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（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，分别是边，上的点，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的二次函数图像经过点和，且对称轴在轴的左侧，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在中，点是的中点，对角线交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．在中，，，，点D是的中点，点E、F是的三等分点，则值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
10．如图，在四边形中，对角线与相交于点，平分，且，那么下列结论不一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．__________

12．如图，小亮利用标杆测量建筑物的高度，已知长为，测得长为，长为，则长为_____．
13．学校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有参赛学生一分钟的跳绳数均不少于100次，现随机抽取了部分参赛学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成四组，并绘制了如下统计图表．若A组，B组，C组，D组参赛学生一分钟跳绳的平均次数（单位：次）分别为，估计该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是______次．
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计表
等级 次数 频数
A 2
B 6
C 7
D
被抽查学生一分钟跳绳测试结果统计图
14．如图，D，E分别是的边上的点，且，连接，①若，则______，②在①的条件下，若，则______．
15．如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为________．
三、解答题
16．计算：．
17．计算：．
18．如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作：
①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到；
②以点为位似中心，将放大，得到，使相似比为，且点在第三象限．
(1)在图中画出和；
(2)请直接写出点的坐标_______．
19．年月，“逐梦寰宇问苍穹”中国载人航天工程年成就展在国家博物馆成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为（），（），（），（）四个等级，并制作出不完整的统计图如下，

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：____，____
(2)补全条形统计图；
(3)这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩在分以上（含分）的学生人数．
20．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．
(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）；
(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？
21．在中，，是斜边上的高．
(1)证明：∽；
(2)若，，求的长．
22．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：
(1)；
(2)．
23．图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架．若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，．

(1)求的度数．
(2)求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面的距离．（结果精确到1cm）（，）
《（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B D B C D
1．C
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答．
【详解】关于轴的对称点为．
中二次项系数
当时，值随值的增大而增大
和的横坐标
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得出，即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，故A、B、C错误，D正确，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案．
【详解】解：是的平分线，
，
即：，
又，
，
，
且依据已知条件，无法证明、、与相似，
故选：．
4．A
【分析】将点和代入解析式，即可求得，，根据对称轴在轴的左侧，且过点可得得出抛物线与x轴的另一交点在的左侧且，当时，即，故，根据，得到，结合，求得，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵抛物线点和
代入可得
∴，
∵对称轴在y轴左侧，且过点
∴抛物线与x轴的另一交点在的左侧
故，开口向上
∴当时
即
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴的取值范围为
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．得出与x轴的另一交点在的左侧是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，依据宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，帕提侬神庙平面图的长约为30米，
∴它的宽约为：（米），
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
利用平行四边形的性质可得，证明，得出，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．正确掌握正六边形的性质是解题关键．
【详解】解：如图，点为正六边形外接圆的圆心。接，，作，得到，
，
，
圆内接正六边形的周长为，
，则，
．
正六边形的边心距是．
故选：D．
8．B
【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，连接
四边形是正方形，，
，，，
，
，而点为的中点，
，
，
垂直平分，
，
由折叠得，
，
是等边三角形，
，
∵翻折，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
过点E作于点H，则，得到，根据点E是的三等分点得到，因此，，，根据勾股定理在中求得，证明是的中位线，得到，即可求解．
【详解】解：过点E作于点H，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
∵点E，F是的三等分点，
∴，
∴点F是的中点，
∵点D是的中点，
∴，
∴．
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形对应边成比例）是解题的关键．通过角的关系推导三角形相似，再结合角平分线的性质，对每个选项逐一分析．
【详解】解：∵，，
∴．
∴，，
∴，故项成立，，
∵，
∴．
∴，，
∵为角平分线，
∴，
∴，故项成立．
∵，，
∴．
∴，故项成立．
假如，则，
因为，则，进而得，又根据，从而，于是有平分，但题中无此条件，故项不一定成立．
故选：．
11．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
12．
【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是由，得到．
由，判定，得到，代入有关数据即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】此题主要考查加权平均数，频率分布表和用样本估计总体解题的关键是根据扇形统计图得到进一步解题的有关信息．由A组的频数和A组所占的比例可得调查总人数，进而得出m的值，再根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解∶调查总人数为∶(人)．
故，
故该校参赛学生一分钟跳绳的平均次数约是：
故答案为∶150．
14． 4
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由得，由可得，由相似三角形的性质可得；根据平行线分线段成比例得，从而可求出和．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：；4．
15．
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
由直角三角形斜边上的中线的性质得到，设，则，则对运用勾股定理得，即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，F为的中点，
∴，，
∴，
当时，取得最小值为，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，先化简零次幂、负整数指数幂以及运算正弦值，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
【详解】解：
．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先通过特殊角的三角函数值，化简绝对值分别计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，位似的性质等知识．熟练掌握旋转作图，位似作图，位似的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，位似的性质作图即可；
（2）根据位似的性质求解即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质，位似的性质作图如下；和即为所作；
（2）解：由位似的性质可知，，
∴，
故答案为：．
19．(1)50，20
(2)见解析
(3)估计成绩在分以上（含分）的学生人数为人
【分析】（1）由图得等级有人，占，可求，从而可求，即可求解；
（2）根据（1）的结论求得，等级的人数，进而补全统计图即可求解；
（3）由图可得、等级的人数，可求所占百分比，从而可进行估算．
【详解】（1）由图得：等级有人，占，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）等级的人数：，
补全条形统计图如图：

（3）人，
答：估计成绩在分以上（含分）的学生人数为人．
【点睛】本题考查了从统计图提取信息，样本估计总体等知识，掌握相关定义，准确提取信息并进行准确计算是解题的关键．
20．(1)
(2)前移动
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可；
（2）求出时，即可解得．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为．
故可设抛物线的解析式为，
又抛物线过，
，
，
解析式为；
（2）当时，
即
（舍），，
，
应将布幔向前移动．
21．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，
由是斜边上的高，得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽；
由相似三角形的性质得，因为，，所以；
适当选择相似三角形的判定定理证明∽是解题的关键．
【详解】（1）是斜边上的高，
于点，
，
，
，
，
∽．
（2）∽，
，
，，
，
的长是．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）证明，即可；
（2）根据平行得到，再根据，即可得证．
掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）∵正方形，
∴，
∴，
又，
∴．
23．(1)；
(2)端点F到桌面的距离为．
【分析】（1）作出如图的辅助线，利用平行线的性质求解即可；
（2）在、、中解直角三角形，求得、、的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：在图2中，分别过点C、D、E作水平线，再分别过点C、D作竖直线，交点分别有J、G、K．

得，
，
，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴．
∴，
答：端点F到桌面的距离为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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