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（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，周长比为，则与的面积比为（　　）
A． B． C． D．
2．把抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．对于抛物线，下列说法正确的是()
A．可由抛物线向左平移个单位长度得到
B．顶点坐标是
C．与轴无交点
D．当时，随的增大而增大
4．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为任意实数，则
6．如图，等腰三角形，底边，高，正方形，使其一边在边上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形的边长为（ ）
A． B．4 C． D．6
7．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则．
其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．如图，正方形中，点E在上，，连接，以为边作正方形，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将腰长为的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的 ，则剪去等腰三角形纸片的腰长为________．
12．已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是____．

13．在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是________．
14．如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示．
（1）m的值为______．
（2）面积的最大值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，反比例函数的图象与相交于点D，若，，则k的值为_______．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）将二次函数化成的形式，并写出顶点坐标．
17．计算：．
18．（1）已知，求的值．
（2）画出下面几何体的主视图、左视图和俯视图．
19．【特例感知】
（1）如图1，是圆的直径，O为圆心，A，P为圆上的两点，若，， 则 ；
【类比迁移】
（2）如图2，在中，，，，点P在直线的右侧，且满足，请探究线段最小值；
【问题解决】
（3）建华广告公司承接了一项业务，广告内容呈现在一块宽米，高米矩形板材上，如图3所示，由于工作需要，设计师想在这块板材上找一点P安装镀金字，需要裁出，客户设想点P要满足，且就非常完美了． 请问设计师能找到符合客户设想的P点吗？如果可以，请帮他计算所截得的的面积；如果不能，请说明你的理由．
20．为落实省教育厅相关文件精神，某中学开展“减作业 保睡眠 提质量”关于作业减负和睡眠管理的工作，对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了　　名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
(4)若该校有2000名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留必要的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)如图①，以为对角线画一个四边形，使其只是中心对称图形；
(2)如图②，在线段上找一点，使；
(3)如图③，在线段上找一点，连接，使．
22．如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
23．图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）．
(1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离；
(2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）．
24．如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标；
(3)连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围．
《（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学苏科版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C C D C A A
1．B
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【详解】解：∵，周长比为，
∴与的相似比为：，
∴与的面积比为：．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先确定抛物线的顶点坐标为，利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，点向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况．
【详解】解：∵抛物线为，
∴顶点坐标为，，开口向上．
对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误．
对于B：顶点为，不是，∴B错误．
对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误．
对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确．
故选：D．
4．B
【分析】连接，首先根据正方形的性质和勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后求出，然后证明出，得到，代数求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵边长为2的正方形的对角线相交于点，
∴
∴
∵将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确作出辅助线．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断的符号，即可判断；根据对称轴及抛物线与轴的交点即可判断；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，据此即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴上，对称轴为直线，
∴，，，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，故错误；
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴，
即，故正确；
∵，对称轴为直线，
∴当为任意实数时，有，
即，故错误；
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题的关键．
设正方形的边长为x，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴
设正方形的边长为x， 则，
∵，
∴，
∴即，解得：，
∴这个正方形的边长为．
故选：C．
7．D
【分析】由，可知二次函数的对称轴为直线，则关于直线的对称点为，由，可知当时，随着的增大而减小，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴关于直线的对称点为，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8．C
【分析】连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断①；证出是的垂直平分线，即可判断，即可判断②；根据题意得到，，在中，即可判断，即可判断③；根据题意证出是的垂直平分线，然后得到为等腰直角三角形，再由勾股定理求解的长度，即可判断④；先证出，，则，即可判断⑤．
【详解】解：如图所示，连接．
∵，分别为的中点，
∴，
∴、、、四点共圆，故①正确；
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴．故②正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
，
∴．故③正确；
∵在，
，
∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，即
∴（舍负），故④错误；
∵，
，
，
，
∴，
∵
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
∴正确的有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，圆的确定等知识点，难度大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
9．A
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，，即，故①正确；
当且时，则直线和直线关于对称轴对称，
∴，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
把代入抛物线解析式中得，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，故③正确；
∵，
∴，
设，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，故④正确；
故选：A．
10．A
【分析】过点作，垂足分别为，过点G作，交延长线于点，证明，可得，设，，再进一步可得，，从而可得答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，过点G作，交延长线于点，
∴，
∵四边形，是正方形，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例定理，正确构造全等三角形是解题的关键．
11．/4厘米
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：由题可知剪去三角形纸片面积是原三角形面积的，
∴两个三角形的对应边的比为，
∴剪去等腰三角形纸片的腰长为，
故答案为：．
12．4或
【分析】本题考查了相似三角形的性质、折叠的性质，设，根据折叠的性质得，分类讨论：当时和当时，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相关的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设，
是由沿折叠得到，
，
当时，
，，
，
，即，
解得：，
当时，
，，
，
，即，
解得：，
综上所述，的长为4或，
故答案为：4或．
13．
【分析】本题考查了线段的平移、二次函数与线段的交点问题，由平移的性质可得，，待定系数法求出直线的解析式为，当的图象的左支过点时，将代入解析式得，当的图象的右支过点时，将代入解析式得，最后由的图象与线段只有一个公共点，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段，
，，
设直线的解析式为：，
将，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
当的图象的左支过点时，将代入解析式得：，
解得：，
此时，
联立，得到，
整理得：，
解得：或，
此时的图象与线段有两个交点；
当的图象的右支过点时，将代入解析式得，
解得：，
此时，
联立，得到，
整理得：，
解得：或，
此时的图象与线段有一个交点；
的图象与线段只有一个公共点，
的取值范围是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，列函数解析式是解题的关键．
（1）由图象得扇形的半径为10，根据弧长公式求出的长即可求解；
（2）根据二次函数的性质求解．
【详解】解：（1）由图象得：扇形的半径为10，
∴ ，
∴，
故答案为：；
（2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y，
则：
∴
∵，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值，为，
故答案为：．
15．9
【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义和相似三角形的性质，通过矩形的面积和线段比例关系得到相似三角形面积比是解题的关键．
首先通过设未知数表示出点B和点D的坐标，再根据矩形面积和线段比例关系求出未知数的值，进而可以求出k的值．
【详解】解：如图，设点B的坐标为，过点D作于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：9．
16．（1）；（2），顶点坐标为
【分析】（1）负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式化简，再进行运算即可；
（2）提取二次项系数，配方，把抛物线化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
顶点坐标为．
【点睛】本题考查了负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式，二次函数的图像和性质等．
17．
【分析】本题主要考查了二次根式的计算、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂，准确计算是解题的关键．
直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
18．（1），（2）见解析
【分析】本题考查比例的性质，作图-三视图，解题的关键是掌握比例的性质，理解三视图的定义．
（1）设，则，，再代入计算即可
（2）根据三视图的定义画图即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∴；
（2）解：如图所示．
19．（1）；（2）；（3）能找到，
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用圆周角定理可得，再根据正弦的定义计算即可；
（2）在上截取，可得，然后以为直径作，根据圆周角定理可知点P在上时满足，即，连接交于P，则此时取最小值，然后求出和，利用勾股定理求出和，得到的半径，进而可得的值；
（3）在上截取，可得，然后以为直径作交于K，证明点P在上，且在的角平分线上时满足题意，然后求出、和的值，证明，利用相似三角形的性质求出，得到的值，进而可得，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵是圆的直径，，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图，在上截取，以为直径作，
∵，
∴过点A，，
连接交于P，连接、，则，
∴，此时取最小值，
过点O作于D，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
即线段最小值为；
（3）如图，在上截取，
∵，，
∴，
∴，
以为直径作交于K，则过点A，
当点P在上时，，
∴，
又∵，且，
∴点P到和的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
如图，连接并延长交于J，连接，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过点P作于M，则是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义，学会利用圆周角定理寻找相等的角所在的位置是解题的关键．
20．(1)100
(2)见解析
(3)
(4)500人
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
（1）根据统计图中B组的人数与占比，计算求解即可；
（2）根据E组人数占比为，求出E组人数为人，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；
（3）根据D组人数的占比乘以计算求解即可；
（4）根据A，B两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【详解】（1）解：（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：（人），
选择A的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3），
即D组所对应的扇形圆心角的度数是
（4）（人），
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有500人．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题为网格作图问题，考查了平行四边形的中心对称性，相似三角形的判定与性质，求角的正切函数等知识﹒
（1）作平行四边形即可；
（2）作，连接交于点E，问题得解；
（3）作，使得，问题得解﹒
【详解】（1）解：如图①所示，即为所求．
证明：由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形只是中心对称图形；
（2）解：如图②所示，点即为所求．
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③所示，点即为所求．
证明：在中，﹒
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由，点F是的中点，得到，从而，进而，又，得到，从而得证是的切线；
（2）连接，由是直径，得到，从而在中，，由，得到，根据“三线合一”得到，从而根据含角的直角三角形的性质得到．
【详解】（1）证明：连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查切线的证明，垂直平分线的性质，圆周角定理，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
23．(1)最远端点到墙壁的距离为
(2)的长为
【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、、共线，，最后计算即可；
（2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，
，
∴，
，
即点、、、共线，
∵，
∴，
∴，
答：最远端点到墙壁的距离为；
（2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，
当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点到墙壁的距离为，
此时，，
∵，
∴，
连接，过点作于点，
∵
∴，，
在中，，
当在点处时，此时，
过点作于点，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
答：的长为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）分两种情况：点在对称轴的左侧和点在对称轴的右侧，根据抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，先求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出点的横坐标即可求解；
（）由题意得：内部（不含边）有个整点，这个整点为，，，，，，，得到直线必经过点或经过与之间的点，不包括，据此求出的取值范围即可求解；
本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点，解题的关键是准确理解二次函数的点的坐标特征，利用数形结合解决问题．
【详解】（1）解：（）∵抛物线的图象经过，两点，
∴，
解得
抛物线的解析式为；
（2）.
，
抛物线的顶点坐标为
当点在对称轴的左侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则
解得（正数不合题意舍去），
；
当点在对称轴的右侧时，
此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，
此时顶点是最低点，点是最高点，
点的纵坐标为，
令，则
解得（负数不合题意舍去），
；
综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为时，或；
（3）解：的取值范围为．
由题意得：内部（不含边）有个整点，
如图，则这个整点为，，，，，，，
直线必经过点或经过与之间的点，不包括，
直线必经过点时，
，
解得
直线经过点时，
，
解得
；
综上，的取值范围为．
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