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第1讲　描述运动的基本概念
一、参考系和质点
1．参考系
(1)定义：在描述物体的运动时，选来作为_参考__的另外的物体。
(2)参考系的选取
①参考系的选取是任意的，但为了观测方便和运动的描述尽可能简单，一般以_地面__为参考系。
②参考系既可以是静止的物体，也可以是_运动__的物体。
③比较两物体的运动情况时，必须选_同一参考系__。
2．质点
(1)定义：用来代替物体的有_质量__的点叫质点。
(2)物体可以看成质点的两种情况
①物体的_形状__和_大小__对所研究问题的影响可以忽略不计。
②研究平动物体的运动情况时，可以用一个点代替整个物体的运动。
二、时间和位移
1．时刻与时间间隔
运用时间轴辨析“时刻”与“时间间隔”
(1)时刻→时间轴上的 点　。
(2)时间间隔→时间轴上的 线段　。
2．路程和位移
(1)路程是物体 运动轨迹　的长度，它是标量。
(2)位移是由 初位置　指向 末位置　的有向线段，它是 矢　量。
(3)在单向直线运动中，位移的大小 等于　路程；其他情况下，位移的大小 小于　路程。
三、速度和速率
1．平均速度
位移与发生这段位移所用_时间__的比值，用表示，即 ＝ 　。平均速度是矢量，方向与位移方向相同。
2．瞬时速度
运动物体在某一_时刻__(或某一位置)的速度。瞬时速度是矢量，方向沿轨迹上该点的_切线__方向且指向前进的一侧。
3．速率
(1)定义：物体瞬时速度的_大小__。
(2)标矢性：速率是_标量__，只有大小，没有方向。
4．平均速率：物体运动的 路程　与通过这段路程所用时间的比值， 不一定　(填“一定”或“不一定”)等于平均速度的大小。
四、加速度
1．物理意义：描述速度_变化快慢__的物理量。
2．定义式a＝ 　。
3．单位：m/s2。
4．方向：与Δv的方向_相同__。
5．标矢性：加速度是_矢量__。
1．只有很小的物体才能看成质点，大的物体一定不能看成质点。( × )
2．质点是一种理想化模型，实际并不存在。( √ )
3．参考系必须是静止不动的物体。( × )
4．做直线运动的物体，其位移大小一定等于路程。( × )
5．瞬时速度的方向就是物体在该时刻或该位置的运动方向。( √ )
6．物体的速度很大，加速度不可能为零。( × )
7．物体的速度变化量越大，加速度越大。( × )
8．甲的加速度a甲＝2 m/s2，乙的加速度a乙＝－3 m/s2，a甲>a乙。( × )
9．物体的加速度增大，速度就增大。( × )
10．加速度就是速度对时间的变化率。( √ )
考点1　质点、参考系、时刻和时间间隔、位移和路程
(基础考点·自主探究)
1．对质点的三点说明
(1)质点是一种理想化模型，实际并不存在。
(2)物体能否被看成质点是由要研究的问题决定的，并非依据物体自身的大小和形状来判断。
(3)质点不同于几何“点”，质点有质量。
2．直线运动位移和坐标的关系
直线运动位移等于坐标的变化量，即Δx＝x2－x1。
3．位移和路程的两点区别
(1)决定因素不同：位移由初、末位置决定，路程由实际的运动路径决定。
(2)运算法则不同：位移应用矢量的平行四边形定则运算，路程应用标量的算数法则运算。
【跟踪训练】
(对质点和参考系的理解)2024年10月30日04时27分，我国长征二号F运载火箭将神舟十九号载人飞船精准送入预定轨道，发射取得圆满成功，如图所示。根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．神舟十九号飞船与天和核心舱对接的过程，可将它们视为质点
B．对接成功后，以空间站为参考系，神舟十九号飞船是运动的
C．研究空间站绕地球飞行的时间时，可将空间站视为质点
D．对接成功后，以地球为参考系，整个空间站是静止的
(对时间和时刻的理解)下列关于时间间隔和时刻的说法中，正确的是(　　)
A．时间间隔和时刻的区别在于长短不同，长的是时间间隔，短的是时刻
B．3秒内和第3秒内的时间间隔一样长
C．第3秒末和第4秒初是两个不同的时刻
D．第3秒内和第4秒内经历的时间间隔相等
(直线运动位移和坐标的关系)(2024·江西卷)一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x＝1＋2t＋3t2(x的单位是m，t的单位是s)。关于速度及该质点在第1 s内的位移，下列选项正确的是(　　)
A．速度是对物体位置变化快慢的描述；6 m
B．速度是对物体位移变化快慢的描述；6 m
C．速度是对物体位置变化快慢的描述；5 m
D．速度是对物体位移变化快慢的描述；5 m
(位移和路程的计算)如图所示，一个质点沿两个半径为R的四分之一圆弧由A点经过B点运动到C点，且这两个圆弧在B点相切。则在此过程中，质点发生的位移大小和路程分别为(　　)
A．2R，πR B．2R,4R
C．2R，πR D．2R,4R
考点2　平均速度和瞬时速度
(基础考点·自主探究)
1．平均速度与瞬时速度的区别和联系
(1)区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢；瞬时速度是状态量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢。
(2)联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。
2．平均速度与平均速率的区别
平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值。
特别提醒：＝是平均速度的定义式，适用于所有的运动。＝仅适用于匀变速直线运动。
【跟踪训练】
(平均速度、瞬时速度与平均速率的比较)暑假期间某同学在公园跑步时，用手机计步器记录了自己的锻炼情况，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．图中的5.0 km/h为平均速度
B．图中的5.0 km/h为瞬时速度
C．图中的5.0 km/h为平均速率
D．图中的5.0 km/h为平均速度的大小
(平均速度和瞬时速度的计算)如图所示，在气垫导轨上安装有两个光电计时装置A、B，A、B间距离为L＝30 cm，为了测量滑块的加速度，在滑块上安装了一个宽度为d＝1 cm的遮光条，现让滑块以某一加速度通过A、B，记录遮光条通过A、B的时间分别为0.010 s、0.005 s，滑块从A到B所用时间为0.200 s。则下列说法正确的是(　　)
A．滑块通过A的速度为1 cm/s
B．滑块通过B的速度为2 cm/s
C．滑块在A、B间运动的平均速度大小为3 m/s
D．滑块在A、B间运动的平均速率为1.5 m/s
(平均速度和平均速率的计算)(2023·福建卷)“祝融号”火星车沿如图所示路线行驶，在此过程中揭秘了火星乌托邦平原浅表分层结构，该研究成果被列为“2022年度中国科学十大进展”之首。“祝融号”从着陆点O处出发，经过61天到达M处，行驶路程为585米；又经过23天，到达N处，行驶路程为304米。已知O、M间和M、N间的直线距离分别约为463米和234米，则火星车(　　)
A．从O处行驶到N处的路程为697米
B．从O处行驶到N处的位移大小为889米
C．从O处行驶到M处的平均速率约为20米/天
D．从M处行驶到N处的平均速度大小约为10米/天
考点3　加速度
(能力考点·深度研析)
1．速度、速度的变化量和加速度的对比
比较项目 速度 速度的变化量 加速度
物理意义 描述物体运动的快慢和方向 描述物体速度的变化 描述物体速度的变化快慢
公式 v＝ Δv＝v－v0 a＝＝
决定因素 匀变速直线运动中，由v＝v0＋at知，v的大小由v0、a、t决定 由Δv＝aΔt知，Δv由a与Δt决定 由a＝知，a由F、m决定，与v、Δv、Δt无关
方向 与位移方向相同 与加速度的方向相同 由F的方向决定，而与v0，v的方向无关，与Δv同向
2．加速度方向和速度方向对运动性质的影响
方向关系 运动性质 变化情况
a与v同向 加速直线运动 a不变，v随时间均匀增大
a增大，v增大得越来越快
a减小，v增大得越来越慢
a与v反向 减速直线运动 a不变，v随时间均匀减小
a增大，v减小得越来越快
a减小，v减小得越来越慢
考向1　速度、速度变化量和加速度的关系
(多选)(2025·商洛模拟)礼花弹从专用炮筒中射出后，在4 s末到达离地面100 m的最高点时炸开，构成各种美丽的图案，如图所示。有关礼花弹腾空的过程，以下说法正确的是(　　)
A．礼花弹的速度越大，加速度不一定越大
B．礼花弹的速度变化越快，加速度一定越大
C．礼花弹的速度变化量越大，加速度一定越大
D．某时刻速度为零，其加速度一定为零
反思提升
注意六个“不一定”
(1)速度大，加速度不一定大；加速度大，速度也不一定大。加速度和速度的大小没有必然联系。
(2)速度变化量大，加速度不一定大；加速度大，速度变化量也不一定大。
(3)加速度为零，速度不一定为零；速度为零，加速度也不一定为零。
考向2　加速度的计算
在一次蹦床比赛中，运动员从高处自由落下，以大小为8 m/s的竖直速度着网，与网作用后，沿着竖直方向以大小为10 m/s的速度弹回，已知运动员与网接触的时间Δt＝1.0 s，那么运动员在与网接触的这段时间内速度变化量和加速度的大小和方向分别为(　　)
A．2.0 m/s，竖直向下；2.0 m/s2，竖直向下
B．2.0 m/s，竖直向上；8.0 m/s2，竖直向上
C．18 m/s，竖直向下；10 m/s2，竖直向下
D．18 m/s，竖直向上；18 m/s2，竖直向上
考向3　物体加速或减速的判断
(多选)做变速直线运动的物体，若加速度逐渐减小到零，那么该物体运动情况可能是(　　)
A．速度不断增大，到加速度为零时，速度达到最大，而后做匀速运动
B．速度不断减小，到加速度减小到零时，运动停止
C．速度不断减小，而后向反方向做加速运动，最后做匀速运动
D．速度不断增大，加速度减为零后，物体继续做加速运动
提能训练　练案[1]
基础巩固练
题组一　质点、参考系、时刻和时间间隔、位移和路程
1．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎隆重开幕。中国代表团最终在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，金牌数与美国代表团并列首位。在下图所示的运动项目中，可以看作质点的是(　　)
A．研究甲图中潘展乐游泳动作时，潘展乐可以看成质点
B．研究乙图中陈梦发球技术时，乒乓球可以看成质点
C．研究丙图中全红禅跳水动作时，全红禅可以看成质点
D．研究丁图中杨家玉在竞走中的速度时，杨家玉可以看成质点
2．2024年十一国庆长假期间，张家界天门山国家森林公园又迎来了一大批游客。游客去往景区必须乘坐索道，天门山索道全长7 454米，高度差1 277米，共有轿厢98个，单程运行时间约30分钟。沿途风景极其壮观，惊险刺激。对于乘坐索道缆车正在观光的某游客来说，下列说法正确的是(　　)
A．以自己为参考系，看到前面的山迎面而来
B．计算游客乘坐索道缆车的时间时，不可以将游客看作质点
C．“7 454米”指的是位移
D．“30分钟”指的是时刻
3．下列有关矢量、标量的说法正确的是(　　)
A．物体先向东运动3 m，再向北运动2 m，物体的总位移是5 m
B．物体先向东运动3 s，再向北运动2 s，物体的总运动时间是5 s
C．－10 m的位移比5 m的位移小
D．－10 ℃比5 ℃的温度高
4．(多选)一质点在x轴上运动(每一秒内运动方向不变)，各个时刻和对应的位置坐标如下表，则此质点开始运动后(　　)
t/s 0 1 2 3 4 5
x/m 0 5 －4 －1 －7 1
A．第2 s内的位移为9 m
B．前2 s内的位移为4 m
C．最后3 s内的位移为5 m
D．前2 s内的路程为14 m
题组二　平均速度和瞬时速度
5．关于下列四幅图的说法，正确的是(　　)
A．图甲是某高速路上的指示牌，上面的“3 km”“48 km”“87 km”指的是位移
B．图乙是某路段的指示牌，上面的“100”指的是汽车行驶过程中的瞬时速度的大小不得超过100 km/h
C．图丙是汽车上的时速表，上面的“100”指的是平均速度的大小
D．图丁是导航信息图，上面从“桂林”到“南宁”的三条路径路程不同，位移也不同
6. (2025·福建福州模拟)一架无人机在同一水平面内运动，初始时悬停于空中，开始运动后在5 s内向西沿直线飞行了40 m，之后向北沿直线经过5 s飞行30 m后再次悬停。无人机的运动轨迹俯视图如图所示，则无人机在整个运动过程中(　　)
A．平均速度大小为5 m/s
B．平均速度大小为7 m/s
C．平均速率为5 m/s
题组三　加速度
7．(多选)关于加速度的理解，下列说法错误的是(　　)
A．加速度是描述速率变化快慢的物理量
B．汽车启动的一瞬间，加速度一定不为零
C．汽车启动得越快，加速度越大
D．汽车的加速度为－5 m/s2，表明汽车在做减速运动
8．如图甲所示，是我国“复兴号”高铁，考虑到旅客的舒适程度，高铁出站时，速度在10分钟内由0增大到350 km/h；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来。若以车辆前进的方向为正方向，下列说法正确的是(　　)
A．2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/s
B．10分钟内“复兴号”高铁速度改变量为350 m/s
C．汽车速度变化比“复兴号”高铁慢
D．“复兴号”高铁的加速度比汽车的大
9. (多选)如图所示，物体以5 m/s的初速度沿光滑的斜面向上做减速运动，经过2 s，速度大小变为3 m/s，则物体的加速度可能为(　　)
A．大小为1 m/s2，方向沿斜面向上
B．大小为1 m/s2，方向沿斜面向下
C．大小为4 m/s2，方向沿斜面向下
D．大小为4 m/s2，方向沿斜面向上
能力提升练
10. (2025·浙江高三联考)青藏铁路全长1 956千米，其中西宁至格尔木段全长814千米，格尔木至拉萨段全长1 142千米，设计的列车运行的最大速度为160千米/小时(西宁至格尔木段)、100千米/小时(格尔木至拉萨段)，则下列说法正确的是(　　)
A．“1 956千米”指的是位移大小
B．运动中的列车不可以作为参考系
C．列车的速度很大，但加速度可能很小
D．“160千米/小时”指的是平均速度大小
11．(多选)甲、乙两位同学多次进行百米赛跑，每次甲都比乙提前10 m到达终点。现让甲远离(后退)起跑点10 m，乙仍在起跑点起跑，则关于甲、乙两同学的平均速度之比和谁先到达终点，下列说法中正确的是(　　)
A．v甲∶v乙＝11∶10 B．v甲∶v乙＝10∶9
C．甲先到达终点 D．两人同时到达终点
12．(多选)(2025·陕西西安月考)两位同学进行竞走比赛，她们分别拿着底部穿孔、滴水比较均匀的饮料瓶，假设每隔1 s漏下一滴，她们在平直路上行走，同学们根据滴在地上的水印分布分析她们的行走情况(已知人的运动方向)。下列说法中正确的是(　　)
A．当沿运动方向水印始终均匀分布时，人做匀速直线运动
B．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人做匀加速直线运动
C．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人的加速度可能在减小
D．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人的加速度可能在增大
13．(多选)如图甲所示为速度传感器的工作示意图，P为发射超声波的固定小盒子，工作时P向被测物体发出短暂的超声波脉冲，脉冲被运动的物体反射后又被P接收。从P发射超声波开始计时，经过时间Δt再次发射超声脉冲。图乙是两次发射的超声波的位移—时间图像，则下列说法正确的是(　　)
A．物体到小盒子P的距离越来越远
B．在两次发射超声波脉冲的时间间隔Δt内，物体通过的位移为x2－x1
C．超声波的速度为
D．物体在t1～t2时间内的平均速度为第1讲　描述运动的基本概念
一、参考系和质点
1．参考系
(1)定义：在描述物体的运动时，选来作为_参考__的另外的物体。
(2)参考系的选取
①参考系的选取是任意的，但为了观测方便和运动的描述尽可能简单，一般以_地面__为参考系。
②参考系既可以是静止的物体，也可以是_运动__的物体。
③比较两物体的运动情况时，必须选_同一参考系__。
2．质点
(1)定义：用来代替物体的有_质量__的点叫质点。
(2)物体可以看成质点的两种情况
①物体的_形状__和_大小__对所研究问题的影响可以忽略不计。
②研究平动物体的运动情况时，可以用一个点代替整个物体的运动。
二、时间和位移
1．时刻与时间间隔
运用时间轴辨析“时刻”与“时间间隔”
(1)时刻→时间轴上的 点　。
(2)时间间隔→时间轴上的 线段　。
2．路程和位移
(1)路程是物体 运动轨迹　的长度，它是标量。
(2)位移是由 初位置　指向 末位置　的有向线段，它是 矢　量。
(3)在单向直线运动中，位移的大小 等于　路程；其他情况下，位移的大小 小于　路程。
三、速度和速率
1．平均速度
位移与发生这段位移所用_时间__的比值，用表示，即 ＝ 　。平均速度是矢量，方向与位移方向相同。
2．瞬时速度
运动物体在某一_时刻__(或某一位置)的速度。瞬时速度是矢量，方向沿轨迹上该点的_切线__方向且指向前进的一侧。
3．速率
(1)定义：物体瞬时速度的_大小__。
(2)标矢性：速率是_标量__，只有大小，没有方向。
4．平均速率：物体运动的 路程　与通过这段路程所用时间的比值， 不一定　(填“一定”或“不一定”)等于平均速度的大小。
四、加速度
1．物理意义：描述速度_变化快慢__的物理量。
2．定义式a＝ 　。
3．单位：m/s2。
4．方向：与Δv的方向_相同__。
5．标矢性：加速度是_矢量__。
1．只有很小的物体才能看成质点，大的物体一定不能看成质点。( × )
2．质点是一种理想化模型，实际并不存在。( √ )
3．参考系必须是静止不动的物体。( × )
4．做直线运动的物体，其位移大小一定等于路程。( × )
5．瞬时速度的方向就是物体在该时刻或该位置的运动方向。( √ )
6．物体的速度很大，加速度不可能为零。( × )
7．物体的速度变化量越大，加速度越大。( × )
8．甲的加速度a甲＝2 m/s2，乙的加速度a乙＝－3 m/s2，a甲>a乙。( × )
9．物体的加速度增大，速度就增大。( × )
10．加速度就是速度对时间的变化率。( √ )
考点1　质点、参考系、时刻和时间间隔、位移和路程
(基础考点·自主探究)
1．对质点的三点说明
(1)质点是一种理想化模型，实际并不存在。
(2)物体能否被看成质点是由要研究的问题决定的，并非依据物体自身的大小和形状来判断。
(3)质点不同于几何“点”，质点有质量。
2．直线运动位移和坐标的关系
直线运动位移等于坐标的变化量，即Δx＝x2－x1。
3．位移和路程的两点区别
(1)决定因素不同：位移由初、末位置决定，路程由实际的运动路径决定。
(2)运算法则不同：位移应用矢量的平行四边形定则运算，路程应用标量的算数法则运算。
【跟踪训练】
(对质点和参考系的理解)2024年10月30日04时27分，我国长征二号F运载火箭将神舟十九号载人飞船精准送入预定轨道，发射取得圆满成功，如图所示。根据以上信息，下列说法正确的是(　　)
A．神舟十九号飞船与天和核心舱对接的过程，可将它们视为质点
B．对接成功后，以空间站为参考系，神舟十九号飞船是运动的
C．研究空间站绕地球飞行的时间时，可将空间站视为质点
D．对接成功后，以地球为参考系，整个空间站是静止的
[答案]　C
[解析]　神舟十九号飞船在与天和核心舱对接的过程中，需要精准控制，调整其姿态，因此其形状大小不可忽略，不能将其看成质点，故A错误；对接成功后，神舟十九号飞船与空间站成为一体，因此以空间站为参考系，神舟十九号飞船是静止的，故B错误；研究空间站绕地球飞行的时间时，因其形状大小相对于其轨道周长而言可以忽略，因此，可将其看成质点，故C正确；对接成功后，以地球为参考系，整个空间站是运动的，故D错误。故选C。
(对时间和时刻的理解)下列关于时间间隔和时刻的说法中，正确的是(　　)
A．时间间隔和时刻的区别在于长短不同，长的是时间间隔，短的是时刻
B．3秒内和第3秒内的时间间隔一样长
C．第3秒末和第4秒初是两个不同的时刻
D．第3秒内和第4秒内经历的时间间隔相等
[答案]　D
[解析]　时间间隔是时间轴上的一段线段，时刻是时间轴上的一个点，A错误；3秒内的时间长度等于3 s，第3秒内的时间长度等于1 s，B错误；第3秒末和第4秒初是同一时刻，C错误；第3秒内和第4秒内经历的时间间隔相等，都等于1 s，D正确。故选D。
(直线运动位移和坐标的关系)(2024·江西卷)一质点沿x轴运动，其位置坐标x与时间t的关系为x＝1＋2t＋3t2(x的单位是m，t的单位是s)。关于速度及该质点在第1 s内的位移，下列选项正确的是(　　)
A．速度是对物体位置变化快慢的描述；6 m
B．速度是对物体位移变化快慢的描述；6 m
C．速度是对物体位置变化快慢的描述；5 m
D．速度是对物体位移变化快慢的描述；5 m
[答案]　C
[解析]　
(位移和路程的计算)如图所示，一个质点沿两个半径为R的四分之一圆弧由A点经过B点运动到C点，且这两个圆弧在B点相切。则在此过程中，质点发生的位移大小和路程分别为(　　)
A．2R，πR B．2R,4R
C．2R，πR D．2R,4R
[答案]　C
[解析]　位移是由初位置指向末位置的有向线段，路程是质点运动轨迹的长度，故质点由A点经过B点运动到C点，位移大小为x＝2×＝2R，路程为s＝2×＝πR，故选C。
考点2　平均速度和瞬时速度
(基础考点·自主探究)
1．平均速度与瞬时速度的区别和联系
(1)区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢；瞬时速度是状态量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢。
(2)联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。
2．平均速度与平均速率的区别
平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值。
特别提醒：＝是平均速度的定义式，适用于所有的运动。＝仅适用于匀变速直线运动。
【跟踪训练】
(平均速度、瞬时速度与平均速率的比较)暑假期间某同学在公园跑步时，用手机计步器记录了自己的锻炼情况，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．图中的5.0 km/h为平均速度
B．图中的5.0 km/h为瞬时速度
C．图中的5.0 km/h为平均速率
D．图中的5.0 km/h为平均速度的大小
[答案]　C
[解析]　由于人跑步的路线不是直线，所以题图中的6.65 km是路程，所以图中的5.0 km/h不可能为平均速度，更不可能为瞬时速度，A、B错误；因为平均速率等于路程与时间的比值，图中的5.0 km/h为平均速率，平均速率不是平均速度的大小，C正确，D错误。
(平均速度和瞬时速度的计算)如图所示，在气垫导轨上安装有两个光电计时装置A、B，A、B间距离为L＝30 cm，为了测量滑块的加速度，在滑块上安装了一个宽度为d＝1 cm的遮光条，现让滑块以某一加速度通过A、B，记录遮光条通过A、B的时间分别为0.010 s、0.005 s，滑块从A到B所用时间为0.200 s。则下列说法正确的是(　　)
A．滑块通过A的速度为1 cm/s
B．滑块通过B的速度为2 cm/s
C．滑块在A、B间运动的平均速度大小为3 m/s
D．滑块在A、B间运动的平均速率为1.5 m/s
[答案]　D
[解析]　滑块经过A时的速度vA＝＝ cm/s＝100 cm/s，故A错误；滑块经过B时的速度vB＝＝ cm/s＝200 cm/s，故B错误；滑块在A、B间的平均速度＝＝ m/s＝1.5 m/s，故C错误；滑块在A、B间的位移大小和路程相同，所以平均速率也为1.5 m/s，故D正确。
(平均速度和平均速率的计算)(2023·福建卷)“祝融号”火星车沿如图所示路线行驶，在此过程中揭秘了火星乌托邦平原浅表分层结构，该研究成果被列为“2022年度中国科学十大进展”之首。“祝融号”从着陆点O处出发，经过61天到达M处，行驶路程为585米；又经过23天，到达N处，行驶路程为304米。已知O、M间和M、N间的直线距离分别约为463米和234米，则火星车(　　)
A．从O处行驶到N处的路程为697米
B．从O处行驶到N处的位移大小为889米
C．从O处行驶到M处的平均速率约为20米/天
D．从M处行驶到N处的平均速度大小约为10米/天
[答案]　D
[解析]　由题意可知从O处到N处的路程为sON＝sOM＋sMN＝585 m＋304 m＝889 m，故A错误；位移的大小为两点之间的直线距离，所以xON考点3　加速度
(能力考点·深度研析)
1．速度、速度的变化量和加速度的对比
比较项目 速度 速度的变化量 加速度
物理意义 描述物体运动的快慢和方向 描述物体速度的变化 描述物体速度的变化快慢
公式 v＝ Δv＝v－v0 a＝＝
决定因素 匀变速直线运动中，由v＝v0＋at知，v的大小由v0、a、t决定 由Δv＝aΔt知，Δv由a与Δt决定 由a＝知，a由F、m决定，与v、Δv、Δt无关
方向 与位移方向相同 与加速度的方向相同 由F的方向决定，而与v0，v的方向无关，与Δv同向
2．加速度方向和速度方向对运动性质的影响
方向关系 运动性质 变化情况
a与v同向 加速直线运动 a不变，v随时间均匀增大
a增大，v增大得越来越快
a减小，v增大得越来越慢
a与v反向 减速直线运动 a不变，v随时间均匀减小
a增大，v减小得越来越快
a减小，v减小得越来越慢
考向1　速度、速度变化量和加速度的关系
(多选)(2025·商洛模拟)礼花弹从专用炮筒中射出后，在4 s末到达离地面100 m的最高点时炸开，构成各种美丽的图案，如图所示。有关礼花弹腾空的过程，以下说法正确的是(　　)
A．礼花弹的速度越大，加速度不一定越大
B．礼花弹的速度变化越快，加速度一定越大
C．礼花弹的速度变化量越大，加速度一定越大
D．某时刻速度为零，其加速度一定为零
[答案]　AB
[解析]　速度大指运动得快，不能说明速度变化快，即加速度不一定大，故A正确；根据加速度表示物体速度变化的快慢，可知礼花弹的速度变化越快，加速度一定越大，故B正确；加速度等于速度变化量与对应时间的比值，速度变化量大，不能说明加速度大，故C错误；礼花弹在最高点时速度可能为零，但由于烟花受到重力的作用，所以其加速度不为零，故D错误。
反思提升
注意六个“不一定”
(1)速度大，加速度不一定大；加速度大，速度也不一定大。加速度和速度的大小没有必然联系。
(2)速度变化量大，加速度不一定大；加速度大，速度变化量也不一定大。
(3)加速度为零，速度不一定为零；速度为零，加速度也不一定为零。
考向2　加速度的计算
在一次蹦床比赛中，运动员从高处自由落下，以大小为8 m/s的竖直速度着网，与网作用后，沿着竖直方向以大小为10 m/s的速度弹回，已知运动员与网接触的时间Δt＝1.0 s，那么运动员在与网接触的这段时间内速度变化量和加速度的大小和方向分别为(　　)
A．2.0 m/s，竖直向下；2.0 m/s2，竖直向下
B．2.0 m/s，竖直向上；8.0 m/s2，竖直向上
C．18 m/s，竖直向下；10 m/s2，竖直向下
D．18 m/s，竖直向上；18 m/s2，竖直向上
[答案]　D
[解析]　取触网后速度的方向为正方向，运动员在与网接触的这段时间内速度变化量Δv＝10 m/s－(－8)m/s＝18 m/s，方向竖直向上，加速度a＝＝ m/s2＝18 m/s2方向竖直向上。故选D。
考向3　物体加速或减速的判断
(多选)做变速直线运动的物体，若加速度逐渐减小到零，那么该物体运动情况可能是(　　)
A．速度不断增大，到加速度为零时，速度达到最大，而后做匀速运动
B．速度不断减小，到加速度减小到零时，运动停止
C．速度不断减小，而后向反方向做加速运动，最后做匀速运动
D．速度不断增大，加速度减为零后，物体继续做加速运动
[答案]　ABC
[解析]　若物体加速度与初速度方向相同，那么物体做加速运动，速度逐渐增大，到加速度为零时，速度达到最大，而后做匀速运动，故A正确，D错误；若物体加速度与初速度方向相反，那么物体做减速运动，速度逐渐减小，若物体加速度减小到零时，速度也刚好减小到零，则物体停止运动，故B正确；若物体加速度与初速度方向相反，那么物体做减速运动，若物体速度减小到零时，加速度还未减小到零，物体将做反向加速运动，加速度减小到零时，达到反向最大速度，而后物体做匀速运动，故C正确。故选ABC。
提能训练　练案[1]
基础巩固练
题组一　质点、参考系、时刻和时间间隔、位移和路程
1．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎隆重开幕。中国代表团最终在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，金牌数与美国代表团并列首位。在下图所示的运动项目中，可以看作质点的是(　　)
A．研究甲图中潘展乐游泳动作时，潘展乐可以看成质点
B．研究乙图中陈梦发球技术时，乒乓球可以看成质点
C．研究丙图中全红禅跳水动作时，全红禅可以看成质点
D．研究丁图中杨家玉在竞走中的速度时，杨家玉可以看成质点
[答案]　D
[解析]　研究甲图中潘展乐游泳动作时，潘展乐的形状大小不能忽略不计，潘展乐不可以看成质点，故A错误；研究乙图中陈梦发球技术时，乒乓球的形状大小不能忽略不计，乒乓球不可以看成质点，故B错误；研究丙图中全红禅跳水动作时，全红禅的形状大小不能忽略不计，全红禅不可以看成质点，故C错误；研究丁图中杨家玉在竞走中的速度时，杨家玉的形状大小可以忽略不计，杨家玉可以看成质点，故D正确。故选D。
2．2024年十一国庆长假期间，张家界天门山国家森林公园又迎来了一大批游客。游客去往景区必须乘坐索道，天门山索道全长7 454米，高度差1 277米，共有轿厢98个，单程运行时间约30分钟。沿途风景极其壮观，惊险刺激。对于乘坐索道缆车正在观光的某游客来说，下列说法正确的是(　　)
A．以自己为参考系，看到前面的山迎面而来
B．计算游客乘坐索道缆车的时间时，不可以将游客看作质点
C．“7 454米”指的是位移
D．“30分钟”指的是时刻
[答案]　A
[解析]　乘坐索道缆车正在观光的某游客相对山运动，所以以自己为参考系，他看到前面的山迎面而来，故A正确；计算游客乘坐索道缆车的时间时，可以忽略游客身体的形状大小，所以可以将游客看作质点，故B错误；“7 454米”指的是路程，不是位移，故C错误；“30分钟”指的是时间间隔，故D错误。故选A。
3．下列有关矢量、标量的说法正确的是(　　)
A．物体先向东运动3 m，再向北运动2 m，物体的总位移是5 m
B．物体先向东运动3 s，再向北运动2 s，物体的总运动时间是5 s
C．－10 m的位移比5 m的位移小
D．－10 ℃比5 ℃的温度高
[答案]　B
[解析]　位移是矢量，遵守平行四边形定则，物体先向东运动3 m，再向北运动2 m，物体的总位移大小是 m＝ m，A错误；时间是标量，物体先向东运动3 s，再向北运动2 s，物体的总运动时间是5 s，B正确；位移是矢量，负号表示方向，－10 m的位移比5 m的位移大，C错误；温度是标量，负号表示温度低于0 ℃，－10 ℃比5 ℃的温度低，D错误。故选B。
4．(多选)一质点在x轴上运动(每一秒内运动方向不变)，各个时刻和对应的位置坐标如下表，则此质点开始运动后(　　)
t/s 0 1 2 3 4 5
x/m 0 5 －4 －1 －7 1
A．第2 s内的位移为9 m
B．前2 s内的位移为4 m
C．最后3 s内的位移为5 m
D．前2 s内的路程为14 m
[答案]　CD
[解析]　由表中数据可知，第2 s内的位移为－9 m，A错误；前2 s内的位移为－4 m，B错误；最后3 s内的位置从x＝－4 m到x＝1 m，则位移为5 m，C正确；前2 s内的路程为5 m＋9 m＝14 m，D正确。故选CD。
题组二　平均速度和瞬时速度
5．关于下列四幅图的说法，正确的是(　　)
A．图甲是某高速路上的指示牌，上面的“3 km”“48 km”“87 km”指的是位移
B．图乙是某路段的指示牌，上面的“100”指的是汽车行驶过程中的瞬时速度的大小不得超过100 km/h
C．图丙是汽车上的时速表，上面的“100”指的是平均速度的大小
D．图丁是导航信息图，上面从“桂林”到“南宁”的三条路径路程不同，位移也不同
[答案]　B
[解析]　甲图指示牌上面的“3 km”“48 km”“87 km”指的是路程，故A错误；乙图指示牌上的“100”指的是瞬时速度，代表汽车行驶过程中的瞬时速度的大小不得超过100 km/h，故B正确；丙图汽车时速表上面的“100”代表瞬时速度，故C错误；图丁是导航信息图，上面从“桂林”到“南宁”的三条路径路程不同，位移相同，故D错误。故选B。
6. (2025·福建福州模拟)一架无人机在同一水平面内运动，初始时悬停于空中，开始运动后在5 s内向西沿直线飞行了40 m，之后向北沿直线经过5 s飞行30 m后再次悬停。无人机的运动轨迹俯视图如图所示，则无人机在整个运动过程中(　　)
A．平均速度大小为5 m/s
B．平均速度大小为7 m/s
C．平均速率为5 m/s
D．平均速率为8 m/s
[答案]　A
[解析]　连接无人机初、末位置，如图所示，可得无人机位移大小为x＝ m＝50 m，则平均速度大小为＝＝5 m/s，路程为s＝30 m＋40 m＝70 m，则平均速率为v＝＝7 m/s，故A正确，B、C、D错误。
题组三　加速度
7．(多选)关于加速度的理解，下列说法错误的是(　　)
A．加速度是描述速率变化快慢的物理量
B．汽车启动的一瞬间，加速度一定不为零
C．汽车启动得越快，加速度越大
D．汽车的加速度为－5 m/s2，表明汽车在做减速运动
[答案]　AD
[解析]　加速度是描述速度变化快慢的物理量，A错误；汽车启动的一瞬间，汽车由静止开始运动，汽车的速度一定产生变化，所以加速度一定不为零，B正确；汽车启动得越快，说明汽车的速度变化得越快，加速度越大，C正确；汽车的加速度为－5 m/s2，加速度中的正、负号表示加速度方向，若汽车运动方向与加速度方向相同，汽车做加速运动，反之汽车做减速运动，D错误。故选AD。
8．如图甲所示，是我国“复兴号”高铁，考虑到旅客的舒适程度，高铁出站时，速度在10分钟内由0增大到350 km/h；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来。若以车辆前进的方向为正方向，下列说法正确的是(　　)
A．2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/s
B．10分钟内“复兴号”高铁速度改变量为350 m/s
C．汽车速度变化比“复兴号”高铁慢
D．“复兴号”高铁的加速度比汽车的大
[答案]　A
[解析]　2.5 s内汽车的速度改变量Δv1＝0－v1＝－108 km/h＝－30 m/s，A正确；10分钟内“复兴号”高铁速度改变量Δv2＝v2－0＝350 km/h≈97.2 m/s，B错误；汽车和高铁的加速度大小分别为a1＝＝12 m/s2，a2＝≈0.16 m/s2，所以汽车速度变化比高铁快，高铁的加速度比汽车的加速度小，C、D错误。
9. (多选)如图所示，物体以5 m/s的初速度沿光滑的斜面向上做减速运动，经过2 s，速度大小变为3 m/s，则物体的加速度可能为(　　)
A．大小为1 m/s2，方向沿斜面向上
B．大小为1 m/s2，方向沿斜面向下
C．大小为4 m/s2，方向沿斜面向下
D．大小为4 m/s2，方向沿斜面向上
[答案]　BC
[解析]　取初速度方向为正方向，则v0＝5 m/s。若2 s后的速度方向沿斜面向上，v＝3 m/s，则a＝＝＝ m/s2＝－1 m/s2，即加速度大小为1 m/s2，方向沿斜面向下；若2 s后的速度方向沿斜面向下，v′＝－3 m/s，则a＝＝＝ m/s2＝－4 m/s2，即加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下。故选项A、D错误，B、C正确。
能力提升练
10. (2025·浙江高三联考)青藏铁路全长1 956千米，其中西宁至格尔木段全长814千米，格尔木至拉萨段全长1 142千米，设计的列车运行的最大速度为160千米/小时(西宁至格尔木段)、100千米/小时(格尔木至拉萨段)，则下列说法正确的是(　　)
A．“1 956千米”指的是位移大小
B．运动中的列车不可以作为参考系
C．列车的速度很大，但加速度可能很小
D．“160千米/小时”指的是平均速度大小
[答案]　C
[解析]　“1 956千米”指的是路程，A错误；运动中的列车可以作为参考系，参考系可以任意选取，B错误；列车高速匀速行驶时速度很大，但加速度为零，C正确；“160千米/小时”指的是瞬时速度的大小，D错误。
11．(多选)甲、乙两位同学多次进行百米赛跑，每次甲都比乙提前10 m到达终点。现让甲远离(后退)起跑点10 m，乙仍在起跑点起跑，则关于甲、乙两同学的平均速度之比和谁先到达终点，下列说法中正确的是(　　)
A．v甲∶v乙＝11∶10 B．v甲∶v乙＝10∶9
C．甲先到达终点 D．两人同时到达终点
[答案]　BC
[解析]　百米赛跑中甲比乙提前10 m到达终点，即甲跑完100 m和乙跑完90 m的时间相等，＝，得v甲∶v乙＝10∶9，A错误，B正确；让甲远离起跑点10 m，而乙仍在起跑点，则甲需要跑110 m才能到达终点，他到达终点的时间为t甲＝＝，而乙跑完100 m需要的时间为t乙＝>t甲，所以甲先到达终点，C正确，D错误。
12．(多选)(2025·陕西西安月考)两位同学进行竞走比赛，她们分别拿着底部穿孔、滴水比较均匀的饮料瓶，假设每隔1 s漏下一滴，她们在平直路上行走，同学们根据滴在地上的水印分布分析她们的行走情况(已知人的运动方向)。下列说法中正确的是(　　)
A．当沿运动方向水印始终均匀分布时，人做匀速直线运动
B．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人做匀加速直线运动
C．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人的加速度可能在减小
D．当沿运动方向水印间距逐渐增大时，人的加速度可能在增大
[答案]　ACD
[解析]　当沿运动方向水印始终均匀分布时，相邻两滴水的时间间隔相等，则人做匀速直线运动，故A正确；当沿运动方向水印间距逐渐增大时，相邻两滴水的时间间隔相等，知人做加速运动，加速度可能增大，可能减小，可能不变，故C、D正确，B错误。故选ACD。
13．(多选)如图甲所示为速度传感器的工作示意图，P为发射超声波的固定小盒子，工作时P向被测物体发出短暂的超声波脉冲，脉冲被运动的物体反射后又被P接收。从P发射超声波开始计时，经过时间Δt再次发射超声脉冲。图乙是两次发射的超声波的位移—时间图像，则下列说法正确的是(　　)
A．物体到小盒子P的距离越来越远
B．在两次发射超声波脉冲的时间间隔Δt内，物体通过的位移为x2－x1
C．超声波的速度为
D．物体在t1～t2时间内的平均速度为
[答案]　AD
[解析]　由题图乙可知，第二次超声波传播的最远距离比第一次的大，可知物体到小盒子P的距离越来越远，A正确；物体通过的位移为x2－x1时，所用时间为t2－t1，物体在t1～t2时间内的平均速度为，在Δt时间内的位移为Δt，B错误，D正确；由题图乙可知，超声波的速度为，C错误。第2讲　匀变速直线运动的规律
匀变速直线运动的公式及推论
1．匀变速直线运动
特别提醒：(1)加速度大小和方向不变的直线运动一定是匀变速直线运动，与速度方向是否发生变化无关。
(2)无论匀加速还是匀减速直线运动，中间位置的速度总是大于中间时刻的速度。
2．初速度为零的匀变速直线运动的四个重要推论
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝_1∶2∶3∶…∶n__。
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝_12∶22∶32∶…∶n2__。
(3)第一个T内，第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝_1∶3∶5∶…∶(2n－1)__。
(4)第一个x内，第二个x内，第三个x内所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝ 1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)　。
1．匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( × )
2．匀变速直线运动的位移是均匀增加的。( × )
3．匀变速直线运动是加速度不变而速度均匀变化的直线运动。( √ )
4．匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动。( √ )
5．匀变速直线运动加速度不变，速度方向也不变。( × )
6．x＝t只适用于匀变速直线运动。( √ )
考点1　匀变速直线运动三个基本关系式的应用
(基础考点·自主探究)
1．恰当选用公式
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量 适宜选用公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－v＝2ax
2．运动公式中符号的规定
一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。若v0＝0，一般以a的方向为正方向。
3．解答运动学问题的基本思路
→→→→
【跟踪训练】
(速度—时间关系式和位移—时间关系式的综合应用)(2024·全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340 m/s，求：
(1)救护车匀速运动时的速度大小；
(2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
(速度—位移关系式和位移—时间关系式的综合应用)2023年9月26日中国首条城市空轨在武汉开通。乘坐“光谷光子号”空轨，可尽情体验“人在空中游，景在窗外动”的科幻感。空轨列车在从综保区站由静止出发后，做匀加速直线运动，此过程中从甲地加速到乙地用时1分钟，甲乙两地相距2.1 km，且经过乙地的速度为180 km/h。对于列车的匀加速直线运动过程，下列说法正确的是(　　)
A．列车的加速度大小为0.75 m/s2
B．列车的加速度大小为1.0 m/s2
C．乙地到综保区站的距离为2.5 km
D．乙地到综保区站的距离为3.5 km
(速度—时间关系式和速度—位移关系式的综合应用)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”。在距离地面1 m处时，反推发动机点火，返回舱速度由6 m/s减至2 m/s软着陆，此阶段的运动可看作匀减速直线运动。则此阶段(　　)
A．航天员处于失重状态
B．航天员的加速度大小为32 m/s2
C．返回舱运动的时间为0.5 s
D．返回舱的平均速度大小为4 m/s
考点2　匀变速直线运动推论的应用
(能力考点·深度研析)
匀变速直线运动推论的选用技巧
考向1　平均速度法的应用
反思提升　　　　
解答计算题应注意以下三个问题
(1)必要的文字说明
指明研究对象、研究过程、所用规律定理，新出现的字母代表含义。
(2)必要的方程
①必须是原型公式，不变形；
②不用连等式，应分步列式，公式较多加编号①②③；
③字母符号规范，与题干中一致。
(3)合理的运算
①联立方程、代入数据得，不用写出具体的运算过程；
②结果为数字时带单位，矢量指明方向，多个解需讨论说明或取舍。
考向2　Δx＝aT2的应用
(2025·福建省福州联考)北京时间2022年11月20日晩上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，x1＝1.05 m，x2＝0.75 m，x3＝0.45 m，x4＝0.15 m，由此可以判定(　　)
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为20 m/s2
C．足球的初速度大小v＝15 m/s
D．整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s
考向3　逆向思维法与比例法的综合应用
反思提升　　　　
不要生搬硬套这些比例关系，要注意应用条件和推导方法：
(1)求第n秒的位移，用前n秒的位移减去前(n－1)秒的位移。
(2)求第nx的时间，用前nx的时间减去前(n－1)x的时间。
【跟踪训练】
(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m，则下列说法正确的是(　　)
A．物体运动的加速度为4 m/s2
B．第2 s内的位移为6 m
C．第2 s末的速度为2 m/s
D．物体在0～5 s内的平均速度为10 m/s
(2024·山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为(　　)
A．(－1)∶(－1)　 B．(－)∶(－1)
C．(＋1)∶(＋1) D．(＋)∶(＋1)
两类典型的匀减速直线运动
考向1　水平刹车与沿粗糙斜面上滑
汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin θ≤μmgcos θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的，即均是匀减速到速度为零，停止运动，加速度a突然消失。
汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停止，已知汽车刹车时第1 s内的位移为13 m，最后1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车在第1 s末的速度大小可能为10 m/s
B．汽车加速度大小可能为3 m/s2
C．汽车在第1 s末的速度大小一定为11 m/s
D．汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
反思提升　　　　
逆向思维分析刹车类问题
(1)求解时要注意确定实际运动时间。
(2)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
(3)汽车在刹车时，有时要考虑司机的反应时间，在反应时间内汽车做匀速运动，然后做匀减速直线运动。
考向2　双向可逆类问题
物体沿光滑斜面上滑时先做匀减速运动再反向做匀加速运动，且加速度的大小和方向均相同。
(多选)在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A．物体运动时间可能为1 s
B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋)s
D．物体此时的速度大小一定为5 m/s
反思提升　　　　 　　
对双向可逆类运动，求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
提能训练　练案[2]
基础巩固练
题组一　匀变速直线运动三个基本公式的应用
1．(2025·八省联考云南卷)司机驾驶汽车以36 km/h的速度在平直道路上匀速行驶。当司机看到标有“学校区域限速20 km/h”的警示牌时，立即开始制动，使汽车做匀减速直线运动，直至减到小于20 km/h的某速度。则该匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小可能是(　　)
A．9.0 s,0.5 m/s2 B．7.0 s,0.6 m/s2
C．6.0 s,0.7 m/s2 D．5.0 s,0.8 m/s2
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时走过的位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它走过的位移是(　　)
A．x B．x
C．2x D．3x
3．褐马鸡是中国特产珍稀鸟类，翅短，不善飞行，两腿粗壮，善于奔跑，某褐马鸡做匀加速直线运动，加速度大小为a，在时间t内速度变为原来的5倍，则它在时间t内的位移为(　　)
A．at2 B．at2
C．at2 D．2at2
题组二　匀变速直线运动推论的应用
4．(多选)(2025·湖北省部分学校联考)如图(a)所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示。已知斜坡是由长为d＝0.6 m的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是(　　)
A．物块在由A运动至E的时间为0.6 s
B．位置A与位置D间的距离为1.30 m
C．物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s
D．物块下滑的加速度大小为1.875 m/s2
5．(2025·重庆高三阶段练习)钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022年北京冬奥会的比赛项目之一。运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行。比赛线路由起跑区、出发区、滑行区及减速区组成。若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动。运动员通过减速区时间为t，其中第一个时间内的位移为x1，第四个时间内的位移为x2，则x2∶x1等于(　　)
A．1∶16 B．1∶7
C．1∶5 D．1∶3
6．(2023·山东卷)如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
7．图中ae为港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续桥梁，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则(　　)
A．汽车通过bc段的时间为t
B．汽车通过b点的速度等于汽车通过ad段的平均速度
C．汽车通过ce段的时间为(2－)t
D．汽车通过c点的速度小于汽车通过ae段的平均速度
题组三　刹车类问题
8．汽车以20 m/s的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内位移与开始刹车后6 s内位移之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶5
C．5∶9 D．3∶4
9．物块沿直线以一定的初速度匀减速滑行2 m后停下，已知物块通过前0.5 m用时为t0，则物块通过最后0.5 m用时(　　)
A．(2＋)t0 B．(2－)t0
C．t0 D．t0
能力提升练
10．(2025·信阳模拟)一物块做匀加速直线运动，依次通过A、B、C、D四个位置，如图所示，已知AB＝2 m，CD＝9 m，且该物块通过AB段、BC段和CD段的时间之比为1∶2∶1，那么BC段的长度为(　　)
A．6 m B．11 m
C．12 m D．16 m
11．(多选)(2025·河北石家庄模拟)如图所示，某飞机着陆时的速度v0＝216 km/h，随后沿直线匀减速滑行到静止。从飞机着陆开始计时，该飞机在倒数第4 s内的位移为7 m，下列说法正确的是(　　)
A．该飞机的加速度大小为2 m/s2
B．该飞机着陆后5 s时的速度大小为40 m/s
C．该飞机在跑道上滑行的时间为30 s
D．该飞机在跑道上滑行的距离为1 800 m
12．如图所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速直线运动，依次经a、b、c、d到达最高点e，已知ab＝bd＝4 m，bc＝1 m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是1 s，以沿斜面向上为正方向，设小球经过b、c时的速度分别为vb、vc，则下列说法错误的是(　　)
A．vb＝2 m/s
B．vc＝4 m/s
C．de＝2 m
D．从d到e所用时间为1 s
13．据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离)至少是25 m，根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因违规使用手机2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。第2讲　匀变速直线运动的规律
匀变速直线运动的公式及推论
1．匀变速直线运动
特别提醒：(1)加速度大小和方向不变的直线运动一定是匀变速直线运动，与速度方向是否发生变化无关。
(2)无论匀加速还是匀减速直线运动，中间位置的速度总是大于中间时刻的速度。
2．初速度为零的匀变速直线运动的四个重要推论
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝_1∶2∶3∶…∶n__。
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝_12∶22∶32∶…∶n2__。
(3)第一个T内，第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝_1∶3∶5∶…∶(2n－1)__。
(4)第一个x内，第二个x内，第三个x内所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝ 1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)　。
1．匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( × )
2．匀变速直线运动的位移是均匀增加的。( × )
3．匀变速直线运动是加速度不变而速度均匀变化的直线运动。( √ )
4．匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动。( √ )
5．匀变速直线运动加速度不变，速度方向也不变。( × )
6．x＝t只适用于匀变速直线运动。( √ )
考点1　匀变速直线运动三个基本关系式的应用
(基础考点·自主探究)
1．恰当选用公式
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量 适宜选用公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－v＝2ax
2．运动公式中符号的规定
一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。若v0＝0，一般以a的方向为正方向。
3．解答运动学问题的基本思路
→→→→
【跟踪训练】
(速度—时间关系式和位移—时间关系式的综合应用)(2024·全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340 m/s，求：
(1)救护车匀速运动时的速度大小；
(2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
[答案]　(1)20 m/s　(2)680 m
[解析]　(1)设救护车匀速运动的速度为v，
根据运动学公式有v＝at1
解得v＝20 m/s。
(2)设t0时刻救护车停止鸣笛，此时救护车的位移为x，匀加速阶段救护车的位移为x1，从开始匀速到停止鸣笛过程救护车的位移为x2，则
x1＝at
x2＝v(t0－t1)
x＝x1＋x2
从停止鸣笛到最后鸣笛声传播到救护车出发处，有
x＝v0(t2－t0)
联立解得x＝680 m。
(速度—位移关系式和位移—时间关系式的综合应用)2023年9月26日中国首条城市空轨在武汉开通。乘坐“光谷光子号”空轨，可尽情体验“人在空中游，景在窗外动”的科幻感。空轨列车在从综保区站由静止出发后，做匀加速直线运动，此过程中从甲地加速到乙地用时1分钟，甲乙两地相距2.1 km，且经过乙地的速度为180 km/h。对于列车的匀加速直线运动过程，下列说法正确的是(　　)
A．列车的加速度大小为0.75 m/s2
B．列车的加速度大小为1.0 m/s2
C．乙地到综保区站的距离为2.5 km
D．乙地到综保区站的距离为3.5 km
[答案]　C
[解析]　设经过乙地时速度为v，则v＝180 km/h＝50 m/s，从甲到乙运动过程由逆向思维知，做匀减速直线运动，加速度大小为a，则x＝vt－at2，解得a＝0.5 m/s2，故A、B错误；从综保区到乙地，由静止开始匀加速v2＝2ax，解得x＝2 500 m，故C正确，D错误。故选C。
(速度—时间关系式和速度—位移关系式的综合应用)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”。在距离地面1 m处时，反推发动机点火，返回舱速度由6 m/s减至2 m/s软着陆，此阶段的运动可看作匀减速直线运动。则此阶段(　　)
A．航天员处于失重状态
B．航天员的加速度大小为32 m/s2
C．返回舱运动的时间为0.5 s
D．返回舱的平均速度大小为4 m/s
[答案]　D
[解析]　由于此阶段的运动可看作匀减速直线运动，则加速度方向向上，可知航天员处于超重状态，故A错误；根据速度与位移的关系有v2－v＝2ax，解得航天员的加速度a＝－16 m/s2，即加速度大小为16 m/s2，故B错误；由速度—时间公式有v＝v0＋at，解得t＝0.25 s，故C错误；此阶段返回舱的平均速度大小为＝＝4 m/s，故D正确。
考点2　匀变速直线运动推论的应用
(能力考点·深度研析)
匀变速直线运动推论的选用技巧
考向1　平均速度法的应用
[答案]　(1)1 m/s2　(2)4
[解析]　(1)根据匀变速直线运动的规律，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知该同学在1、2号锥筒间中间时刻的速度v1＝＝2.25 m/s
在2、3号锥筒间中间时刻的速度
v2＝＝1.8 m/s
故可得加速度大小a＝＝＝1 m/s2。
(2)设该同学到达1号锥筒时的速度为v0，根据匀变速直线运动的规律有v0t1－at＝d
代入数据解得v0＝2.45 m/s
从1号锥筒开始到停止时通过的位移大小
x＝＝3.001 25 m≈3.33d
故该同学最远能经过4号锥筒。
反思提升　　　　
解答计算题应注意以下三个问题
(1)必要的文字说明
指明研究对象、研究过程、所用规律定理，新出现的字母代表含义。
(2)必要的方程
①必须是原型公式，不变形；
②不用连等式，应分步列式，公式较多加编号①②③；
③字母符号规范，与题干中一致。
(3)合理的运算
①联立方程、代入数据得，不用写出具体的运算过程；
②结果为数字时带单位，矢量指明方向，多个解需讨论说明或取舍。
考向2　Δx＝aT2的应用
(2025·福建省福州联考)北京时间2022年11月20日晩上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，x1＝1.05 m，x2＝0.75 m，x3＝0.45 m，x4＝0.15 m，由此可以判定(　　)
A．足球做匀变速直线运动
B．足球的加速度大小为20 m/s2
C．足球的初速度大小v＝15 m/s
D．整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s
[答案]　A
[解析]　连续相等时间内的位移差为x1－x2＝x2－x3＝x3－x4＝0.3 m，所以足球做匀变速直线运动，故A正确；由Δx＝at2，可得足球的加速度大小为a＝＝ m/s2＝30 m/s2，故B错误；图中第二个球的速度v2＝＝ m/s＝9 m/s，则球的初速度v1＝v2＋at＝9 m/s＋30×0.1 m/s＝12 m/s，故C错误；整个过程中足球的平均速度大小为＝＝ m/s＝6 m/s，故D错误。故选A。
考向3　逆向思维法与比例法的综合应用
[答案]　BC
[解析]　利用逆向思维，子弹的运动可看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)，若三块木块的长度相等，则依次穿过三块木块的时间之比应为(－)∶(－1)∶1，故A错误；若三块木块的长度相等，设木块的长度为L，穿出第二块木块时的速度为v，穿出木块C时减速到0，故有v2＝2aL，v＝2a×3L，故可得v＝v0，故B正确；同理运用逆向思维，子弹做初速度为0的匀加速直线运动时，在连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5，反过来则是5∶3∶1，故C正确；若穿过三块木块所用时间相等，设穿过一块木块所用时间为t，则v0＝3at，穿出第二块木块时速度v＝at，可得v＝，故D错误。
反思提升　　　　
不要生搬硬套这些比例关系，要注意应用条件和推导方法：
(1)求第n秒的位移，用前n秒的位移减去前(n－1)秒的位移。
(2)求第nx的时间，用前nx的时间减去前(n－1)x的时间。
【跟踪训练】
(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m，则下列说法正确的是(　　)
A．物体运动的加速度为4 m/s2
B．第2 s内的位移为6 m
C．第2 s末的速度为2 m/s
D．物体在0～5 s内的平均速度为10 m/s
[答案]　ABD
[解析]　根据逐差公式xⅣ－xⅡ＝2aT2，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A正确；第2 s内的位移为x2－x1＝at－at＝×4×(22－12)m＝6 m，故B正确；第2 s末速度为v＝at2＝4×2 m/s＝8 m/s，故C错误；物体在0～5 s内的平均速度＝＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。
(2024·山东卷)如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2∶Δt1为(　　)
A．(－1)∶(－1)　 B．(－)∶(－1)
C．(＋1)∶(＋1) D．(＋)∶(＋1)
[答案]　A
[解析]　逆向考虑，可认为木板静止不动，质点A向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据x＝at2可得通过连续相等的位移L所用时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶(－1)∶(－)，如图所示，
则由题意可知，Δt1＝t2，Δt2＝t2＋t3，则Δt2∶Δt1＝(－1)∶(－1)，A正确，B、C、D错误。
两类典型的匀减速直线运动
考向1　水平刹车与沿粗糙斜面上滑
汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin θ≤μmgcos θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的，即均是匀减速到速度为零，停止运动，加速度a突然消失。
汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停止，已知汽车刹车时第1 s内的位移为13 m，最后1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车在第1 s末的速度大小可能为10 m/s
B．汽车加速度大小可能为3 m/s2
C．汽车在第1 s末的速度大小一定为11 m/s
D．汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
[答案]　C
[解析]　采用逆向思维法，由于最后1 s内的位移为2 m，根据x2＝at得，汽车加速度大小a＝＝4 m/s2，第1 s内的位移为13 m，根据x1＝v0t1－at，代入数据解得初速度v0＝15 m/s，则汽车在第1 s末的速度大小v1＝v0－at1＝15 m/s－4×1 m/s＝11 m/s，故C正确，A、B、D错误。
反思提升　　　　
逆向思维分析刹车类问题
(1)求解时要注意确定实际运动时间。
(2)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
(3)汽车在刹车时，有时要考虑司机的反应时间，在反应时间内汽车做匀速运动，然后做匀减速直线运动。
[答案]　AD
[解析]　小木块恰好匀速下滑时，mgsin 30°＝μmgcos 30°，可得μ＝，A正确；小木块沿木板上滑过程中，由牛顿第二定律可得mgsin 30°＋μmgcos 30°＝ma，可得小木块上滑过程中匀减速运动的加速度大小a＝10 m/s2，故小木块上滑的时间t上＝＝1 s，小木块速度减为零时，有mgsin 30°＝μmgcos 30°，故小木块将静止在最高点，D正确，B、C错误。
考向2　双向可逆类问题
物体沿光滑斜面上滑时先做匀减速运动再反向做匀加速运动，且加速度的大小和方向均相同。
(多选)在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A．物体运动时间可能为1 s
B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋)s
D．物体此时的速度大小一定为5 m/s
[答案]　ABC
[解析]　以沿斜面向上为正方向，则a＝－5 m/s2，当物体的位移为沿斜面向上7.5 m时，x＝7.5 m，由运动学公式x＝v0t＋at2，解得t1＝3 s或t2＝1 s，故A、B正确；当物体的位移为沿斜面向下7.5 m时，x＝－7.5 m，由x＝v0t＋at2，解得t3＝(2＋)s或t4＝(2－)s(舍去)，故C正确；由速度时间公式v＝v0＋at，解得v1＝－5 m/s、v2＝5 m/s、v3＝－5 m/s，故D错误。
反思提升　　　　 　　
对双向可逆类运动，求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
提能训练　练案[2]
基础巩固练
题组一　匀变速直线运动三个基本公式的应用
1．(2025·八省联考云南卷)司机驾驶汽车以36 km/h的速度在平直道路上匀速行驶。当司机看到标有“学校区域限速20 km/h”的警示牌时，立即开始制动，使汽车做匀减速直线运动，直至减到小于20 km/h的某速度。则该匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小可能是(　　)
A．9.0 s,0.5 m/s2 B．7.0 s,0.6 m/s2
C．6.0 s,0.7 m/s2 D．5.0 s,0.8 m/s2
[答案]　A
[解析]　汽车制动做匀减速直线运动过程中的初速度v0为36 km/h＝10 m/s，末速度v不大于限速为20 km/h≈5.56 m/s，该过程汽车速度的变化量为Δv＝v－v0≤－4.44 m/s，根据匀变速运动速度关系Δv＝at，可知匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小的乘积不小于4.44 m/s，故A正确，B、C、D错误。故选A。
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时走过的位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它走过的位移是(　　)
A．x B．x
C．2x D．3x
[答案]　B
[解析]　由2ax＝v2－v，可得＝＝，则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它走过的位移是x1＝x，故选B。
3．褐马鸡是中国特产珍稀鸟类，翅短，不善飞行，两腿粗壮，善于奔跑，某褐马鸡做匀加速直线运动，加速度大小为a，在时间t内速度变为原来的5倍，则它在时间t内的位移为(　　)
A．at2 B．at2
C．at2 D．2at2
[答案]　C
[解析]　设褐马鸡的初速度为v0，则t时刻的速度为5v0，根据位移时间公式得：x＝v0t＋at2　①，又因为t＝＝，则有：v0＝　②，联立①②可得x＝at2，C项正确。
题组二　匀变速直线运动推论的应用
4．(多选)(2025·湖北省部分学校联考)如图(a)所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示。已知斜坡是由长为d＝0.6 m的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是(　　)
A．物块在由A运动至E的时间为0.6 s
B．位置A与位置D间的距离为1.30 m
C．物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s
D．物块下滑的加速度大小为1.875 m/s2
[答案]　CD
[解析]　由图(b)中各个位置对应时刻可知，相邻位置的时间间隔T＝0.40 s，故AE段的时间间隔为1.6 s，选项A错误；而AC段与CE段的时间间隔为2T＝0.80 s，xCE－xAC＝3d－d＝2d，又xCE－xAC＝a(2T)2，解得a＝1.875 m/s2，选项D正确；物块在位置D时速度vD＝＝2.25 m/s，选项C正确；由vD＝vA＋a(3T)得物块在A位置速度vA＝0，则位置A、D间距离为xAD＝＝1.35 m，选项B错误。故选CD。
5．(2025·重庆高三阶段练习)钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022年北京冬奥会的比赛项目之一。运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行。比赛线路由起跑区、出发区、滑行区及减速区组成。若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动。运动员通过减速区时间为t，其中第一个时间内的位移为x1，第四个时间内的位移为x2，则x2∶x1等于(　　)
A．1∶16 B．1∶7
C．1∶5 D．1∶3
[答案]　B
[解析]　由题意知，在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动，且最终减为零，将此减速过程由逆向思维，可看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据初速度为零的匀加速直线运动，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶…可知，x2∶x1之比即为初速度为零的匀加速直线中第一个时间内的位移与第四个时间内的位移之比，即x2∶x1＝1∶7。故选B。
6．(2023·山东卷)如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
[答案]　C
[解析]　由题知，电动公交车做匀减速直线运动，且设RS间的距离为x，则根据题意有RS＝＝，ST＝＝，联立解得t2＝4t1，vT＝vR－10 m/s，再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有vT＝vR－a·5t1，则at1＝2 m/s，其中还有v＝vR－a·，解得vR＝11 m/s，联立解得vT＝1 m/s，故选C。
7．图中ae为港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续桥梁，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则(　　)
A．汽车通过bc段的时间为t
B．汽车通过b点的速度等于汽车通过ad段的平均速度
C．汽车通过ce段的时间为(2－)t
D．汽车通过c点的速度小于汽车通过ae段的平均速度
[答案]　C
[解析]　根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系，可知汽车通过ab、bc、cd、de段所用的时间之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，可得通过bc段的时间为(－1)t，故A错误；汽车通过ae段的时间为2t，b点为ae段的中间时刻，故通过b点的速度等于ae段的平均速度，故B错误；汽车通过cd段的时间为(－)t，通过de段的时间为(2－)t，通过ce段的时间为(2－)t，故C正确；匀变速直线运动中点位置的速度大于此阶段的平均速度，故D错误。
题组三　刹车类问题
8．汽车以20 m/s的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内位移与开始刹车后6 s内位移之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶5
C．5∶9 D．3∶4
[答案]　D
[解析]　汽车从开始刹车到停止的时间t0＝＝4 s，则汽车刹车后2 s的位移为x1＝v0t1－at＝30 m，汽车刹车后6 s内位移等于4 s内位移为x2＝＝40 m，得＝，故D项正确，A、B、C三项错误。故选D项。
9．物块沿直线以一定的初速度匀减速滑行2 m后停下，已知物块通过前0.5 m用时为t0，则物块通过最后0.5 m用时(　　)
A．(2＋)t0 B．(2－)t0
C．t0 D．t0
[答案]　A
[解析]　本题可以把位移分为4份，每份为0.5 m，根据逆向思维，用初速度为零的匀变速直线运动的结论t∶t0＝1∶(2－)，可直接解得t＝(2＋)t0，A正确。
能力提升练
10．(2025·信阳模拟)一物块做匀加速直线运动，依次通过A、B、C、D四个位置，如图所示，已知AB＝2 m，CD＝9 m，且该物块通过AB段、BC段和CD段的时间之比为1∶2∶1，那么BC段的长度为(　　)
A．6 m B．11 m
C．12 m D．16 m
[答案]　B
[解析]　物块经过AB和CD段的时间相等，设为T，经过BC段的时间为2T，则
a＝＝
设BC中间时刻为E点，则
xBE－xAB＝xCD－xEC＝aT2
解得xBE＝ m，xEC＝ m
则xBC＝11 m，故选B。
11．(多选)(2025·河北石家庄模拟)如图所示，某飞机着陆时的速度v0＝216 km/h，随后沿直线匀减速滑行到静止。从飞机着陆开始计时，该飞机在倒数第4 s内的位移为7 m，下列说法正确的是(　　)
A．该飞机的加速度大小为2 m/s2
B．该飞机着陆后5 s时的速度大小为40 m/s
C．该飞机在跑道上滑行的时间为30 s
D．该飞机在跑道上滑行的距离为1 800 m
[答案]　AC
[解析]　飞机着陆后的匀减速运动的逆过程为初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，则在t1＝3 s内的位移为x1＝at，在t2＝4 s内的位移为x2＝at，根据题意有x2－x1＝7 m，联立解得加速度大小为a＝2 m/s2，A正确；该飞机着陆后5 s时的速度大小为v5＝v0－at＝ m/s－2×5 m/s＝50 m/s，B错误；该飞机在跑道上滑行的时间为t＝＝ s＝30 s，C正确；该飞机在跑道上滑行的距离为x＝t＝×30 m＝900 m，D错误。
12．如图所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速直线运动，依次经a、b、c、d到达最高点e，已知ab＝bd＝4 m，bc＝1 m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是1 s，以沿斜面向上为正方向，设小球经过b、c时的速度分别为vb、vc，则下列说法错误的是(　　)
A．vb＝2 m/s
B．vc＝4 m/s
C．de＝2 m
D．从d到e所用时间为1 s
[答案]　C
[解析]　由题意知ac＝5 m，cd＝3 m，以沿斜面向上为正方向，根据Δx＝at2得加速度a＝ m/s2＝－2 m/s2，vc＝＝ m/s＝4 m/s，根据v－v＝2axbc，代入数据解得vb＝2 m/s，故A、B正确；c、e的距离xce＝＝ m＝4 m，则d、e间的距离xde＝xce－xcd＝4 m－3 m＝1 m，故C错误；xde＝(－a)t′2，解得t′＝1 s，即小球从d到e所用时间为1 s，故D正确。
13．据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离)至少是25 m，根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因违规使用手机2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。
[答案]　(1)25 m/s　12.5 m/s2　(2)会发生交通事故
[解析]　(1)由题意可知，汽车运动的速度为
v1＝＝ m/s＝25 m/s
设汽车刹车的最大加速度为a，则
a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2。
(2)由于v2＝108 km/h＝30 m/s
司机看手机时，汽车发生的位移为
x1＝v2t＝30×2 m＝60 m
反应时间内汽车发生的位移为
x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m
刹车后汽车发生的位移为x3＝＝ m＝36 m
所以汽车前进的距离为
x＝x1＋x2＋x3＝60 m＋15 m＋36 m＝111 m>100 m
所以会发生交通事故。第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
1．自由落体运动
(1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。
(2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。
(3)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝_gt__。
②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。
③速度与位移的关系式：v2＝_2gh__。
(4)伽利略对自由落体运动的研究
①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。
2．竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。
②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。
③速度与位移的关系式：v2－v＝_－2gh__。
④上升的最大高度：H＝ 　。
⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。
思考：物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
提示：速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
1．物体从高处下落就是自由落体运动。( × )
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。( √ )
3．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。( √ )
4．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。( √ )
5．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。( × )
6．竖直上抛运动是匀变速直线运动。( √ )
7．竖直上抛运动的上升时间和下落时间均为。( × )
8．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。( √ )
考点1　自由落体运动
(能力考点·深度研析)
1．匀变速直线运动的所有规律均可运用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
考向1　多物体自由下落问题
(2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
考向2　杆、链的自由落体运动
(2025·大庆模拟)如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2。
考点2　竖直上抛运动
(能力考点·深度研析)
1．竖直上抛运动的两种研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。
3．竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则：
(1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。
(2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
考向1　竖直上抛运动的两种研究方法
(2025·孝感高三调研)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)
(1)运动员起跳时的速度大小v0；
(2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。
考向2　竖直上抛运动的对称性
(2025·内蒙古呼和浩特市高三联考)2024年7月29日，2024CBA夏季联赛揭开大幕。比赛中，段昂君帮助球队以93∶86成功战胜对手。某轮比赛中段昂君竖直跳起将篮球扣入篮筐中，他在竖直上升过程中前一半位移用来完成技术动作，后一半位移用来姿态调整，到达最高点后刚好手臂举起将球扣入篮筐。已知段昂君站立举手能达到的高度为2.55 m，起跳后只受重力，篮球筐距地面高度为3.05 m，重力加速度g取10 m/s2，篮球可视为质点，则他用于完成技术动作的时间为(　　)
A． s B． s
C．1.0 s D． s
考向3　竖直上抛运动的多解性
考点3　多阶段匀变速运动问题
(能力考点·深度研析)
某高速公路收费站出入口安装了电子不停车收费系统(ETC)。甲、乙两辆汽车分别通过人工收费通道和ETC通道驶离高速公路，流程如图。假设减速带离收费岛口距离x＝60 m，收费岛总长度d＝40 m，两辆汽车同时以相同的速度v1＝72 km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t0＝20 s的时间缴费成功，同时人工栏杆打开放行；乙车减速至v0＝18 km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行。已知两车在栏杆打开放行时立即做匀加速直线运动，且加速和减速过程中的加速度大小相等。求：
(1)甲车从开始减速到离开收费岛共用多长时间；
(2)乙车比甲车早离开收费岛多长时间。
【跟踪训练】
某运动员(视为质点)在一次练习跳水时，从离水面h1＝4.05 m的高处自由落下，落入水中做匀减速直线运动，到离水面h2＝2.7 m的水深处速度恰好为0，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计运动员在空中受到的阻力，求：
(1)运动员落到水面时的速度大小；
(2)运动员在水中减速运动的加速度大小和时间。
自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题
1．同时运动，相遇时间的确定
gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。
2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定
(1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。
(2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有如图所示，A、B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距x＝40 m。若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20 m/s，g取10 m/s2，则A、B相遇时A的速度大小为(　　)
A．4.0 m/s B．10 m/s
C．30 m/s D．20 m/s
提能训练　练案[3]
基础巩固练
题组一　自由落体运动
1．(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
2．2024年12月，我国运动员全红婵获得国际泳联多哈世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，全红婵在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．1.0 s D．1.4 s
3．宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5 s内的位移是18 m，则(　　)
A．物体在2 s末的速度是20 m/s
B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C．物体自由下落的加速度是5 m/s2
D．物体在前5 s内的位移是50 m
题组二　竖直上抛运动
4．(多选)用热气球提升物体，当热气球升到离地面43.75 m高处时，从热气球上自由脱落一物体，物体又竖直上升了1.25 m后才开始下落，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　)
A．物体从离开热气球到落到地面的路程是46.25 m
B．物体脱落时气球速度大小为2.5 m/s
C．物体落地前最后1 s的位移大小为25 m
D．物体脱落后经3 s落回地面
5. (2025·湖南长郡中学高三检测)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，常用“对称自由下落法”测重力加速度g的值。如图所示，在某地将足够长真空长直管沿竖直放置，自直管下端竖直上抛一小球，测得小球两次经过a点的时间间隔为Ta，两次经过b点的时间间隔为Tb，又测得a、b两点间距离为h，则当地重力加速度g的值为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·贵州省毕节市月考)在东京奥运会女子蹦床决赛中，中国选手朱雪莹夺得冠军。如图所示，某次比赛中，朱雪莹双脚离开蹦床后竖直向上运动，把上升过程分为等距的三段，朱雪莹从下至上运动过程中，依次经历三段的时间记为t1、t2、t3。则t1∶t2∶t3最接近(　　)
A．3∶6∶10 B．3∶4∶10
C．3∶6∶20 D．3∶4∶20
题组三　多过程问题
7．如图所示，高山滑雪运动员在斜坡上由静止开始匀加速滑行距离x1，又在水平面上匀减速滑行距离x2后停下，测得x2＝2x1，运动员经过两平面交接处速率不变，则运动员在斜坡上滑行的加速度a1与在水平面上滑行的加速度a2的大小关系为(　　)
A．a1＝a2 B．a1＝4a2
C．2a1＝a2 D．a1＝2a2
8．(2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA．＋ B．＋
C．＋ D．＋
9．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　)
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m
[题图剖析]　
能力提升练
10．某竖直向上喷射的人工喷泉喷水的最大高度为H，忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．喷泉喷出的水在空中运动时间为
B．水刚喷出时的速度大小为
C．若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Q
D．若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为
11. (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)。下列说法正确的是(　　)
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
12．(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
13．(2025·山东菏泽高三联考)杭州亚运会田径铁饼赛场上，首次在体育赛事中使用机械狗来运输铁饼。某次掷出铁饼后，机械狗需要跑到49.5 m外的工作人员处，把铁饼运回。机械狗可视为经历了匀加速直线运动、匀速直线运动和匀减速直线运动三个过程。其中在匀加速过程中运动了7.5 m，匀速运动的时间为11 s，匀减速过程中的加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)机械狗的最大速度；
(2)机械狗加速过程中的加速度大小和加速时间；
(3)整个过程中机械狗的平均速度大小。第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
1．自由落体运动
(1)定义：物体只在_重力__作用下从_静止__开始下落的运动。
(2)运动性质：初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的_匀加速直线__运动。
(3)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝_gt__。
②位移与时间的关系式：h＝ gt2　。
③速度与位移的关系式：v2＝_2gh__。
(4)伽利略对自由落体运动的研究
①伽利略通过_逻辑推理__的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和_逻辑推理__(包括数学演算)和谐地结合起来。
2．竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做_自由落体__运动。
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝_v0－gt__。
②位移与时间的关系式：h＝ v0t－gt2　。
③速度与位移的关系式：v2－v＝_－2gh__。
④上升的最大高度：H＝ 　。
⑤上升到最高点所用时间：t＝ 　。
思考：物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
提示：速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
1．物体从高处下落就是自由落体运动。( × )
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。( √ )
3．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。( √ )
4．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。( √ )
5．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值。( × )
6．竖直上抛运动是匀变速直线运动。( √ )
7．竖直上抛运动的上升时间和下落时间均为。( × )
8．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的。( √ )
考点1　自由落体运动
(能力考点·深度研析)
1．匀变速直线运动的所有规律均可运用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
考向1　多物体自由下落问题
(2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
[答案]　B
[解析]　由题图可知hAB∶hBC∶hCD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，故水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由＝知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。
反思提升　　　　 　　
研究多物体在空间上重复同样的运动时，可利用一个物体的运动取代多物体的运动，照片中的多个物体认为是一个物体在不同时刻所处的位置，如水龙头滴水、直升机定点空降、小球在斜面上每隔一定时间间隔连续释放等，均可把多物体问题转化为单物体问题求解。
考向2　杆、链的自由落体运动
(2025·大庆模拟)如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2。
[思维点拨]　
[答案]　(1)(2－)s　(2)(－)s
[解析]　(1)木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A
h下A＝gt
h下A＝20 m－5 m＝15 m
解得t下A＝ s
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A
h上A＝gt
解得t上A＝2 s
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－)s。
(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B
h上B＝gt上B2
h上B＝20 m＋5 m＝25 m
解得t上B＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间
t2＝t上B－t下A＝(－)s。
考点2　竖直上抛运动
(能力考点·深度研析)
1．竖直上抛运动的两种研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向)； 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落； 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2．竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。
3．竖直上抛运动的对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，则：
(1)时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tBC＝tCB。
(2)速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
考向1　竖直上抛运动的两种研究方法
(2025·孝感高三调研)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)
(1)运动员起跳时的速度大小v0；
(2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。
[答案]　(1)3 m/s　(2) s
[解析]　(1)上升阶段有0－v＝－2gh，代入数据解得v0＝3 m/s。
(2)解法一：分段法
上升阶段有：0＝v0－gt1
代入数据解得：t1＝0.3 s
自由落体运动过程有：H＝gt
其中H＝10 m＋0.45 m＝10.45 m
解得t2＝ s
所以从离开跳台到手接触水面所经历的时间t＝t1＋t2＝0.3 s＋ s＝ s。
解法二：全程法
取竖直向上为正方向，初速度v0＝3 m/s，位移为x＝－10 m，由匀变速直线运动位移与时间的关系得x＝v0t－gt2，解得t＝ s，另一解为负值，舍去。
考向2　竖直上抛运动的对称性
(2025·内蒙古呼和浩特市高三联考)2024年7月29日，2024CBA夏季联赛揭开大幕。比赛中，段昂君帮助球队以93∶86成功战胜对手。某轮比赛中段昂君竖直跳起将篮球扣入篮筐中，他在竖直上升过程中前一半位移用来完成技术动作，后一半位移用来姿态调整，到达最高点后刚好手臂举起将球扣入篮筐。已知段昂君站立举手能达到的高度为2.55 m，起跳后只受重力，篮球筐距地面高度为3.05 m，重力加速度g取10 m/s2，篮球可视为质点，则他用于完成技术动作的时间为(　　)
A． s B． s
C．1.0 s D． s
[答案]　D
[解析]　段昂君上升的高度为h＝3.05 m－2.55 m＝0.5 m，由逆向思维可知，上升过程的总时间为t＝＝ s，上升过程中后半段位移的时间t2＝＝ s，则上升过程前半段位移他用于完成技术动作的时间为t1＝t－t2＝ s，故选D。
考向3　竖直上抛运动的多解性
[答案]　AC
[解析]　取竖直向上为正方向，若此时物体的速度方向竖直向上，v＝10 m/s，由竖直上抛运动公式v＝v0－gt，物体的初速度v0＝v＋gt＝40 m/s，物体的位移h1＝(v0＋v)＝75 m，物体在A点的上方，C正确，D错误；若此时物体的速度方向竖直向下，v＝－10 m/s，物体的初速度v0′＝v＋gt＝20 m/s，物体的位移h2＝(v0′＋v)＝15 m，物体在A点的上方，A正确，B错误。
考点3　多阶段匀变速运动问题
(能力考点·深度研析)
某高速公路收费站出入口安装了电子不停车收费系统(ETC)。甲、乙两辆汽车分别通过人工收费通道和ETC通道驶离高速公路，流程如图。假设减速带离收费岛口距离x＝60 m，收费岛总长度d＝40 m，两辆汽车同时以相同的速度v1＝72 km/h经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t0＝20 s的时间缴费成功，同时人工栏杆打开放行；乙车减速至v0＝18 km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行。已知两车在栏杆打开放行时立即做匀加速直线运动，且加速和减速过程中的加速度大小相等。求：
(1)甲车从开始减速到离开收费岛共用多长时间；
(2)乙车比甲车早离开收费岛多长时间。
[答案]　(1)32 s　(2)(27－2)s
[规范答题]　(1)由题意知v1＝72 km/h＝20 m/s，v0＝18 km/h＝5 m/s，设甲车从开始减速到收费岛中心线收费窗口停下用时t1，加速度大小为a。
要指明研究对象和研究过程并设出下面公式中出现字母的含义哟！
根据运动学公式有
v＝2a①
要用字母写出选用的原始公式哟！不能写成v1＝，也不能写成v＝2a(60＋20)
v1＝at1②
设甲车从收费岛中心线到离开收费岛用时t2，由运动学公式有
要有必要的文字说明哟！
＝at③
公式要另起一行书写，这样容易得分哟！
则甲车从开始减速到离开收费岛所用时间为
t甲＝t0＋t1＋t2④
代入数据解得a＝2.5 m/s2，t甲＝32 s。
不用写出具体的运算过程，只写出最后结果即可
(2)设乙车减速到v0所用时间为t3，由运动学公式有v1－v0＝at3⑤
乙车减速过程运动的距离为x1＝t3⑥
设乙车从匀速运动到栏杆打开所用时间为t4，由运动学公式可得v0t4＝x＋－x1⑦
设乙车从栏杆打开到离开收费岛所用时间为t5，
由运动学公式可得＝v0t5＋at⑧
则乙车从开始减速到离开收费岛所用时间为t乙＝t3＋t4＋t5⑨
乙车比甲车早离开收费岛的时间为
Δt＝t甲－t乙⑩
联立④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式，
代入数据解得Δt＝(27－2)s。
计算结果为数字时要写明单位！
【跟踪训练】
某运动员(视为质点)在一次练习跳水时，从离水面h1＝4.05 m的高处自由落下，落入水中做匀减速直线运动，到离水面h2＝2.7 m的水深处速度恰好为0，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计运动员在空中受到的阻力，求：
(1)运动员落到水面时的速度大小；
(2)运动员在水中减速运动的加速度大小和时间。
[答案]　(1)9 m/s　(2)15 m/s2　0.6 s
[解析]　(1)运动员在空中做自由落体运动，有h1＝gt
v＝gt1
解得t1＝0.9 s
v＝9 m/s。
(2)取竖直向下为正方向，运动员在水中做匀减速直线运动，有2ah2＝0－v2
解得a＝－15 m/s2
即运动员在水中的加速度大小为15 m/s2，根据匀变速直线运动规律有0＝v＋at2
解得t2＝0.6 s。
自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题
1．同时运动，相遇时间的确定
gt2＋v0t－gt2＝H，解得t＝，或a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动H＝v0t，t＝。
2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定
(1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。
(2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有如图所示，A、B两棒的长度相同，A的下端和B的上端相距x＝40 m。若A、B同时运动，A做自由落体运动，B做竖直上抛运动且初速度v0＝20 m/s，g取10 m/s2，则A、B相遇时A的速度大小为(　　)
A．4.0 m/s B．10 m/s
C．30 m/s D．20 m/s
[答案]　D
[解析]　若A、B同时运动，两者的加速度相同，以物体A为参考系，则物体B相对A的运动为匀速直线运动，相对速度大小为v相＝v0＝20 m/s，则A、B相遇的时间为t＝＝＝2 s，此时A的对地速度为vA＝gt＝20 m/s，故D正确。
提能训练　练案[3]
基础巩固练
题组一　自由落体运动
1．(2024·广西卷)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
[答案]　B
[解析]　重物所受空气阻力可忽略，重物自由下落后均做自由落体运动，加速度与其质量无关，则P1、P2下落1 s后的速度v1＝v2＝gt＝10 m/s2×1 s＝10 m/s，故B正确，A、C、D错误。
2．2024年12月，我国运动员全红婵获得国际泳联多哈世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，全红婵在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．1.0 s D．1.4 s
[答案]　B
[解析]　全红婵下落的整个过程所用的时间为t＝＝ s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1＝＝ s＝1 s，则全红婵用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，B正确，A、C、D错误。
3．宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5 s内的位移是18 m，则(　　)
A．物体在2 s末的速度是20 m/s
B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C．物体自由下落的加速度是5 m/s2
D．物体在前5 s内的位移是50 m
[答案]　D
[解析]　根据运动学公式Δx＝at－at＝18 m，代入t2＝5 s，t1＝4 s，解得a＝4 m/s2，选项C错误；物体在2 s末的速度为v2＝4×2 m/s＝8 m/s，选项A错误；物体在5 s内的位移为x5＝×4×52 m＝50 m，选项D正确；物体在第5 s内的位移为18 m，故物体在第5 s内的平均速度为18 m/s，选项B错误。
题组二　竖直上抛运动
4．(多选)用热气球提升物体，当热气球升到离地面43.75 m高处时，从热气球上自由脱落一物体，物体又竖直上升了1.25 m后才开始下落，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　)
A．物体从离开热气球到落到地面的路程是46.25 m
B．物体脱落时气球速度大小为2.5 m/s
C．物体落地前最后1 s的位移大小为25 m
D．物体脱落后经3 s落回地面
[答案]　AC
[解析]　物体从离开热气球到落到地面的路程为s＝1.25 m＋43.75 m＋1.25 m＝46.25 m，A正确；由于物体从离开热气球后向上做匀减速直线运动，并运动了1.25 m，根据匀变速直线运动的公式有0－v＝－2gh1，代入数据得v0＝5 m/s，B错误；物体从离开热气球后先向上做匀减速直线运动有0＝v0－gt1，解得t1＝0.5 s，后做自由落体运动直至落地有h＝gt，h＝1.25 m＋43.75 m，解得t2＝3 s，t总＝t1＋t2＝3.5 s，则物体脱落后经3.5 s落地，D错误；物体落地的速度为v＝gt2＝30 m/s，根据逆向思维法有x＝vt－gt2，t＝1 s，解得x＝25 m，C正确。
5. (2025·湖南长郡中学高三检测)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，常用“对称自由下落法”测重力加速度g的值。如图所示，在某地将足够长真空长直管沿竖直放置，自直管下端竖直上抛一小球，测得小球两次经过a点的时间间隔为Ta，两次经过b点的时间间隔为Tb，又测得a、b两点间距离为h，则当地重力加速度g的值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　小球从a点上升到最大高度过程中，有ha＝g2，小球从b点上升到最大高度过程中，有hb＝g2，依据题意ha－hb＝h，联立解得g＝，B正确。
6．(2025·贵州省毕节市月考)在东京奥运会女子蹦床决赛中，中国选手朱雪莹夺得冠军。如图所示，某次比赛中，朱雪莹双脚离开蹦床后竖直向上运动，把上升过程分为等距的三段，朱雪莹从下至上运动过程中，依次经历三段的时间记为t1、t2、t3。则t1∶t2∶t3最接近(　　)
A．3∶6∶10 B．3∶4∶10
C．3∶6∶20 D．3∶4∶20
[答案]　B
[解析]　根据逆向思维，将向上的运动看为向下的初速度为0的匀加速直线运动，则有h＝gt，2h＝g(t2＋t3)2,3h＝g(t1＋t2＋t3)2，解得t3＝，t2＝－，t1＝－，则有t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1≈(1.732－1.414)∶(1.414－1)∶1≈3∶4∶10，可知该比值最接近3∶4∶10。故选B。
题组三　多过程问题
7．如图所示，高山滑雪运动员在斜坡上由静止开始匀加速滑行距离x1，又在水平面上匀减速滑行距离x2后停下，测得x2＝2x1，运动员经过两平面交接处速率不变，则运动员在斜坡上滑行的加速度a1与在水平面上滑行的加速度a2的大小关系为(　　)
A．a1＝a2 B．a1＝4a2
C．2a1＝a2 D．a1＝2a2
[答案]　D
[解析]　设运动员下滑到坡底的速度为v，则在斜坡上有x1＝，在水平面上有x2＝，因x2＝2x1，联立解得a1＝2a2，故选D。
8．(2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v(vA．＋ B．＋
C．＋ D．＋
[答案]　C
[解析]　当列车恰好以速度v匀速通过隧道时，从减速开始至回到原来正常行驶速度所用时间最短，列车减速过程所用时间t1＝，匀速通过隧道所用时间t2＝，列车加速到原来速度v0所用时间t3＝，所以列车从减速开始至回到正常行驶速率所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝＋，C项正确。
9．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　)
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m
[题图剖析]　
[答案]　D
[解析]　v0＝21.6 km/h＝6 m/s，由题意可知，汽车在前1 s内做匀速直线运动，位移为x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7)m＝6 m，随后汽车做匀减速运动直到停下来，位移为x2＝＝ m＝3.6 m，汽车刚好没有撞杆，则汽车恰好停在杆前，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝(6＋3.6)m＝9.6 m，D正确。
能力提升练
10．某竖直向上喷射的人工喷泉喷水的最大高度为H，忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)
A．喷泉喷出的水在空中运动时间为
B．水刚喷出时的速度大小为
C．若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Q
D．若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为
[答案]　D
[解析]　喷泉中水珠的运动视为竖直上抛运动，由H＝gt2，可得t＝，水珠在空中运动的时间为t总＝2t＝2，故A错误；水刚喷出时的速度大小满足v2＝2gH，解得v＝，故B错误；若喷嘴单位时间喷出水的体积为Q，则空中水的体积为Qt总＝2Q，故C错误；若空中水的体积为V，则喷嘴单位时间内喷出水的体积为＝，故D正确。
11. (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力(取g＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点)。下列说法正确的是(　　)
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
[答案]　BCD
[解析]　设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋v0t－gt2＝h，可得t＝，而乙球的落地时间t1＝，两球在空中相遇的条件是t12．(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
[答案]　BC
[解析]　b球下落高度为20 m时，t1＝＝ s＝2 s，则a球下落了3 s，a球的速度大小为v＝30 m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝ s＝5 s，a球落地瞬间b球下落了4 s，b球的下落高度为h′＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为h″＝(125－80)m＝45 m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1 s)＝10 m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。
13．(2025·山东菏泽高三联考)杭州亚运会田径铁饼赛场上，首次在体育赛事中使用机械狗来运输铁饼。某次掷出铁饼后，机械狗需要跑到49.5 m外的工作人员处，把铁饼运回。机械狗可视为经历了匀加速直线运动、匀速直线运动和匀减速直线运动三个过程。其中在匀加速过程中运动了7.5 m，匀速运动的时间为11 s，匀减速过程中的加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)机械狗的最大速度；
(2)机械狗加速过程中的加速度大小和加速时间；
(3)整个过程中机械狗的平均速度大小。
[答案]　(1)3 m/s　(2)0.6 m/s2　5 s　(3)2.25 m/s
[解析]　(1)已知x1＝7.5 m，匀速运动的距离为x2＝vt2
匀减速运动的距离为x3＝
总位移为x＝x1＋x2＋x3
解得v＝3 m/s。
(2)根据速度—位移关系可知加速的位移x1＝
解得a1＝0.6 m/s2
匀加速阶段v＝a1t1
解得t1＝5 s。
(3)由题可知匀速阶段t2＝11 s，匀减速阶段v＝a3t3
总时间t＝t1＋t2＋t3
平均速度为＝
解得＝2.25 m/s。第4讲　运动图像
一、直线运动的x－t图像
1．意义：反映了直线运动的物体_位置__随_时间__变化的规律。
2．图线上某点切线的斜率的意义
(1)斜率大小：表示物体速度的_大小__。
(2)斜率的正负：表示物体速度的_方向__。
3．两种特殊的x－t图像
(1)若x－t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于_静止__状态。(如图中甲所示)
(2)若x－t图像是一条倾斜的直线，说明物体在做_匀速直线__运动。(如图中乙所示)
4．位移的计算Δx＝x2－x1。
二、直线运动的v－t图像
1．意义：反映了直线运动的物体_速度__随_时间__变化的规律。
2．图线上某点切线的斜率的意义
(1)斜率的大小：表示物体_加速度__的大小。
(2)斜率的正负：表示物体_加速度__的方向。
3．两种特殊的v－t图像
(1)匀速直线运动的v－t图像是与横轴_平行__的直线。(如图中甲所示)
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条_倾斜__的直线。(如图中乙所示)
4．图线与时间轴围成的“面积”的意义
(1)图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的_位移__。
(2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为_正方向__；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为_负方向__。
思考：描述甲、乙、丙、丁、戊、己物体各做什么运动。
提示：甲物体做匀速直线运动，乙物体做减速直线运动，丙物体先做减速直线运动，后反向做加速直线运动，丁物体做匀加速直线运动，戊物体做加速度减小的加速直线运动，己物体先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动。
1．x－t图像是物体的运动轨迹。( × )
2．x－t图像是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动。( × )
3．v－t图像是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运动。( √ )
4．x－t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( × )
5．两条v－t图像的交点表示两个物体相遇。( × )
6．两条x－t图像的交点表示两个物体相遇。( √ )
7．无论是v－t图像还是x－t图像，描述的一定是直线运动。( √ )
考点1　x－t图像和v－t图像的理解与应用
(能力考点·深度研析)
根据运动图像判断运动情况的基本思路：
1．看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，分清是什么图像。
2．看“斜率”：从x－t图像的斜率判断速度的变化，从v－t图像的斜率判断加速度的变化。
3．看“面积”：x－t图像的面积无意义，v－t图像的面积表示位移。
4．看“截距”：截距表示运动的初始情况。
考向1　x－t图像和v－t图像的基本应用
(2024·湖北一模)如图所示，甲是某质点的位移—时间图像(抛物线)，乙是另一质点的速度—时间图像，关于这两图像，下列说法中正确的是(　　)
A．由图甲可知，质点加速度为4 m/s2
B．由图甲可知，质点在前10 s内的平均速度大小为4 m/s
C．由图乙可知，质点在2～4 s内的位移为0
D．由图乙可知，质点在运动过程中，加速度的最大值为7.5 m/s2
【跟踪训练】
(2024·福建卷)某直线运动的v－t图像如图所示，其中0～3 s为直线，3～3.5 s为曲线，3.5～6 s为直线，则以下说法正确的是(　　)
A．0～3 s的平均速度为10 m/s
B．3.5～6 s做匀减速直线运动
C．0～3 s的加速度比3.5～6 s的大
D．0～3 s的位移比3.5～6 s的小
甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图所示，则在0～t1时间内(　　)
A．甲的速度总比乙大
B．在0至t1时刻，甲、乙位移相同
C．甲经过路程比乙小
D．甲、乙均做加速运动
考向2　图像转化问题
小球沿某一斜面下滑，在斜面底端与垂直斜面的挡板相碰后又回到斜面上的某一位置，小球与挡板作用时间不计，其速度v随时间t变化的关系如图所示。以下滑起点为位移坐标原点，以小球开始下滑时刻为t＝0时刻，则下列选项中能正确反映小球运动的图像是(　　)
反思提升　　　　
(1)解决图像转换类问题的一般流程：
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
【跟踪训练】
(a－t图像与v－t图像间的转化)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图像如图所示。下列v－t图像中，可能正确描述此物体运动的是(　　)
考点2　用数学函数方法分析非常规图像问题
(能力考点·深度研析)
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量的函数关系，来分析图像的斜率、面积、截距，常见的六类图像分析如下：
a－t图像 由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量
－t图像 由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b为初速度v0，图像的斜率k为a
v2－x图像 由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，截距b为v，图像斜率k为2a
－图像 由x＝v0t＋at2可得＝＋a，截距为a，斜率为v0
a－x图像 由v2－v＝2ax得ax＝ 面积表示速度平方变化量的一半
－x图像 由x＝vt得t＝ 面积表示运动时间t
考向1　a－t图像
(多选)(2023·湖北卷)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
考向2　－t图像
一物体从t＝0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其－t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，物体的初速度大小为3 m/s
B．物体的加速度大小为3 m/s2
C．0～2 s内物体的位移为6 m
D．3 s末物体位于出发点左侧9 m处
考向3　v2－x图像
一物体做匀加速直线运动，其位移中点的速度为v，如图所示为v2－x图像，则该物体的初速度v0和加速度a分别为(　　)
A．v0＝4 m/s，a＝3 m/s2
B．v0＝10 m/s，a＝3 m/s2
C．v0＝4 m/s，a＝6 m/s2
D．v0＝10 m/s，a＝6 m/s2
考向4　－图像
应用运动图像解决运动学问题
通过运动图像的变化，分析比较运动过程的变化问题。具体思路是：
1．根据题意画出原来的运动图像。
2．根据运动的变化情况，分析确定变化量和不变量。
3．在控制不变量的条件下，画出运动变化后的运动图像。
4．对比图像，观察相关物理量的变化。
某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动。飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t。实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的平均速度应是(　　)
A．v＝ B．v＝
C．v> D．提能训练　练案[4]
基础巩固练
题组一　x－t图像和v－t图像的理解与应用
1．(2025·八省联考河南卷)某运动员参加百米赛跑，起跑后做匀加速直线运动，一段时间后达到最大速度，此后保持该速度运动到终点。下列速度—时间(v－t)图像和位移—时间(x－t)图像中，能够正确描述该过程的是(　　)
2．(2024·河北卷)篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v－t图像，如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
3．某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
4．学校科技周展示现场中，飞行小组让飞行器从12 m高的教学楼楼顶由静止先匀加速直线下降再匀减速直线下降，到达地面时速度恰好为零。已知飞行器加速时的加速度大小是减速时的2倍，运动总时间为3 s，则该飞行器在此过程中的v－t图像为(　　)
5．图(a)所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图(b)是该机器人在某段时间内的位移—时间图像(后10 s的图线为曲线，其余为直线)。以下说法正确的是(　　)
A．机器人在0～30 s内的位移大小为7 m
B．10～30 s内，机器人的平均速度大小为0.35 m/s
C．0～10 s内，机器人做加速直线运动
D．机器人在5 s末的速度与15 s末的速度相同
题组二　用数学函数方法分析非常规图像问题
6．(多选)利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种物理方法。如图所示，为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像，x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间。下列说法中正确的是(　　)
A．根据甲图可求出物体的加速度大小为2 m/s2
B．根据乙图可求出物体的加速度大小为5 m/s2
C．根据丙图可求出物体的加速度大小为2 m/s2
D．根据丁图可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为6 m/s
7．汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果。实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h。根据下图的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于(　　)
A．4∶3 B．3∶4
C．3∶2 D．2∶3
能力提升练
8．(2025·湖南长沙联考)习近平总书记在党的二十大报告中指出，推动绿色转型，发展绿色低碳产业，积极稳妥推进“碳达峰”“碳中和”，因此新能源有着广阔的发展前景。已知某品牌的新能源汽车沿平直的公路行驶，司机突然发现正前方有一障碍物，司机立即刹车，刹车后某段时间内的该汽车的位移随时间的变化规律如图所示，图中的曲线为抛物线，t0时刻图线的切线平行于横轴。则下列说法正确的是(　　)
A．x0＝60 m
B．汽车的初速度大小为30 m/s
C．汽车的加速度大小为5 m/s2
D．6 s内汽车的位移大小为50 m
9．(多选)(2025·山东日照高三联考)2024年8月6日，巴黎奥运会女子跳水10米台决赛，中国选手全红婵夺得金牌。某次比赛中，她在竖直方向的运动可简化为如图所示的模型，以其离开跳台时作为计时起点，取竖直向下的方向为正方向，0～1.8 s、2.1 s～2.7 s时间内为直线，1.8 s～2.1 s时间内为曲线。忽略空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A．t＝0.4 s时，重心上升的高度为0.8 m
B．t＝1.8 s时，瞬时速度大小为18 m/s
C．在1.8 s～1.9 s的时间内，速度和加速度均在增大
D．在1.8 s～2.7 s的时间内，平均速度大于7 m/s
10．(多选)WorkingModel是一款可以记录物体的运动过程并描绘出运动图像的软件。如图是该软件导出的－t图像，t为时刻，x为0～t时间内物体运动的位移。已知t0时刻前图像为直线，t0时刻后图像为反比例曲线。该图像模拟某物块在粗糙水平面上做匀减速直线运动直至静止的滑动情境，取重力加速度为10 m/s2。下列说法正确的有(　　)
A．物块在4 s后某一时刻静止
B．0时刻，物块的速度大小为20 m/s
C．物块运动的位移大小为60 m
D．物块与水平面间的动摩擦因数为
11．中国海军服役的歼－15舰载机在航母甲板上加速起飞过程中，某段时间内舰载机的位移—时间(x－t)图像如图所示，则(　　)
A．由图可知，舰载机起飞的运动轨迹是曲线
B．在0～3 s内，舰载机的平均速度大于12 m/s
C．在M点对应的位置，舰载机的速度大于20 m/s
D．在N点对应的时刻，舰载机的速度为7.5 m/s
12．(多选)(2025·河北邢台摸底考试)如图1所示，一小物块在水平地面上以v0＝6 m/s的初速度向右运动，它的加速度与位移关系在一段时间内如图2中A、B图线所示(B线未画完)，经过一段时间后小物块再次经过出发点。下列说法中正确的是(　　)
A．全过程中，物块做匀变速直线运动
B．物块经过x＝5 m处时的速度为4 m/s
C．物块向右最远可到达x＝13 m处
D．物块再次经过出发点时速率小于6 m/s
13．(2025·安徽宣城模拟)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图像如图所示。下列图像正确的是(　　)第4讲　运动图像
一、直线运动的x－t图像
1．意义：反映了直线运动的物体_位置__随_时间__变化的规律。
2．图线上某点切线的斜率的意义
(1)斜率大小：表示物体速度的_大小__。
(2)斜率的正负：表示物体速度的_方向__。
3．两种特殊的x－t图像
(1)若x－t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于_静止__状态。(如图中甲所示)
(2)若x－t图像是一条倾斜的直线，说明物体在做_匀速直线__运动。(如图中乙所示)
4．位移的计算Δx＝x2－x1。
二、直线运动的v－t图像
1．意义：反映了直线运动的物体_速度__随_时间__变化的规律。
2．图线上某点切线的斜率的意义
(1)斜率的大小：表示物体_加速度__的大小。
(2)斜率的正负：表示物体_加速度__的方向。
3．两种特殊的v－t图像
(1)匀速直线运动的v－t图像是与横轴_平行__的直线。(如图中甲所示)
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条_倾斜__的直线。(如图中乙所示)
4．图线与时间轴围成的“面积”的意义
(1)图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的_位移__。
(2)若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为_正方向__；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为_负方向__。
思考：描述甲、乙、丙、丁、戊、己物体各做什么运动。
提示：甲物体做匀速直线运动，乙物体做减速直线运动，丙物体先做减速直线运动，后反向做加速直线运动，丁物体做匀加速直线运动，戊物体做加速度减小的加速直线运动，己物体先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动。
1．x－t图像是物体的运动轨迹。( × )
2．x－t图像是一条直线，说明物体一定做匀速直线运动。( × )
3．v－t图像是一条平行于t轴的直线，说明物体做匀速直线运动。( √ )
4．x－t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( × )
5．两条v－t图像的交点表示两个物体相遇。( × )
6．两条x－t图像的交点表示两个物体相遇。( √ )
7．无论是v－t图像还是x－t图像，描述的一定是直线运动。( √ )
考点1　x－t图像和v－t图像的理解与应用
(能力考点·深度研析)
根据运动图像判断运动情况的基本思路：
1．看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，分清是什么图像。
2．看“斜率”：从x－t图像的斜率判断速度的变化，从v－t图像的斜率判断加速度的变化。
3．看“面积”：x－t图像的面积无意义，v－t图像的面积表示位移。
4．看“截距”：截距表示运动的初始情况。
考向1　x－t图像和v－t图像的基本应用
(2024·湖北一模)如图所示，甲是某质点的位移—时间图像(抛物线)，乙是另一质点的速度—时间图像，关于这两图像，下列说法中正确的是(　　)
A．由图甲可知，质点加速度为4 m/s2
B．由图甲可知，质点在前10 s内的平均速度大小为4 m/s
C．由图乙可知，质点在2～4 s内的位移为0
D．由图乙可知，质点在运动过程中，加速度的最大值为7.5 m/s2
[答案]　C
[解析]　由图甲可知，x＝at2，取t＝10 s，x＝20 m，解得a＝0.4 m/s2，质点在前10 s内的平均速度＝＝ m/s＝2 m/s，故A、B两项错误；由图乙可知，在2～4 s内，时间轴上方和下方的面积相等，总位移为0，故C项正确；质点在运动过程中，加速度的最大值出现在2～4 s内，最大加速度大小为a＝＝ m/s2＝15 m/s2，故D项错误。
【跟踪训练】
(2024·福建卷)某直线运动的v－t图像如图所示，其中0～3 s为直线，3～3.5 s为曲线，3.5～6 s为直线，则以下说法正确的是(　　)
A．0～3 s的平均速度为10 m/s
B．3.5～6 s做匀减速直线运动
C．0～3 s的加速度比3.5～6 s的大
D．0～3 s的位移比3.5～6 s的小
[答案]　B
[解析]　由题图可知0～3 s为匀加速直线运动，其平均速度为＝15 m/s，选项A错误；3.5～6 s做匀减速直线运动，选项B正确；若3～6 s内物体做匀减速运动到速度为0，则0～3 s内与3～6 s内加速度大小相等，即图像的斜率大小相等，连接点(3,30)、(6,0)后比较图像可知，3.5～6 s内图像的斜率较大，加速度大于0～3 s内的加速度，选项C错误；由图像与坐标轴围成的面积代表位移可知，0～3 s的位移比3.5～6 s的大，选项D错误。
甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图所示，则在0～t1时间内(　　)
A．甲的速度总比乙大
B．在0至t1时刻，甲、乙位移相同
C．甲经过路程比乙小
D．甲、乙均做加速运动
[答案]　B
[解析]　位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，故D错误；靠近t1时刻时，乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，故B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。
考向2　图像转化问题
小球沿某一斜面下滑，在斜面底端与垂直斜面的挡板相碰后又回到斜面上的某一位置，小球与挡板作用时间不计，其速度v随时间t变化的关系如图所示。以下滑起点为位移坐标原点，以小球开始下滑时刻为t＝0时刻，则下列选项中能正确反映小球运动的图像是(　　)
[答案]　A
[解析]　由小球运动的v－t图像可知，小球下滑和上滑都做匀变速直线运动，但两个阶段加速度大小不等，由图线斜率可以看出，下滑加速度小于上滑加速度，加速度方向都沿斜面向下(即正方向)，C、D错误；下滑时小球做初速度为零的匀加速直线运动，由x＝at2可知，x－t2图像为过原点的直线，且位移x随时间增大；上滑时末速度为零，可看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，位移随时间减小，因此，x－t2图像也是一条直线。由题图可知，小球反弹初速度小于下滑末速度，上滑运动时间比下滑时间短，因此小球速度为零时没有回到初始位置，A正确，B错误。
反思提升　　　　
(1)解决图像转换类问题的一般流程：
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
【跟踪训练】
(a－t图像与v－t图像间的转化)一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图像如图所示。下列v－t图像中，可能正确描述此物体运动的是(　　)
[答案]　D
[解析]　由题目中a－t图像知，0～0.5T时间内的加速度与T～2T时间内的加速度大小相等，方向相反，则对应时间内的v－t图像的斜率的绝对值相等，正负不同，可得D正确，A、B、C错误。
考点2　用数学函数方法分析非常规图像问题
(能力考点·深度研析)
对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量的函数关系，来分析图像的斜率、面积、截距，常见的六类图像分析如下：
a－t图像 由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量
－t图像 由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b为初速度v0，图像的斜率k为a
v2－x图像 由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，截距b为v，图像斜率k为2a
－图像 由x＝v0t＋at2可得＝＋a，截距为a，斜率为v0
a－x图像 由v2－v＝2ax得ax＝ 面积表示速度平方变化量的一半
－x图像 由x＝vt得t＝ 面积表示运动时间t
考向1　a－t图像
(多选)(2023·湖北卷)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
[答案]　BD
[解析]　质点在0～t0时间内从静止出发先做加速度增大的加速运动再做加速度减小的加速运动，此过程一直向前加速运动；t0～2t0时间内加速度和速度反向，先做加速度增加的减速运动再做加速度减小的减速运动，2t0时刻速度减速到零，此过程一直向前做减速运动；2t0～4t0重复此过程的运动，即质点一直向前运动，A、C错误，B正确；a－t图像的面积表示速度变化量，～t0内速度的变化量为零，因此时刻的速度与t0时刻相同，D正确。故选BD。
考向2　－t图像
一物体从t＝0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其－t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，物体的初速度大小为3 m/s
B．物体的加速度大小为3 m/s2
C．0～2 s内物体的位移为6 m
D．3 s末物体位于出发点左侧9 m处
[答案]　D
[解析]　根据匀变速直线运动的公式x＝v0t＋at2，变形得到＝at＋v0，结合图像可知v0＝6 m/s，a＝－6 m/s2，故A、B错误；根据公式x＝v0t＋at2可知，在0～2 s内物体的位移为x1＝6×2 m＋×(－6)×22 m＝0，故C错误；根据公式x＝v0t＋at2可知，在0～3 s内物体的位移为x2＝6×3 m＋×(－6)×32 m＝－9 m，即3 s末物体位于出发点左侧9 m处，故D正确。
考向3　v2－x图像
一物体做匀加速直线运动，其位移中点的速度为v，如图所示为v2－x图像，则该物体的初速度v0和加速度a分别为(　　)
A．v0＝4 m/s，a＝3 m/s2
B．v0＝10 m/s，a＝3 m/s2
C．v0＝4 m/s，a＝6 m/s2
D．v0＝10 m/s，a＝6 m/s2
[答案]　C
[解析]　位移中点速度为v满足v2－v＝2a，可得v2＝v＋ax，结合图像可知纵截距为v，斜率为a，则v0＝4 m/s，a＝6 m/s2，选项C正确。
考向4　－图像
[答案]　BD
[解析]　设小球在经过A传感器时的速度大小为vA，经过B传感器时的速度大小为vB，在斜面上运动的加速度大小为a，由题意得vA为变量，应在公式变形中用vB表示vA，根据运动学规律有vB＝vA＋at，x＝vAt＋at2，联立以上两式并整理得＝vB·－，结合图像可得vB＝8 m/s，a＝4 m/s2，当A传感器放置在O点时，传感器所测时间为小球从O到B传感器的运动时间t1，由题图乙分析可知t1＝1 s，所以小球在斜面上O点的速度大小为v0＝vB－at1＝4 m/s，小球在斜面上运动的平均速度大小为＝＝6 m/s，固定斜面长度为l＝t1＝6 m，故A、C错误，B、D正确。
应用运动图像解决运动学问题
通过运动图像的变化，分析比较运动过程的变化问题。具体思路是：
1．根据题意画出原来的运动图像。
2．根据运动的变化情况，分析确定变化量和不变量。
3．在控制不变量的条件下，画出运动变化后的运动图像。
4．对比图像，观察相关物理量的变化。
某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动。飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t。实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的平均速度应是(　　)
A．v＝ B．v＝
C．v> D．[答案]　C
[解析]　飞机做变减速直线运动，因为速度在减小，则阻力在减小，加速度减小，故飞机做加速度逐渐减小的减速运动，速度—时间图线如图中实线所示。若飞机做匀减速直线运动，如图中虚线所示，则平均速度′＝＝，实线与时间轴围成的面积为x，平均速度＝，因为x′>x，可知<＝，即v>，故选C。
提能训练　练案[4]
基础巩固练
题组一　x－t图像和v－t图像的理解与应用
1．(2025·八省联考河南卷)某运动员参加百米赛跑，起跑后做匀加速直线运动，一段时间后达到最大速度，此后保持该速度运动到终点。下列速度—时间(v－t)图像和位移—时间(x－t)图像中，能够正确描述该过程的是(　　)
[答案]　B
[解析]　因为v－t图像的斜率表示加速度，由速度与时间关系可知v＝at，则匀加速阶段为一条倾斜直线，匀速阶段为一条平行于时间轴的直线，故A错误，B正确；根据位移与时间的关系x＝at2，则x－t图像在匀加速阶段为开口向上的抛物线，匀速阶段为一条倾斜直线，故C、D错误。故选B。
2．(2024·河北卷)篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v－t图像，如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
[答案]　A
[解析]　由题图图像可知，篮球从某一高度由静止释放后，速度负向增大(关键点：可知整个运动过程中规定向上为速度正方向)，落地反弹后上升至a点，此时速度第一次向上减为零，故此时到达离地最高处，A正确。
3．某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
[答案]　A
[解析]　x－t图像斜率的物理意义是速度，在0～t1时间内，x－t图像斜率增大，汽车的速度增大；在t1～t2时间内，x－t图像斜率不变，汽车的速度不变；在t2～t3时间内，x－t图像的斜率减小，汽车的速度减小，综上所述可知A中v－t图像可能正确。故选A项。
4．学校科技周展示现场中，飞行小组让飞行器从12 m高的教学楼楼顶由静止先匀加速直线下降再匀减速直线下降，到达地面时速度恰好为零。已知飞行器加速时的加速度大小是减速时的2倍，运动总时间为3 s，则该飞行器在此过程中的v－t图像为(　　)
[答案]　C
[解析]　由题可知，飞行器先加速再减速到零，且飞行器加速时的加速度大小是减速时的2倍，所以加速时图像的斜率的绝对值是减速时的两倍且由x＝·t得，vm＝8 m/s。故选项C正确。
5．图(a)所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图(b)是该机器人在某段时间内的位移—时间图像(后10 s的图线为曲线，其余为直线)。以下说法正确的是(　　)
A．机器人在0～30 s内的位移大小为7 m
B．10～30 s内，机器人的平均速度大小为0.35 m/s
C．0～10 s内，机器人做加速直线运动
D．机器人在5 s末的速度与15 s末的速度相同
[答案]　B
[解析]　根据题图(b)可知，机器人在0～30 s内的位移大小为2 m，故A错误；10～30 s内，平均速度大小为＝＝ m/s＝0.35 m/s，故B正确；位移—时间图线的斜率表示速度，0～10 s内，图线的斜率不变，机器人做匀速直线运动，故C错误；0～10 s内图线的斜率与10～20 s内图线的斜率关系为k1＝－k2，可知机器人在5 s末的速度与15 s末的速度等大反向，故D错误。
题组二　用数学函数方法分析非常规图像问题
6．(多选)利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种物理方法。如图所示，为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像，x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间。下列说法中正确的是(　　)
A．根据甲图可求出物体的加速度大小为2 m/s2
B．根据乙图可求出物体的加速度大小为5 m/s2
C．根据丙图可求出物体的加速度大小为2 m/s2
D．根据丁图可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为6 m/s
[答案]　AB
[解析]　根据从0开始的匀变速直线运动的位移与时间关系公式x＝at2，结合题图甲可求出物体的加速度大小a1＝2k1＝2× m/s2，解得a1＝2 m/s2，A正确；根据匀变速直线运动的速度与位移关系公式v2－v＝2ax，结合题图乙可求出物体的加速度大小a2＝＝5 m/s2，B正确；根据匀变速直线运动的位移与时间关系公式x＝v0t＋at2，整理得＝v0＋at，结合题图丙可求出物体的加速度大小a3＝2k3＝2× m/s2，解得a3＝－4 m/s2，物体的加速度大小为4 m/s2，C错误；根据微元法可以得到，物理学中a－t图像的图线与时间轴所围成的面积表示这段时间内物体的速度变化量，则由题图丁可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为Δv＝×3×2 m/s＝3 m/s，D错误。
7．汽车中的ABS系统在汽车制动时，能防止车轮抱死，可以减小刹车距离，增强刹车效果。实验小组通过实验，研究有ABS系统和无ABS系统两种情况下的匀减速制动距离，测试的初速度均为60 km/h。根据下图的图线及数据，可以推断出两种情况下汽车刹车的加速度大小之比a有∶a无等于(　　)
A．4∶3 B．3∶4
C．3∶2 D．2∶3
[答案]　A
[解析]　根据v2＝2ax得a＝，因为初速度相等时，刹车的距离之比为3∶4，则平均加速度之比a有∶a无＝4∶3，故A正确。
能力提升练
8．(2025·湖南长沙联考)习近平总书记在党的二十大报告中指出，推动绿色转型，发展绿色低碳产业，积极稳妥推进“碳达峰”“碳中和”，因此新能源有着广阔的发展前景。已知某品牌的新能源汽车沿平直的公路行驶，司机突然发现正前方有一障碍物，司机立即刹车，刹车后某段时间内的该汽车的位移随时间的变化规律如图所示，图中的曲线为抛物线，t0时刻图线的切线平行于横轴。则下列说法正确的是(　　)
A．x0＝60 m
B．汽车的初速度大小为30 m/s
C．汽车的加速度大小为5 m/s2
D．6 s内汽车的位移大小为50 m
[答案]　D
[解析]　设初速度为v0，加速度为a，时间为t，汽车做匀减速直线运动，则x＝v0t－at2，代入数据得32 m＝2v0－a×22,42 m＝3v0－a×32，解得a＝4 m/s2，v0＝20 m/s，故B、C错误；逆向思维将汽车看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，则x＝＝50 m，故A错误；汽车刹车时间为t＝＝5 s，则6 s内汽车的位移大小为50 m，故D正确。故选D。
9．(多选)(2025·山东日照高三联考)2024年8月6日，巴黎奥运会女子跳水10米台决赛，中国选手全红婵夺得金牌。某次比赛中，她在竖直方向的运动可简化为如图所示的模型，以其离开跳台时作为计时起点，取竖直向下的方向为正方向，0～1.8 s、2.1 s～2.7 s时间内为直线，1.8 s～2.1 s时间内为曲线。忽略空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A．t＝0.4 s时，重心上升的高度为0.8 m
B．t＝1.8 s时，瞬时速度大小为18 m/s
C．在1.8 s～1.9 s的时间内，速度和加速度均在增大
D．在1.8 s～2.7 s的时间内，平均速度大于7 m/s
[答案]　AD
[解析]　根据v－t图像可知，t＝0.4 s时，重心上升的高度为h1＝×4×0.4 m＝0.8 m，故A正确；在0～1.8 s内的加速度为a1＝ m/s2＝10 m/s2，可知t＝1.8 s时，瞬时速度大小为v＝－4 m/s＋10×1.8 m/s＝14 m/s，故B错误；根据v－t图像的切线斜率绝对值表示加速度的大小，可知在1.8 s～1.9 s的时间内，速度在增大，加速度在减小，故C错误；由于t＝1.8 s时，瞬时速度大小为v＝14 m/s，根据v－t图像与横轴围成的面积表示位移，可知在1.8 s～2.7 s的时间内，位移满足x>×14×(2.7－1.8)m，则平均速度满足＝> m/s＝7 m/s，故D正确。故选AD。
10．(多选)WorkingModel是一款可以记录物体的运动过程并描绘出运动图像的软件。如图是该软件导出的－t图像，t为时刻，x为0～t时间内物体运动的位移。已知t0时刻前图像为直线，t0时刻后图像为反比例曲线。该图像模拟某物块在粗糙水平面上做匀减速直线运动直至静止的滑动情境，取重力加速度为10 m/s2。下列说法正确的有(　　)
A．物块在4 s后某一时刻静止
B．0时刻，物块的速度大小为20 m/s
C．物块运动的位移大小为60 m
D．物块与水平面间的动摩擦因数为
[答案]　BD
[解析]　因为t0时刻后图像为反比例曲线，即·t＝k，即x＝k，为定值，可知此时物体静止，即从t0时刻开始物体已经静止，根据坐标(7.5,4)可得物体的位移为x＝30 m，选项A、C错误；根据x＝v0t－at2，可得＝v0－at，可得v0＝20 m/s，选项B正确；物体的加速度a＝＝ m/s2＝ m/s2，根据μmg＝ma，可得μ＝，选项D正确。
11．中国海军服役的歼－15舰载机在航母甲板上加速起飞过程中，某段时间内舰载机的位移—时间(x－t)图像如图所示，则(　　)
A．由图可知，舰载机起飞的运动轨迹是曲线
B．在0～3 s内，舰载机的平均速度大于12 m/s
C．在M点对应的位置，舰载机的速度大于20 m/s
D．在N点对应的时刻，舰载机的速度为7.5 m/s
[答案]　C
[解析]　x－t图像只能表示直线运动的规律，即舰载机起飞的运动轨迹是直线，A错误；在0～3 s内，舰载机通过的位移为x＝36 m－0＝36 m，平均速度为＝＝ m/s＝12 m/s，B错误；在2～2.55 s内的平均速度为＝＝ m/s＝20 m/s，根据2～2.55 s内的平均速度等于M、N连线的斜率大小，在M点对应的位置，舰载机的速度等于过M点的切线斜率大小，可知在M点对应的位置，舰载机的速度大于MN段平均速度20 m/s，C正确；在0～2 s内的平均速度为″＝＝ m/s＝7.5 m/s,0～2 s内的平均速度等于O、N连线的斜率大小，在N点对应的时刻，舰载机的速度等于过N点的切线斜率大小，可知在N点对应的时刻，舰载机的速度大于ON段平均速度7.5 m/s，D错误。
12．(多选)(2025·河北邢台摸底考试)如图1所示，一小物块在水平地面上以v0＝6 m/s的初速度向右运动，它的加速度与位移关系在一段时间内如图2中A、B图线所示(B线未画完)，经过一段时间后小物块再次经过出发点。下列说法中正确的是(　　)
A．全过程中，物块做匀变速直线运动
B．物块经过x＝5 m处时的速度为4 m/s
C．物块向右最远可到达x＝13 m处
D．物块再次经过出发点时速率小于6 m/s
[答案]　BC
[解析]　由题图2可知，小物块在x＝5 m处加速度发生变化，因此整个过程不是匀变速，A错误；由题图2可知，a1＝－2 m/s2，根据2ax＝v－v可得，x＝5 m时，v1＝4 m/s，此时t＝1 s，B正确；由上面分析可知，小物块在1 s后开始以初速度为4 m/s，加速度为－1 m/s2做匀减速直线运动，当v＝0时，物块向右达到最远距离，因此2a2x2＝0－v，解得x2＝8 m，因此x＝x1＋x2＝13 m，C正确；根据对称性小物块从速度为0反向加速运动到出发点的速度仍为6 m/s，D错误。故选BC。
13．(2025·安徽宣城模拟)一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图像如图所示。下列图像正确的是(　　)
[答案]　A
[解析]　从a－t图像，0～1 s内物体做加速度增大的加速运动，1～2 s内物体做加速度减小的加速运动，2～3 s内物体做加速度增大的减速运动，3～4 s内物体做加速度减小的减速运动，A正确；B项中速度最大时加速度不为零，与a－t图像中第2 s末速度最大，加速度为零不符，B错误；C、D项中速度—时间图像中直线部分，加速度大小和方向不变，与a－t图像不符，C、D错误。第5讲　专题强化一　追及和相遇问题
考点1　追及和相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间能否到达相同的空间位置。
1．二者距离变化与速度大小的关系(以甲追乙为例，如图所示)
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。
2．解决追及和相遇问题的三个关系
(1)速度关系：①速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
②速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
(2)位移关系：根据两物体初始运动时的距离，画出运动示意图，建立位移关系。
(3)时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。
3．追及相遇问题的常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
能否追上的判断方法(临界条件法)：
物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系：
①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。
a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇；
c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
反思提升　　　　
追及和相遇问题的求解方法
(1)解题思路

(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
【跟踪训练】
汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，汽车B以vB＝10 m/s的速度同向运动，B在A前方x0＝7 m处时开始刹车做匀减速直线运动，直到静止后保持不动，B刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从汽车B开始刹车时计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A追上B。
考点2　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
(基础考点·自主探究)
1．若为x－t图像，图像相交即代表两物体相遇。
2．若为v－t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。
【跟踪训练】
某兴趣小组举行机器人跑步比赛，甲、乙两机器人均做直线运动。两机器人运动的位移—时间图像如图所示，其中机器人乙的x－t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)
A．机器人甲先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．机器人甲在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
C．机器人乙一定做初速度为零的匀变速直线运动
D．在0～10 s内甲、乙机器人相遇两次，且相遇时速度可能相等
(多选)(2025·江西景德镇模拟)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图所示。下列判断正确的是(　　)
A．乙车启动时，甲车在其前方25 m处
B．乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C．乙车启动15 s后正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
考点3　将a－t图像转化为v－t图像分析追及相遇问题
(能力考点·深度研析)
假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
提能训练　练案[5]
基础巩固练
题组一　追及和相遇问题
1．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车x＝10t－t2，自行车x＝5t，(x的单位为m，t的单位为s)，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动
B．经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后
C．在t＝2.5 s时，自行车和汽车相距最远
D．当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5 m
2．冬季浓雾天气频繁出现。某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30 m，且路面湿滑，一辆小汽车以15 m/s的速度由南向北行驶，某时刻，司机突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以3 m/s的速度同向匀速行驶，于是鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2 m/s2的加速度减速行驶，卡车于2 s后以2 m/s2的加速度加速行驶。以下说法正确的是(　　)
A．因两车采取了必要的加、减速措施，所以两车不会追尾
B．虽然两车采取了加、减速措施，但加速度过小，两车仍会追尾
C．在卡车开始加速时，两车仅相距9 m
D．两车距离最近时只有12 m
题组二　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
3．(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v－t和x－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
4．(多选)已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度v0从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的v－t图线，根据这些信息，可以判断(　　)
A．5 s末两车速度均为9 m/s
B．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20 s末两车相遇
D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
5．甲、乙两车并排停在斑马线处礼让行人，在行人经过斑马线后，甲、乙两车同时启动并沿平直公路同向行驶，其速度—时间图像分别为图中直线a和曲线b，由图可知(　　)
A．t0时刻两车并排行驶
B．t0时刻乙车的运动方向发生改变
C．在0～t0时间内，乙车的加速度越来越小
D．在0～t0时间内，乙车的平均速度为
能力提升练
6．在同一平直公路上甲、乙两车同向做直线运动，两车位移x和时间t的比值与时间t之间的关系如图所示。两车在t＝3 s时相遇，下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大小为5 m/s2
B．t＝0时，甲车在乙车后面7.5 m处
C．t＝3 s甲、乙两车相遇时乙车的速度为7.5 m/s
D．甲、乙两车相遇前相距最远为30 m
7．(2025·辽宁东北高三联考)甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以v0＝6 m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化关系如图所示。已知t1＝3 s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是(　　)
A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反
B．t1＝3 s时，乙的位置坐标为－11 m
C．t2＝9 s时，两质点相遇
D．乙经过原点的速度大小为2 m/s
8. (多选)两物体甲、乙在水平面上同时同地由静止出发，沿同一方向做直线运动，它们的加速度a随位移x变化的关系如图所示。则(　　)
A．x＝6 m时，两者相遇
B．甲运动6 m时，乙在它后面
C．乙运动8 m的过程中的平均速度小于2 m/s
D．甲运动8 m时的速度为4 m/s
9．(2025·广东省华南师大附中月考)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
10．在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道。如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞；
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车。第5讲　专题强化一　追及和相遇问题
考点1　追及和相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间能否到达相同的空间位置。
1．二者距离变化与速度大小的关系(以甲追乙为例，如图所示)
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。
2．解决追及和相遇问题的三个关系
(1)速度关系：①速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
②速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
(2)位移关系：根据两物体初始运动时的距离，画出运动示意图，建立位移关系。
(3)时间关系：根据两物体初始运动的时间差，建立时间关系。
3．追及相遇问题的常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
能否追上的判断方法(临界条件法)：
物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系：
①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。
a．若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
b．若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇；
c．若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
[答案]　(1)2.4 s
(2)丙车追不上乙车，计算过程见解析
(3)1.4 m/s2
[解析]　(1)根据题意分析，甲、丙两车的速度相等时甲、丙两车相距最远，即
a0t＝v2－a2t
解得t＝2.4 s。
(2)当乙车与丙车速度相等时
v1＝v2－a2t3
代入数据可得t3＝2 s
乙的位移x3＝v1t3＝8×2 m＝16 m
丙的位移x4＝v2t3－a2t＝m＝20 m
x1＋x3＝70 m＋16 m＝86 m>x2＋x4＝60 m＋20 m＝80 m
所以丙车追不上乙车。
(3)乙车和甲车速度相等时
v乙－a乙t1＝v甲－a甲t1
v乙t1－a乙t－＝5 m
解得a乙＝1.4 m/s2
t1＝5 s
此时t1<＝ s＝6 s
甲还没有停止，答案符合题意。
反思提升　　　　
追及和相遇问题的求解方法
(1)解题思路

(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
【跟踪训练】
汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，汽车B以vB＝10 m/s的速度同向运动，B在A前方x0＝7 m处时开始刹车做匀减速直线运动，直到静止后保持不动，B刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从汽车B开始刹车时计时。求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A追上B。
[解题引导]　读题画过程示意图
[答案]　(1)16 m　(2)8 s
[解析]　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，此时有v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s
此过程中汽车A的位移xA＝vAt＝12 m
汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m
故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5 s
运动的位移xB′＝＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m
此时两车相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s，
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s。
考点2　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
(基础考点·自主探究)
1．若为x－t图像，图像相交即代表两物体相遇。
2．若为v－t图像，利用图像与坐标轴围成的面积进行分析。
【跟踪训练】
某兴趣小组举行机器人跑步比赛，甲、乙两机器人均做直线运动。两机器人运动的位移—时间图像如图所示，其中机器人乙的x－t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)
A．机器人甲先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．机器人甲在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
C．机器人乙一定做初速度为零的匀变速直线运动
D．在0～10 s内甲、乙机器人相遇两次，且相遇时速度可能相等
[答案]　C
[解析]　x－t图线切线的斜率表示瞬时速度，由题图可知甲先沿负方向做匀速直线运动，后保持静止，A错误；甲在0～10 s内的位移为Δx＝(4－10)m＝－6 m，则平均速度为＝＝ m/s＝－0.6 m/s，B错误；乙的x－t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，t＝0时斜率为零，说明其运动性质是初速度为零的匀变速直线运动，C正确；在0～10 s内甲、乙机器人的x－t图线相交两次，表示相遇两次，相遇时由于斜率不同，速度不同，D错误。
(多选)(2025·江西景德镇模拟)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图所示。下列判断正确的是(　　)
A．乙车启动时，甲车在其前方25 m处
B．乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C．乙车启动15 s后正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
[答案]　CD
[解析]　根据v－t图像中图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s时启动，此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙前方50 m处，故A错误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故B错误；由于两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，设甲车启动t′两车位移相等时两车相遇，有(t′－20)×20＋＝(t′－10)×10＋，解得t′＝25 s，即乙车启动15 s后正好追上甲车，故C正确；当两车的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75 m，故D正确。
考点3　将a－t图像转化为v－t图像分析追及相遇问题
(能力考点·深度研析)
假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
[答案]　C
[解析]　由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝m＝90 m提能训练　练案[5]
基础巩固练
题组一　追及和相遇问题
1．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车x＝10t－t2，自行车x＝5t，(x的单位为m，t的单位为s)，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动
B．经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后
C．在t＝2.5 s时，自行车和汽车相距最远
D．当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标12.5 m
[答案]　C
[解析]　由汽车和自行车位移随时间变化的规律知，汽车做匀减速运动，v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，自行车做匀速直线运动，v＝5 m/s，经过路标后的较短时间内，汽车速度较大，所以汽车在前，故A、B错误；当汽车速度和自行车速度相等时，相距最远。根据v＝v0＋at解得t＝2.5 s，故C正确；当两车位移相等时再次经过同一位置，故10t′－t′2＝5t′，解得t′＝5 s，x＝25 m，故D错误。
2．冬季浓雾天气频繁出现。某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30 m，且路面湿滑，一辆小汽车以15 m/s的速度由南向北行驶，某时刻，司机突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以3 m/s的速度同向匀速行驶，于是鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2 m/s2的加速度减速行驶，卡车于2 s后以2 m/s2的加速度加速行驶。以下说法正确的是(　　)
A．因两车采取了必要的加、减速措施，所以两车不会追尾
B．虽然两车采取了加、减速措施，但加速度过小，两车仍会追尾
C．在卡车开始加速时，两车仅相距9 m
D．两车距离最近时只有12 m
[答案]　A
[解析]　设小汽车匀速行驶的速度为v1，减速时的加速度大小为a1；卡车匀速行驶时的速度为v2，加速运动时的加速度大小为a2，小汽车刹车后经过时间t两者共速，则有v1－a1t＝v2＋a2(t－2 s)，解得t＝4 s，在时间t内小汽车的位移为x1＝v1t－a1t2＝44 m，卡车加速行驶的时间为t′＝t－2 s＝2 s，在时间t内，卡车的位移为x2＝v2t＋a2t′2＝16 m，因x2＋30 m>x1，故两车不会追尾，此时两车相距最近，距离为Δx＝x2＋30 m－x1＝2 m，故A正确，B、D错误；在卡车开始加速时，两车相距Δx′＝(30＋3×2)m－m＝10 m，故C错误。
题组二　x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
3．(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v－t和x－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　)
　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
[答案]　BD
[解析]　A图是速度图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出现甲乙船头并齐，故A错误；B图是速度图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，速度图像中图像与横轴围成的面积表示位移，由图可以判断在中途甲、丙位移会相同，所以在中途甲丙船头会并齐，故B正确；C图是位移图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以中途不可能出现甲丁船头并齐，故C错误；D图是位移图像，交点表示相遇，所以甲戊在中途船头会并齐，故D正确。
4．(多选)已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度v0从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的v－t图线，根据这些信息，可以判断(　　)
A．5 s末两车速度均为9 m/s
B．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20 s末两车相遇
D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
[答案]　AD
[解析]　由v－t图线可以看出，5 s末两车的速度相等，均为v＝ m/s＝9 m/s，故A正确；0至10 s，两图线与坐标轴围成图形的面积相等，由v－t图线的物理意义可知，10 s末两车相遇，10～20 s时间内，自动驾驶车速度大于越野车的速度，自动驾驶车在前，越野车在后，两车间距变大，20 s时两车间距最大，20 s之后，自动驾驶车速度小于越野车的速度，两车间距变小，以后会再相遇一次，所以两车会相遇两次，故B、C错误；由v－t图线可知，5 s末两车的速度均为9 m/s，由9 m/s增加到18 m/s，越野车所花的时间为15 s，是自动驾驶车的3倍，根据a＝可知，自动驾驶车的加速度是越野车的3倍，故D正确。
5．甲、乙两车并排停在斑马线处礼让行人，在行人经过斑马线后，甲、乙两车同时启动并沿平直公路同向行驶，其速度—时间图像分别为图中直线a和曲线b，由图可知(　　)
A．t0时刻两车并排行驶
B．t0时刻乙车的运动方向发生改变
C．在0～t0时间内，乙车的加速度越来越小
D．在0～t0时间内，乙车的平均速度为
[答案]　C
[解析]　根据v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，可知在0～t0时间内，乙车的位移比甲车的大，则t0时刻乙车在甲车的前方，A错误；乙车的速度一直为正，运动方向没有改变，B错误；在0～t0时间内，乙车图像的切线斜率越来越小，则乙车的加速度越来越小，C正确；在0～t0时间内，甲车做匀加速直线运动，平均速度为，乙车的位移比甲车的大，则乙车的平均速度大于甲车的平均速度，即大于，D错误。
能力提升练
6．在同一平直公路上甲、乙两车同向做直线运动，两车位移x和时间t的比值与时间t之间的关系如图所示。两车在t＝3 s时相遇，下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大小为5 m/s2
B．t＝0时，甲车在乙车后面7.5 m处
C．t＝3 s甲、乙两车相遇时乙车的速度为7.5 m/s
D．甲、乙两车相遇前相距最远为30 m
[答案]　D
[解析]　根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，变形得到＝v0＋at，对于甲车有a甲＝，得a甲＝10 m/s2，A错误；对于乙车有a乙＝，得a乙＝－5 m/s2，v0乙＝15 m/s，又两车在t＝3 s时相遇，则有x甲＝x乙＋x0，代入数据，解得x0＝22.5 m，即t＝0时甲车在乙车后22.5 m，B错误；根据匀变速直线运动速度时间公式v＝v0＋at，代入数据，t＝3 s甲、乙两车相遇时乙车的速度为v乙＝v0乙－at＝(15－3×5)m/s＝0，当甲、乙两车的速度相等时，两车相距最远，则有v0乙－a乙t＝a甲t，代入数据，解得t＝1 s，根据位移时间公式x1甲＝a甲t2＝5 m，x1乙＝v0乙t－a乙t2＝12.5 m，可得Δsm＝x1乙＋x0－x1甲＝35 m－5 m＝30 m，C错误，D正确。
7．(2025·辽宁东北高三联考)甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以v0＝6 m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化关系如图所示。已知t1＝3 s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是(　　)
A．最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反
B．t1＝3 s时，乙的位置坐标为－11 m
C．t2＝9 s时，两质点相遇
D．乙经过原点的速度大小为2 m/s
[答案]　B
[解析]　本题考查位移—时间图像和追及相遇问题。位移—时间图线的斜率表示速度，交点表示相遇，最初的一段时间内，乙的位置坐标为负，但甲、乙的运动方向相同，A错误；t1＝3 s时，甲、乙图线的斜率相等，设乙的加速度为a，则v0＝at1，则a＝2 m/s2，x1＝at＝9 m，则乙的位置坐标为－11 m，B正确；甲、乙相遇时有v0t2＋40 m＝at，解得t2＝10 s，C错误；乙经过原点时，位移为x′＝20 m，由v2＝2ax′，得v＝4 m/s，D错误。
8. (多选)两物体甲、乙在水平面上同时同地由静止出发，沿同一方向做直线运动，它们的加速度a随位移x变化的关系如图所示。则(　　)
A．x＝6 m时，两者相遇
B．甲运动6 m时，乙在它后面
C．乙运动8 m的过程中的平均速度小于2 m/s
D．甲运动8 m时的速度为4 m/s
[答案]　BCD
[解析]　甲物体做加速度减小的加速运动，乙物体做加速度增大的加速运动，v－t图像如图所示。由图可知甲、乙通过相同位移时，时间不相等，运动6 m时不可能相遇，甲在乙前面，A错误，B正确；乙运动8 m时速度v乙＝＝ m/s＝4 m/s，运动8 m的过程中平均速度小于2 m/s，C正确；甲运动8 m时的速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s，D正确。
9．(2025·广东省华南师大附中月考)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
[答案]　(1)12 m/s　3 m/s2　(2)x0>36 m
[解析]　(1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1，
解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，
图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝，
其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2。
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，
此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，
则x＝vB(t1＋t2)，
代入数据解得x＝36 m，
因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为x0>36 m。
10．在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道。如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞；
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车。
[答案]　(1) m/s2　(2)不能实现安全超车
[解析]　(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，则A车位移xA＝t①
B车位移xB＝vBt②
xA－xB＝s0③
由①②③式联立解得t＝ s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝＝ m/s2＝ m/s2。
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，
则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′，解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了
xA1＝vAt′＋at′2
计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，
说明在离并道对接口16 m处以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车。第6讲　实验一　探究小车速度随时间变化的规律
一、实验目的
1．练习正确使用打点计时器
2．会计算纸带上各点的瞬时速度
3．会利用纸带计算加速度
4．会用图像法探究小车速度与时间的关系，并能根据图像求加速度
二、实验原理
1．打点计时器
(1)作用：计时仪器，当所用交流电源的频率f＝50 Hz时，每隔_0.02__s打一次点。
(2)结构
①电磁打点计时器(如图)
②电火花打点计时器(如图)
(3)工作条件：
2．求小车的速度与加速度
(1)利用平均速度求瞬时速度：vn＝＝。
(2)利用逐差法求解平均加速度
a1＝，a2＝，a3＝，
则a＝＝
(3)利用速度—时间图像求加速度
①作出速度—时间图像，通过图像的斜率求解小车的加速度；
②剪下相邻计数点的纸带紧排在一起求解加速度。
3．匀变速直线运动的判断
(1)沿直线运动的物体在连续相等时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4…，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2。
(2)利用“平均速度法”确定多个点的瞬时速度，作出物体运动的v－t图像。若v－t图线是一条倾斜的直线，则说明物体的速度随时间均匀变化，即做匀变速直线运动。
三、实验器材
电火花打点计时器(或电磁打点计时器)、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸。
四、实验步骤
1．按照课本实验原理图所示安装实验装置，把打点计时器固定在长木板无滑轮的一端，接好电源；
2．把一细绳系在小车上，细绳绕过滑轮，下端挂适量的钩码，纸带穿过打点计时器，固定在小车后面；
3．把小车停靠在打点计时器处，先_接通电源__、后_放开小车__；
4．小车运动一段时间后，断开电源，取下纸带；
5．换纸带反复做三次，选择一条比较理想的纸带进行测量分析。
五、注意事项
1．平行：纸带、细绳要和长木板_平行__。
2．两先两后：实验中应先接通电源，后放开小车；实验完毕应先断开电源，后取纸带。
3．防止碰撞：在到达长木板末端前应让小车停止运动，防止钩码落地和小车与滑轮相撞。
4．减小误差：小车的加速度宜适当大些，可以减小长度的测量误差，加速度大小以能在约50 cm的纸带上清楚地取出6～7个计数点为宜。
5．靠近和远离：打点计时器应固定在远离定滑轮一端，小车应靠近打点计时器由静止释放。
6．区分计时点和计数点：计时点是指打点计时器在纸带上打下的点。计数点是指测量和计算时在纸带上所选取的点，要注意“每5个点取一个计数点”与“每隔4个点取一个计数点”取点方法是一样的，时间间隔均为0.1 s。
7．准确作图：在坐标纸上，纵、横轴选取合适的单位(避免所描点过密或过疏而导致误差过大)，仔细描点连线，不能连成折线，应作一条直线，让各点尽量落到这条直线上，落不到直线上的各点应均匀分布在直线的两侧，距离过远的点舍去。
六、实验拓展
1．误差的分类
(1)根据误差来源的不同，误差可分为系统误差和偶然误差。
①偶然误差：由各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响造成的。
减小偶然误差的方法：取多次实验的平均值作为实验结果。
②系统误差：由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。
减小系统误差的方法：完善实验原理，提高实验仪器的测量精度，设计更精巧的实验方法。
(2)从分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差。
①绝对误差：绝对误差是测量值与被测物理量真实值之差(绝对值)。
②相对误差：相对误差等于绝对误差Δx与真实值x0之比，一般用百分数表示，即η＝×100%。它反映了实验结果的精确程度。
2．有效数字的读数规则
(1)有效数字的定义
带有一位不确定数字的近似数所包含的所有数字，叫作有效数字。
(2)有效数字的位数
从左向右第一个非0数字开始算起的所有数字。例如，2.70，有三位有效数字，2.70最末一位数字0是不可靠的，但7是可靠的。因此小数最后一位的数字0是有意义的，不能随便舍去或添加。
(3)有效数字的表示
为了正确表述有效数字，特别大或特别小的数都要用科学计数法表示，如0.013 3 m改写为1.33×10－2 m。
(4)测量仪器的读数规则
测量误差出现在哪一位，读数就应读到哪一位，最小刻度为“1”的仪器，应估读到最小刻度的十分之几。
考点1　教材原型实验
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
(实验原理、实验器材和数据处理)某班同学利用如图甲所示装置“探究小车速度随时间变化的规律”，电火花打点计时器使用的是频率为50 Hz的交流电源。
(1)电火花打点计时器的工作电压为__________(选填“8 V”或“220 V”)。安装纸带时，需要将纸带置于________________(选填“复写纸”或“墨粉纸盘”)的________(选填“上方”或“下方”)。
(2)第1个实验小组所得纸带上打出的部分计数点如图乙所示(每相邻两个计数点间还有4个点，图中未画出)。x1＝3.59 cm，x2＝4.41 cm，x3＝5.19 cm，x4＝5.97 cm，x5＝6.78 cm，x6＝7.64 cm。则小车的加速度a＝________m/s2(要求充分利用测量的数据)，打点计时器在打B点时小车的速度vB＝________m/s。(结果均保留两位有效数字)
(3)第2个实验小组计算出所得纸带上各计数点对应的速度后，在坐标系中描出的点如图丙所示，请根据这些点在图丙中作出v－t图像，并根据图像计算出小车运动的加速度a＝________m/s2。(结果保留三位有效数字)
(实验操作和数据处理)(2023·浙江卷)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，实验装置如图所示。
(1)需要的实验操作有________(多选)；
A．调节滑轮使细线与轨道平行
B．倾斜轨道以补偿阻力
C．小车靠近打点计时器静止释放
D．先接通电源再释放小车
(2)经正确操作后打出一条纸带，截取其中一段如图所示。选取连续打出的点0、1、2、3、4为计数点，则计数点1的读数为________cm。已知打点计时器所用交流电源的频率为50 Hz，则打计数点2时小车的速度大小为：________m/s(结果保留3位有效数字)。
考点2　创新实验提升
(能力考点·深度研析)
1．利用光电门测速度
2．计时方法的改进
采用频闪照相法和滴水法获得两点间的时间间隔打点计时器。
3．加速度计算方法的改进
(1)由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由－t图像的斜率求加速度。
(2)根据v2－v＝2a·x，由光电门测得v0和v，用刻度尺测得两光电门间的距离x，可求加速度。
考向1　实验数据处理的改进
(2023·全国甲卷)某同学利用如图(a)所示的实验装置探究物体做直线运动时平均速度与时间的关系。让小车左端和纸带相连，右端用细绳跨过定滑轮和钩码相连。钩码下落，带动小车运动，打点计时器打出纸带。某次实验得到的纸带和相关数据如图(b)所示。
(1)已知打出图(b)中相邻两个计数点的时间间隔均为0.1 s。以打出A点时小车位置为初始位置，将打出B、C、D、E、F各点时小车的位移Δx填到表中，小车发生对应位移和平均速度分别为Δx和，表中ΔxAD＝________cm，AD＝________cm/s。
位移区间 AB AC AD AE AF
Δx(cm) 6.60 14.60 ΔxAD 34.90 47.30
(cm/s) 66.0 73.0 AD 87.3 94.6
(2)根据表中数据得到小车平均速度随时间Δt的变化关系，如图(c)所示。在图中补全实验点。
(3)从实验结果可知，小车运动的－Δt图线可视为一条直线，此直线用方程＝kΔt＋b表示，其中k＝________cm/s2，b＝________cm/s。(结果均保留3位有效数字)
(4)根据(3)中的直线方程可以判定小车做匀加速直线运动，得到打出A点时小车速度大小vA＝________，小车的加速度大小a＝________。(结果用字母k、b表示)
考向2　实验器材和加速度计算方法的改进
(2025·重庆巴蜀中学期末)某实验小组用图甲所示的装置“探究匀变速直线运动的规律”，实验步骤如下：
①在斜面上靠近底端的适当位置A处安装光电门，连接数字毫秒计，并确保小球在斜面上运动时球心可以通过光电门发射孔与接收孔的连线；
②用游标卡尺测量小球的直径d；
③将小球从斜面上适当位置B处，由静止开始释放，从数字毫秒计中读出小球通过光电门的挡光时间Δt；
④通过固定在斜面上的刻度尺测出A、B之间的距离l；
⑤改变小球释放位置，重复步骤③④，完成多次测量并记录数据。
(1)用游标卡尺测量小球的直径d时，游标卡尺的读数如图乙所示，则d＝________mm；某次实验中，测得Δt＝11.60 ms，则小球通过光电门的瞬时速度v＝________m/s(结果保留2位有效数字)。
(2)若采用如图丙所示的图像法求小球的加速度，可以选用________(填正确答案标号)。
A．l－Δt图像 B．l－图像
C．l－图像 D．l－Δt2图像
(3)根据上述图像得到直线的斜率为k，则小球的加速度为________(用题中出现的字母表示)。
考向3　利用自由落体运动规律求重力加速度
小明利用手机测量当地的重力加速度，实验场景如图1所示，他将一根木条平放在楼梯台阶边缘，小球放置在木条上，打开手机的“声学秒表”软件，用钢尺水平击打木条使其转开后，小球下落撞击地面，手机接收到钢尺的击打声开始计时，接收到小球落地的撞击声停止计时，记录下击打声与撞击声的时间间隔t，多次测量不同台阶距离地面的高度h及对应的时间间隔t。
(1)现有以下材质的小球，实验中应当选用________。
A．钢球　　 B．乒乓球　　
C．橡胶球
(2)用分度值为1 mm的刻度尺测量某级台阶高度h的示数如图2所示，则h＝________cm。
(3)作出2h－t2图线，如图3所示，则可得到重力加速度g＝________m/s2。
(4)在图1中，将手机放在木条与地面间的中点附近进行测量，若将手机放在地面A点，设声速为v，考虑击打声的传播时间，则小球下落时间可表示为t′＝________(用h、t和v表示)。
(5)有同学认为，小明在实验中未考虑木条厚度，用图像法计算的重力加速度g必然有偏差。请判断该观点是否正确，简要说明理由___________________。
提能训练　练案[6]
1．在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用电火花打点计时器打下的纸带如图甲所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G 7个计数点，每相邻两个计数点间还有4个点图中没有画出，电火花打点计时器接220 V、50 Hz交流电源。
(1)设电火花打点计时器的周期为T，计算E点的瞬时速度vE的公式为vE＝________。
(2)他经过测量并计算得到电火花计时器在打B、C、D、E、F各点时物体的瞬时速度如下表。以A点对应的时刻为t＝0，试在图乙所示坐标系中合理地选择标度，作出v－t图像，并利用该图像求出物体的加速度a＝________m/s2。
对应点 B C D E F
速度(m/s) 0.141 0.180 0.218 0.262 0.301
(3)如果当时电网中交变电流的电压变成210 V，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
2．某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图(a)所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图(b)记录了桌面上连续的6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴)
(1)由图(b)可知，小车在桌面上是____________(选填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
(2)该小组同学根据图(b)所示的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图(b)中A点位置时的速度大小为________m/s，加速度大小为________m/s2(结果均保留2位有效数字)。
3．在暗室中用如图甲所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一根荧光刻度的米尺、频闪仪。具体实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴地落下。
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次看到一串仿佛固定不动的水滴。
③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度。
④采集数据进行处理。
(1)实验中看到空间有一串仿佛固定不动的水滴时，频闪仪的闪光频率与水滴滴落的频率满足的条件是_________________________________。
(2)实验中观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较远的水滴到第一个水滴的距离如图乙所示，根据数据测得当地重力加速度g＝________m/s2；第8个水滴此时的速度v8＝________m/s。(结果都保留3位有效数字)
(3)该实验存在的系统误差可能有(答出一条即可)：___________________　_________________________________________________________________。
4．(2025·哈尔滨高三调研)某物理兴趣小组采用图甲所示实验装置测定合肥市滨湖新区的重力加速度g。实验中，先测出两光电门之间的距离h，然后断开电磁铁电源，使小钢球自由下落。钢球通过光电门1时计时装置开始计时、通过光电门2时计时装置终止计时，由此测出小钢球通过两光电门之间所经历的时间t。实验中，保持光电门2的位置不动，多次移动光电门1的位置，测得多组h和t。并将得到的、t数据用黑“·”表示在图乙所示的－t图像上。
(1)根据实验数据所描出的黑“·”作出－t图像；
(2)由－t图像可以求得重力加速度g＝________m/s2，小钢球释放处与光电门2之间的距离为H＝________m(计算结果取两位有效数字)。
5．某同学利用如图所示的装置测量重力加速度，其中光栅板上交替排列着等宽度的遮光带和透光带(宽度用d表示)。实验时将光栅板置于光电传感器上方某高度，令其自由下落穿过光电传感器。光电传感器所连接的计算机可连续记录遮光带、透光带通过光电传感器的时间间隔Δt。
(1)除图中所用的实验器材外，该实验还需要________(填“天平”或“刻度尺”)；
(2)该同学测得遮光带(透光带)的宽度为4.50 cm，记录时间间隔的数据如表所示，
编号 1遮光带 2遮光带 3遮光带 …
Δt/(×10－3 s) 73.04 38.67 30.00 …
根据上述实验数据，可得编号为3的遮光带通过光电传感器的平均速度大小为v3＝__________m/s(结果保留两位有效数字)；
(3)某相邻遮光带和透光带先后通过光电传感器的时间间隔为Δt1、Δt2，则重力加速度g＝________________(用d、Δt1、Δt2表示)；
(4)该同学发现所得实验结果小于当地的重力加速度，请写出一条可能的原因：_______________________________________________。
6．利用下图(a)所示的装置测量滑块运动的加速度，将木板固定在水平桌面上，光电门A固定在木板上靠近滑块处，光电门B的位置可移动，利用一根压缩的短弹簧来弹开带有遮光片的滑块。实验步骤如下：
(1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d，其示数如图(b)所示，d＝________cm。
(2)两个光电门同时连接计时器，让滑块从O位置弹开并沿木板向右滑动，用计时器记录遮光片从光电门A运动至光电门B所用的时间t，再用刻度尺测量A、B之间的距离s。则表示________________。
(3)保持光电门A的位置不动，逐次改变光电门B的位置，每次都使滑块从O位置弹开，用计时器记录每次相应的t值，并用刻度尺测量A、B之间相应的距离s。每次实验重复几次测量后取平均值，这样可以减少实验的________误差(填“偶然”或“系统”)。
(4)若用－t图像处理数据，所得图像如图(c)所示，则该图线在轴上的截距表示滑块经过光电门A时速度的大小；用作图法算出滑块运动的加速度大小a＝________m/s2(结果保留2位有效数字)。第6讲　实验一　探究小车速度随时间变化的规律
一、实验目的
1．练习正确使用打点计时器
2．会计算纸带上各点的瞬时速度
3．会利用纸带计算加速度
4．会用图像法探究小车速度与时间的关系，并能根据图像求加速度
二、实验原理
1．打点计时器
(1)作用：计时仪器，当所用交流电源的频率f＝50 Hz时，每隔_0.02__s打一次点。
(2)结构
①电磁打点计时器(如图)
②电火花打点计时器(如图)
(3)工作条件：
2．求小车的速度与加速度
(1)利用平均速度求瞬时速度：vn＝＝。
(2)利用逐差法求解平均加速度
a1＝，a2＝，a3＝，
则a＝＝
(3)利用速度—时间图像求加速度
①作出速度—时间图像，通过图像的斜率求解小车的加速度；
②剪下相邻计数点的纸带紧排在一起求解加速度。
3．匀变速直线运动的判断
(1)沿直线运动的物体在连续相等时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4…，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2。
(2)利用“平均速度法”确定多个点的瞬时速度，作出物体运动的v－t图像。若v－t图线是一条倾斜的直线，则说明物体的速度随时间均匀变化，即做匀变速直线运动。
三、实验器材
电火花打点计时器(或电磁打点计时器)、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸。
四、实验步骤
1．按照课本实验原理图所示安装实验装置，把打点计时器固定在长木板无滑轮的一端，接好电源；
2．把一细绳系在小车上，细绳绕过滑轮，下端挂适量的钩码，纸带穿过打点计时器，固定在小车后面；
3．把小车停靠在打点计时器处，先_接通电源__、后_放开小车__；
4．小车运动一段时间后，断开电源，取下纸带；
5．换纸带反复做三次，选择一条比较理想的纸带进行测量分析。
五、注意事项
1．平行：纸带、细绳要和长木板_平行__。
2．两先两后：实验中应先接通电源，后放开小车；实验完毕应先断开电源，后取纸带。
3．防止碰撞：在到达长木板末端前应让小车停止运动，防止钩码落地和小车与滑轮相撞。
4．减小误差：小车的加速度宜适当大些，可以减小长度的测量误差，加速度大小以能在约50 cm的纸带上清楚地取出6～7个计数点为宜。
5．靠近和远离：打点计时器应固定在远离定滑轮一端，小车应靠近打点计时器由静止释放。
6．区分计时点和计数点：计时点是指打点计时器在纸带上打下的点。计数点是指测量和计算时在纸带上所选取的点，要注意“每5个点取一个计数点”与“每隔4个点取一个计数点”取点方法是一样的，时间间隔均为0.1 s。
7．准确作图：在坐标纸上，纵、横轴选取合适的单位(避免所描点过密或过疏而导致误差过大)，仔细描点连线，不能连成折线，应作一条直线，让各点尽量落到这条直线上，落不到直线上的各点应均匀分布在直线的两侧，距离过远的点舍去。
六、实验拓展
1．误差的分类
(1)根据误差来源的不同，误差可分为系统误差和偶然误差。
①偶然误差：由各种偶然因素对实验者和实验仪器的影响造成的。
减小偶然误差的方法：取多次实验的平均值作为实验结果。
②系统误差：由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。
减小系统误差的方法：完善实验原理，提高实验仪器的测量精度，设计更精巧的实验方法。
(2)从分析数据看，误差分为绝对误差和相对误差。
①绝对误差：绝对误差是测量值与被测物理量真实值之差(绝对值)。
②相对误差：相对误差等于绝对误差Δx与真实值x0之比，一般用百分数表示，即η＝×100%。它反映了实验结果的精确程度。
2．有效数字的读数规则
(1)有效数字的定义
带有一位不确定数字的近似数所包含的所有数字，叫作有效数字。
(2)有效数字的位数
从左向右第一个非0数字开始算起的所有数字。例如，2.70，有三位有效数字，2.70最末一位数字0是不可靠的，但7是可靠的。因此小数最后一位的数字0是有意义的，不能随便舍去或添加。
(3)有效数字的表示
为了正确表述有效数字，特别大或特别小的数都要用科学计数法表示，如0.013 3 m改写为1.33×10－2 m。
(4)测量仪器的读数规则
测量误差出现在哪一位，读数就应读到哪一位，最小刻度为“1”的仪器，应估读到最小刻度的十分之几。
考点1　教材原型实验
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
(实验原理、实验器材和数据处理)某班同学利用如图甲所示装置“探究小车速度随时间变化的规律”，电火花打点计时器使用的是频率为50 Hz的交流电源。
(1)电火花打点计时器的工作电压为__________(选填“8 V”或“220 V”)。安装纸带时，需要将纸带置于________________(选填“复写纸”或“墨粉纸盘”)的________(选填“上方”或“下方”)。
(2)第1个实验小组所得纸带上打出的部分计数点如图乙所示(每相邻两个计数点间还有4个点，图中未画出)。x1＝3.59 cm，x2＝4.41 cm，x3＝5.19 cm，x4＝5.97 cm，x5＝6.78 cm，x6＝7.64 cm。则小车的加速度a＝________m/s2(要求充分利用测量的数据)，打点计时器在打B点时小车的速度vB＝________m/s。(结果均保留两位有效数字)
(3)第2个实验小组计算出所得纸带上各计数点对应的速度后，在坐标系中描出的点如图丙所示，请根据这些点在图丙中作出v－t图像，并根据图像计算出小车运动的加速度a＝________m/s2。(结果保留三位有效数字)
[答案]　(1)220 V　墨粉纸盘　下方　(2)0.80　0.40　
(3)如解析图　1.53(1.52、1.54均可)
[解析]　(1)电火花计时器的工作电压为220 V。
(2)根据逐差法可得小车的加速度为a＝＝
m/s2＝0.80 m/s2。
打B点时小车的速度等于打A、C两点间小车的平均速度，即vB＝＝ m/s＝0.40 m/s。
(3)将误差较大的点忽略，将其他点用一条直线拟合，如图所示。
v－t图像的斜率表示加速度，则a＝ m/s2≈1.53 m/s2。
(实验操作和数据处理)(2023·浙江卷)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，实验装置如图所示。
(1)需要的实验操作有________(多选)；
A．调节滑轮使细线与轨道平行
B．倾斜轨道以补偿阻力
C．小车靠近打点计时器静止释放
D．先接通电源再释放小车
(2)经正确操作后打出一条纸带，截取其中一段如图所示。选取连续打出的点0、1、2、3、4为计数点，则计数点1的读数为________cm。已知打点计时器所用交流电源的频率为50 Hz，则打计数点2时小车的速度大小为：________m/s(结果保留3位有效数字)。
[答案]　(1)ACD　(2)2.75　1.46
[解析]　(1)实验需要调节滑轮使细线与轨道平行，选项A正确；该实验只要使得小车加速运动即可，不需要倾斜轨道补偿阻力，选项B错误；为了充分利用纸带，则小车靠近打点计时器静止释放，选项C正确；应先接通电源再释放小车，选项D正确。故选ACD。
(2)计数点1的读数为2.75 cm。已知打点计时器所用交流电源的频率为50 Hz，则打点周期T＝0.02 s，则打计数点2时小车的速度大小为
v2＝＝ m/s＝1.46 m/s。
考点2　创新实验提升
(能力考点·深度研析)
1．利用光电门测速度
2．计时方法的改进
采用频闪照相法和滴水法获得两点间的时间间隔打点计时器。
3．加速度计算方法的改进
(1)由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由－t图像的斜率求加速度。
(2)根据v2－v＝2a·x，由光电门测得v0和v，用刻度尺测得两光电门间的距离x，可求加速度。
考向1　实验数据处理的改进
(2023·全国甲卷)某同学利用如图(a)所示的实验装置探究物体做直线运动时平均速度与时间的关系。让小车左端和纸带相连，右端用细绳跨过定滑轮和钩码相连。钩码下落，带动小车运动，打点计时器打出纸带。某次实验得到的纸带和相关数据如图(b)所示。
(1)已知打出图(b)中相邻两个计数点的时间间隔均为0.1 s。以打出A点时小车位置为初始位置，将打出B、C、D、E、F各点时小车的位移Δx填到表中，小车发生对应位移和平均速度分别为Δx和，表中ΔxAD＝________cm，AD＝________cm/s。
位移区间 AB AC AD AE AF
Δx(cm) 6.60 14.60 ΔxAD 34.90 47.30
(cm/s) 66.0 73.0 AD 87.3 94.6
(2)根据表中数据得到小车平均速度随时间Δt的变化关系，如图(c)所示。在图中补全实验点。
(3)从实验结果可知，小车运动的－Δt图线可视为一条直线，此直线用方程＝kΔt＋b表示，其中k＝________cm/s2，b＝________cm/s。(结果均保留3位有效数字)
(4)根据(3)中的直线方程可以判定小车做匀加速直线运动，得到打出A点时小车速度大小vA＝________，小车的加速度大小a＝________。(结果用字母k、b表示)
[答案]　(1)24.00　80.0　(2)见解析图　(3)70.0　59.0　(4)b　2k
[解析]　(1)根据纸带的数据可得
ΔxAD＝xAB＋xBC＋xCD＝6.60 cm＋8.00 cm＋9.40 cm＝24.00 cm
平均速度为
AD＝＝80.0 cm/s。
(2)根据第(1)小题结果补充表格和补全实验点，图像为
(3)从实验结果可知，小车运动的－Δt图线可视为一条直线，图像为
此直线用方程＝kΔt＋b表示，由图像可知其中
k＝ cm/s2＝70.0 cm/s2，
b＝59.0 cm/s。
(4)小球做匀变速直线运动，由位移公式x＝v0t＋at2，整理得＝v0＋at
即＝vA＋at
故根据图像斜率和截距可得vA＝b，a＝2k。
考向2　实验器材和加速度计算方法的改进
(2025·重庆巴蜀中学期末)某实验小组用图甲所示的装置“探究匀变速直线运动的规律”，实验步骤如下：
①在斜面上靠近底端的适当位置A处安装光电门，连接数字毫秒计，并确保小球在斜面上运动时球心可以通过光电门发射孔与接收孔的连线；
②用游标卡尺测量小球的直径d；
③将小球从斜面上适当位置B处，由静止开始释放，从数字毫秒计中读出小球通过光电门的挡光时间Δt；
④通过固定在斜面上的刻度尺测出A、B之间的距离l；
⑤改变小球释放位置，重复步骤③④，完成多次测量并记录数据。
(1)用游标卡尺测量小球的直径d时，游标卡尺的读数如图乙所示，则d＝________mm；某次实验中，测得Δt＝11.60 ms，则小球通过光电门的瞬时速度v＝________m/s(结果保留2位有效数字)。
(2)若采用如图丙所示的图像法求小球的加速度，可以选用________(填正确答案标号)。
A．l－Δt图像 B．l－图像
C．l－图像 D．l－Δt2图像
(3)根据上述图像得到直线的斜率为k，则小球的加速度为________(用题中出现的字母表示)。
[答案]　(1)5.00　0.43　(2)C　(3)
[解析]　(1)游标卡尺读数为d＝5 mm＋0.05×0 mm＝5.00 mm
小球通过光电门的瞬时速度v＝＝ m/s≈0.43 m/s。
(2)小球由B处运动到A处的过程中做匀加速运动，由运动学公式得v2＝2al
即2＝2al
解得l＝·，l∝，故选C。
(3)根据l＝·可知，斜率k＝
故小球的加速度a＝。
考向3　利用自由落体运动规律求重力加速度
小明利用手机测量当地的重力加速度，实验场景如图1所示，他将一根木条平放在楼梯台阶边缘，小球放置在木条上，打开手机的“声学秒表”软件，用钢尺水平击打木条使其转开后，小球下落撞击地面，手机接收到钢尺的击打声开始计时，接收到小球落地的撞击声停止计时，记录下击打声与撞击声的时间间隔t，多次测量不同台阶距离地面的高度h及对应的时间间隔t。
(1)现有以下材质的小球，实验中应当选用________。
A．钢球　　 B．乒乓球　　
C．橡胶球
(2)用分度值为1 mm的刻度尺测量某级台阶高度h的示数如图2所示，则h＝________cm。
(3)作出2h－t2图线，如图3所示，则可得到重力加速度g＝________m/s2。
(4)在图1中，将手机放在木条与地面间的中点附近进行测量，若将手机放在地面A点，设声速为v，考虑击打声的传播时间，则小球下落时间可表示为t′＝________(用h、t和v表示)。
(5)有同学认为，小明在实验中未考虑木条厚度，用图像法计算的重力加速度g必然有偏差。请判断该观点是否正确，简要说明理由___________________。
[答案]　(1)A　(2)61.20　(3)9.66
(4)t＋　(5)不正确，理由见解析
[解析]　(1)为了减小空气阻力等误差影响，应该选用材质密度较大的小钢球，故选A。
(2)刻度尺的分度值为1 mm，估读到分度值的下一位，由图可知h＝61.20 cm。
(3)根据h＝gt2可知＝g
故在2h－t2图像中斜率表示重力加速度，则根据图线有
g＝ m/s2≈9.66 m/s2。
(4)下落过程中声音传播的时间为t1＝
则小球下落的时间为t′＝t＋t1＝t＋。
(5)设木条厚度为H，台阶距离地面的高度为h1时的时间为t1，高度为h2时的时间为t2；则根据前面的分析有
g＝＝
可知g与H无关。
提能训练　练案[6]
1．在做“研究匀变速直线运动”的实验时，某同学得到一条用电火花打点计时器打下的纸带如图甲所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G 7个计数点，每相邻两个计数点间还有4个点图中没有画出，电火花打点计时器接220 V、50 Hz交流电源。
(1)设电火花打点计时器的周期为T，计算E点的瞬时速度vE的公式为vE＝________。
(2)他经过测量并计算得到电火花计时器在打B、C、D、E、F各点时物体的瞬时速度如下表。以A点对应的时刻为t＝0，试在图乙所示坐标系中合理地选择标度，作出v－t图像，并利用该图像求出物体的加速度a＝________m/s2。
对应点 B C D E F
速度(m/s) 0.141 0.180 0.218 0.262 0.301
(3)如果当时电网中交变电流的电压变成210 V，而做实验的同学并不知道，那么加速度的测量值与实际值相比________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[答案]　(1)　(2)0.40　(3)不变
[解析]　(1)利用“中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度”求E点的速度，可得vE＝。
(2)用描点法作出v－t图像如图所示，由图线的斜率求出加速度
a＝＝0.40 m/s2。
(3)电网中交变电流的电压变化，并不改变电火花计时器的打点周期，故测量值与实际值相比不变。
2．某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图(a)所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图(b)记录了桌面上连续的6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴)
(1)由图(b)可知，小车在桌面上是____________(选填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
(2)该小组同学根据图(b)所示的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图(b)中A点位置时的速度大小为________m/s，加速度大小为________m/s2(结果均保留2位有效数字)。
[答案]　(1)从右向左　(2)0.19　0.038
[解析]　(1)由于小车在水平桌面上运动时必然受到阻力作用，做匀减速直线运动，相邻水滴(时间间隔相同)的位置间的距离逐渐减小，所以由题图(b)可知，小车在桌面上是从右向左运动的。
(2)滴水计时器每30 s内共滴下46个小水滴，其滴水的时间间隔为T＝ s＝ s。根据匀变速直线运动的规律，可得小车运动到题图(b)中A点位置时的速度大小为vA＝ m/s≈0.19 m/s。根据逐差法，共有5组数据，舍去中间的一组数据，则加速度a＝＝ m/s2≈－0.038 m/s2。因此加速度的大小为0.038 m/s2。
3．在暗室中用如图甲所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一根荧光刻度的米尺、频闪仪。具体实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴地落下。
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次看到一串仿佛固定不动的水滴。
③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度。
④采集数据进行处理。
(1)实验中看到空间有一串仿佛固定不动的水滴时，频闪仪的闪光频率与水滴滴落的频率满足的条件是_________________________________。
(2)实验中观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较远的水滴到第一个水滴的距离如图乙所示，根据数据测得当地重力加速度g＝________m/s2；第8个水滴此时的速度v8＝________m/s。(结果都保留3位有效数字)
(3)该实验存在的系统误差可能有(答出一条即可)：___________________　_________________________________________________________________。
[答案]　(1)频闪仪的闪光频率等于水滴滴落的频率　(2)9.72　2.27　(3)存在空气阻力(或水滴滴落的频率不恒定)
[解析]　(1)后一水滴经过一个频闪间隔运动到前一水滴的位置，可看到一串仿佛固定不动的水滴，即频闪仪的闪光频率等于水滴滴落的频率时，水滴仿佛不动。
(2)由逐差法知，g＝＝ m/s2＝9.72 m/s2；
一段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度
v8＝＝ m/s≈2.27 m/s。
(3)存在空气阻力会对水滴的运动产生影响，水滴滴落的频率不恒定也会对实验产生影响。
4．(2025·哈尔滨高三调研)某物理兴趣小组采用图甲所示实验装置测定合肥市滨湖新区的重力加速度g。实验中，先测出两光电门之间的距离h，然后断开电磁铁电源，使小钢球自由下落。钢球通过光电门1时计时装置开始计时、通过光电门2时计时装置终止计时，由此测出小钢球通过两光电门之间所经历的时间t。实验中，保持光电门2的位置不动，多次移动光电门1的位置，测得多组h和t。并将得到的、t数据用黑“·”表示在图乙所示的－t图像上。
(1)根据实验数据所描出的黑“·”作出－t图像；
(2)由－t图像可以求得重力加速度g＝________m/s2，小钢球释放处与光电门2之间的距离为H＝________m(计算结果取两位有效数字)。
[答案]　(1)见解析　(2)9.7　0.80
[解析]　(1)作出－t图像
(2)采用逆向思维方法，设钢球经过光电门2时的速率为v0，由竖直上抛运动可得
h＝v0t－gt2，即＝v0－gt，
由图乙坐标点作出图线，由图像截距可知v0＝3.95 m/s，
由图线“斜率”可以求得g＝ m/s2＝ m/s2，g≈9.7 m/s2，
再由H＝得出H＝0.80 m。
5．某同学利用如图所示的装置测量重力加速度，其中光栅板上交替排列着等宽度的遮光带和透光带(宽度用d表示)。实验时将光栅板置于光电传感器上方某高度，令其自由下落穿过光电传感器。光电传感器所连接的计算机可连续记录遮光带、透光带通过光电传感器的时间间隔Δt。
(1)除图中所用的实验器材外，该实验还需要________(填“天平”或“刻度尺”)；
(2)该同学测得遮光带(透光带)的宽度为4.50 cm，记录时间间隔的数据如表所示，
编号 1遮光带 2遮光带 3遮光带 …
Δt/(×10－3 s) 73.04 38.67 30.00 …
根据上述实验数据，可得编号为3的遮光带通过光电传感器的平均速度大小为v3＝__________m/s(结果保留两位有效数字)；
(3)某相邻遮光带和透光带先后通过光电传感器的时间间隔为Δt1、Δt2，则重力加速度g＝________________(用d、Δt1、Δt2表示)；
(4)该同学发现所得实验结果小于当地的重力加速度，请写出一条可能的原因：_______________________________________________。
[答案]　(1)刻度尺　(2)1.5
(3)
(4)光栅板受到空气阻力的作用
[解析]　(1)该实验测量重力加速度，不需要天平测质量；需要用刻度尺测量遮光带(透光带)的宽度，故需要刻度尺。
(2)根据平均速度的计算公式可知v＝＝＝1.5 m/s。
(3)根据匀变速直线运动平均速度等于中间时刻的速度，有v1＝，
v2＝，v2＝v1＋g，
可得g＝。
(4)光栅板下落过程中受到空气阻力的影响，所以竖直向下的加速度小于重力加速度。
6．利用下图(a)所示的装置测量滑块运动的加速度，将木板固定在水平桌面上，光电门A固定在木板上靠近滑块处，光电门B的位置可移动，利用一根压缩的短弹簧来弹开带有遮光片的滑块。实验步骤如下：
(1)用游标卡尺测量遮光片的宽度d，其示数如图(b)所示，d＝________cm。
(2)两个光电门同时连接计时器，让滑块从O位置弹开并沿木板向右滑动，用计时器记录遮光片从光电门A运动至光电门B所用的时间t，再用刻度尺测量A、B之间的距离s。则表示________________。
(3)保持光电门A的位置不动，逐次改变光电门B的位置，每次都使滑块从O位置弹开，用计时器记录每次相应的t值，并用刻度尺测量A、B之间相应的距离s。每次实验重复几次测量后取平均值，这样可以减少实验的________误差(填“偶然”或“系统”)。
(4)若用－t图像处理数据，所得图像如图(c)所示，则该图线在轴上的截距表示滑块经过光电门A时速度的大小；用作图法算出滑块运动的加速度大小a＝________m/s2(结果保留2位有效数字)。
[答案]　(1)0.860　(2)滑块在A至B段的平均速度的大小　
(3)偶然　(4)2.3(2.2～2.4)
[解析]　(1)宽度d的读数为8 mm＋12×0.05 mm＝8.60 mm＝0.860 cm。
(2)表示滑块在A至B段的平均速度的大小。
(3)每次实验重复几次测量后取平均值，是为了减小人为操作造成的误差，为偶然误差。
(4)若某同学做该实验时将光电门B的位置改变多次，光电门A的位置保持不变，画出－t图线后，得出的纵轴截距的物理含义为滑块经过光电门A的瞬时速度；滑块在摩擦力作用下做匀减速直线运动，有s＝vAt－at2
即＝vA－at
由题中图像知，图线的斜率k＝＝－1.17，因此a＝－2k≈2.3 m/s2。第7讲　重力　弹力
一、力
1．定义：力是 物体与物体间　的相互作用。
2．作用效果：使物体发生形变或改变物体的 运动状态　(即产生加速度)。
3．性质：力具有物质性、相互性、矢量性、独立性等特征。
二、重力
1．产生：由于 地球的吸引　而使物体受到的力。
2．大小：G＝mg，可用 弹簧测力计　测量。
3．方向：总是 竖直向下　。
4．重心：物体的每一部分都受重力作用，可认为重力集中作用于一点，这一点叫作物体的重心。
(1)影响重心位置的因素：物体的几何形状；物体的 质量　分布。
(2)不规则薄板形物体重心位置的确定方法： 悬挂　法。
三、弹力
1．弹力
(1)定义：发生 弹性形变　的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的作用力。
(2)产生条件
①物体间直接接触。
②接触处发生 弹性形变　。
(3)方向：总是与施力物体形变的方向 相反　。
2．胡克定律
(1)内容：在弹性限度内，弹簧弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成 正比　。
(2)表达式：F＝kx。
①k是弹簧的 劲度系数　，单位是牛顿每米，用符号N/m表示；k的大小由弹簧 自身性质　决定。
②x是弹簧的 形变量　，不是弹簧形变以后的长度。
1．一个物体可以只是施力物体，但不是受力物体。( × )
2．物体的重心就是物体上最重的一点，所以物体的重心一定在物体上。( × )
3．重力的方向一定指着地心。( × )
4．物体的重力总等于它对竖直弹簧测力计的拉力。( × )
5．相互接触的物体间一定有弹力。( × )
6．轻绳、轻杆的弹力方向一定沿绳、杆。( × )
7．物体所受弹力方向与自身形变的方向相同。( √ )
8．F＝kx中“x”表示弹簧形变后的长度。( × )
考点1　重力
(基础考点·自主探究)
1．对重力的理解
(1)重力不是万有引力，而是万有引力的一个分力。
(2)大小：G＝mg，g与物体在地球上的位置有关，与环境和运动状态无关。
(3)方向：总是竖直向下。
(4)在赤道和地球两极，重力方向指向地心；在其他位置，重力方向不指向地心。
2．对重心的理解
(1)重心是重力的等效作用点，重力作用在整个物体上。
(2)重心不是物体上最重的一点，它可以不在物体上，也不一定在物体的几何中心。
(3)重心在物体上的相对位置与物体的位置、放置状态及运动状态无关。
【跟踪训练】
(对重力和重心的理解)某中学教学楼的读书角迎来了一位新客人，如图所示。这个小瓶子非常漂亮，不经意之间增添了许多审美的情趣。关于这个装饰瓶，下列说法正确的是(　　)
A．瓶子受到地球对它的吸引力，但它对地球没有吸引力
B．装饰瓶重心一定在其几何中心
C．装饰瓶的重心与其形状结构及质量分布有关
D．若装饰瓶底部出现一个小洞，那在水滴完的过程中，装饰瓶的重心一直在降低
(重心位置的分析)某同学在空易拉罐中注入适量的水后，将易拉罐倾斜放置在水平桌面上，并为其他同学表演易拉罐的“倾而不倒”，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．注水后，易拉罐的重心位置升高了
B．若将空易拉罐压瘪，则其重心位置不变
C．易拉罐的重心位置在过易拉罐与桌面接触点的竖直线上
D．若将注水后的易拉罐水平放置，则其重心位置不变
考点2　弹力有无及方向的判断
(基础考点·自主探究)
1．判断弹力有无的三种方法
条件法 根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断，多用来判断形变较明显的情况
假设法 对形变不明显的情况，可假设两个物体间不存在弹力，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定存在弹力。
状态法 根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断是否存在弹力。
2．弹力方向的判断
(1)根据物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反判断。
(2)常见的几种弹力方向的判断
(3)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
【跟踪训练】
(弹力有无的判断)如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成α角的轻质细绳拴接一小球，此时小车与小球保持相对静止，一起在水平面上运动，下列说法正确的是(　　)
A．细绳一定对小球有拉力
B．轻弹簧一定对小球有弹力
C．细绳不一定对小球有拉力，但是轻弹簧一定对小球有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力，轻弹簧也不一定对小球有弹力
(弹力方向的判断)图中各物体均处于静止状态。图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确的是(　　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
考点3　弹力大小的计算
(能力考点·深度研析)
1．对胡克定律F＝kx的理解
(1)公式中x是弹簧的形变量，不是弹簧的长度。
(2)弹簧的F－x图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k。
(3)弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx。
特别提醒：(1)F＝kx中F为弹簧一端受到的力，不是弹簧所受合力。
(2)如果弹簧的初、末两个状态分别是伸长和压缩状态，则ΔF＝F1＋F2，Δx＝x1＋x2。
2．计算弹力大小的三种方法
公式法 利用胡克定律F＝kx计算。适用于弹簧、橡皮筋等弹力的计算
平衡法 物体静止或做匀速直线运动时，用共点力平衡条件来计算弹力
牛顿第二定律法 物体不处于平衡状态时可应用牛顿第二定律计算弹力
3．有关弹力的“三类模型”问题
三类模型的比较
轻绳 轻杆 轻弹簧
质量大小 0 0 0
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略
弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度 沿着弹簧轴线，指向弹簧恢复原长的方向
弹力大小变化情况 可以突变 可以突变 不能突变
考向1　轻绳的弹力
小杰同学将洗干净的外套和短袖挂在晾衣绳上，如图所示，晾衣绳穿过中间立柱上的固定套环，分别系在左、右立柱的顶端，忽略绳与套环、衣架挂钩之间的摩擦，忽略晾衣绳的质量，用FT1、FT2、FT3和FT4分别表示各段绳的拉力大小，下列说法正确的是(　　)
A．FT1>FT2 B．FT2>FT3
C．FT3 考向2　应用平衡条件分析轻杆的弹力
考向3　弹簧的弹力
(2023·山东卷)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)
A．10 N/m B．100 N/m
C．200 N/m D．300 N/m
考向4　应用牛顿第二定律分析非平衡体所受弹力
(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球。现使小车以加速度a向右做匀加速运动，下列说法正确的是(　　)
A．杆对小球的弹力竖直向上
B．杆对小球的弹力沿杆向上
C．杆对小球的弹力大小可能为
D．杆对小球的弹力大小为F＝
反思提升　　　　
(1)非平衡体所受弹力的大小和方向与物体加速度的大小和方向有关。
(2)应用牛顿第二定律时，沿加速度的方向和垂直于加速度的方向列方程。
提能训练　练案[7]
基础巩固练
题组一　重力与重心
1．关于重力的大小和方向，以下说法正确的是(　　)
A．在地球上的物体都要受到重力作用，所受的重力与它的运动状态无关，也与是否存在其他力的作用无关
B．在地球各处的重力方向都是一样的
C．物体的重力作用在重心上，把重心挖去物体就不会受到重力作用
D．对某一物体而言，其重力的大小总是一个恒量，不因物体从赤道移到南极而变化
2．(2022·浙江1月选考)如图所示，公园里有一仿制我国古代欹器的U形水桶，桶可绕水平轴转动，水管口持续有水流出，过一段时间桶会翻转一次，决定桶能否翻转的主要因素是(　　)
A．水桶自身重力的大小
B．水管每秒出水量的大小
C．水流对桶撞击力的大小
D．水桶与水整体的重心高低
题组二　弹力的理解　弹力有无及方向的确定
3．如图所示，关于下列四幅图中的弹力说法正确的是(　　)
A．甲图中，由于书的形变，对桌面产生向下的弹力F1
B．乙图中，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的长度成正比
C．丙图中，碗对筷子的弹力沿筷子斜向上，如图中箭头所示
D．丁图中，绳的拉力不一定沿着绳收缩的方向
4．如图所示，一倾角为45°的斜面固定于墙角，为使一光滑的球静止于图示位置，需加一水平力F，且F通过球心。下列说法正确的是(　　)
A．球一定受墙面水平向左的弹力
B．球可能受墙面水平向左的弹力
C．球一定受斜面通过球的重心的弹力
D．球可能受斜面垂直于斜面向上的弹力
题组三　胡克定律　弹力的计算
5．如图所示的装置中，各小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦不计，平衡时各弹簧的弹力大小分别为F1、F2、F3，其大小关系是(　　)
A．F1＝F2＝F3 B．F1＝F2C．F1＝F3>F2 D．F3>F1>F2
6．如图甲所示，一轻弹簧左端与墙壁相连于O点。作用于右端A点的水平外力F变化时弹簧长度不断变化，取水平向左为正方向，测得外力F与弹簧长度的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧原长为5 cm
B．弹簧的劲度系数为400 N/m
C．当l＝10 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向右
D．当l＝20 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向左
7．(多选)如图甲所示，一轻质弹簧下端固定在水平面上，上端放一个质量为2m的物块A，物块A静止后弹簧长度为l1；若在物块A上端再放一个质量为m的物块B，静止后弹簧长度为l2，如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度范围内，则(　　)
A．弹簧的劲度系数为
B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧的原长为3l1－3l2
D．弹簧的原长为3l1－2l2
8．两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示，开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，当a弹簧的伸长量为L时(　　)
A．b弹簧的伸长量为L
B．b弹簧的伸长量也为L
C．P端向右移动的距离为2L
D．P端向右移动的距离为L
9．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成皮兜。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L(弹性限度内)，则发射过程中皮兜对弹丸的最大作用力为(　　)
A．1.2kL B．kL
C．kL D．kL
能力提升练
10．如图所示，一种倾斜放置的装取台球的装置，圆筒底部有一轻质弹簧，每个台球的质量为m，半径为R，圆筒直径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后，又会冒出一个台球，刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，忽略球与筒间的摩擦力。则弹簧的劲度系数k的值为(　　)
A． B．
C． D．
11．如图所示，与竖直墙壁成53°角的轻杆一端斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹力大小为mg(g表示重力加速度)，则轻杆对小球的弹力大小为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
12．(2025·河北石家庄高三质检)如图所示，质量为2m的物体A经一轻质弹簧与地面上的质量为3m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A，另一端连一质量为m的物体C，物体A、B、C都处于静止状态。已知重力加速度为g，忽略一切摩擦。
(1)求物体B对地面的压力；
(2)把物体C的质量改为5m，这时，C缓慢下降，经过一段时间系统达到新的平衡状态，这时B仍没离开地面，且C只受重力和绳的拉力作用，求此过程中物体A上升的高度。第7讲　重力　弹力
一、力
1．定义：力是 物体与物体间　的相互作用。
2．作用效果：使物体发生形变或改变物体的 运动状态　(即产生加速度)。
3．性质：力具有物质性、相互性、矢量性、独立性等特征。
二、重力
1．产生：由于 地球的吸引　而使物体受到的力。
2．大小：G＝mg，可用 弹簧测力计　测量。
3．方向：总是 竖直向下　。
4．重心：物体的每一部分都受重力作用，可认为重力集中作用于一点，这一点叫作物体的重心。
(1)影响重心位置的因素：物体的几何形状；物体的 质量　分布。
(2)不规则薄板形物体重心位置的确定方法： 悬挂　法。
三、弹力
1．弹力
(1)定义：发生 弹性形变　的物体由于要恢复原状而对与它接触的物体产生的作用力。
(2)产生条件
①物体间直接接触。
②接触处发生 弹性形变　。
(3)方向：总是与施力物体形变的方向 相反　。
2．胡克定律
(1)内容：在弹性限度内，弹簧弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成 正比　。
(2)表达式：F＝kx。
①k是弹簧的 劲度系数　，单位是牛顿每米，用符号N/m表示；k的大小由弹簧 自身性质　决定。
②x是弹簧的 形变量　，不是弹簧形变以后的长度。
1．一个物体可以只是施力物体，但不是受力物体。( × )
2．物体的重心就是物体上最重的一点，所以物体的重心一定在物体上。( × )
3．重力的方向一定指着地心。( × )
4．物体的重力总等于它对竖直弹簧测力计的拉力。( × )
5．相互接触的物体间一定有弹力。( × )
6．轻绳、轻杆的弹力方向一定沿绳、杆。( × )
7．物体所受弹力方向与自身形变的方向相同。( √ )
8．F＝kx中“x”表示弹簧形变后的长度。( × )
考点1　重力
(基础考点·自主探究)
1．对重力的理解
(1)重力不是万有引力，而是万有引力的一个分力。
(2)大小：G＝mg，g与物体在地球上的位置有关，与环境和运动状态无关。
(3)方向：总是竖直向下。
(4)在赤道和地球两极，重力方向指向地心；在其他位置，重力方向不指向地心。
2．对重心的理解
(1)重心是重力的等效作用点，重力作用在整个物体上。
(2)重心不是物体上最重的一点，它可以不在物体上，也不一定在物体的几何中心。
(3)重心在物体上的相对位置与物体的位置、放置状态及运动状态无关。
【跟踪训练】
(对重力和重心的理解)某中学教学楼的读书角迎来了一位新客人，如图所示。这个小瓶子非常漂亮，不经意之间增添了许多审美的情趣。关于这个装饰瓶，下列说法正确的是(　　)
A．瓶子受到地球对它的吸引力，但它对地球没有吸引力
B．装饰瓶重心一定在其几何中心
C．装饰瓶的重心与其形状结构及质量分布有关
D．若装饰瓶底部出现一个小洞，那在水滴完的过程中，装饰瓶的重心一直在降低
[答案]　C
[解析]　瓶子受到地球对它的吸引力，同时它对地球也有吸引力，故A错误；由装饰瓶内装有的水可知，其重心一定不在其几何中心，故B错误；装饰瓶的重心与其形状结构及质量分布有关，故C正确；若装饰瓶底部出现一个小洞，在水滴完的过程中，装饰瓶的重心先降低后升高，故D错误。
(重心位置的分析)某同学在空易拉罐中注入适量的水后，将易拉罐倾斜放置在水平桌面上，并为其他同学表演易拉罐的“倾而不倒”，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．注水后，易拉罐的重心位置升高了
B．若将空易拉罐压瘪，则其重心位置不变
C．易拉罐的重心位置在过易拉罐与桌面接触点的竖直线上
D．若将注水后的易拉罐水平放置，则其重心位置不变
[答案]　C
[解析]　注水后，易拉罐下部的质量变大，重心下移，故A错误；将空易拉罐压瘪后，易拉罐的形状改变，其重心位置改变，故B错误；易拉罐受到的重力(方向竖直向下)与桌面对它的支持力大小相等、方向相反、作用在同一直线上，因此易拉罐的重心位置在过易拉罐与桌面接触点的竖直线上，故C正确；将注水后的易拉罐水平放置，易拉罐里的水质量分布改变，其重心位置改变，故D错误。
考点2　弹力有无及方向的判断
(基础考点·自主探究)
1．判断弹力有无的三种方法
条件法 根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断，多用来判断形变较明显的情况
假设法 对形变不明显的情况，可假设两个物体间不存在弹力，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定存在弹力。
状态法 根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断是否存在弹力。
2．弹力方向的判断
(1)根据物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反判断。
(2)常见的几种弹力方向的判断
(3)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
【跟踪训练】
(弹力有无的判断)如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成α角的轻质细绳拴接一小球，此时小车与小球保持相对静止，一起在水平面上运动，下列说法正确的是(　　)
A．细绳一定对小球有拉力
B．轻弹簧一定对小球有弹力
C．细绳不一定对小球有拉力，但是轻弹簧一定对小球有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力，轻弹簧也不一定对小球有弹力
[答案]　D
[解析]　当小车匀速运动时，弹簧弹力大小等于小球重力大小，此时细绳的拉力FT＝0；当小车和小球向右做匀加速直线运动时，绳的拉力不可能为零，弹簧弹力有可能为零，故D正确。
(弹力方向的判断)图中各物体均处于静止状态。图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确的是(　　)
　　　　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D
[答案]　C
[解析]　在一般情况下，轻杆对物体的弹力不一定沿杆的方向，图A中的小球只受重力和杆的弹力作用且处于平衡状态，由二力平衡条件可知，小球受杆的弹力应为竖直向上，A错误；在图B中右边的绳是竖直方向，如果左边的绳有拉力的话，右边的绳会产生倾斜，所以左边的绳没有拉力，B错误；球与面接触的弹力方向，经接触点与接触面垂直(即接触点与球心的连线上)，C图中球与球的弹力方向，垂直于接触点的公切面(在两球心的连线上)且指向受力物体，在D图中，大半圆对小球的弹力FN2应是从接触点沿大半圆的半径指向圆心，C正确，D错误。
考点3　弹力大小的计算
(能力考点·深度研析)
1．对胡克定律F＝kx的理解
(1)公式中x是弹簧的形变量，不是弹簧的长度。
(2)弹簧的F－x图像是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k。
(3)弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比，即ΔF＝kΔx。
特别提醒：(1)F＝kx中F为弹簧一端受到的力，不是弹簧所受合力。
(2)如果弹簧的初、末两个状态分别是伸长和压缩状态，则ΔF＝F1＋F2，Δx＝x1＋x2。
2．计算弹力大小的三种方法
公式法 利用胡克定律F＝kx计算。适用于弹簧、橡皮筋等弹力的计算
平衡法 物体静止或做匀速直线运动时，用共点力平衡条件来计算弹力
牛顿第二定律法 物体不处于平衡状态时可应用牛顿第二定律计算弹力
3．有关弹力的“三类模型”问题
三类模型的比较
轻绳 轻杆 轻弹簧
质量大小 0 0 0
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略
弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度 沿着弹簧轴线，指向弹簧恢复原长的方向
弹力大小变化情况 可以突变 可以突变 不能突变
考向1　轻绳的弹力
小杰同学将洗干净的外套和短袖挂在晾衣绳上，如图所示，晾衣绳穿过中间立柱上的固定套环，分别系在左、右立柱的顶端，忽略绳与套环、衣架挂钩之间的摩擦，忽略晾衣绳的质量，用FT1、FT2、FT3和FT4分别表示各段绳的拉力大小，下列说法正确的是(　　)
A．FT1>FT2 B．FT2>FT3
C．FT3[答案]　D
[解析]　由于晾衣绳是穿过中间立柱上的固定套环并未打结，根据同一条绳上各点拉力大小相等，知FT1＝FT2＝FT3＝FT4，D正确。
考向2　应用平衡条件分析轻杆的弹力
[答案]　B
[解析]　小球处于静止状态，所受合力为零。当弹簧的弹力为零时，杆对小球的作用力方向是F3，由平衡条件知F3＝mg；当弹簧的弹力不为零时，杆对小球的作用力方向可能是F2(也可能是F4)，则F2(或F4)等于重力和弹力的合力，所以F2(或F4)>mg＝F3，F1一定不可能，因为在F1、重力和弹簧弹力作用下，小球不可能处于平衡状态，故B正确。
考向3　弹簧的弹力
(2023·山东卷)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)
A．10 N/m B．100 N/m
C．200 N/m D．300 N/m
[答案]　B
[解析]　由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧形变相邻两盘间距，则有mg＝3·kx，解得k＝100 N/m，故选B。
考向4　应用牛顿第二定律分析非平衡体所受弹力
(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球。现使小车以加速度a向右做匀加速运动，下列说法正确的是(　　)
A．杆对小球的弹力竖直向上
B．杆对小球的弹力沿杆向上
C．杆对小球的弹力大小可能为
D．杆对小球的弹力大小为F＝
[答案]　CD
[解析]　设杆对小球的弹力F在竖直方向的分力为Fy，水平方向的分力为Fx，由牛顿第二定律可知，Fy＝mg，Fx＝ma，F＝，当＝tan θ时，即a＝gtan θ时，杆对球的弹力沿杆向上，此时F＝，综上所述，A、B错误，C、D正确。
反思提升　　　　
(1)非平衡体所受弹力的大小和方向与物体加速度的大小和方向有关。
(2)应用牛顿第二定律时，沿加速度的方向和垂直于加速度的方向列方程。
提能训练　练案[7]
基础巩固练
题组一　重力与重心
1．关于重力的大小和方向，以下说法正确的是(　　)
A．在地球上的物体都要受到重力作用，所受的重力与它的运动状态无关，也与是否存在其他力的作用无关
B．在地球各处的重力方向都是一样的
C．物体的重力作用在重心上，把重心挖去物体就不会受到重力作用
D．对某一物体而言，其重力的大小总是一个恒量，不因物体从赤道移到南极而变化
[答案]　A
[解析]　物体受到的重力是由于地球的吸引而产生的，是万有引力的一个分力，而万有引力与运动状态无关，与其他力无关，故A正确；重力的方向总是竖直向下的，在不同的位置方向不一定相同，故B错误；一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心，所以重心是等效出来的，与其他部分没有区别，故C错误；重力等于质量与重力加速度的乘积，在不同的地方，质量不变，但重力加速度有可能会变化，两极的重力加速度最大，赤道最小，所以在地球的不同地方，物体的重力有可能变化，故D错误。
2．(2022·浙江1月选考)如图所示，公园里有一仿制我国古代欹器的U形水桶，桶可绕水平轴转动，水管口持续有水流出，过一段时间桶会翻转一次，决定桶能否翻转的主要因素是(　　)
A．水桶自身重力的大小
B．水管每秒出水量的大小
C．水流对桶撞击力的大小
D．水桶与水整体的重心高低
[答案]　D
[解析]　由于水桶可以绕水平轴转动，因此一段时间后，当水桶中水变多导致重心升高到一定程度时，竖直向下的重力作用线偏离中心转轴，就会造成水桶翻转，故选D。
题组二　弹力的理解　弹力有无及方向的确定
3．如图所示，关于下列四幅图中的弹力说法正确的是(　　)
A．甲图中，由于书的形变，对桌面产生向下的弹力F1
B．乙图中，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的长度成正比
C．丙图中，碗对筷子的弹力沿筷子斜向上，如图中箭头所示
D．丁图中，绳的拉力不一定沿着绳收缩的方向
[答案]　A
[解析]　F1为桌面受到的压力，是由于书的形变，对桌面产生向下的弹力，A正确；根据胡克定律可知，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧的形变量成正比，B错误；图中碗对筷子的弹力应垂直该处碗的切面斜向上，即接触点与碗心的连线向上，C错误；绳的拉力一定沿着绳而指向绳收缩的方向，D错误。
4．如图所示，一倾角为45°的斜面固定于墙角，为使一光滑的球静止于图示位置，需加一水平力F，且F通过球心。下列说法正确的是(　　)
A．球一定受墙面水平向左的弹力
B．球可能受墙面水平向左的弹力
C．球一定受斜面通过球的重心的弹力
D．球可能受斜面垂直于斜面向上的弹力
[答案]　B
[解析]　F的大小合适时，球可以静止在无墙的斜面上，F增大时墙面才会对球有弹力，所以选项A错误，B正确；斜面一定有对球斜向上的弹力才能使球不下落，该弹力方向垂直于斜面但不一定通过球的重心，所以选项C、D错误。
题组三　胡克定律　弹力的计算
5．如图所示的装置中，各小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦不计，平衡时各弹簧的弹力大小分别为F1、F2、F3，其大小关系是(　　)
A．F1＝F2＝F3 B．F1＝F2C．F1＝F3>F2 D．F3>F1>F2
[答案]　A
[解析]　不计一切摩擦，平衡时三个弹簧的弹力大小均等于一个小球的重力，故选项A正确。
6．如图甲所示，一轻弹簧左端与墙壁相连于O点。作用于右端A点的水平外力F变化时弹簧长度不断变化，取水平向左为正方向，测得外力F与弹簧长度的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧原长为5 cm
B．弹簧的劲度系数为400 N/m
C．当l＝10 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向右
D．当l＝20 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向左
[答案]　B
[解析]　根据题图乙可知，当F＝0时，弹簧处于原长状态，即弹簧原长为15 cm，A错误；由胡克定律可得k＝＝＝400 N/m，B正确；由题意知，弹簧长度为10 cm时F为正，则F方向向左，弹簧处于压缩状态，弹簧对墙壁的弹力水平向左，C错误；由题意知，弹簧长度为20 cm时F为负，则F方向向右，弹簧处于伸长状态，弹簧对墙壁的弹力水平向右，D错误。
7．(多选)如图甲所示，一轻质弹簧下端固定在水平面上，上端放一个质量为2m的物块A，物块A静止后弹簧长度为l1；若在物块A上端再放一个质量为m的物块B，静止后弹簧长度为l2，如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度范围内，则(　　)
A．弹簧的劲度系数为
B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧的原长为3l1－3l2
D．弹簧的原长为3l1－2l2
[答案]　BD
[解析]　设弹簧的劲度系数为k，根据题意，当A静止时，在物块A上端再放一个质量为m的物块B，弹簧的压缩量增加了l1－l2，则有mg＝k(l1－l2)，解得k＝，故A错误，B正确；设弹簧的原长为l，则根据题意有2mg＝k(l－l1)，3mg＝k(l－l2)，联立解得l＝3l1－2l2，故C错误，D正确。
8．两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示，开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，当a弹簧的伸长量为L时(　　)
A．b弹簧的伸长量为L
B．b弹簧的伸长量也为L
C．P端向右移动的距离为2L
D．P端向右移动的距离为L
[答案]　D
[解析]　由题意知，两根轻弹簧串接在一起，则两弹簧弹力大小相等，根据胡克定律F＝kx得，x与k成反比，则得b弹簧的伸长量为，故A、B错误；P端向右移动的距离等于两根弹簧伸长量之和，即为L＋L＝L，故C错误，D正确。
9．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成皮兜。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L(弹性限度内)，则发射过程中皮兜对弹丸的最大作用力为(　　)
A．1.2kL B．kL
C．kL D．kL
[答案]　C
[解析]　设橡皮条的长度为1.5L时，两橡皮条夹角为θ，此时皮兜对弹丸有最大作用力，为F＝2kΔxcos ＝kLcos ，根据几何关系sin ＝，解得F＝kL，故选C。
能力提升练
10．如图所示，一种倾斜放置的装取台球的装置，圆筒底部有一轻质弹簧，每个台球的质量为m，半径为R，圆筒直径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后，又会冒出一个台球，刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，忽略球与筒间的摩擦力。则弹簧的劲度系数k的值为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　小球整体处于平衡状态，受力分析得，沿筒方向受力平衡有mgsin θ＝ΔF＝k·2R，解得k＝，故选A。
11．如图所示，与竖直墙壁成53°角的轻杆一端斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹力大小为mg(g表示重力加速度)，则轻杆对小球的弹力大小为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
[答案]　D
[解析]　小球处于静止状态，其合力为零，对小球进行受力分析，如图所示，由图中几何关系可得F＝＝mg，D正确。
12．(2025·河北石家庄高三质检)如图所示，质量为2m的物体A经一轻质弹簧与地面上的质量为3m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连物体A，另一端连一质量为m的物体C，物体A、B、C都处于静止状态。已知重力加速度为g，忽略一切摩擦。
(1)求物体B对地面的压力；
(2)把物体C的质量改为5m，这时，C缓慢下降，经过一段时间系统达到新的平衡状态，这时B仍没离开地面，且C只受重力和绳的拉力作用，求此过程中物体A上升的高度。
[答案]　(1)4mg　(2)
[解析]　(1)对AB整体：mg＋FN＝5mg，
所以FN＝4mg。
(2)对C：FT＝5mg，
对A：FT＝Fk＋2mg，
所以Fk＝3mg即kx1＝3mg，x1＝
开始时，通过对A受力分析可知，弹簧弹力大小为mg，弹簧的压缩量为x2，
则kx2＝mg，x2＝
所以A上升的高度为hA＝x1＋x2＝。第8讲　摩擦力
一、滑动摩擦力和静摩擦力的对比
类型 静摩擦力 滑动摩擦力
产生条件 ①接触面 粗糙　； ②接触处有压力； ③两物体间有相对运动趋势 ①接触面粗糙； ②接触处有 压力　； ③两物体间有相对运动
大小 0方向 与受力物体相对运动趋势的方向 相反　 与受力物体相对运动的方向 相反　
作用效果 总是阻碍物体间的相对运动趋势 总是阻碍物体间的相对运动
二、动摩擦因数
1．定义：彼此接触的物体发生相对运动时，滑动摩擦力和正压力的比值，μ＝ 　。
2．决定因素：接触面的材料和 粗糙程度　。
三、最大静摩擦力
1．定义：静摩擦力的最大值叫最大静摩擦力。
2．大小：静摩擦力的最大值与接触面的压力成 正比　，还与接触面的粗糙程度有关系，在实际问题中最大静摩擦力 略大于　滑动摩擦力，但在一般计算时，若无特别说明，认为二者 相等　。
1．运动的物体也可以受静摩擦力。( √ )
2．滑动摩擦力的方向不可能与物体的运动方向相同。( × )
3．物体受到的摩擦力的大小一定满足Ff＝μFN。( × )
4．Ff＝μFN中的FN一定等于物体的重力。( × )
5．接触面的面积越大，摩擦力一定越大。( × )
6．接触处的摩擦力一定与弹力方向垂直。( √ )
7．两物体接触处的弹力增大时，接触面间的摩擦力大小可能不变。( √ )
考点1　摩擦力方向的确定
(能力考点·深度研析)
1．滑动摩擦力方向的确定
滑动摩擦力的方向总与物体相对运动方向相反，“相对”是指“相对接触的物体”，与相对地面的运动方向可能相反，也可能相同。
2．静摩擦力的有无及方向的判断方法
(1)假设法
(2)状态法
先判断物体的状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F合＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向。
(3)牛顿第三定律法
先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力方向。
(2024·黑吉辽卷)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时(　　)
A．砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B．桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C．桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D．桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
【跟踪训练】
(滑动摩擦力方向的确定)如图所示，将一重力不计的白纸夹在物理课本与水平桌面之间，现用水平拉力将白纸从课本底下向右抽出(课本未从桌面滑落)，则(　　)
A．抽出白纸过程中，白纸受到水平桌面的摩擦力方向水平向左
B．抽出白纸过程中，白纸对物理课本的摩擦力方向水平向左
C．课本受到白纸的支持力是因为课本发生了弹性形变
D．抽出白纸过程中，水平桌面受到白纸的摩擦力方向水平向左
(利用假设法判断静摩擦力)图甲是某同学写字时的握笔姿势，图乙是他在握笔时把拇指和食指松开时的状态，笔尖仍然斜向下且笔保持静止状态。关于两幅图中笔的受力，下列说法正确的是(　　)
A．图甲中笔可能不受摩擦力
B．图乙中笔可能不受摩擦力
C．图甲和图乙中手对笔的作用力方向都为竖直向上
D．图甲中手的握力越大，笔所受的摩擦力越大
(根据运动状态和牛顿第三定律判断静摩擦力方向)水平地面上放着一辆手推小车，小车的水平板上放置一只金属桶，金属桶始终与小车保持相对静止，则(　　)
A．当小车水平向左启动时，金属桶不受摩擦力
B．当小车水平向右启动时，金属桶受到水平向左的摩擦力
C．当小车水平向右减速运动时，金属桶对小车的摩擦力水平向右
D．当小车水平向左减速运动时，金属桶受到的摩擦力水平向左
考点2　摩擦力大小的计算
(能力考点·深度研析)
1．静摩擦力大小的计算方法
(1)物体处于平衡状态：利用平衡条件求解。
(2)物体处于加速状态：应用牛顿第二定律F合＝ma求解。
(3)最大静摩擦力：与接触面间的压力成正比，其值略大于滑动摩擦力，通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，即Fmax＝μFN。
2．滑动摩擦力大小的计算方法
(1)公式法：F＝μFN；注意FN是两物体间的正压力，不一定等于物体的重力。
(2)状态法：利用平衡条件或牛顿第二定律列方程求解。
如图所示，一位同学用双手水平夹起一摞书，并停留在空中。已知手掌与书间的动摩擦因数μ1＝0.3，书与书间的动摩擦因数μ2＝0.2，设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小。若每本书的质量均为0.2 kg，该同学对书的水平正压力为200 N，每本书均呈竖直状态，重力加速度大小g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．每本书受到的摩擦力的合力大小不相等
B．书与书之间的摩擦力大小均相等
C．他最多能夹住42本书
D．他最多能夹住60本书
【跟踪训练】
(静摩擦力、最大静摩擦力的比较)(多选)如图所示，重力为500 N的沙发放在水平地面上，某同学沿水平方向推沙发，当水平推力大小为90 N时沙发恰好开始运动。沙发运动后，用85 N的水平力即可使沙发保持匀速直线运动。以下说法正确的是(　　)
A．沙发与地面之间的动摩擦因数为0.18
B．沙发与地面之间的最大静摩擦力为90 N
C．若用100 N的水平力推静止的沙发，沙发所受的摩擦力大小为100 N
D．若用60 N的水平力推已经运动的沙发，沙发所受的摩擦力大小为85 N
(滑动摩擦力的计算)(多选)有一种圆珠笔，内部有一根小弹簧。如图所示，当笔杆竖直放置时，在圆珠笔尾部的按钮上放一个100 g的砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为2 mm。现用这支圆珠笔水平推一本放在水平桌面上质量为900 g的书，当按钮压缩量为3.6 mm(未超过弹簧的弹性限度)时，这本书恰好匀速运动(g取10 m/s2)。下列说法正确的是(　　)
A．笔内小弹簧的劲度系数是500 N/m
B．笔内小弹簧的劲度系数是50 N/m
C．书与桌面间的动摩擦因数是0.02
D．书与桌面间的动摩擦因数是0.2
(静摩擦力的计算)两只完全相同的蚂蚁在轮胎内外表面爬，当两只蚂蚁爬到图示位置时保持静止，A、B两点与圆心的连线跟竖直方向的夹角分别为α、β，且角α大于角β。已知轮胎材料相同，轮胎与蚂蚁之间的动摩擦因数为μ，蚂蚁质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．A处蚂蚁受到的支持力比B处蚂蚁大
B．B处蚂蚁受到的摩擦力比A处蚂蚁大
C．A处蚂蚁受到的摩擦力大小一定为μmgcos α
D．B处蚂蚁受到的摩擦力大小一定为mgsin β
摩擦力的突变问题
考向1　“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，物体仍能保持静止状态，但物体受到的静摩擦力的大小或方向发生了“突变”。
木块A、B的质量分别为5 kg和6 kg，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25。夹在A、B之间的轻质弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m，初始时两木块在水平地面上静止不动。现用与水平方向成60°角的拉力F＝6 N作用在木块B上，如图所示。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2，则在力F作用后(　　)
A．木块A所受摩擦力的方向向左
B．木块A所受摩擦力大小是12.5 N
C．木块B所受摩擦力大小是11 N
D．木块B所受摩擦力大小是15 N
考向2　“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将突变成滑动摩擦力。
(多选)如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一力传感器相连接，连接力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，拉力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求(　　)
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
考向3　“动—静”突变
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑动时，物体将不受摩擦力作用或滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。
如图甲所示，质量为0.4 kg的物块在水平力F作用下由静止释放，物块与墙面间的动摩擦因数为0.4，力F随时间t变化的关系如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。下列图像中，能正确反映物块所受摩擦力大小与时间(Ff－t)变化关系的是(　　)
考向4　“动—动”突变
物体在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止，则物体将继续受滑动摩擦力作用，但其方向发生改变。
提能训练　练案[8]
基础巩固练
题组一　摩擦力方向的确定
1．(多选)如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数也相同。三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示。则下列说法正确的是(　　)
A．A物体受到的摩擦力方向向右
B．B、C两物体受到的摩擦力方向相同
C．B、C两物体受到的摩擦力方向相反
D．若传送带向右加速，A物体受到的摩擦力向右
2．(多选)如图所示，人在跑步机上跑步时(　　)
A．鞋受到的摩擦力是静摩擦力
B．鞋受到的摩擦力是滑动摩擦力
C．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相反
D．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相同
3．如图所示，一同学站在木板上用力向右推木箱，该同学的脚与木板之间没有相对运动。若地面与木板、木箱之间均是粗糙的，下列说法正确的是(　　)
A．若木箱静止，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱没有摩擦力
B．若木板静止，木箱向右运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱的摩擦力方向向左
C．若木板、木箱均静止，地面对木箱和木板均没有摩擦力
D．若木箱向右运动，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向左，对木箱的摩擦力方向向右
题组二　摩擦力大小的计算
4．(多选)(2025·广东广州市模拟)某电视台的综艺节目在直播象棋比赛，棋盘是铁质的，每个棋子都是一个小磁体，能吸在棋盘上(如图甲所示)，不计棋子间的相互作用力。对于静止在棋盘上的某个棋子，下列说法正确的是(　　)
A．若棋盘竖直，磁性越强，棋子所受的摩擦力越大
B．若棋盘竖直，棋盘对棋子的作用力的大小等于棋子重力的大小
C．若棋盘竖直，减小棋子的质量，则棋子所受到的摩擦力减小
D．若使棋盘倾斜，如图乙，棋子仍相对棋盘静止，则棋子受到的摩擦力变大
5．一本单面印刷的书重约6 N，有424页，书本正面朝上。现将一张A4纸夹在106～107页间，A4纸能够覆盖几乎整个书页，如图所示。若要将A4纸抽出，至少需用约1 N的拉力。不计书皮及A4纸的质量，则A4纸和书之间的动摩擦因数最接近(　　)
A．0.33 B．0.45
C．0.56 D．0.67
题组三　摩擦力的突变问题
6．如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A与小车均处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动，则(　　)
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧的拉力增大
7．某同学利用如图甲所示的装置研究摩擦力的变化情况。水平粗糙的实验台上固定着一个力传感器，力传感器与一质量为3.5 kg的物块用轻绳连接，物块放置在粗糙的长木板上，长木板质量为1.5 kg，物块和木板的动摩擦因数，木板和实验台的动摩擦因数相同。水平向左拉长木板，传感器记录的F－t图像如图乙所示，重力加速度大小取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．当长木板相对物块运动后，物块受到的摩擦力方向向右
B．物块与长木板间的动摩擦因数约为0.28
C．向左拉长木板的力的大小与时间的关系图线和图乙中的曲线一定相同
D．若长木板滑动后，要使长木板能沿实验台匀速运动(木板与物块未分离)，则向左拉长木板的力约为17 N
8. (多选)如图所示，用水平力F拉着一物体在水平地面上做匀速直线运动，从t＝0时刻起水平力F的大小随时间均匀减小，到t1时刻，F减小为零。物体所受的摩擦力Ff随时间t变化的图像可能是(　　)
9．长木板上表面的一端放有一个质量为m的木块，木块与木板接触面上装有摩擦力传感器，如图甲所示，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ变大)，另一端不动，摩擦力传感器记录了木块受到的摩擦力大小Ff随角度θ的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A．木块与木板间的动摩擦因数μ＝tan θ1
B．木块与木板间的动摩擦因数μ＝
C．木板与地面的夹角为θ2时，木块做自由落体运动
D．木板由θ1转到θ2的过程中，木块的速度变化越来越快
能力提升练
10. (2024·北京清华附中开学考)如图所示，黑板擦在手施加的恒力F作用下匀速擦拭黑板。已知黑板擦与竖直黑板间的动摩擦因数为μ，不计黑板擦的重力，则它所受的摩擦力大小为(　　)
A．μF B．
C． D．
11. (多选)(2024·山东泰安市新泰一中月考)激光打印机是自动进纸的，其进纸原理如图所示，进纸槽里叠放一叠白纸，每一张纸的质量均相等，进纸时滚轮以竖直向下的力压在第1张白纸上，并沿逆时针方向转动，确保第1张纸与第2张纸相对滑动，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，滚轮与白纸之间的动摩擦因数为μ1，白纸与白纸之间、白纸与纸槽底座之间的动摩擦因数均为μ2，不考虑静电力的影响，则(　　)
A．第1张白纸受到滚轮的摩擦力向左
B．最后一张白纸受到纸槽底座的摩擦力向右
C．下一张白纸受到上一张白纸的摩擦力一定向右
D．正常情况下单张纸打印必须满足μ1>μ2
12．(多选)如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率v1沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°，一煤块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图像如图乙所示，煤块运动到传送带顶端时速度恰好为零，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，则(　　)
A．传送带的速度为4 m/s
B．传送带底端到顶端的距离为14 m
C．v0D．煤块在0～1 s和1～2 s所受摩擦力方向相反
13．一长方形木板放置在水平地面上，在长方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定于水平地面上，挡板与木板不接触。现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度v运动，同时长方形木板以大小相等的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块的质量为m，重力加速度为g，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为(　　)
A．0 B．μ1μ2mg
C．μ1μ2mg D．μ1μ2mg第8讲　摩擦力
一、滑动摩擦力和静摩擦力的对比
类型 静摩擦力 滑动摩擦力
产生条件 ①接触面 粗糙　； ②接触处有压力； ③两物体间有相对运动趋势 ①接触面粗糙； ②接触处有 压力　； ③两物体间有相对运动
大小 0方向 与受力物体相对运动趋势的方向 相反　 与受力物体相对运动的方向 相反　
作用效果 总是阻碍物体间的相对运动趋势 总是阻碍物体间的相对运动
二、动摩擦因数
1．定义：彼此接触的物体发生相对运动时，滑动摩擦力和正压力的比值，μ＝ 　。
2．决定因素：接触面的材料和 粗糙程度　。
三、最大静摩擦力
1．定义：静摩擦力的最大值叫最大静摩擦力。
2．大小：静摩擦力的最大值与接触面的压力成 正比　，还与接触面的粗糙程度有关系，在实际问题中最大静摩擦力 略大于　滑动摩擦力，但在一般计算时，若无特别说明，认为二者 相等　。
1．运动的物体也可以受静摩擦力。( √ )
2．滑动摩擦力的方向不可能与物体的运动方向相同。( × )
3．物体受到的摩擦力的大小一定满足Ff＝μFN。( × )
4．Ff＝μFN中的FN一定等于物体的重力。( × )
5．接触面的面积越大，摩擦力一定越大。( × )
6．接触处的摩擦力一定与弹力方向垂直。( √ )
7．两物体接触处的弹力增大时，接触面间的摩擦力大小可能不变。( √ )
考点1　摩擦力方向的确定
(能力考点·深度研析)
1．滑动摩擦力方向的确定
滑动摩擦力的方向总与物体相对运动方向相反，“相对”是指“相对接触的物体”，与相对地面的运动方向可能相反，也可能相同。
2．静摩擦力的有无及方向的判断方法
(1)假设法
(2)状态法
先判断物体的状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F合＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向。
(3)牛顿第三定律法
先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力方向。
(2024·黑吉辽卷)利用砚台将墨条研磨成墨汁时讲究“圆、缓、匀”。如图，在研磨过程中，砚台始终静止在水平桌面上。当墨条的速度方向水平向左时(　　)
A．砚台对墨条的摩擦力方向水平向左
B．桌面对砚台的摩擦力方向水平向左
C．桌面和墨条对砚台的摩擦力是一对平衡力
D．桌面对砚台的支持力与墨条对砚台的压力是一对平衡力
[答案]　C
[解析]　当墨条速度方向水平向左时，由相对运动方向可知，砚台对其的摩擦力方向水平向右，A错误；由牛顿第三定律可知，墨条对砚台的摩擦力方向水平向左，砚台静止，则桌面对砚台的摩擦力方向水平向右，墨条和桌面对砚台的摩擦力是一对平衡力，B错误，C正确；桌面对砚台的支持力等于墨条对砚台的压力和砚台的重力之和，D错误。
【跟踪训练】
(滑动摩擦力方向的确定)如图所示，将一重力不计的白纸夹在物理课本与水平桌面之间，现用水平拉力将白纸从课本底下向右抽出(课本未从桌面滑落)，则(　　)
A．抽出白纸过程中，白纸受到水平桌面的摩擦力方向水平向左
B．抽出白纸过程中，白纸对物理课本的摩擦力方向水平向左
C．课本受到白纸的支持力是因为课本发生了弹性形变
D．抽出白纸过程中，水平桌面受到白纸的摩擦力方向水平向左
[答案]　A
[解析]　白纸相对于水平桌面向右运动，受到水平桌面的滑动摩擦力方向水平向左，而桌面相对白纸向左运动，故桌面受到白纸的滑动摩擦力方向水平向右，故A正确，D错误；课本相对于白纸水平向左运动，受到白纸的摩擦力方向水平向右，故B错误；课本受到白纸的支持力是因为白纸发生了弹性形变，故C错误。故选A。
(利用假设法判断静摩擦力)图甲是某同学写字时的握笔姿势，图乙是他在握笔时把拇指和食指松开时的状态，笔尖仍然斜向下且笔保持静止状态。关于两幅图中笔的受力，下列说法正确的是(　　)
A．图甲中笔可能不受摩擦力
B．图乙中笔可能不受摩擦力
C．图甲和图乙中手对笔的作用力方向都为竖直向上
D．图甲中手的握力越大，笔所受的摩擦力越大
[答案]　C
[解析]　对题图甲中的笔受力分析，受到手指的压力、重力、摩擦力，假设没有受到摩擦力，笔就会顺着手指滑下来，故A错误；对题图乙中的笔受力分析，受到重力、支持力和摩擦力，假设没有受到摩擦力，笔就会顺着手指滑下来，故B错误；因为题图甲和题图乙中的笔都是静止状态，所以手对笔的作用力应与重力大小相等，方向相反，故C正确；题图甲中的笔受到的是静摩擦力，其大小等于重力沿笔方向的分力，与手的握力大小无关，故D错误。
(根据运动状态和牛顿第三定律判断静摩擦力方向)水平地面上放着一辆手推小车，小车的水平板上放置一只金属桶，金属桶始终与小车保持相对静止，则(　　)
A．当小车水平向左启动时，金属桶不受摩擦力
B．当小车水平向右启动时，金属桶受到水平向左的摩擦力
C．当小车水平向右减速运动时，金属桶对小车的摩擦力水平向右
D．当小车水平向左减速运动时，金属桶受到的摩擦力水平向左
[答案]　C
[解析]　当小车水平向左启动时，加速度a的方向向左，金属桶受到向左的摩擦力，A错误；当小车水平向右启动时，加速度a的方向向右，金属桶受到水平向右的摩擦力，B错误；当小车水平向右减速运动时，加速度a的方向向左，金属桶受到水平向左的摩擦力，再由牛顿第三定律知，金属桶对小车的摩擦力水平向右，C正确；当小车水平向左减速运动时，金属桶受到的摩擦力水平向右，D错误。
考点2　摩擦力大小的计算
(能力考点·深度研析)
1．静摩擦力大小的计算方法
(1)物体处于平衡状态：利用平衡条件求解。
(2)物体处于加速状态：应用牛顿第二定律F合＝ma求解。
(3)最大静摩擦力：与接触面间的压力成正比，其值略大于滑动摩擦力，通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，即Fmax＝μFN。
2．滑动摩擦力大小的计算方法
(1)公式法：F＝μFN；注意FN是两物体间的正压力，不一定等于物体的重力。
(2)状态法：利用平衡条件或牛顿第二定律列方程求解。
如图所示，一位同学用双手水平夹起一摞书，并停留在空中。已知手掌与书间的动摩擦因数μ1＝0.3，书与书间的动摩擦因数μ2＝0.2，设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小。若每本书的质量均为0.2 kg，该同学对书的水平正压力为200 N，每本书均呈竖直状态，重力加速度大小g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．每本书受到的摩擦力的合力大小不相等
B．书与书之间的摩擦力大小均相等
C．他最多能夹住42本书
D．他最多能夹住60本书
[答案]　C
[解析]　每本书受到的摩擦力的合力与重力平衡，因为每本书的质量相等，则每本书受到的摩擦力的合力大小相等，A错误；越靠外侧，书与书间的摩擦力越大，B错误；以这一摞书为研究对象，每只手对其最大静摩擦力为Ff1＝μ1FN＝60 N，这一摞书受力平衡，则2Ff1＝n1mg，解得n1＝60，但书与书间的最大静摩擦力为Ff2＝μ2FN＝40 N，除了左右两侧跟手接触的两本书，以剩下的这一部分书为研究对象，由平衡条件有2Ff2＝n2mg，解得n2＝40，加上与手接触的两本书，共42本书，C正确，D错误。
【跟踪训练】
(静摩擦力、最大静摩擦力的比较)(多选)如图所示，重力为500 N的沙发放在水平地面上，某同学沿水平方向推沙发，当水平推力大小为90 N时沙发恰好开始运动。沙发运动后，用85 N的水平力即可使沙发保持匀速直线运动。以下说法正确的是(　　)
A．沙发与地面之间的动摩擦因数为0.18
B．沙发与地面之间的最大静摩擦力为90 N
C．若用100 N的水平力推静止的沙发，沙发所受的摩擦力大小为100 N
D．若用60 N的水平力推已经运动的沙发，沙发所受的摩擦力大小为85 N
[答案]　BD
[解析]　用85 N的水平力可使沙发保持匀速直线运动，则沙发与地面间的滑动摩擦力Ff＝85 N，由Ff＝μFN＝μG可知，沙发与地面之间的动摩擦因数μ＝＝0.17，A错误；由当水平推力大小为90 N时沙发恰好开始运动，可知最大静摩擦力为90 N，B正确；100 N的水平推力大于最大静摩擦力，沙发所受摩擦力为滑动摩擦力，即85 N，C错误；由于沙发处于运动状态，所以即使缩小水平力的大小，其所受摩擦力仍为滑动摩擦力，则沙发所受的摩擦力大小为85 N，D正确。
(滑动摩擦力的计算)(多选)有一种圆珠笔，内部有一根小弹簧。如图所示，当笔杆竖直放置时，在圆珠笔尾部的按钮上放一个100 g的砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为2 mm。现用这支圆珠笔水平推一本放在水平桌面上质量为900 g的书，当按钮压缩量为3.6 mm(未超过弹簧的弹性限度)时，这本书恰好匀速运动(g取10 m/s2)。下列说法正确的是(　　)
A．笔内小弹簧的劲度系数是500 N/m
B．笔内小弹簧的劲度系数是50 N/m
C．书与桌面间的动摩擦因数是0.02
D．书与桌面间的动摩擦因数是0.2
[答案]　AD
[解析]　由于砝码处于静止状态，则kΔx＝mg，所以有k＝＝ N/m＝500 N/m。书恰好能匀速运动时，有kΔx′＝μm′g，代入数据解得μ＝0.2。故选AD。
(静摩擦力的计算)两只完全相同的蚂蚁在轮胎内外表面爬，当两只蚂蚁爬到图示位置时保持静止，A、B两点与圆心的连线跟竖直方向的夹角分别为α、β，且角α大于角β。已知轮胎材料相同，轮胎与蚂蚁之间的动摩擦因数为μ，蚂蚁质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．A处蚂蚁受到的支持力比B处蚂蚁大
B．B处蚂蚁受到的摩擦力比A处蚂蚁大
C．A处蚂蚁受到的摩擦力大小一定为μmgcos α
D．B处蚂蚁受到的摩擦力大小一定为mgsin β
[答案]　D
[解析]　根据题意，对蚂蚁受力分析，设蚂蚁所在位置和圆心连线与竖直方向夹角为θ，如图所示，由平衡条件可得FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ，由于α>β，则A处蚂蚁受到的支持力比B处蚂蚁小，B处蚂蚁受到的摩擦力比A处蚂蚁小，故A、B错误；蚂蚁与轮胎之间保持静止，则A处蚂蚁受到静摩擦力，大小不一定为μmgcos α，B处蚂蚁受到的摩擦力大小为mgsin β，故C错误，D正确。
摩擦力的突变问题
考向1　“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力发生突变时，物体仍能保持静止状态，但物体受到的静摩擦力的大小或方向发生了“突变”。
木块A、B的质量分别为5 kg和6 kg，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25。夹在A、B之间的轻质弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m，初始时两木块在水平地面上静止不动。现用与水平方向成60°角的拉力F＝6 N作用在木块B上，如图所示。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2，则在力F作用后(　　)
A．木块A所受摩擦力的方向向左
B．木块A所受摩擦力大小是12.5 N
C．木块B所受摩擦力大小是11 N
D．木块B所受摩擦力大小是15 N
[答案]　C
[解析]　最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所以A与地面间的最大静摩擦力为FmA＝μFNA＝0.25×50 N＝12.5 N，B与地面间的最大静摩擦力为FmB＝μFNB＝0.25×60 N＝15 N，此时弹簧的弹力为F弹＝kx＝400×0.02 N＝8 N，弹簧弹力的大小小于物体与地面间的最大静摩擦力的大小，物体处于静止状态，根据平衡条件，A受到的静摩擦力大小为8 N，方向向右，B受到的静摩擦力也是8 N，方向向左。当与水平方向成60°角的拉力F＝6 N，作用在木块B上，假设物体B仍静止，则B受到的摩擦力为11 N，此时的最大静摩擦力为FmB′＝μ(mBg－Fsin 60°)≈13.7 N，实际摩擦力小于此时的最大静摩擦力，则B仍然静止，摩擦力方向向左，施加F后，弹簧的形变量不变，则A受力情况不变，A受到的摩擦力大小仍为8 N，方向向右，C项正确。故选C。
考向2　“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将突变成滑动摩擦力。
(多选)如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一力传感器相连接，连接力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，拉力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求(　　)
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
[答案]　AB
[解析]　地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B两项正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D两项错误。
考向3　“动—静”突变
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑动时，物体将不受摩擦力作用或滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。
如图甲所示，质量为0.4 kg的物块在水平力F作用下由静止释放，物块与墙面间的动摩擦因数为0.4，力F随时间t变化的关系如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。下列图像中，能正确反映物块所受摩擦力大小与时间(Ff－t)变化关系的是(　　)
[答案]　C
[解析]　物块水平方向受力平衡，F＝FN＝5t，滑动摩擦力方向竖直向上，Ff＝μFN＝0.4×5t＝2t。所以Ff－t图像是过原点的倾斜直线，斜率k＝2，当物块静止时，物块受到静摩擦力作用Ff＝mg＝4 N，当Ffmg＝4 N时，物块做减速运动到速度为零，物块静止，其所受静摩擦力为Ff＝mg＝4 N，即物块先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，有＝mg，得Ffmax＝8 N＝2t，知t＝4 s，故C正确，A、B、D错误。
考向4　“动—动”突变
物体在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止，则物体将继续受滑动摩擦力作用，但其方向发生改变。
[答案]　BD
[解析]　当小木块速度小于传送带速度时，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，加速度a＝gsin θ＋μgcos θ；当小木块速度与传送带速度相同时，由于μ提能训练　练案[8]
基础巩固练
题组一　摩擦力方向的确定
1．(多选)如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数也相同。三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示。则下列说法正确的是(　　)
A．A物体受到的摩擦力方向向右
B．B、C两物体受到的摩擦力方向相同
C．B、C两物体受到的摩擦力方向相反
D．若传送带向右加速，A物体受到的摩擦力向右
[答案]　BD
[解析]　A物体与传送带一起匀速运动，它们之间无相对运动或相对运动趋势，即无摩擦力作用，故A错误；B、C两物体虽运动方向不同，但都处于平衡状态，由沿传送带方向所受合力为零可知，B、C两物体均受沿传送带方向向上的摩擦力作用，故B正确，C错误；若传送带向右加速，根据牛顿第二定律，可知A受到向右的摩擦力，故D正确。
2．(多选)如图所示，人在跑步机上跑步时(　　)
A．鞋受到的摩擦力是静摩擦力
B．鞋受到的摩擦力是滑动摩擦力
C．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相反
D．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相同
[答案]　AD
[解析]　人在跑步机上跑步时，鞋和跑步机之间无相对滑动，则鞋受到的摩擦力是静摩擦力，A正确，B错误；因鞋相对跑带有向后滑动的趋势，则鞋受到的静摩擦力向前，即与人相对跑带运动的方向相同，C错误，D正确。
3．如图所示，一同学站在木板上用力向右推木箱，该同学的脚与木板之间没有相对运动。若地面与木板、木箱之间均是粗糙的，下列说法正确的是(　　)
A．若木箱静止，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱没有摩擦力
B．若木板静止，木箱向右运动，则地面对木板的摩擦力方向向右，对木箱的摩擦力方向向左
C．若木板、木箱均静止，地面对木箱和木板均没有摩擦力
D．若木箱向右运动，木板向左运动，则地面对木板的摩擦力方向向左，对木箱的摩擦力方向向右
[答案]　B
[解析]　若木箱静止，木板向左运动，则地面对木板的滑动摩擦力方向向右，木箱有向右运动的趋势，受到向左的静摩擦力，选项A错误；若木板静止，木箱向右运动，则地面对木板的静摩擦力方向向右，对木箱的滑动摩擦力方向向左，选项B正确；若木板、木箱均静止，地面对木箱有向左的静摩擦力，地面对木板有向右的静摩擦力，选项C错误；若木箱向右运动，木板向左运动，则地面对木板的滑动摩擦力方向向右，对木箱的滑动摩擦力方向向左，选项D错误。
题组二　摩擦力大小的计算
4．(多选)(2025·广东广州市模拟)某电视台的综艺节目在直播象棋比赛，棋盘是铁质的，每个棋子都是一个小磁体，能吸在棋盘上(如图甲所示)，不计棋子间的相互作用力。对于静止在棋盘上的某个棋子，下列说法正确的是(　　)
A．若棋盘竖直，磁性越强，棋子所受的摩擦力越大
B．若棋盘竖直，棋盘对棋子的作用力的大小等于棋子重力的大小
C．若棋盘竖直，减小棋子的质量，则棋子所受到的摩擦力减小
D．若使棋盘倾斜，如图乙，棋子仍相对棋盘静止，则棋子受到的摩擦力变大
[答案]　BC
[解析]　若棋盘竖直，棋子所受的摩擦力与棋子的重力等大反向，则磁性越强，棋子所受摩擦力不变，减小棋子的质量，棋子所受到的摩擦力减小，故A错误，C正确；若棋盘竖直，棋子所受合力为零，则棋盘对棋子的作用力与棋子的重力等大反向，故B正确；若使棋盘倾斜，如题图乙，棋子仍相对棋盘静止，棋子所受摩擦力等于重力沿棋盘方向的分力，小于棋子的重力，棋子受到的摩擦力变小，故D错误。
5．一本单面印刷的书重约6 N，有424页，书本正面朝上。现将一张A4纸夹在106～107页间，A4纸能够覆盖几乎整个书页，如图所示。若要将A4纸抽出，至少需用约1 N的拉力。不计书皮及A4纸的质量，则A4纸和书之间的动摩擦因数最接近(　　)
A．0.33 B．0.45
C．0.56 D．0.67
[答案]　A
[解析]　A4纸正反两面均受到与之接触的书页的滑动摩擦力，因为不计书皮及A4纸的质量，所以两个滑动摩擦力大小相等，均为Ff＝μ·G，式中G＝6 N，又由平衡条件得最小拉力F＝2Ff，联立解得A4纸和书之间的动摩擦因数μ≈0.33，故选A。
题组三　摩擦力的突变问题
6．如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A与小车均处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动，则(　　)
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧的拉力增大
[答案]　C
[解析]　由题意得，物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Ffm≥5 N，当小车加速运动时，假设物体A与小车仍然相对静止，则物体A所受合力大小F合＝ma＝10 N，可知此时小车对物体A的摩擦力大小为5 N，方向向右，且为静摩擦力，所以假设成立，物体A受到的摩擦力大小不变，故A、B错误，C正确；弹簧长度不变，物体A受到的弹簧的拉力大小不变，故D错误。
7．某同学利用如图甲所示的装置研究摩擦力的变化情况。水平粗糙的实验台上固定着一个力传感器，力传感器与一质量为3.5 kg的物块用轻绳连接，物块放置在粗糙的长木板上，长木板质量为1.5 kg，物块和木板的动摩擦因数，木板和实验台的动摩擦因数相同。水平向左拉长木板，传感器记录的F－t图像如图乙所示，重力加速度大小取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．当长木板相对物块运动后，物块受到的摩擦力方向向右
B．物块与长木板间的动摩擦因数约为0.28
C．向左拉长木板的力的大小与时间的关系图线和图乙中的曲线一定相同
D．若长木板滑动后，要使长木板能沿实验台匀速运动(木板与物块未分离)，则向左拉长木板的力约为17 N
[答案]　D
[解析]　当长木板相对物块运动后，物块相对长木板向右滑动，受到的摩擦力方向向左，故A错误；由题图乙可知，物块与长木板间的滑动摩擦力大小约为7 N，则物块与长木板间的动摩擦因数约为μ＝＝＝0.2，故B错误；长木板不仅受到物块对其的摩擦力，还受到实验台对其的摩擦力，两个摩擦力方向相同，所以向左拉长木板的力与物块受到的摩擦力不可能在任意时刻大小相等，则向左拉长木板的力的大小与时间的关系图线和题图乙中的曲线一定不同，故C错误；长木板滑动后，要使长木板能沿实验台匀速运动(木板与物块未分离)，则向左拉长木板的力约为F＝μmg＋μ(M＋m)g＝17 N，故D正确。
8. (多选)如图所示，用水平力F拉着一物体在水平地面上做匀速直线运动，从t＝0时刻起水平力F的大小随时间均匀减小，到t1时刻，F减小为零。物体所受的摩擦力Ff随时间t变化的图像可能是(　　)
[答案]　AD
[解析]　由题意可知，开始物体做匀速直线运动，从t＝0时刻，拉力F开始均匀减小，t1时刻拉力减小为零，出现的摩擦力有两种可能，一种是当拉力为零时，物体仍在滑动，则受到的一直是滑动摩擦力，即大小不变，A正确；另一种是当拉力为零前，物体已静止，则物体先受到滑动摩擦力，后受到静摩擦力，滑动摩擦力大小不变，静摩擦力的大小与拉力相等，而此时拉力大小小于滑动摩擦力大小，D正确，B、C错误。
9．长木板上表面的一端放有一个质量为m的木块，木块与木板接触面上装有摩擦力传感器，如图甲所示，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ变大)，另一端不动，摩擦力传感器记录了木块受到的摩擦力大小Ff随角度θ的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A．木块与木板间的动摩擦因数μ＝tan θ1
B．木块与木板间的动摩擦因数μ＝
C．木板与地面的夹角为θ2时，木块做自由落体运动
D．木板由θ1转到θ2的过程中，木块的速度变化越来越快
[答案]　D
[解析]　当夹角为θ1时，最大静摩擦力为Ff2，而滑动摩擦力为Ff1，此时木块是加速下滑的，则有μmgcos θ1能力提升练
10. (2024·北京清华附中开学考)如图所示，黑板擦在手施加的恒力F作用下匀速擦拭黑板。已知黑板擦与竖直黑板间的动摩擦因数为μ，不计黑板擦的重力，则它所受的摩擦力大小为(　　)
A．μF B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　由于恒力F方向斜指向黑板里，在板面的分力与摩擦力平衡，垂直板面的分力与板面对黑板擦的弹力平衡。设力F与运动方向的夹角为θ，黑板擦做匀速运动，则由平衡条件可知Fcos θ＝μFsin θ，解得μ＝，由数学知识可知cos θ＝，则黑板擦所受的摩擦力大小Ff＝Fcos θ＝，故C正确。
11. (多选)(2024·山东泰安市新泰一中月考)激光打印机是自动进纸的，其进纸原理如图所示，进纸槽里叠放一叠白纸，每一张纸的质量均相等，进纸时滚轮以竖直向下的力压在第1张白纸上，并沿逆时针方向转动，确保第1张纸与第2张纸相对滑动，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，滚轮与白纸之间的动摩擦因数为μ1，白纸与白纸之间、白纸与纸槽底座之间的动摩擦因数均为μ2，不考虑静电力的影响，则(　　)
A．第1张白纸受到滚轮的摩擦力向左
B．最后一张白纸受到纸槽底座的摩擦力向右
C．下一张白纸受到上一张白纸的摩擦力一定向右
D．正常情况下单张纸打印必须满足μ1>μ2
[答案]　CD
[解析]　第1张白纸相对于滚轮的运动趋势与滚轮的运动方向相反，则受到滚轮的静摩擦力方向与滚轮的运动方向相同，即受到滚轮的摩擦力向右，A错误；对除第1张白纸外的所有白纸进行研究，处于静止状态，水平方向受到第1张白纸的滑动摩擦力，方向与滚轮的运动方向相同，则根据平衡条件知，最后1张白纸受到纸槽底座的摩擦力方向与滚轮的运动方向相反，即水平向左，B错误；根据题意，因上一张白纸相对下一张白纸向右滑动或有向右滑动的趋势，则上一张白纸受到下一张白纸的摩擦力一定向左，那么下一张白纸受到上一张白纸的摩擦力一定向右，C正确；正常情况下单张纸打印必须满足滚轮与白纸之间的最大静摩擦力大于纸与纸之间的滑动摩擦力，则μ1>μ2，D正确。
12．(多选)如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率v1沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°，一煤块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图像如图乙所示，煤块运动到传送带顶端时速度恰好为零，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，则(　　)
A．传送带的速度为4 m/s
B．传送带底端到顶端的距离为14 m
C．v0D．煤块在0～1 s和1～2 s所受摩擦力方向相反
[答案]　AD
[解析]　根据题图乙可知，1 s时刻，煤块的加速度发生突变，可知此时煤块的速度与传送带的速度相等，即传送带的速度v1＝4 m/s，而煤块的初速度v0＝12 m/s，故A正确，C错误；煤块在0～1 s和1～2 s加速度不等，可知0～1 s内，摩擦力方向沿传送带向下，1～2 s摩擦力方向沿传送带向上，故D正确；根据题意可知，煤块的总位移与传送带底端到顶端的距离相等，即等于v－t图像与时间轴所围图形的面积，则L＝ m＋ m＝10 m，故B错误。
13．一长方形木板放置在水平地面上，在长方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定于水平地面上，挡板与木板不接触。现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度v运动，同时长方形木板以大小相等的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块的质量为m，重力加速度为g，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为(　　)
A．0 B．μ1μ2mg
C．μ1μ2mg D．μ1μ2mg
[答案]　B
[解析]　物块沿运动方向受挡板的摩擦力大小为Ff1＝μ1FN，因物块沿挡板运动的速度的大小等于木板运动的速度的大小，故物块相对木板的速度方向与挡板成45°角，物块受木板的摩擦力大小为Ff2＝μ2mg，其方向与挡板成45°角，如图，则物块与挡板之间的正压力FN＝μ2mgsin 45°＝μ2mg，故挡板对物块的摩擦力大小为Ff1＝μ1FN＝μ1μ2mg，故B正确。第9讲　力的合成与分解
一、力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力 产生的效果　跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的 合力　，原来那几个力叫作 分力　。
(2)关系：合力和分力是 等效替代　的关系。
2．共点力
作用在物体的 同一点　，或作用线的 延长线　交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的 合力　的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的 共点力　的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的 大小　和 方向　。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量 首尾相接　，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的 分力　的过程。
(2)遵循原则： 平行四边形　定则或 三角形　定则。
(3)分解方法：①按力产生的 效果　分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1．矢量
既有大小又有 方向　的量，相加时遵从 平行四边形定则　。
2．标量
只有大小 没有　方向的量，求和时按 代数法则　相加。
易错辨析
1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × )
2．两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小。( √ )
3．合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。( √ )
4．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ )
5．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ )
6．合力与分力可以同时作用在物体上。( × )
7．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × )
8．如果合力是阻力，则它的每一个分力都是阻力。( × )
9．位移是矢量，相加时可以用算术法则直接求和。( × )
10．有方向的物理量一定是矢量。( × )
考点1　力的合成
(基础考点·自主探究)
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成
类型 作图 合力的计算
①互相垂直 F＝ tan θ＝
②两力等大，夹角θ F＝2F1cos F与F1夹角为
③两力等大且夹角120° 合力与分力等大F′＝F
2．两个共点力的合力
(1)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)两个共点力合力的范围
①当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。
②当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
③合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
3．三个共点力的合力的最大值与最小值
(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【跟踪训练】
(合力范围的确定)(多选)一物体静止于水平桌面上，与水平桌面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
(用作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
(计算法求合力)如图所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分别固定于天花板上A、B两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC先断，则(　　)
A．α<120°
B．α＝120°
C．α>120°
D．不论α为何值，总是绳OC先断
考点2　力的分解
(能力考点·深度研析)
1．力的分解的两种常用方法
(1)按力的效果分解
(2)正交分解法
①方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力的大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。
2．力的分解中的唯一性和多解性
条件 解的组数
分解一个力，若分力没有附加条件 无数组解
已知合力和两个分力的方向 唯一解
已知合力和一个分力 唯一解
已知合力和两分力的大小，并且F1－F2已知合力F和F1的大小及F2的方向，F2与合力F的夹角为θ F1F1＝Fsin θ 唯一解
Fsin θF1≥F 唯一解
考向1　力的效果分解法
如图所示，一光滑小球与一过球心的轻杆连接，置于一斜面上静止，轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接，已知小球所受重力为G，斜面与水平地面间的夹角为60°，轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°，则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　)
A．G和G B．G和G
C．G和G D．G和2G
反思提升　　　　
按照力的实际作用效果分解的步骤
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—
　
—
考向2　力的正交分解法
如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx
考向3　力分解中的唯一性和多解性
已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
①　②　③　④F
A．①② B．②④
“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题
考向1　“动杆”和“定杆”模型
模型 “动杆”模型 “定杆”模型
模型结构
结构特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动
弹力特点 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　)
A．图甲轻杆中弹力大小为mg
B．图乙轻杆中弹力大小为mg
C．图甲轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D．图乙中∠B′O′A′不可能等于30°
【跟踪训练】
如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时(　　)
A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
考向2　“活结”和“死结”模型
模型 “活结”模型 “死结”模型
模型结构
结构特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳
弹力特点 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
反思提升　　　　
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。
【跟踪训练】
如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)。则在此过程中绳中拉力(　　)
A．先变大后不变　　　　 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
2．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速，阻拦索装置可视为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，不考虑飞机所受升力，下列说法正确的是(　　)
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的拉力和航母甲板的摩擦力三个力作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的作用力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
题组二　力的分解
4．如图所示是位于运载火箭顶部的逃逸塔，塔身外侧对称分布四个喷口朝向斜下方的逃逸主发动机。每个主发动机产生的推力大小为F，其方向与逃逸塔身夹角为θ。四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为(　　)
A．4F B．4Fsin θ
C．4Fcos θ D．Fsin θ
5．有一种瓜子破壳器，其简化截面如图所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B距离不变，则(　　)
A．圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零
B．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越小
C．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越大
D．圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关
6．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
题组三　“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”模型
7. (多选)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．细线对M点的拉力大小为mg
B．轨道对轻环的支持力大小为mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．图示位置时MA＝R
8．如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb B．Fa>Fb
C．Fa能力提升练
9．如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为(　　)
A．Ff B．Ff
C．Ff D．Ff
10．磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　)
A．F B．F
C．F D．F
11．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan B．
C． D．
12．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)第9讲　力的合成与分解
一、力的合成与分解
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力 产生的效果　跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的 合力　，原来那几个力叫作 分力　。
(2)关系：合力和分力是 等效替代　的关系。
2．共点力
作用在物体的 同一点　，或作用线的 延长线　交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的 合力　的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的 共点力　的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的 大小　和 方向　。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量 首尾相接　，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的 分力　的过程。
(2)遵循原则： 平行四边形　定则或 三角形　定则。
(3)分解方法：①按力产生的 效果　分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1．矢量
既有大小又有 方向　的量，相加时遵从 平行四边形定则　。
2．标量
只有大小 没有　方向的量，求和时按 代数法则　相加。
易错辨析
1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × )
2．两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小。( √ )
3．合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。( √ )
4．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ )
5．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ )
6．合力与分力可以同时作用在物体上。( × )
7．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × )
8．如果合力是阻力，则它的每一个分力都是阻力。( × )
9．位移是矢量，相加时可以用算术法则直接求和。( × )
10．有方向的物理量一定是矢量。( × )
考点1　力的合成
(基础考点·自主探究)
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力合成
类型 作图 合力的计算
①互相垂直 F＝ tan θ＝
②两力等大，夹角θ F＝2F1cos F与F1夹角为
③两力等大且夹角120° 合力与分力等大F′＝F
2．两个共点力的合力
(1)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)两个共点力合力的范围
①当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。
②当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
③合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
3．三个共点力的合力的最大值与最小值
(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
【跟踪训练】
(合力范围的确定)(多选)一物体静止于水平桌面上，与水平桌面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
[答案]　ABC
[解析]　两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。
(用作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
[答案]　B
[解析]　先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，合力大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B。
(计算法求合力)如图所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分别固定于天花板上A、B两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC先断，则(　　)
A．α<120°
B．α＝120°
C．α>120°
D．不论α为何值，总是绳OC先断
[答案]　A
[解析]　根据对称性可知，OB绳与OA绳拉力大小相等，由平衡条件得FOC＝2FOBcos ，当衣物足够重时OC绳先断，说明FOC>FOB，则2FOBcos >FOB，解得α<120°，故A正确。
考点2　力的分解
(能力考点·深度研析)
1．力的分解的两种常用方法
(1)按力的效果分解
(2)正交分解法
①方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力的大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。
2．力的分解中的唯一性和多解性
条件 解的组数
分解一个力，若分力没有附加条件 无数组解
已知合力和两个分力的方向 唯一解
已知合力和一个分力 唯一解
已知合力和两分力的大小，并且F1－F2已知合力F和F1的大小及F2的方向，F2与合力F的夹角为θ F1F1＝Fsin θ 唯一解
Fsin θF1≥F 唯一解
考向1　力的效果分解法
如图所示，一光滑小球与一过球心的轻杆连接，置于一斜面上静止，轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接，已知小球所受重力为G，斜面与水平地面间的夹角为60°，轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°，则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　)
A．G和G B．G和G
C．G和G D．G和2G
[答案]　A
[解析]　按照实际作用效果分解。对小球进行受力分析，杆对小球的弹力F方向沿杆斜向上与水平方向成30°角，斜面对球的弹力FN方向垂直于斜面斜向上与水平方向成30°角，重力方向竖直向下。将重力按实际作用效果分解，如图所示
由几何关系可知两个分力夹角为120°，则根据几何知识，使小球压轻杆和压斜面的力G1＝G2＝G，斜面和轻杆受到小球的作用力大小都等于G，选项A正确。
反思提升　　　　
按照力的实际作用效果分解的步骤
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考向2　力的正交分解法
如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx
[答案]　D
[解析]　弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB＝FDE＝kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx＝FABcos 37°＋FDEcos 53°＝kx，Fy＝FABsin 37°＋FDEsin 53°＝kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F＝＝kx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝1，即作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。
考向3　力分解中的唯一性和多解性
已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
①　②　③　④F
A．①② B．②④
C．①③ D．①④
[答案]　C
[解析]　如图所示，因为F2＝F>Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由余弦定理可得F＝F2＋F－2FF1cos 30°，化简可得F－FF1＋F2＝0，解得F11＝F，F12＝F。故选C。
“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题
考向1　“动杆”和“定杆”模型
模型 “动杆”模型 “定杆”模型
模型结构
结构特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动
弹力特点 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　)
A．图甲轻杆中弹力大小为mg
B．图乙轻杆中弹力大小为mg
C．图甲轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D．图乙中∠B′O′A′不可能等于30°
[答案]　AC
[解析]　由于题图甲中轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，题图甲轻杆中弹力为F甲＝2mgcos 45°＝mg，故A正确；题图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力大小相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，∠B′O′A′可能等于30°，故B、D错误；根据共点力平衡条件，题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。
【跟踪训练】
如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时(　　)
A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
[答案]　C
[解析]　滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°<θ<180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向右移动时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误。
考向2　“活结”和“死结”模型
模型 “活结”模型 “死结”模型
模型结构
结构特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳
弹力特点 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
[答案]　B
[解析]　设甲、乙两物体的质量均为m，对O点进行受力分析，右侧细绳上的拉力大小为mg，左侧细绳上的拉力大小为F，O点下方的细线上的拉力大小为mg，O点所受合力为零，由图并结合几何知识可得β＝＝55°，故B正确。
反思提升　　　　
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。
【跟踪训练】
如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)。则在此过程中绳中拉力(　　)
A．先变大后不变　　　　 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
[答案]　A
[解析]　对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知
F1＝F2＝①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得
sin θ＝②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确。
提能训练　练案[9]
基础巩固练
题组一　力的合成
1. (2023·重庆卷)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图所示)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2Fsin B．2Fcos
C．Fsin α D．Fcos α
[答案]　B
[解析]　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2Fcos ，故B正确。
2．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
[答案]　C
[解析]　由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N。则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反对，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。
3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速，阻拦索装置可视为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，不考虑飞机所受升力，下列说法正确的是(　　)
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的拉力和航母甲板的摩擦力三个力作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的作用力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
[答案]　BC
[解析]　舰载机受重力、阻拦索的拉力、航母甲板施加的摩擦力与支持力四个力作用，故A错误；阻拦索的长度变长，张力变大，阻拦索对舰载机作用的是阻拦索上张力的合力，夹角变小，合力变大，故B正确；如图，阻拦索的张力夹角为120°时，F合＝F，故C正确；由滑动摩擦力F滑＝μFN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，故D错误。
题组二　力的分解
4．如图所示是位于运载火箭顶部的逃逸塔，塔身外侧对称分布四个喷口朝向斜下方的逃逸主发动机。每个主发动机产生的推力大小为F，其方向与逃逸塔身夹角为θ。四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为(　　)
A．4F B．4Fsin θ
C．4Fcos θ D．Fsin θ
[答案]　C
[解析]　发动机产生的推力分解如图所示：
四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为F推＝4Fcos θ，故选C。
5．有一种瓜子破壳器，其简化截面如图所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B距离不变，则(　　)
A．圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零
B．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越小
C．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越大
D．圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关
[答案]　B
[解析]　圆柱体A、B对瓜子压力的合力不为零，合力的方向竖直向上，A错误；根据平行四边形定则和三角函数得sin ＝，解得FA＝，合力F恒定，顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力FA越小，B正确，C、D错误。
6．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
[答案]　D
[解析]　对结点O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y＝，F2y＝，因为α>β，故F1y题组三　“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”模型
7. (多选)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．细线对M点的拉力大小为mg
B．轨道对轻环的支持力大小为mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．图示位置时MA＝R
[答案]　BD
[解析]　轻环两边细线的拉力大小相等，均为T＝mg，则细线对M点的拉力大小为mg，故A错误；轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos θ＝mg，故B正确；细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为FN′＝FN＝mg，此时MA＝2Rcos θ＝R，故C错误，D正确。
8．如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb B．Fa>Fb
C．Fa[答案]　A
[解析]　对题图中的A点受力分析，设轻杆OA的弹力大小分别为Fa′，Fb′，则由图甲可得Fa＝Fa′＝2mgcos 30°＝mg，由图乙可得tan 30°＝，则Fb＝Fb′＝mg，故Fa＝Fb，A正确。
能力提升练
9．如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为(　　)
A．Ff B．Ff
C．Ff D．Ff
[答案]　C
[解析]　设每根绳的拉力为F，则这两根绳拉力的合力F合＝2Fcos ，方向沿绳子所组成角的平分线，与水平面的夹角为α，受力分析如图所示，对轮胎有F合cos α＝Ff，解得F＝＝Ff，故A、B、D错误，C项正确。故选C。
10．磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　)
A．F B．F
C．F D．F
[答案]　C
[解析]　以一个小铁珠为研究对象，将力F按照作用效果进行分解如图所示。由几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为FN＝＝F，故C正确。
11．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ＝，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为FN′＝·tan。故选A。
12．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[答案]　(1)0.5G　(2)0.4G
[解析]　(1)分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力，由题给条件知F＝2Ff
由圆柱体重力产生的效果将重力进行分解，如图所示：
由几何关系可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1得F＝0.5G。
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G，
此时工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G。第10讲　牛顿第三定律　受力分析　共点力的平衡
一、牛顿第三定律
1．作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是 相互　的，一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体一定同时对前一个物体也施加了力。
2．内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向 相反　，作用在 同一条直线上　。
二、受力分析
1．受力分析
把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，并画出 受力分析图　的过程。
2．受力分析的一般顺序
(1)先画出 重力　。
(2)其次分析 弹力　。
(3)再分析 摩擦力　。
(4)最后分析 电磁力　。
三、共点力的平衡
1．平衡状态
物体处于 静止　状态或 匀速直线　运动状态。
2．平衡条件
F合＝0或者
3．平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定 大小相等，方向相反　。
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与 其余两个力的合力　大小相等，方向相反。
(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与 其余几个力的合力　大小相等，方向相反。
1．作用力与反作用力的效果可以相互抵消。( × )
2．人走在松软土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力。( × )
3．物体静止在水平地面上，受到的重力和支持力为一对作用力和反作用力。( × )
4．物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。( × )
5．速度等于零的物体一定处于平衡状态。( × )
6．物体的平衡状态是指物体处于静止或速度等于零的状态。( × )
7．物体处于平衡状态时，加速度等于零。( √ )
8．二力平衡时，这两个力必定等大反向。( √ )
9．若物体受到三个力F1、F2、F3的作用而平衡，将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1。( √ )
10．多个共点力平衡时，其中任何一个力与其余各力的合力大小相等、方向相反。( √ )
考点1　牛顿第三定律
(基础考点·自主探究)
1．作用力与反作用力的“六同、三异、二无关”
六同 性质相同、大小相同、同一直线、同时产生、同时变化、同时消失
三异 方向相反、不同物体、不同效果
二无关 与物体的运动状态无关、与物体是否受其他力无关
2．作用力和反作用力与一对平衡力的比较
作用力和反作用力 一对平衡力
不同点 作用在两个物体上 作用在同一物体上
力的性质一定相同 对力的性质无要求
作用效果不可抵消 作用效果相互抵消
相同点 大小相等、方向相反，作用在同一直线上
3．应用牛顿第三定律转换研究对象
如果不能直接求解物体受到的某个力时，可先求它的反作用力，再根据牛顿第三定律求解该力。
【跟踪训练】
(对牛顿第三定律的理解、相互作用力与平衡力的比较)如图所示是一种有趣好玩的感应飞行器的示意图，主要是通过手控感应飞行，它的底部设置了感应器装置。只需要将手置于离飞行器底部一定距离处，就可以使飞行器静止悬浮在空中，操作十分方便。下列说法正确的是(　　)
A．手对飞行器的作用力与飞行器所受的重力是一对平衡力
B．空气对飞行器的作用力与飞行器所受的重力是一对平衡力
C．空气对飞行器的作用力和空气对手的作用力是一对作用力和反作用力
D．因为空气会流动，所以螺旋桨对空气的作用力和空气对螺旋桨的作用力大小不相等
(牛顿第三定律的应用)一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示。已知重力加速度为g，环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱子对地面的压力大小为(　　)
A．Mg＋mg－ma B．Mg－mg＋ma
C．Mg＋mg D．Mg－mg
考点2　受力分析
(能力考点·深度研析)
受力分析的四种方法
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
状态法 根据其他力与物体的运动状态是否相符判断该力是否存在
转换法 在受力分析时，若不能确定某力是否存在，则： (1)可以转换为分析该力的反作用力，根据其反作用力是否存在，判断该力是否存在； (2)可以转换为分析与该力相关的其他研究对象，通过对其他研究对象进行受力分析，判断该力是否存在
特别提醒　受力分析时注意以下四点
(1)只分析研究对象所受的力，不分析研究对象对其他物体的作用力。
(2)只分析外力，不分析内力。
(3)只分析性质力，不分析效果力。
(4)分力、合力不要重复分析。
两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图甲、乙两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数之比为(　　)
A．1∶1 B．4∶3
C．5∶3 D．5∶4
反思提升　　　　
受力分析的四个步骤
【跟踪训练】
(多选)如图所示，一个质量m＝0.4 kg的小球穿在水平直杆上处于静止状态，现对小球施加一个5 N的拉力F，F与杆的夹角为53°，小球与杆之间的动摩擦因数μ＝0.5，则(g取10 N/kg)(　　)
A．小球受到2个力
B．小球受到3个力
C．若F＝10 N，则小球受4个力
D．若F＝10 N，则小球受3个力
考点3　单个物体的静态平衡问题
(能力考点·深度研析)
1．合成法：适用于三力平衡问题，根据任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，通过平行四边形定则建立平衡关系。
2．正交分解法：适用于多力平衡问题，通过两个垂直方向的合力为零，建立平衡关系。
3．数学方法：无论是合成法还是正交分解法，都要通过数学方法建立平衡关系。
(1)当角度已知时，常用三角函数。
(2)当长度已知时，常用三角形相似关系或勾股定理。
(3)特殊情况下，可考虑正(余)弦定理。
(2024·河北卷)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A． N B．1.0 N
C． N D．2.0 N
反思提升　　　　
共点力平衡问题的分析步骤
↓
↓
↓
【跟踪训练】
(合成法的应用)(2023·河北卷)如图，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
(正交分解法的应用)如图所示，质量m＝2 kg的三角形木楔置于倾角θ＝37°的固定粗糙斜面上，三角形木楔的AB边和AC边相等，∠BAC＝74°，它与斜面间的动摩擦因数为0.5，水平向右的推力F垂直作用在AB边上，在力F的推动下，木楔沿斜面向上匀速运动，ABC与斜面在同一竖直平面内，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，则木楔匀速运动过程中受到的摩擦力大小为(　　)
A．20.0 N B．12.8 N
C．12.0 N D．8.0 N
考点4　整体法和隔离法解决多物体平衡问题
(能力考点·深度研析)
整体法与隔离法的选用技巧
整体法 隔离法
概念 将几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
技巧 整体法与隔离法结合，交替应用
【跟踪训练】
(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f　　　　　　　　 B．f
C．2f D．3f
反思提升　　　　 　　
解决多物体问题要灵活选取研究对象，本题货船S受力最简单，先从货船S入手，F方向未知，要根据受力平衡来确定，由于整体法不能求出F，所以本题先以货船S为研究对象求出缆绳拉力，再以拖船P为研究对象求动力F。
如图，质量为m的木块A放在水平地面上，固定在A上的竖直轻杆的上端与小球B用细绳连接，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B恰好能一起向右匀速运动，此时细绳与竖直方向的夹角为60°。已知小球B的质量也为m，则木块A与水平地面间的动摩擦因数为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
用“对称法”解决立体空间共点力的平衡问题
1．研究某一条线，沿线方向的力与线外的力正交分解后在沿线方向的分力的总合力为零，F合＝0。
2．研究某一个面，面内的力与面外的力正交分解后在该面内的分力的总合力为零，F合＝0。
3．要注意图形结构的对称性，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等、方向特点相同等。
【跟踪训练】
如图为一名健身者正在拉绳锻炼，已知健身者质量为50 kg，双手对绳的拉力均为100 N，两根绳间夹角θ＝60°，两根绳关于上方连接的总绳对称且跟总绳处于同一平面，总绳与竖直方向的夹角为30°。若健身者处于静止状态，健身者与地面的动摩擦因数为0.5，绳的质量忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2，则健身者受地面的支持力FN和摩擦力Ff分别为(　　)
A．FN＝350 N，Ff＝25 N
B．FN＝500－50 N，Ff＝50 N
C．FN＝350 N，Ff＝50 N
D．FN＝350 N，Ff＝175 N
提能训练　练案[10]
基础巩固练
题组一　牛顿第三定律　受力分析
1．2024年6月10日，吉林省第一届全国龙舟邀请赛在长春市伊通河工业轨迹公园河道上举行。图为龙舟比赛的照片，龙舟在水面上做匀速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．龙舟能前进是因为水对船桨的作用力大于船桨对水的作用力
B．坐在船头的鼓手对座椅的压力大小一定与座椅对鼓手的支持力大小相等
C．队员对龙舟的压力就是队员受到的重力
D．龙舟受到的浮力和所有队员对龙舟的压力是一对平衡力
2．如图所示，在水平力F作用下A、B保持静止。若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则(　　)
A．A的受力个数可能是3个
B．A的受力个数可能是5个
C．B的受力个数可能是3个
D．B的受力个数可能是5个
题组二　共点力的平衡
3．(2023·浙江卷)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
4．(2025·四川成都模拟)2023年的春晚舞蹈《锦绣》，艺术地再现了古代戍边将士与西域各民族化干戈为玉帛并建立深厚友谊的动人故事。图(a)是一个优美且难度极大的后仰动作，人后仰平衡时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F2和颈椎支持力F1。如图(b)，若弯曲后的头颈与水平方向成60°角，F2与水平方向成45°角，则可估算出F1的大小为(　　)
A．(＋1)G B．(－1)G
C．(＋2)G D．(－2)G
5．如图(a)是一种大跨度悬索桥梁，图(b)为悬索桥模型，六对轻质吊索悬挂着质量为M的水平桥面，吊索在桥面两侧竖直对称排列，其上端挂在两根轻质悬索上[图(b)中只画了一侧分布]，悬索两端与水平方向成45°，则一根悬索水平段CD上的张力大小是(　　)
A．Mg B．Mg
C．Mg D．Mg
6．(2025·八省联考内蒙古卷)2024年9月，国内起重能力最大的双臂架变幅式起重船“二航卓越”号交付使用。若起重船的钢缆和缆绳通过图示两种方式连接：图(a)中直接连接，钢缆不平行；图(b)中通过矩形钢架连接，钢缆始终平行。通过改变钢缆长度(缆绳长度不变)，匀速吊起构件的过程中，每根缆绳承受的拉力(　　)
A．图(a)中变大 B．图(a)中变小
C．图(b)中变大 D．图(b)中变小
7. (2025·海南统考模拟)如图所示，两个可视为质点的光滑小球a和b，先用一刚性轻细杆相连，再用两根细绳两端分别连接a、b球，并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比ma∶mb＝∶1，细绳Oa的长度是细绳Ob的长度的倍，两球处于平衡状态时，绳Oa上的拉力大小为Fa，绳Ob上的拉力大小为Fb。则Fa∶Fb为(　　)
A．∶1 B．∶1
C．∶ D．∶
能力提升练
8. (2025·江西宜春市检测)如图所示，倾角为α的斜面固定在水平面上，在斜面和固定的竖直挡板之间有两个匀质球P、Q，P球的质量是Q球质量的三倍，各接触面均光滑，系统处于静止状态，若P、Q两球的球心连线与竖直方向的夹角为β，下列说法正确的是(　　)
A．4tan α＝tan β B．3tan α＝tan β
C．2tan α＝tan β D．tan α＝tan β
9．(2024·河北唐山市联考)如图所示，古代北方播种后，用驴拉两个小石磙压土埋麦种，以利于麦种发芽。简化图如图乙所示，AB平行于轻杆CD，轻绳AC、BD长度相同。若轻绳长为2.01 m，两石磙相同，整体(含轻杆)的总质量为21 kg，与地面间的摩擦力大小是其对地面正压力的，AB＝0.3 m，CD＝0.7 m，B、D两点的高度差为1 m，g取10 m/s2，不计其他摩擦，则石磙做匀速直线运动时每根轻绳上的拉力大小约为(　　)
A．20.5 N B．24.5 N
C．30.2 N D．36.2 N
10．(2024·广西南宁月考)如图甲所示为架设在山坡上的高压电线塔，由于相邻两高压塔距离较远，其间输电导线较粗，导线较重，导致平衡时导线呈弧形下垂。若其中两相邻高压塔A、B之间一条输电线平衡时呈弧形下垂的最低点为C，输电线粗细均匀，已知弧线BC的长度是AC的3倍，而左塔B处电线切线与竖直方向夹角为β＝30°，则右塔A处电线切线与竖直方向夹角α应为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
11．(2025·大连模拟)如图所示，A、B、C三个物体处于静止状态，则以下说法正确的是(　　)
A．弹簧一定处于压缩状态
B．C对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C．若B受3个力，则A对C的作用力方向一定斜向左下
D．若B受3个力，则C对地面的摩擦力方向一定向右
12. (多选)如图所示，质量为2M的物块A静置于水平台面上，质量为M的半球体C静置于水平地面上，质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上，P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点。系统在图示位置处于静止状态，P点位于半球体球心的正上方，PO竖直，PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°。已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则(　　)
A．绳OP的拉力大小为mg
B．C受到的摩擦力大小为mg
C．A受到的摩擦力大小为mg
D．地面对C的支持力大小为Mg＋mg
13．(2025·河北保定市联考)一个用于晾晒的工具其简化模型如图所示。质量为m、边长为L的正方形竹网ABCD水平放置，用长均为L的AE、DE、BF、CF和长均为L的OE、OF六条轻绳静止悬挂于O点，OE、OF的延长线分别交于AD、BC的中点。下列说法正确的是(　　)
A．六条轻绳的张力大小相等
B．轻绳AE的张力大小为mg
C．轻绳OE的张力大小为mg
D．OE、OF绳增长相同长度，AE绳张力大小不变第10讲　牛顿第三定律　受力分析　共点力的平衡
一、牛顿第三定律
1．作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是 相互　的，一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体一定同时对前一个物体也施加了力。
2．内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向 相反　，作用在 同一条直线上　。
二、受力分析
1．受力分析
把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，并画出 受力分析图　的过程。
2．受力分析的一般顺序
(1)先画出 重力　。
(2)其次分析 弹力　。
(3)再分析 摩擦力　。
(4)最后分析 电磁力　。
三、共点力的平衡
1．平衡状态
物体处于 静止　状态或 匀速直线　运动状态。
2．平衡条件
F合＝0或者
3．平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定 大小相等，方向相反　。
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与 其余两个力的合力　大小相等，方向相反。
(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与 其余几个力的合力　大小相等，方向相反。
1．作用力与反作用力的效果可以相互抵消。( × )
2．人走在松软土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力。( × )
3．物体静止在水平地面上，受到的重力和支持力为一对作用力和反作用力。( × )
4．物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。( × )
5．速度等于零的物体一定处于平衡状态。( × )
6．物体的平衡状态是指物体处于静止或速度等于零的状态。( × )
7．物体处于平衡状态时，加速度等于零。( √ )
8．二力平衡时，这两个力必定等大反向。( √ )
9．若物体受到三个力F1、F2、F3的作用而平衡，将F1转动90°时，三个力的合力大小为F1。( √ )
10．多个共点力平衡时，其中任何一个力与其余各力的合力大小相等、方向相反。( √ )
考点1　牛顿第三定律
(基础考点·自主探究)
1．作用力与反作用力的“六同、三异、二无关”
六同 性质相同、大小相同、同一直线、同时产生、同时变化、同时消失
三异 方向相反、不同物体、不同效果
二无关 与物体的运动状态无关、与物体是否受其他力无关
2．作用力和反作用力与一对平衡力的比较
作用力和反作用力 一对平衡力
不同点 作用在两个物体上 作用在同一物体上
力的性质一定相同 对力的性质无要求
作用效果不可抵消 作用效果相互抵消
相同点 大小相等、方向相反，作用在同一直线上
3．应用牛顿第三定律转换研究对象
如果不能直接求解物体受到的某个力时，可先求它的反作用力，再根据牛顿第三定律求解该力。
【跟踪训练】
(对牛顿第三定律的理解、相互作用力与平衡力的比较)如图所示是一种有趣好玩的感应飞行器的示意图，主要是通过手控感应飞行，它的底部设置了感应器装置。只需要将手置于离飞行器底部一定距离处，就可以使飞行器静止悬浮在空中，操作十分方便。下列说法正确的是(　　)
A．手对飞行器的作用力与飞行器所受的重力是一对平衡力
B．空气对飞行器的作用力与飞行器所受的重力是一对平衡力
C．空气对飞行器的作用力和空气对手的作用力是一对作用力和反作用力
D．因为空气会流动，所以螺旋桨对空气的作用力和空气对螺旋桨的作用力大小不相等
[答案]　B
[解析]　手与飞行器没有接触，手对飞行器没有作用力，空气对飞行器的作用力与飞行器所受的重力是一对平衡力，选项A错误，B正确；空气对飞行器的作用力和飞行器对空气的作用力是一对作用力和反作用力，选项C错误；由牛顿第三定律可知，螺旋桨对空气的作用力和空气对螺旋桨的作用力大小相等，选项D错误。
(牛顿第三定律的应用)一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示。已知重力加速度为g，环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱子对地面的压力大小为(　　)
A．Mg＋mg－ma B．Mg－mg＋ma
C．Mg＋mg D．Mg－mg
[答案]　A
[解析]　环在竖直方向上受重力及箱子内的杆对它的竖直向上的摩擦力Ff，受力情况如图甲所示，根据牛顿第三定律可知，环应给杆一个竖直向下的摩擦力Ff′，故箱子竖直方向上受重力Mg、地面对它的支持力FN及环给它的摩擦力Ff′，受力情况如图乙所示，以环为研究对象，有mg－Ff＝ma，以箱子为研究对象，有FN＝Ff′＋Mg＝Ff＋Mg＝Mg＋mg－ma。根据牛顿第三定律可知，箱子对地面的压力大小等于地面对箱子的支持力大小，即FN′＝Mg＋mg－ma，故A项正确。
考点2　受力分析
(能力考点·深度研析)
受力分析的四种方法
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
状态法 根据其他力与物体的运动状态是否相符判断该力是否存在
转换法 在受力分析时，若不能确定某力是否存在，则： (1)可以转换为分析该力的反作用力，根据其反作用力是否存在，判断该力是否存在； (2)可以转换为分析与该力相关的其他研究对象，通过对其他研究对象进行受力分析，判断该力是否存在
特别提醒　受力分析时注意以下四点
(1)只分析研究对象所受的力，不分析研究对象对其他物体的作用力。
(2)只分析外力，不分析内力。
(3)只分析性质力，不分析效果力。
(4)分力、合力不要重复分析。
两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图甲、乙两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数之比为(　　)
A．1∶1 B．4∶3
C．5∶3 D．5∶4
[答案]　C
[解析]　题图甲中，根据整体法可知，木块B除了受重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和竖直向上的静摩擦力，隔离B分析，其一定还受到A的弹力，隔离A分析，A受到重力、水平向左的推力、B对其垂直于接触面斜向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜向右上的静摩擦力才能平衡，可知B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，故B共受5个力的作用；题图乙中，根据整体法可知B与墙面间既无弹力也无摩擦力，所以B受重力和A的弹力及摩擦力共3个力的作用。则在此两种方式中，木块B受力个数之比为5∶3，故选C。
反思提升　　　　
受力分析的四个步骤
【跟踪训练】
(多选)如图所示，一个质量m＝0.4 kg的小球穿在水平直杆上处于静止状态，现对小球施加一个5 N的拉力F，F与杆的夹角为53°，小球与杆之间的动摩擦因数μ＝0.5，则(g取10 N/kg)(　　)
A．小球受到2个力
B．小球受到3个力
C．若F＝10 N，则小球受4个力
D．若F＝10 N，则小球受3个力
[答案]　AC
[解析]　如图在沿杆和垂直杆方向建立直角坐标系，当F＝5 N时，F在y轴上的分力Fy＝Fsin 53°＝4 N，F与重力在y轴上的合力刚好为0，所以杆与小球只接触不挤压，无弹力和摩擦力，A正确，B错误；当F＝10 N时，Fy＝8 N，F与重力在y轴上的合力为4 N，垂直于杆向上，此时杆对小球的弹力垂直于杆向下，且F在水平方向上有分力，因此杆对小球还有摩擦力，小球一共受4个力，C正确，D错误。
考点3　单个物体的静态平衡问题
(能力考点·深度研析)
1．合成法：适用于三力平衡问题，根据任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，通过平行四边形定则建立平衡关系。
2．正交分解法：适用于多力平衡问题，通过两个垂直方向的合力为零，建立平衡关系。
3．数学方法：无论是合成法还是正交分解法，都要通过数学方法建立平衡关系。
(1)当角度已知时，常用三角函数。
(2)当长度已知时，常用三角形相似关系或勾股定理。
(3)特殊情况下，可考虑正(余)弦定理。
(2024·河北卷)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A． N B．1.0 N
C． N D．2.0 N
[答案]　A
[解析]　对球体受力分析，如图所示。
正交分解
→FN1＝ N，A正确。
反思提升　　　　
共点力平衡问题的分析步骤
↓
↓
↓
【跟踪训练】
(合成法的应用)(2023·河北卷)如图，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
[答案]　B
[解析]　对轻杆和小球组成的系统进行受力分析，如图，设左侧斜面对杆AB支持力的大小为NA，由平衡条件有NA＝mgcos 30°，得NA＝mg，故选B。
(正交分解法的应用)如图所示，质量m＝2 kg的三角形木楔置于倾角θ＝37°的固定粗糙斜面上，三角形木楔的AB边和AC边相等，∠BAC＝74°，它与斜面间的动摩擦因数为0.5，水平向右的推力F垂直作用在AB边上，在力F的推动下，木楔沿斜面向上匀速运动，ABC与斜面在同一竖直平面内，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，则木楔匀速运动过程中受到的摩擦力大小为(　　)
A．20.0 N B．12.8 N
C．12.0 N D．8.0 N
[答案]　A
[解析]　因AB边和AC边长度相等，∠BAC＝74°，由几何知识可知∠ABC＝53°，由于斜面倾角θ＝37°，故AB边竖直，推力F水平向右，对木楔的受力分析如图所示，根据平衡条件可得Fcos θ＝Ff＋mgsin θ，FN＝Fsin θ＋mgcos θ，摩擦力Ff＝μFN，联立解得Ff＝20 N，故A正确。
考点4　整体法和隔离法解决多物体平衡问题
(能力考点·深度研析)
整体法与隔离法的选用技巧
整体法 隔离法
概念 将几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
技巧 整体法与隔离法结合，交替应用
[答案]　D
[解析]　对A、B整体受力分析，如图1所示，由于Td＝Tc＝mg(由于不计摩擦，所以滑轮两侧的绳子上的拉力大小相等，对配重P、Q分别受力分析，由力的平衡条件有Td＝Tc＝mg)，且二者共线反向，则由力的平衡条件有Ta＝2mg＝1 N，方向竖直向上；对A单独受力分析，如图2所示，根据力的平衡条件，水平方向上有Tbcos α＝Tccos θ，竖直方向上有Tbsin α＋Tcsin θ＝mg，联立并代入数据解得α＝θ＝30°，Tb＝Tc＝mg＝0.5 N。综上可知，D正确。
【跟踪训练】
(2024·湖北卷)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f　　　　　　　　 B．f
C．2f D．3f
[答案]　B
[解析]　由题意可知货船S做匀速直线运动，对其受力分析如图甲所示，根据受力平衡有2Tcos 30°＝f，解得缆绳的拉力大小T＝，由于拖船P也做匀速直线运动，对其受力分析如图乙所示，根据受力平衡有(Tsin 30°)2＋(f＋Tcos 30°)2＝F2，解得F＝f，B正确。
反思提升　　　　 　　
解决多物体问题要灵活选取研究对象，本题货船S受力最简单，先从货船S入手，F方向未知，要根据受力平衡来确定，由于整体法不能求出F，所以本题先以货船S为研究对象求出缆绳拉力，再以拖船P为研究对象求动力F。
如图，质量为m的木块A放在水平地面上，固定在A上的竖直轻杆的上端与小球B用细绳连接，当与水平方向成30°角的力F作用在小球B上时，A、B恰好能一起向右匀速运动，此时细绳与竖直方向的夹角为60°。已知小球B的质量也为m，则木块A与水平地面间的动摩擦因数为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[答案]　B
[解析]　对B球，根据平衡条件，水平方向有FTcos 30°＝Fcos 30°，竖直方向有FTsin 30°＋Fsin 30°＝mg，解得F＝mg，对A、B整体，根据平衡条件，水平方向有Fcos 30°＝Ff，竖直方向有Fsin 30°＋FN＝2mg，Ff＝μFN，解得μ＝，故选B。
用“对称法”解决立体空间共点力的平衡问题
1．研究某一条线，沿线方向的力与线外的力正交分解后在沿线方向的分力的总合力为零，F合＝0。
2．研究某一个面，面内的力与面外的力正交分解后在该面内的分力的总合力为零，F合＝0。
3．要注意图形结构的对称性，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等、方向特点相同等。
[答案]　AD
[解析]　设绳AO和绳BO拉力的合力为F，以O点为研究对象，O点受到竖直绳的拉力(大小等于衣服的重力mg)、CO杆的支持力F1和两绳的合力F，受力分析如图甲所示，根据平衡条件得F1＝＝2mg，由牛顿第三定律可知CO杆所受的压力大小为2mg，故A正确，B错误；F＝mgtan 60°＝mg，将F分解，如图乙所示，绳AO和绳BO所受拉力的大小相等，即F2＝F3，由F＝2F2cos 30°，解得F2＝mg，故C错误，D正确。
【跟踪训练】
如图为一名健身者正在拉绳锻炼，已知健身者质量为50 kg，双手对绳的拉力均为100 N，两根绳间夹角θ＝60°，两根绳关于上方连接的总绳对称且跟总绳处于同一平面，总绳与竖直方向的夹角为30°。若健身者处于静止状态，健身者与地面的动摩擦因数为0.5，绳的质量忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2，则健身者受地面的支持力FN和摩擦力Ff分别为(　　)
A．FN＝350 N，Ff＝25 N
B．FN＝500－50 N，Ff＝50 N
C．FN＝350 N，Ff＝50 N
D．FN＝350 N，Ff＝175 N
[答案]　C
[解析]　根据题意可知，总绳对人的作用力大小为F＝2FTcos 30°＝100 N，对人受力分析，如图所示，由平衡条件有Ff＝Fsin 30°＝50 N，Fcos 30°＋FN＝mg，解得FN＝350 N，故选C。
提能训练　练案[10]
基础巩固练
题组一　牛顿第三定律　受力分析
1．2024年6月10日，吉林省第一届全国龙舟邀请赛在长春市伊通河工业轨迹公园河道上举行。图为龙舟比赛的照片，龙舟在水面上做匀速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．龙舟能前进是因为水对船桨的作用力大于船桨对水的作用力
B．坐在船头的鼓手对座椅的压力大小一定与座椅对鼓手的支持力大小相等
C．队员对龙舟的压力就是队员受到的重力
D．龙舟受到的浮力和所有队员对龙舟的压力是一对平衡力
[答案]　B
[解析]　水对船桨的作用力与船桨对水的作用力是一对相互作用力，大小相等，故A错误；鼓手对座椅的压力与座椅对鼓手的支持力也是一对相互作用力，大小相等，故B正确；队员对龙舟的压力作用在龙舟上，队员受到的重力作用在队员上，所以压力并不是重力，故C错误；龙舟受到的浮力和龙舟及所有队员所受的总重力是一对平衡力，所以龙舟受到的浮力和所有队员对龙舟的压力不是一对平衡力，故D错误。故选B。
2．如图所示，在水平力F作用下A、B保持静止。若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则(　　)
A．A的受力个数可能是3个
B．A的受力个数可能是5个
C．B的受力个数可能是3个
D．B的受力个数可能是5个
[答案]　D
[解析]　对AB系统受力分析可知，斜面对B摩擦力可能为零。对A受力分析，由平衡条件得：A受重力，B对A的支持力，水平力F，以及B对A的摩擦力四个力的作用，故A、B错误；对B受力分析：B至少受重力、A对B的压力、A对B的静摩擦力、斜面对B的支持力，还可能受到斜面对B的摩擦力，故D正确，C错误。
题组二　共点力的平衡
3．(2023·浙江卷)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
[答案]　D
[解析]　对光滑圆柱体受力分析如图，由题意有Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，故选D。
4．(2025·四川成都模拟)2023年的春晚舞蹈《锦绣》，艺术地再现了古代戍边将士与西域各民族化干戈为玉帛并建立深厚友谊的动人故事。图(a)是一个优美且难度极大的后仰动作，人后仰平衡时，可粗略认为头受到重力G、肌肉拉力F2和颈椎支持力F1。如图(b)，若弯曲后的头颈与水平方向成60°角，F2与水平方向成45°角，则可估算出F1的大小为(　　)
A．(＋1)G B．(－1)G
C．(＋2)G D．(－2)G
[答案]　A
[解析]　由力的平衡条件可得F1sin 60°＝G＋F2sin 45°，F1cos 60°＝F2cos 45°，解得F1＝(＋1)G，故A正确。
5．如图(a)是一种大跨度悬索桥梁，图(b)为悬索桥模型，六对轻质吊索悬挂着质量为M的水平桥面，吊索在桥面两侧竖直对称排列，其上端挂在两根轻质悬索上[图(b)中只画了一侧分布]，悬索两端与水平方向成45°，则一根悬索水平段CD上的张力大小是(　　)
A．Mg B．Mg
C．Mg D．Mg
[答案]　A
[解析]　对左边的悬索ABC受力分析，如图所示，由平衡条件可得TCD＝Tcos 45°，Tsin 45°＝Mg，解得TCD＝Mg，故A正确。
6．(2025·八省联考内蒙古卷)2024年9月，国内起重能力最大的双臂架变幅式起重船“二航卓越”号交付使用。若起重船的钢缆和缆绳通过图示两种方式连接：图(a)中直接连接，钢缆不平行；图(b)中通过矩形钢架连接，钢缆始终平行。通过改变钢缆长度(缆绳长度不变)，匀速吊起构件的过程中，每根缆绳承受的拉力(　　)
A．图(a)中变大 B．图(a)中变小
C．图(b)中变大 D．图(b)中变小
[答案]　A
[解析]　设缆绳与竖直方向的夹角为θ，假设由n根缆绳组成，设构件的质量为m，对构件受力分析由平衡条件nTcos θ＝mg，解得每根缆绳承受的拉力为T＝，图(a)匀速吊起构件的过程中，缆绳与竖直方向的夹角θ变大，则每根缆绳承受的拉力变大；图(b)匀速吊起构件的过程中，缆绳与竖直方向的夹角θ不变，则每根缆绳承受的拉力不变。故选A。
7. (2025·海南统考模拟)如图所示，两个可视为质点的光滑小球a和b，先用一刚性轻细杆相连，再用两根细绳两端分别连接a、b球，并将细绳悬挂在O点。已知小球a和b的质量之比ma∶mb＝∶1，细绳Oa的长度是细绳Ob的长度的倍，两球处于平衡状态时，绳Oa上的拉力大小为Fa，绳Ob上的拉力大小为Fb。则Fa∶Fb为(　　)
A．∶1 B．∶1
C．∶ D．∶
[答案]　B
[解析]　两球都受到重力、细杆的弹力和细绳的拉力这三个力的作用而处于平衡状态，对a、b受力分析，如图所示，在图中过O点作竖直线交ab于c点，则△Oac与小球a的力矢量三角形相似，△Obc与小球b的力矢量三角形相似，有＝，＝，解得Fa∶Fb＝∶1，故B正确。
能力提升练
8. (2025·江西宜春市检测)如图所示，倾角为α的斜面固定在水平面上，在斜面和固定的竖直挡板之间有两个匀质球P、Q，P球的质量是Q球质量的三倍，各接触面均光滑，系统处于静止状态，若P、Q两球的球心连线与竖直方向的夹角为β，下列说法正确的是(　　)
A．4tan α＝tan β B．3tan α＝tan β
C．2tan α＝tan β D．tan α＝tan β
[答案]　A
[解析]　以P、Q两球整体为研究对象，受力如图甲所示，由平衡条件可得F2＝4mgtan α，隔离Q球，受力如图乙所示，由平衡条件可得F2＝mgtan β，解得4tan α＝tan β，故选A。
9．(2024·河北唐山市联考)如图所示，古代北方播种后，用驴拉两个小石磙压土埋麦种，以利于麦种发芽。简化图如图乙所示，AB平行于轻杆CD，轻绳AC、BD长度相同。若轻绳长为2.01 m，两石磙相同，整体(含轻杆)的总质量为21 kg，与地面间的摩擦力大小是其对地面正压力的，AB＝0.3 m，CD＝0.7 m，B、D两点的高度差为1 m，g取10 m/s2，不计其他摩擦，则石磙做匀速直线运动时每根轻绳上的拉力大小约为(　　)
A．20.5 N B．24.5 N
C．30.2 N D．36.2 N
[答案]　C
[解析]　过B点作CD的垂线，其垂足为E，由几何关系可知，BE的长度约为2 m。设轻绳所在平面与水平面的夹角为θ，两轻绳上的拉力大小为F，合力为F合，石磙做匀速直线运动，所以其受力平衡，对两石磙整体受力分析，有F合cos θ＝(mg－F合sin θ)，其中cos θ＝，sin θ＝，带入数据解得F合＝60 N，由上述分析可知，设BD绳上的拉力与BE夹角为β，则该夹角的余弦值为cos β＝＝，有2Fcos β＝F合，解得F≈30.2 N，故选C。
10．(2024·广西南宁月考)如图甲所示为架设在山坡上的高压电线塔，由于相邻两高压塔距离较远，其间输电导线较粗，导线较重，导致平衡时导线呈弧形下垂。若其中两相邻高压塔A、B之间一条输电线平衡时呈弧形下垂的最低点为C，输电线粗细均匀，已知弧线BC的长度是AC的3倍，而左塔B处电线切线与竖直方向夹角为β＝30°，则右塔A处电线切线与竖直方向夹角α应为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
[答案]　C
[解析]　设输电线在A、B、C三个位置的拉力分别为FA、FB、FC，FC一定沿着弧线切线方向，即水平方向，设A、B间输电线的质量为m，对AC段输电线，根据平衡条件，在竖直方向有FAcos α＝mg，在水平方向有FAsin α＝FC，对BC段输电线，根据平衡条件，在竖直方向有FBcos β＝mg，在水平方向有FBsin β＝FC，联立解得α＝60°，C正确，A、B、D错误。
11．(2025·大连模拟)如图所示，A、B、C三个物体处于静止状态，则以下说法正确的是(　　)
A．弹簧一定处于压缩状态
B．C对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C．若B受3个力，则A对C的作用力方向一定斜向左下
D．若B受3个力，则C对地面的摩擦力方向一定向右
[答案]　D
[解析]　根据B的受力可知，若绳的拉力大于B自身的重力，则弹簧处于拉伸状态；若绳的拉力小于B自身的重力，则弹簧处于压缩状态；若绳的拉力等于B自身的重力，则弹簧处于原长状态，故A错误；若绳对A的拉力大于其沿斜面向下的重力分力，则A所受的摩擦力方向沿斜面向下；若绳对A的拉力等于其沿斜面向下的重力分力，A不受摩擦力作用；若绳对A的拉力小于其沿斜面向下的重力分力，则A所受的摩擦力方向沿斜面向上，故B错误；若B受3个力，则A所受的拉力可能与其重力沿斜面向下的分力大小相等，此时C对A只有支持力，方向垂直斜面向上，A对C的作用力方向斜向右下，故C错误；若B受3个力，将A、C看成整体进行受力分析可知，地面对C的摩擦力方向向左，故C对地面的摩擦力方向一定向右，故D正确。
12. (多选)如图所示，质量为2M的物块A静置于水平台面上，质量为M的半球体C静置于水平地面上，质量为m的光滑小球B(可视为质点)放在半球体C上，P点为三根轻绳PA、PB、PO的结点。系统在图示位置处于静止状态，P点位于半球体球心的正上方，PO竖直，PA水平，PB刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°。已知物块A与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则(　　)
A．绳OP的拉力大小为mg
B．C受到的摩擦力大小为mg
C．A受到的摩擦力大小为mg
D．地面对C的支持力大小为Mg＋mg
[答案]　BD
[解析]　对小球B受力分析，如图所示，PB受到的拉力大小TPB＝mgcos θ，对P点受力分析可知，OP受到的拉力大小TOP＝TPBcos θ＝mg，A错误；对物体A受力分析可知，物体A所受摩擦力大小等于PA绳子的拉力，即fA＝TPBsin θ＝mg，C错误；对A、B、C组成的整体受力分析可知，半球C受到的摩擦力大小等于A所受摩擦力大小，即fC＝fA＝mg，B正确；对A、B、C整体受力分析，由平衡条件可知，地面对半球C的支持力大小为(M＋m)g－TOP＝Mg＋mg，D正确。
13．(2025·河北保定市联考)一个用于晾晒的工具其简化模型如图所示。质量为m、边长为L的正方形竹网ABCD水平放置，用长均为L的AE、DE、BF、CF和长均为L的OE、OF六条轻绳静止悬挂于O点，OE、OF的延长线分别交于AD、BC的中点。下列说法正确的是(　　)
A．六条轻绳的张力大小相等
B．轻绳AE的张力大小为mg
C．轻绳OE的张力大小为mg
D．OE、OF绳增长相同长度，AE绳张力大小不变
[答案]　C
[解析]　令OE、OF轻绳与竖直方向夹角为θ，根据几何关系有sin θ＝＝，根据对称性可知，OE、OF轻绳上弹力大小相等，令为T1，针对OE、OF分析有2T1cos θ＝mg，解得T1＝mg，故C正确；根据对称性可知，AE、DE、BF、CF轻绳上弹力大小相等，令为T2，对轻绳的节点F进行受力分析有2T2cos 30°＝T1，结合上述解得T2＝mg，故B错误；根据上述可知，AE、DE、BF、CF轻绳上弹力大小相等，OE、OF轻绳上弹力大小相等，但AE、DE、BF、CF轻绳上弹力小于OE、OF轻绳上弹力，故A错误；若OE、OF绳增长相同长度，根据几何关系可知，OE、OF轻绳与竖直方向夹角为θ减小，根据2T1cos θ＝mg，可知，OE、OF轻绳上弹力T1减小，根据2T2cos 30°＝T1可知，AE绳张力减小，故D错误。故选C。

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