的另一个近似根为，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．
【详解】解：由图可得，，
∴按键顺序是，
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由正方形性质可知，可得，则，可得长，即可求得．
【详解】解：如图，设正方形为，正方形为，
由正方形的性质可得，，，，则，
∴，
∴，即，
则，
∴．
故选：A．
11．
【分析】本题考查二次函数的平移变换，需根据平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线 向右平移2个单位，根据“左加右减”，得到 ；
再向上平移1个单位，根据“上加下减”，得到 ．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了扇形统计图，根据扇形统计图列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
（吨），
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例求解即可．
【详解】解：∵黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例，
∴冬装校服裤子的长度（理论值）为，
故答案为：．
14．
【分析】题目主要考查正多边形及等腰三角形的性质，解三角形的计算，过点B作，垂足为G，然后利用多边形的性质得出，，再由等腰三角形的性质确定，，利用余弦求解即可．
【详解】解：过点B作，垂足为G，

∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
15． 2 或
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）当时，求出抛物线顶点坐标为，由平移可得，当时，求出，根据抛物线与线段有两个交点，分情况列不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线，
∴对称轴是直线，
故答案为：2；
（2）当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移9个单位得到点B，
∴，
当时，，
∵抛物线与线段有两个交点，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，a的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，平移变换的性质等重要知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．
【分析】抛物线与直线的交点为A，C，画出二者图象，由下方的图象对应的函数值较小，结合图象，即可求解．
【详解】解：由题意得抛物线与直线的交点为A，C，
抛物线和直线的图象如图，

由图象得：
当时，，
故答案：．
【点睛】本题考查了利用二次函数图象和一次函数图象解不等式，理解函数与不等式之间的关系是解题的关键．
17．，
【分析】本题考查了分式化简求值，含特殊角的三角函数的混合运算，先通分再运算除法，化简得，因为，所以，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
，
则
，
原式．
18．(1)，；
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程、实数的混合运算、特殊角三角函数、零次幂等：
（1）利用解一元二次方程——配方法进行计算，即可解答；
（2）先计算零次幂、代入特殊角三角函数值、化简二次根式，再进行加法运算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，；
（2）解：
.
．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查三角函数值混合运算、代数式求值等知识，熟记特殊角的三角函数值、已知等式求代数式的值方法是解决问题的关键．
（1）先计算特殊角的三角函数值、再由有理数乘法与减法运算求解即可得到答案；
（2）由恒等变形得到，代入代数式化简即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定、相似三角形的性质．
（1）首先作的平分线交于点E，分别过E点作，垂足分别为D，F，正方形，即为所求；
（2）将原图放大2倍，即可．
【详解】（1）解：如图，正方形，即为所求．
；
（2）解：如图，即为所求．
．
21．(1)，，
(2)补图见解析
(3)万户
【分析】（1）根据A组的频数和百分比得到抽取的总数，进而求出C组所占百分比和B组的圆心角；
（2）求出B组的频数补图即可；
（3）用样本中的低于用水量标准的百分比去乘以该市居民户数即可．
【详解】（1）解：本次共调查户数为：，
，
B组所对应圆心角为：，
故答案为：，，
（2）解：B组户数为：，补图为：
（3）该市不受影响的家庭总户数为：(万户)
答：该市不受影响的家庭总户数为万户．
【点睛】本题考查频数直方图和扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解相关概念和计算方法是解答本题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义进行求解即可；
（2）根据方差计算公式计算即可；
（3）应用用样本估计总体的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题目中的数据分析可得，七年级数据中相同数据出现最多的是，
故众数；
将八年级数据从小到大排列如下：，，，，，，，，，
排在中间的数据是和，
故中位数为：
（2）七年级测试成绩的方差为，八年级测试成绩的方差为
即
（3）七年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：，
八年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：，
∴七年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为：（名），
∴八年级测试成绩达到“优秀”的学生人数为：（名），
答：这两个年级成绩达到“优秀”的学生共人
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，关于原点对称的点的坐标特点：
（1）根据题意可得点A和点B关于原点对称，设，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明，得到，设，则，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵A、O、B三点共线，且，
∴点A和点B关于原点对称，
设，则，
把代入中得；
（2）解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
把代入中得．
24．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长．
（1）由矩形的性质得，则可判断，然后根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设，，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算求解．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，
而，
，
，
；
（2）解：由题意可设，，
∵，，
∴，
由（1）可得，
解得，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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