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（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了解某校七年级名学生的身高，从中抽取了名学生对其身高进行统计分析，以下说法正确的是( )
A．800名学生是总体 B．每个学生是个体
C．每个学生的身高是个体 D．样本容量是名
2．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（　　）
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75
3．将分式中的、都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，，，点E是的中点，连接，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
6．如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（ ）
A．1 B．或3 C．1或 D．1或3
7．如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
8．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为( )
A．5 B． C． D．
10．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则．
③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．若，则的值是______．
12．如图，在中，，于点，若，，则______．
13．如图，正方形的边长等于4，点E、F分别在、边上，A点关于的对称点N恰好是边的中点，则等于________．
14．如图，有一种正方形地砖，它的图案是由四个全等的三角形和一个四边形构成，经测量，中间四边形较小的锐角为．设四边形面积为，正方形的面积为，则______．

15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．等腰直角三角形按如图位置摆放，顶点在直线上，轴．现将沿直线平移，且点始终在直线上．在平移的过程中，当点落在坐标轴上时，点的坐标为___________．
三、解答题
16．先将化简，然后请从中选一个适当的数作为，再求值．
17．阅读理解题：
已知，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
请你参考小明的化简方法，化简下面式子
18． 其中x、y满足方程组
19．如图，在正方形中，以为边向上作等腰直角三角形，，，请仅用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，画出边的中点；
(2)在图2中，画出边的中点．
20．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．
21．小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于点O，．垂足为点D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．

22．新春佳节临近，又到了年货大采购的时节，某商铺的A、B两类年货大礼包成了热销产品，已知一个A类大礼包比一个B类大礼包的进价少10元，用6000元购进的B类大礼包的数量是用4000元购进的A类大礼包的数量的倍．
(1)求一个A类大礼包、一个B类大礼包的进价分别是多少元？
(2)已知该商铺购进A、B两类年货大礼包共300个，一个A类大礼包的售价在进价基础上提高，一个B类大礼包的售价为80元，若该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于5100元，则该商铺至少要购进多少个B类年货大礼包？
23．如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．

(1)请说明：；
(2)请说明：．
24．如图，在四边形中，．
(1)请用尺规在图①中作图，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图②，在（）的条件下，过点作，若、、三点在同一条直线上，试判断四边形的形状并说明理由．
《（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C D C B C D D
1．C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、800名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意；
B、每个学生的身高是个体，故此选项错误，不符合题意；
C、每个学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意；
D、样本容量是，不带单位，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
2．A
【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为，
故选：A．
3．B
【分析】把分式中的分子，分母中的，都同时变成原来的3倍，就是用，分别代替式子中的，，看得到的式子与原式子的关系．
【详解】解：如果把分式中的和都扩大3倍，则原式，
所以分式的值扩大3倍，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
4．C
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，根据矩形的性质，推出为的中位线，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点O，
∴，，
∴
∵点E是的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选C．
5．D
【分析】先解分式方程，用含的代数式表示，再根据方程的解为正数且分母不为零，列不等式求解的取值范围．
【详解】解：给方程两边同乘去分母，得
，
整理得，
解得．
∵方程的解为正数，且分式方程分母不能为零，
∴
解第一个不等式得，解第二个不等式得，
∴的取值范围是且．
6．C
【分析】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意分两种情况讨论，然后分别根据勾股定理和矩形的性质求解即可．
【详解】当为直角三角形时，有两种情况：
①当时，如图（1）所示，连接．
在中，，，
．
由轴对称可知，．
又，
点，，共线，
．
设，则，，
，
，
解得，
．
②当时，如图（2）所示，
又，
四边形为矩形．
又，
此时矩形为正方形，
，
．
综上所述，的长为或1．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理.
先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，即．
解得：，
在中，．
由翻折的性质可知：，．
∴．
设，则．
在中，由勾股定理得：，
∴．
解得：，
∴．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，规律探索，观察每次操作后M和N的乘积规律，发现，，从而得出，进而得出结果．
【详解】解：第一次操作：，，
则；
第二次操作：，，
则，
第三次操作：，，
则；
第四次操作：，，
则；
第5次操作：， ，
则．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，
过点作于点，设与相交于点，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得，
，
即的最小值为．
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，过点作与点H，由菱形的性质和，含30度直角三角形的性质得出，，进而求出，再根据菱形的性质求出面积可判断①，由菱形的性质可判断②，连接．由等边三角形的判定和含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定性质结合勾股定理即可求出进而可判断③，由等边三角形的性质得出，再根据垂线段最短，得出即时，面积的最小值，此时点E为的中点，进而求出面积的最小值，即可判断④．
【详解】解：过点作与点H，
∵，
∴，
∴，
∵是菱形，
∴，
∵、分别是、的中点，且，
∴
∴，，
∴，
∴则菱形的面积为，故①正确，
若菱形的周长为16，则，
但无法确定射线、上两点、的位置，故无法推出，故②错误，
如下图，连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确，
∵是等边三角形，
过点A作交与点K，
则，
∴，
∴，
∴，
∴当最小，即时，面积的最小值，此时点E为的中点，
在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上：①③④正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意画出图形，利用相关知识求解是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了幂的乘方，分式的化简求值，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质和已知条件可证明，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】如图所示，连接，求出，，设，则，由对称得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵正方形的边长等于4，
∴
∵点N恰好是边的中点
∴
设，则
∵点A和点N关于对称
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
14．
【分析】根据题意可证四边形是菱形，设，，在中可求出，用含的式子分别表示出，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，四边形是正方形，，，连接，交于点，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
∴点四点共线，
∴线段是正方形的对角线，则点是对角线的交点，
∵，
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，，设，，
∴，且，，
在中，，
∴，即，
∴，且，
∴在中，，
∴四边形的面积，正方形的面积，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，菱形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
15．或
【分析】题目主要考查一次函数综合问题，含30度的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出图形分情况分析是解题关键．
根据一次函数解析式及含30度角的直角三角形的性质确定一次函数解析式为，再由勾股定理得出，过点E作，确定，然后分两种情况分析：当点E落在x轴上时，当点E落在y轴上时，作出相应图形求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将点A代入得，
解得：，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，
∴，
过点E作，
∴，
当点E落在x轴上时，如图所示：
∵轴，，
∴点D的纵坐标为，代入得，
解得：，
∵，
∴点F的横坐标为，
∴；
当点E落在y轴上时，如图所示：
∵轴，，
∴点D的横坐标为，代入得，
∴点F的横坐标为，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或 ．
16．，当时，原式=
【分析】根据分式的混合运算法则先化简，再由分式有意义的条件，选取恰当的数代值求解即可得到答案．
【详解】解：
由分式有意义的条件可知，不能等于，则取，
原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则及分式有意义的条件是解决问题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了分母有理化．分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：
18．；
【分析】先计算括号内的，再计算乘除，然后根据方程组可得，再代入，即可求解．
【详解】解：
，
由得：，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及判定等知识．
（1）连接交于的O，作直线交于点F，根据正方形的性质可得点O在的垂直平分线上，再根据，可得，即可求解；
（2）连接交于点H，连接，并延长交于点G，证明四边形是正方形，四边形是平行四边形，可得，再证明四边形是平行四边形，可得为的中点，据此即可求解．
【详解】（1）解：如图1，点即为所作；
；
（2）解：如图2，点即为所作；
．
20．(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②．
【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：补全图形如图所示，作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即

（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：
，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
21．15米
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线间的距离，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．由题意证明即得出答案．
【详解】解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为相邻两平行线间的距离相等，
所以．
在和中，
，
所以，
所以，
答：标语的长度为15米．
22．(1)一个A类大礼包的进价是50元，一个B类大礼包的进价是60元
(2)该商铺至少要购进120个B类年货大礼包
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题关键．
（1）设一个A类大礼包的进价是x元，则一个B类大礼包的进价是元，根据用6000元购进的B类大礼包的数量是用4000元购进的A类大礼包的数量的倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商铺要购进m个B类年货大礼包，则要购进个A类年货大礼包，根据该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于5100元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设一个A类大礼包的进价是x元，则一个B类大礼包的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一个A类大礼包的进价是50元，一个B类大礼包的进价是60元；
（2）设该商铺要购进m个B类年货大礼包，则要购进个A类年货大礼包，
由题意得：，
解得：，
答：该商铺至少要购进120个B类年货大礼包．
23．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处，
，
折叠纸片使点落在上的点，
，
，
，
．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质的，，
，
．
【点睛】本题主要考查了翻折变换折叠问题、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键．
24．(1)作图见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】（）如图，分别作和的平分线，相交于点，由角平分线的性质可知点到边，，的距离均相等，故点即为所求；
（）由，可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证；
本题考查了角平分线的作法和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点 即为所求；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，、、三点在同一条直线上，
∴，
，
，
∴四边形是菱形．
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