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2026年浙江省宁波市九年级中考数学模拟预测练习卷二（解析版）
全卷共24小题，满分为120分．时间为120分钟.
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．
现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360000000个参保人员提供医保服务．
数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法-表示较大的数，根据科学记数法通常形式为，其中是一个不小于1但小于10的实数，是一个整数，据此即可求解．
【详解】解：．
故答案为：C．
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．
如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案．
【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为
故选：．
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为，
∴与位似比为，
∴点的对应点的坐标为．
我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：
“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，
二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，
如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组．
【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
8．相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，
整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是750
B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
【答案】D
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中选择自驾出行的人数和所占比例，得到本次调查的样本容量，据此逐项计算即可．
【详解】解：本次抽样调查的样本容量是人，则A正确；
抽样中选择公共交通出行的人数为人，则B正确；
“其他”所对应的圆心角是，则C正确；
“十一”期间到杭州观光的游客选择自驾出行的人数为：万人，则D错误．
如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，
则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，

由题意得：米，，
米，，
在中
米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
如图1，菱形的边长为6，动点，同时从点出发，点沿线段向终点运动，
点沿折线向终点运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，
的面积为，与的关系如图2所示，有下列说法：
①点的速度为每秒1个单位长度；②点的速度为每秒3个单位长度；
③菱形的面积为30； ④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用数形结合以及菱形的性质逐项进行判断．
【详解】解：①∵四边形为菱形，边长为6，
∴，
∴点的速度为每秒1个单位长度，
该选项正确；
②∵四边形为菱形，边长为6，
∴
∴点的速度为每秒3个单位长度，
该选项正确；
③由点得，，
菱形边上的高为，
菱形的面积为，
该选项正确；
④假设，
菱形边上的高为，与③中所求的高矛盾，
∴该选项错误；
综上，正确的个数为3个．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 计算：=_______
【答案】
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、算术平方根等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
先用特殊角三角函数值、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
12. 解不等式组：的解是_________
【答案】
【分析】本题考查了不等式组.
分别解两不等式，即可求出不等式组的解集.
【详解】解不等式组：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
故答案为
如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，
乙楼的高是______．（参考数据：）
【答案】
【分析】由题知四边形是矩形，然后解三角形即可求解．
【详解】解：如图，
由题可知，四边形是矩形，，，，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
则乙楼的高是．
14．如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是______
【答案】
【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键．
【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，
∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，
∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，
故答案为：
15．【文化欣赏】
图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，
图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，
是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，
当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，
则这个桔槔支架的高度为____________米．
【答案】5.2
【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度．
【详解】解：米，
米，米，
如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则，
米，米，
（米）．
，
，
∴即，
解得米，
米，
又（米），
（米）．
故答案为：5.2．
如图，内接于，，过点C作，交于点D，
过D作于点E，交于点M，连接．若点M是的中点，则_______．
【答案】
【分析】连接，证明（），得，，设，，，则，可得，得．由勾股定理得，∵，得①，证明，得，得②，得，，，因为，所以，得．即得 ．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
又是中点，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
设，，，则，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴①，
∵等腰中，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②，
将②代入①，得，
整理，得，
因式分解，得，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴ ．
解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分，
21、22题每题10分，23、24题每题12分。）
化简求值：，其中．
【答案】化简结果为，值为
【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简整式，再代入计算结果即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同时乘以________，得． 解得．
这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________；
该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程．
【答案】(1)，检验；
(2)正确的解答过程见解析．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（）根据解分式方程的步骤判断即可得解；
（）根据解分式方程的步骤计算即可得解．
【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的关键步骤是检验，
故答案为：，检验；
（2）解：
，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为：．
19．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，．
求证：．
若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质得，根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得，由菱形的性质得，再根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20 ．在中国共产主义青年团成立100周年时，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．
现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
根据统计图提供的信息，回答如下问题：
被随机抽取的学生总人数是______；
(2) 直接将直方图补充完整；
(3) “一般”对应的百分比______，“优秀”对应的百分比______；
(4) 已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，
则这8个数据的中位数是______，众数是______；
若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数．
【答案】(1)50
(2)15
(3)；
(4)95，94
(5)约160人
【分析】此题考查了频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，
（1）用“较差”的人数除以其百分比，可求出被调查的总人数；
（2）求出“一般”的人数，即可求解；
（3）分别用“一般”、 “优秀”的人数除以被调查的总人数，即可求解；
（4）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（5）用1000乘以优秀”的人数所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：被随机抽取的学生总人数是人；
故答案为：50．
（2）解：“一般”的人数为人，
将直方图补充完整，如下：
（3）解：“一般”对应的百分比；
“优秀”对应的百分比；
故答案为：；．
（4）解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为，
出现次数最多的是94，
故众数为94，
故答案为：95，94；
（5）解：人；
即该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数为160人．
为方便市民绿色出行，聊城市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，
图②是其示意图，其中，均与地面l平行，车轮半径为，，，
坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约78cm，
现将坐垫E调整至坐骑舒适高度，求的长．（结果精确到0.1m，
参考数据：，，）
【答案】（1）99.5cm；（2）5.7cm
【分析】（1）过点E作EH⊥CD，垂足为G，交直线l于点H，利用锐角三角函数即可求出结果；
（2）根据题意，在BE上取点E'，过点E'作E'P⊥CD于点P，利用锐角三角函数即可求出结果．
【详解】解：（1）如图②，过点E作，垂足为G，交直线l于点H，
∵，
∴，
∴等于车轮半径．
在中，，
即，
∴．
坐垫E到地面的距离为．
（2）如图②，在上取点，过点作于点P，
当时，
在中，，
即，
∴，
∴
所以的长为
22． 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，
且．
求证：与相切；
若，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
（2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：设半径为x，则，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
∴半径为4，则，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
23. 已知二次函数的图象经过点．
(1) 求该图象的对称轴．
(2) 若该函数的最大值为，求该函数的表达式．
(3) 若，在该函数图象上，当且时，满足，求a的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3)或
【分析】（1）代入点到，整理得到，再根据二次函数的对称轴公式即可求解；
（2）由（1）得，结合函数有最大值可知，且当时，二次函数取得最大值，结合题意列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据二次函数的对称性可得，则，结合求得，则有当时，恒成立，再分和两种情况讨论，求出在范围内的最大值，进而列出关于的不等式，即可得出答案．
【详解】（1）解：代入点到，得，
整理得：，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴该图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）得，，
∴二次函数的表达式为，
∵二次函数有最大值，
∴，
∴当时，二次函数取得最大值，
∵该函数的最大值为，
∴，
解得（舍去），，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵，为该函数图象上两点，且点和点纵坐标相同，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，满足，
①若，则在范围内随的增大而增大，
∴当时，有最大值，
∴，
解得，
∴；
②若，则在范围内随的增大而减小，
∴当时，有最大值，
∴，
解得，
∴；
综上所述，a的取值范围为或．
24．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
【答案】
（1）证明过程见解析；
（2）的值为；
（3）的长为或．
【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论；
（2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值；
（3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，为的中点，
∴，，
∴，
由是直角三角形，可得，
∴，
∴，
∴，
设，则，
当在线段上时，，
∵，
∴，
∴
∴或（不合题意，舍去），
当在延长线上时，
，，，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
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2026年浙江省宁波市九年级中考数学模拟预测练习卷二
全卷共24小题，满分为120分．时间为120分钟.
第一部 分选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．
现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ）
A． B． C． D．
全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360000000个参保人员提供医保服务．
数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．
如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：
“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，
二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，
如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
7．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8．相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，
整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是750
B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，
且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，
则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米 B．2米 C．米 D．米
如图1，菱形的边长为6，动点，同时从点出发，点沿线段向终点运动，
点沿折线向终点运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，
的面积为，与的关系如图2所示，有下列说法：
①点的速度为每秒1个单位长度；②点的速度为每秒3个单位长度；
③菱形的面积为30； ④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11. 计算：=_______
12. 解不等式组：的解是_________
如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为，A到地面的距离为，
乙楼的高是______．（参考数据：）
14．如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是______
15．【文化欣赏】
图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，
图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，
是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，
当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，
则这个桔槔支架的高度为____________米．
如图，内接于，，过点C作，交于点D，
过D作于点E，交于点M，连接．若点M是的中点，则_______．
解答题（本题共8小题，共72分。其中17、18题6分，19、20题8分，
21、22题每题10分，23、24题每题12分。）
化简求值：，其中．
下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同时乘以________，得． 解得．
这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________；
该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程．
19．如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连接，．
求证：．
若，求的度数．
20 ．在中国共产主义青年团成立100周年时，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．
现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
根据统计图提供的信息，回答如下问题：
被随机抽取的学生总人数是______；
(2) 直接将直方图补充完整；
(3) “一般”对应的百分比______，“优秀”对应的百分比______；
(4) 已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，
则这8个数据的中位数是______，众数是______；
若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数．
为方便市民绿色出行，聊城市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，
图②是其示意图，其中，均与地面l平行，车轮半径为，，，
坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约78cm，
现将坐垫E调整至坐骑舒适高度，求的长．（结果精确到0.1m，
参考数据：，，）
22． 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，
且．
求证：与相切；
若，求的面积．
23. 已知二次函数的图象经过点．
(1) 求该图象的对称轴．
(2) 若该函数的最大值为，求该函数的表达式．
(3) 若，在该函数图象上，当且时，满足，求a的取值范围．
24．综合应用
【问题发现】
如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，
过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：；
【类比探究】
如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，
两条垂线交于点F，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，
连接，．若，则当是直角三角形时，求的长．
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