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类型1：二次根式综合题 1
类型2：勾股定理综合 5
类型3：平行四边形综合题 10
类型4：矩形综合题 22
类型5：菱形综合题 41
类型6：正方形综合题 51
类型7：一次函数中的面积问题 68
类型8：一次函数中特殊三角形的存在性 72
类型9：一次函数中特殊四边形的存在性 78
类型10：一次函数中45度角问题综合题 86
类型11：一次函数中的等角倍角问题 89
类型12：一次函数中的其他类型 94
答案第4页，共47页
类型1：二次根式综合题
1．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ____________． ；
(2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）；
(3)计算： ；
(4)若，求 的值．
2．阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
4．阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

类型2：勾股定理综合
5．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
6．【项目式学习】阅读并完成以下任务：
如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设．
【任务一】
（1）用含x的代数式表示为： ；
（2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
【任务二】
由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
（3）求代数式的最小值．
7．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
(1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______；
(3)如图4，在中，是边上的高，，求的长．
8．阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题．
2024年9月6日 星期五 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：…
任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________；
任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由；
任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．

9．【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得．
道路 长度（米）
40
30
30
18
32
25
任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路的长；
(2)道路__________米；
(3)任务三方案设计
①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号）
类型3：平行四边形综合题
10．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为．
(1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ．
(2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系．
(3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ．
(4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积．
11．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当，时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
12．如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．

(1)求证：平分；
(2)连接交于点．
①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若，请直接写出的面积 ．
13．如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
14．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、．
(1)求证：；
(2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：四边形是平行四边形；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
15．在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为．
(1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ．
(2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长．
16．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若分别是的中点，连接，，交于点，．
①求证：是等腰三角形；
②若，求的长．
17．问题情境：如图，在平行四边形中，，垂足为，为的中点，连接，．
(1)求证：；请阅读下文“思路领航”解决问题
思路领航：
思路：如图，从已知条件出发，考虑点垂足、中点的特殊性，小智同学分别延长和相交于点，构造了三角形全等和直角三角形解决了问题；
思路：如图，小慧同学则过点作，交于点，交的延长线于点，构造直角三角形全等解决问题；请你任意选择一种思路证明；也可用其他方法解决
拓展探究：小聪同学突发奇想，将平行四边形沿为中点所在的直线折叠，如图，点的对应点为，连接，并延长交于点；
(2)求证：为直角三角形；
(3)猜想并证明与的数量关系，并加以证明．
18．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数．
(2)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长
(3)如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积．
(4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
19．我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究．
【知识回顾】
如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系：
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦； ⑧．
我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形．
（1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）；
【数学思考】
若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？
（2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下：
证明：延长并截取．
∵
∴，即
∵
∴四边形是平行四边形．
…
请同学们按照小明的思路完成证明过程．
（3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形．
20．综合与实践
定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形．
(1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____．
(2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长．
(3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积．
21．【问题情境】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图2，过点，分别作，的平行线，并交于点，作射线．在【问题情境】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数和线段长度的最小值．
【方法应用】
（3）某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3，小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，是等腰三角形，四边形是矩形，，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．请直接写出钢丝绳长度的最小值．
类型4：矩形综合题
22．在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得，
(1)如图（1），若，点F在边上，求长度；
(2)如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度；
(3)如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度．
23．如图1，在矩形中，，折叠使点B落在边上的点E处，折痕为，过点E作，交于点F，连接．
(1)当，时，求的面积；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)当点E在边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．
①如图2，当点Q与点C重合时，求菱形的面积；
②若限定P，Q分别在边和边上移动，连接，直接写出的最大值．
24．实践操作
(1)在矩形纸片中，，．
①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________，
②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度；
③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长；
(2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长．
25．如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接．
(1)如图1，连接．若，，，求的面积；
(2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
26．折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：

(1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________；
(2)【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长；
(3)【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________．
27．综合与探究
问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为．
问题解决：
(1)如图当点落在对角线上时，求线段的长．
(2)如图，当时，求线段的长．
(3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长．
28．【知识链接】“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
(1)【问题发现】：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形(长方形)的研究发现在矩形中令，则可求得 （用含a、b的式子）；

(2)【问题探究】：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形进行研究，如图，分别过点A、D作边的垂线，请你按照这种思路证明；

(3)【问题拓展】：如图3，在中，是边上的中线，已知：，，，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值．

29．【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图，已知四边形的对角线和垂直，若 ，，则 ______；小欢进一步发现图中的四条线段存在数量关系：______；
【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图，点在矩形 内，连接，可得：， 小欢尝试在图中进行结论证明：
证明：过点作于点，延长交于点 ，
在中，，
在中，，
同理可得： ，，
请帮助小欢继续完成结论的证明；
【拓展应用】（3）在图的基础上，若，小欢将绕着点逆时针旋转，当时，_____；
（4）如图， 在中， ，点 和点分别在边和上，连接、和，若 ，，，求边的长．
30．综合与实践：
折叠问题是初中数学中的一个几何题型．折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕所在的直线是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题．
问题情境：
如图1，在长方形纸片中，，，，点P是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
（1）如图2，连接，当点Q落在上时，的长为__________．
深入探究：
（2）如图3，点M是的中点，连接．当点Q落在上时，求的长．
拓展应用：
（3）如图4，点M是的中点，连接，．
①的最小值为__________；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
31．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点．
(1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由；
(3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长．
32．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
(2)当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
(3)当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
(4)连接，当时，直接写出t的值．
33．综合与实践：
【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段．
如图1，若连接，易证是等边三角形．
【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度；
【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由．
【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下：
将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______．
【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______．
34．我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在平面直角坐标系网格内，坐标分别为，请你写出三个D点坐标，使得四边形是3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上（_____，____），（_____，____），（_____，____）；
(2)如图2，长方形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
35．综合与实践
在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，连接，，，线段交于点O．
【独立思考】
（1）是 三角形（按边分类）；
【实践探究】
（2）请判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图2，矩形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，请直接写出的长．
36．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：．
操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H．
我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______．
应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______．
37．在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：；
(2)如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度．
38．如图，在矩形中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连接，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒．
(1)当时，_____，时，_____．（用含的代数式表示）
(2)当点不与点重合，_____，四边形是菱形：_____，四边形是矩形．
(3)当点在线段上运动时，设与矩形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围．
(4)作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值．
39．在数学活动课中，小明同学注意到教材第15题很有趣，小明同学和小组成员用“特殊到一般”的数学思想方法研究平行四边形对角线和边的关系，并解决了这个问题．他们在老师的帮助下查阅相关数学资料，发现数学中很多定理，比如斯特瓦尔特定理、中线长定理、角平分线长定理均属于这类问题．下面是他和小组成员的研究过程，请你阅读思考，并完成问题：
【特殊化感知】
如图1，正方形的边长为a，则很容易得到；
（1）如图2，菱形的边长为a，则__________；（用含a的代数式表示）
（2）如图3，在矩形中，，，则________；（用含a，b的代数式表示）
【一般化探究】
（3）如图4，在平行四边形中，，，则______；（用含a，b的代数式表示）
【拓展性延伸】
（4）已知：如图5，在中，，，，点D为BC的中点，求AD的长．
40．实践探究：
主题 特殊四边形的几何变换
素 材 用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）已知，，．由全等可知，，，所以四边形是平行四边形．
实 践 探 究 平移 ①如图2，把沿平移得到，点在线段上，经过的顶点C，与交于点E，与交于点F．
任务一 求证：四边形是矩形；
对折 ②如图3，将沿直线对折，点B的对应点刚好落在线段上．
任务二 求证：四边形是菱形；
③如图4，若点M、N分别是、的中点，将沿直线对折，点B的对应点为．
任务三 求证：点在同一直线上；
旋转 ④如图5，绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点H．
任务四 求线段的长．
类型5：菱形综合题
41．数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形中，，作分别交直线于点．
(1)【感知】
如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系为______．
(2)【探究】
点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？请选择图2或图3回答，并说明理由．
(3)【应用】
取出如图2所示的菱形纸片，若，请直接写出线段的长．
42．在平行四边形中，为对角线，且，，为平面上的一点．
(1)如图1，若，垂足为点，，求的长；
(2)如图2，若点在边上，且，，求的长；
(3)如图3，若点在对角线所在直线上，交于点，点是的中点，连接，求证：．
43．定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线．
(1)如图1，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形；
(2)如图2，四边形为矩形，，点在边上，点为对角线的中点，连接并延长，交于点，连接．若四边形是奇特四边形，且为奇特线，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长为________．
44．综合与实践
《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现：
【问题提出】
（1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为________，与的数量关系为________，的大小为________；
【再次探究】
（2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围．
45．在矩形中，，，、分别是、中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
(1)当，则四边形一定是怎样的四边形，说明理由．
(2)若四边形为矩形，求的值．
(3)若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 ．（直接写出结果）
46．综合与实践课上，老师让同学们以“两个全等的三角形纸片”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用.
【操作发现】将两个全等的三角形纸片一边重合，可以得到两种不同的特殊四边形现阶段研究的四边形均为凸四边形，即平行四边形和“筝形”.查阅相关资料得知其中一种特殊的四边形的定义为：有两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”.
【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，同学们对“筝形”的性质和判定方法进行研究，根据示例图形，对比表格内容解答问题：
名称 示例图形 对称性 边 角 对角线
平行四边形 是中心对称图形 两组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
筝形 ① 两组邻边分别相等 一组对角相等 ②
（1）表格中①、②处应分别填写的内容是：
①______；
②______；
（2）证明“筝形”有关对角线的性质补全结论，并写出完整的证明过程
已知：如图1，在“筝形”中，，，对角线和交于点
求证：______；
证明：
（3）下列条件能够作为四边形是“筝形”的判定方法有______将所有正确的序号填在横线上
①且；②；③且；④
【迁移应用】如图2在“筝形”中，，，，点为上一动点，对角线上存在一点，使取最小值时，直接写出的最小值．
47．已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题：
(1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分；
(2)如图2，若四边形是菱形，求t的值；
(3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由．
48．【问题解决】
（1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：．
【拓展提升】
（2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：．
【类比迁移】
（3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长．
49．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则：
①______，______，______，______；
②______填“”“”或“；
【类比探究】
（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值．
50．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．
已知，在菱形中，，E是的中点，连接，．
(1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ；
(2)如图2，若，，求折中线的长；
(3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长．
类型6：正方形综合题
51．如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，．
(1)如图①，若，，的长是______，的长是______；
(2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明；
(3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系．
52．在正方形中，点在对角线上运动，以为边作正方形，连接．
(1)初步探究：如图1，则与的数量关系是___________，与的位置关系为___________．
(2)探索发现：如图1、2，点在线段及其延长线上运动时，探究线段、和三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，连接，若，，求四边形的面积．
53．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点E是边的中点，因此可以选取的中点M，连接（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程．
(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．
(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
54．图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ．
(2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论．
(3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论．
55．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，．
(1)①求证；
②求的度数．
(2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系．
56．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系：
问题解决：
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点，
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
57．在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究：
(1)【操作发现】
如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)【问题探究】
如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长；
(3)【拓展延伸】
如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）．
58．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则
① ____________°；
②线段之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，直接写出线段的长．
59．感知：如图，分别以的三边长为边长，在的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)应用：在中，若，，判断四边形的形状；
(3)探究：
①四边形是否随着的形状的改变而永远存在，简要说明理由；
②如果四边形是正方形，则应满足什么条件？
(4)若，，，求四边形的面积．
60．【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，．
【证明与探究】
(1)求证：；
(2)请判断与的位置关系，并说明理由；
(3)作的中点，连接，若，求的长．
61．如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M．
(1)求的度数；
(2)当时，求的长；
(3)若点M是的中点，求证：．
62．四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，，求正方形的边长；
(3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为，
①求的长为_______；
②正方形的面积的最小值为_______．
63．综合与探究
习题再现：
如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．
数学思考：
（1）兴趣小组的作法：如图，取的中点H，连接．请你根据此辅助线写出证明过程．
深入探究：
（2）智慧小组提出问题：如图，若点E是线段上任意一点，延长到G使，连接，其它条件不变．
①判断四边形的形状，并说明理由．
②若正方形的边长为6，E为的三等分点，请你直接写出的长为 ．
64．如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接．
(1)若，则________，________；
(2)如图2，连接，．求证：且；
(3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接．
①探究之间的数量关系，并说明理由；
②若，则________．
65．如图1，在正方形中，点是上的一点，以为腰作等腰直角且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)如图2，连接，点是中点，用等式表示与的数量关系，并证明．
66．【发现】
如图①，已知四边形是正方形，P是对角线上的一点，求证，；
【探究】
①如图②，在正方形中，P是对角线上的一点，，垂足分别为E、F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
②如图③，在正方形中，P是上一点，过点P作于点M，于点N，若，则的最小值为______；
【拓展应用】
如图④，在正方形中，P是对角线上的一点，延长交于点G，与交于点Q，H为的中点，连接，则的形状为______．
67．综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下：
步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由．
【迁移探究】
（2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由．
【拓展应用】
（3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究：
如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长．
类型7：一次函数中的面积问题
68．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点和H恰好落在x轴上，请求出Q点的坐标．
(3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
69．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点．
(1)求直线与 的函数表达式．
(2)求的面积．
(3)根据图像写出关于x的不等式 的解集．
(4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
70．如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点．
(1)求直线和的函数关系式．
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围．
(3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
71．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l 上．
(1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”）
(2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值．
类型8：一次函数中特殊三角形的存在性
72．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D．
(1)求直线解析式和点D坐标；
(2)点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值；
(3)若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标．
73．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点．
(1)求直线的解析式；
(2)将直线向下平移m个单位，分别与x轴，y轴交于C，D两点，E点为线段的中点；
①若，求m，并用尺规作出此时的直线（不写作图步骤，保留作图痕迹）；
②当时，在线段上找一点M，射线交直线于N，若 为等腰三角形，求M 点的坐标．
74．如图，二元一次方程组中的两个方程对应的两个一次函数的图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点．
(1)两个一次函数图象的交点坐标为______，二元一次方程组的解是______；
(2)若点为轴上一点，连接，当为等腰三角形时，请求出点的横坐标；
(3)若点为线段的中点，连接，点是坐标轴上一点，连接．当是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
75．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与轴、轴、直线分别交于点、、，连接点和，求面积；
(3)如图2，在（2）的条件下，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标．
76．（1）如图1，点C在上，，，，，求证：≌；
（2）如图2，在中，D是上一点，，，，，求点C到边的距离．
（3）如图3，点，点，是等腰直角三角形，，点C在第一象限，求点C的坐标．
（4）如图4，长方形中，F的坐标为，P是线段上的动点，点G在第一象限，且是直线上的一点，若是以G为直角顶点的等腰直角三角形，求点G的坐标．
77．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
类型9：一次函数中特殊四边形的存在性
78．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求点C的坐标及直线的表达式；
(2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积；
(3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标．
79．如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，．
(1)求直线的解析表达式；
(2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值；
(3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标．
80．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，，与直线交于点E，E点横坐标为4．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点P的坐标，此时在x轴上有一动点Q，连接、，求的最小值；
(3)如图3，在直线上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，请说明理由．
81．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作直线轴，交直线于点，连接．设动点的横坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(4)在线段上存在点，使得四边形是菱形，直接写出此时点的坐标．
82．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点在轴负半轴上，且
(1)求，两点的坐标．
(2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，连接，设的面积为S，点的运动时间为，求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
83．如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题：
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分；
(3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标；
(4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
84．如图，直线经过点，并且与直线平行，与轴交于点．
(1)求直线的解析式和点的坐标．
(2)若点是直线上的一个动点，过点分别作轴于，轴于，在四边形上分别截取：，，，，求证：四边形是平行四边形．
(3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，能使四边形为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
85．如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点．
(1)请求出B点坐标和直线的函数解析式；
(2)将直线向下平移个单位，且经过点；将直线向下平移个单位，且经过点，平移后的两直线交于点；请求出点的坐标；
(3)如图，将直线向右平移得到直线，点是与直线的交点，点，分别在射线，上，且轴，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，．
设四边形的周长为，设点的横坐标为，求出与的函数关系式；
当四边形为正方形时，直接写出的值．
类型10：一次函数中45度角问题综合题
86．【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：．
【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标；
【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________．
87．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的表达式；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接．
①若，则点的坐标为 ；
②若的面积为，则点的坐标为 ；
③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标．
88．已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线与坐标轴分别相交于点A、B，与直线相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P在直线上，且，试求点P的坐标；
(3)如图2，点M是第四象限内一点，且，连接，探究与之间的位置关系，并证明你的结论．
类型11：一次函数中的等角倍角问题
89．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线、交于点E．且E点的纵坐标为4．
(1)求直线的解析式和点A的坐标；
(2)若P为直线上一点，连接、，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，将直线向上平移2个单位长度得到直线，直线与y轴相交于点Q，连接、，在x轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
90．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线∥y轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)连接，若，求点的坐标．
91．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
92．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)根据函数图象，求当时，自变量的取值范围；
(3)若是轴上一点，，求点的坐标；
(4)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由．
93．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接．
(1)求的解析式；
(2)求的面积；
(3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
类型12：一次函数中的其他类型
94．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且的面积为56．点D为线段的中点，点E为y轴上一动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求点C的坐标及直线的表达式．
(2)设点E的坐标为．
①用m表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的m的取值范围．
95．已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线．
在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点．
(1)如果直线经过点．
①求直线、的表达式和点的坐标；
②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标．
(2)将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由．
96．小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示．
【探究一】（1）为画出的图象，列表如表：
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 3 2 2 3 ．．．
（2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象；
（3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________．
【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的．
【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果．
97．已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表：
A地（元/吨） B地（元/吨）
甲仓库 12 15
乙仓库 10 18
(1)设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？
(3)若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值．
98．机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两个机器人在同一条的直线跑道上比赛．他们从跑道的起点同时出发，跑到终点后沿原路返回起点．比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离与时间的关系图象如图所示，其中折线是机器人甲的图象，线段是机器人乙的部分图象．已知对应的函数关系式为．
(1)①点的坐标为______；
②线段对应的函数关系式为______．
(2)机器人乙到达终点后，因故障耽误了，又以原来的速度返回起点．请在图中将机器人乙运动的函数图象补充完整，标出字母，并写出其函数图象终点的坐标．
(3)在（2）的条件下，整个过程中，当机器人乙离终点的距离更近时，求出的取值范围．
(4)在（2）的条件下，机器人乙到达终点以后，若甲、乙两个机器人之间的距离为，直接写出对应的的值．
99．【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1：
表1：电池充电状态
时间（分钟）
增加的电量
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2：
表2：汽车行驶过程
已行驶里程（千米）
显示电量
【建立模型】
（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据．
①直接写出关于的函数表达式；
②直接写出关于的函数表达式：
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
100．园区某校八年级同学在《园林数学 光影之美》项目化学习中研究了光的折射和光的反射现象．
学科背景：光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生变化，这种现象叫光的折射；光在两种物质分界面上改变传播方向又返回原来物质中的现象，叫做光的反射．
【问题1】光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系；
【探究1】如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角．改变入射角的大小，记录折射角的大小．
数据记录如下：
入射角（度） … 30 45 60 …
折射角（度） … 22.1 32.1 40.6 …
【问题解决】（1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？______（填“是”或“否”）
【问题2】有经验的渔民叉鱼时，钢叉要对准看到的“鱼”的下方叉去，这是为什么呢？
【探究2】如图2，因为水中的鱼反射出来的光线从水中斜射入空气时会发生光的折射，而人的大脑认为光是沿直线传播的，因此，人眼看到的鱼的虚像位于点处，比鱼的真实位置要高一些．
如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系．已知人眼的坐标为，入射点的坐标为，鱼的坐标为．（1个单位长度表示1米）
【问题解决】（2）求人眼看到的鱼的虚像位置（点）比实际位置（点）处高多少？（即的长度）
【问题3】如图4，光的反射现象中，在同一平面内，入射光线与反射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角．
【问题解决】（3）如图5，在平面直角坐标系xoy中，轴为水面，点发出的光线经过水面上点反射后到点的位置，已知，，求入射点的坐标．
1．(1)，
(2)
(3)2021
(4)7
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式．
（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；
（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题；
（3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可；
（4）根据题干所给示例进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
显然，即
又∵和都是正数，
∴，
故答案为：；
（3）解：原式
；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化：
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2），
，
而，，
，
；
（3）由，，得，
，
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
3．(1)，
(2)12或28
(3)①，②，③
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．(1)6
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
5．（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为．
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
6．（1）；（2）当A、C、E'三点共线时，取得最小值17；（3）
【分析】（1）根据，，得出；
（2）作点E关于的对称点，得，根据题意，得，故当A、C、三点共线时，的值最小，以为一边构造矩形，得到利用勾股定理计算即可；
（3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得：
，，
∴，
作点E关于的对称点，得，根据题意，得，
故当A、C、三点共线时，的值最小，如图，
以为一边构造矩形，得到
∴在中，由勾股定理得：
，
∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17；
（3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
作点B关于的对称点，得，且，
根据题意，得，
故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为，
根据两点间距离公式，得
，
∴代数式的最小值是．
【点睛】本题考查了轴对称求最短路线，两点之间线段最短，两点间距离公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
7．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键．
（1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论；
（2）利用割补法求解即可；
（3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：∵，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设边上的高为x，
∵，
∴．
（3）解：在中，由勾股定理得：
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，解得：．
8．任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：．
【分析】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系．
任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立．
任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1
，
即
故答案为：；
任务二：结论仍成立，理由如下：
为直角三角形，如图2
，
即
任务三：设相交于点，如图：
则均为直角三角形，由勾股定理得：
又
∴．
9．(1)米
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解；
（2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解．
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点；
②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
∴．
∴，
故道路的长为25米；
（2）解：∵
∴，
∴
又∵
在中，
∵
∴，，
∵
∴
故答案为：；
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
②解：∵，
∴
∴
∵在上，即的垂直平分线上，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键．
10．(1)；
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键．
（1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（2）根据为、的中点，故可得出；
（3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可；
（4）根据即可得出结论．
【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为，
，
，，
，，
故答案为：，；
（2）为、的中点，
；
（3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为，
，
，
，
即，
故答案为：；
（4），，，
，
即．
11．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由可得，可得，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解；
②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如图，过点H作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分；
（2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形，
∴
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∴，即平分；
（2）解：①，
如图所示，过点作于点，

∵平分，，
∴
∵四边形，是长方形，
∴
∴
在中，
∴
∴；
②如图所示，∵四边形是平行四边形，
∴，
在上截取，连接，过点作于点，

∵旋转，则，
∴是等边三角形，则，
∴，即旋转角为
∴
又平分；
∴，
∴，
在中，
∴
∴，
∴
又∵
∴
又∵旋转，则
∴，
在中，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，
，
∴，则
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
13．(1)见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论；
（3）取线段的中点I，连接，先判断出，，延长至点N，使，连接，利用证明，可得出，，则是等边三角形，进而得出，．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，且D与M重合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：结论成立，
理由如下：
如图2，过点M作交于G，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
由（1）同理可证：，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，取线段的中点I，连接，

∵，
∴是的中位线，
∴，，
∵，且，
∴，，
延长至点N，使，连接，

又，，
∴，
∴，，
又，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明；
（2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图，记的交点为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形四边形是平行四边形；
②，理由见解析：
∵为等边三角形；
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由对折可得：，
∵四边形四边形是平行四边形；
∴，
∴，
如图，过作于，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．(1)平行四边形；
(2)，理由见详解；
(3)
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解；
（2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系；
（3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，则，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）（2），理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵E，F为边的三等分点，
∴，
由折叠可知：，，
则，
∴，
由三角形外角性质可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，则，
∴；
（3）（3）由折叠可知：，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
延长交于M，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，即，
∴，
∵的面积为，，即：，
∴，
则，
∴．
16．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理是解题的关键．
（1）利用平行四边形对角线互相平分及已知条件得出等腰三角形，再结合等腰三角形性质和角度关系证明；
（2）①利用三角形中位线定理及平行四边形性质即可证明；②利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．，，
∵，，
∴，
∴．
∵为中点，
∴．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）①证明：∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
②解：∵四边形是平行四边形，
∴．，
∵是的中位线，
∴，，
又∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）思路1：如图2，分别延长，相交于点，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，得到，求得；
思路2：过点作，交于点，交的延长线于点，由平行四边形的性质得到，则可证明，证明，得到；证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，进而证明；
（2）根据折叠的性质得到，推出，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明；
（3）如图，由翻折可知：，，由为的中点，得到，证明，得，根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到．
【详解】（1）证明：思路1：如图2，分别延长，相交于点，
四边形是平行四边形，
，
，，
为的中点，
，
，
，即为的中点，
，
，
，
思路2：如图3，过点作，交于点，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
为的中点，
，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：是由翻折得到，
∴，
（线段中点的定义），
，
∴，
∵，
∴
，即为直角三角形；
（3）解：，证明如下：
如图，由翻折可知：，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
18．(1)
(2)
(3)
(4)4.8秒或8秒或9.6秒
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题；
（3）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案；
（4）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：如图3，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为；
（3）解：如图2，作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（4）解：四边形是平行四边形，
，
，
要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，根据题意可知：，，
分以下四种情况：
①当时，，
，
解得，不合题意；
②当时，，
，
解得，；
③当时，，
，
解得，；
④当时，，
，
解得，；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三解形面积公式，一元一次方程的应用．
19．（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
（1）由平行四边形的判定方法可得出答案；
（2）证出，由平行四边形的判定方法可得出答案；
（3）选择①，选择③，由平行四边形的判定方法可得出答案．
【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）；
故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）证明：延长，并截取，
∵，
∴，即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）选择①，
分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H，
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
∴，
即．
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
即．
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
选择③，分别在上截取，
．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
即．
∴，
即．
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
20．(1)3；6；
(2)13；
(3)周长为．面积是．
【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积；
（2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长；
（3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长．
【详解】（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6；
（2）解：由折叠可知：，，，，
，矩形的面积为：，
，
矩形的周长；
（3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
如图，连接，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
∵，，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）；；（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键．
（1）先证四边形是平行四边形得到；
（2）利用等腰三角形可得，再将转化成，时有最小值，即可求解；
（3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，线段也有最小值，
此时，
∴线段的最小值是；
（3）解：如图，连接，过M、D作、的平行线，则四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最小，此时最小，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴．
即长度的最小值为．
22．(1)4
(2)3
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得到结果；
（2）先作辅助线，根据已知条件证得两个三角形全等，根据勾股定理可求得结果；
（3）当翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时求出的值，即可．
【详解】（1）解：∵沿折叠得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作，如图所示：
设，则，
∵，
∴，
∵沿折叠得，
∴，，
∵，，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
（3）解：取正方形的对角线的中点O，如图所示：
∵的中点K，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
当取最小值时，即翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时的值即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取最小值时，此时．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、用勾股定理解三角形、正方形的性质，数形结合，灵活掌握知识点是解题的关键．
23．(1)4；
(2)见解析；
(3)①；②．
【分析】（1）根据勾股定理得到,根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质,平行线的性质，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形；
（3）①根据矩形，得到，,当点Q与点C重合时，，根据勾股定理得到，求得，设，则，在中，，即，解得，即，于是得到菱形的面积解答即可；
②根据勾股定理得到BE2＝AB2+AE2＝9+AE2，当AE最大时，BE达到最大值，当点P与点A重合时，AE最大，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，
∴的面积；
（2）证明：根据轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形BFEP是菱形；
（3）①解：根据矩形，得到，,
当点Q与点C重合时，，
由勾股定理得到，
故，设，则，
在中，，即，
解得，即，
故菱形的面积为：；
②解：在中，，
∴当最大时，达到最大值，
当点P与点A重合时，最大，
此时，
∴，
∴．
24．(1)①，②，③
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，
②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解；
③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解；
（2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则；
②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为
，
在直角三角形中，，，
，
，
在直角三角形中，，
③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，
解得：；
（2）解：连接，过，得，，由②可得，，
，
，
即，
，，
，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，
，
解得：，
，
在直角三角形中，，
，
，
25．(1)
(2)，见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，作，同理求出的长，线段的和差求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
（2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得；
（3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
作，则：，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图所示，过点作于点，作于点．
，，
，
，，
，，
，
，
，．
点为线段的中点，
．
，
四边形是矩形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，
，，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上，
如图所示，作点关于的对称点，
，
当取最小值时，，，三点共线，最小值为，
延长交直线于点，连接，
，
，
，
，
，，
由勾股定理可得，最小值．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角性质的性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
26．(1)5
(2)
(3)或10
【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解；
（2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）解：∵将沿折叠，使点A与点B重合，
∴，
∴中，；
则的长为5．
故答案为：5．
（2）解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，
∴，
∵中，，，
∴，即，
∴．
（3）解：的长为或10；
理由：四边形是平行四边形，
，
∵，
∴该四边形是矩形，，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，
①如图，当点在线段上时，
点在线段的垂直平分线上，
，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，即
∴；
②如图4，当点在线段的延长线上时，

由折叠的性质得：，，
同①得：，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
综上可得：的长为或10．
【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法．
27．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）利用勾股定理得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解；
（）在上取一点，使得，连接，可证是等腰直角三角形，得到，即得，进而得，即得到，据此即可求解；
（）分点在和点在延长上，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质分别解答即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点在上时，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
如图所示，当点在延长上时，
同理可证明，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
28．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，进而可得；
（2）由平行四边形，可得，，则，证明，则，，由勾股定理得，，，，根据，作答即可；
（3）如图3，延长到，使，则，证明四边形是平行四边形，由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边平方和的2倍，则，即，解得，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，，，
∴
，
，
∴；
（3）解：如图3，延长到，使，则，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（2）可知，在平行四边形中，对角线平方的和等于邻边

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