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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.设集合A={xx2-3x-4≤0，B={Xy=x-1}，则集合AUB=
A.[1,4]
B.[0,4]
c.(0,4]
D.[-l,+oo)
2.
在复平面内，复数对应的点位于
A,第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若-40x”是二项式(2x-1)的展开式中的一项，则n为
A.1
B.2
C.3
D.4
4.卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处
己知该卫星接收天线的口径（直径）为12m,深度为3m,则信号处理
中心与抛物线顶点的距离为
A.Im
B.2m
C.3m
D.4m
第4题图
5.
设公差不为零的等差数列{a,},前n项和为Sn,若S4=S,且24+an=0,则m=
A.15
B.16
C.17
D.18
6.
已知单位向量a,b,c满足2a+35+4c=0,则|a+b=
人9
B.V10
c.32
D.2
2
2
7.
已知函数f()=n(e+e),若a=fo8!2),b=f),c=f学，则
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.b>c>a
8.正方体ABCD-A,B,CD中，E是楼CD的中点，F是棱DD上的动点，过点B,E,F的平
面藏该正方体所得的藏面记为a,若三棱锥D,一ADB的外接球球心落在平面“内，则DP
DD
的值为
A
B.
c号
D.
第1页共4页
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在一组样本数据3,5,5,6,7,7,9中增加一个数据x后，下列说法正确的是
A.若众数为5，则x=5
B,若平均数不变，则x=6
C.若中位数不变，则x=5
D.若极差为9，则x=-6或x=12
10.己知A(-2,-2),B(-2,,C(4,-2),点P在圆0：x2+y2=4上运动，则
A.点A在圆O内
B.直线BC的方程为4x+3y-10=0
C.圆O为△ABC的内切圆
D.|PA2+|PB2+|PC2的最大值为88
11.对于正整数n,欧拉函数p(n)的函数值是所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数，
例如p()=1,p(4)=2,p(5)=4,则
A.p(9)=6
B,对任意正整数n,恒有p(n2)≤2p(n)
C.记an=p(3"),则{an}的前n项和Sn=3”-1
D.从集合L,2,3,4,5,6}中随机取两个不同的数x,y,记事件A:“p(y)=(x)py”，则
PM贵
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.双曲线x2-y2=(1>0)的离心率为
13.平面直角坐标系中，若角：的终边经过点(3,4)，角B的终边经过点(4，-3)，则
cos(a-B)=
14.平面直角坐标系中，若将函数f(x)=axe+e的图象绕坐标原点逆时针旋转工后，所得曲线
仍然是某个函数的图象，则实数α的取值范围是
第2页共4页高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 D A B C A B D A AB BCD ACD
12. 2
13. 0
14. [ e2 ,0]
1.【答案】D
【解析】 A [ 1,4],B [1, )，则 A B [ 1, ) .
2.【答案】A
【解析】 1 1 i 1 i ，故其对应的点位于第一象限.
1 i (1 i)(1 i） 2 2
3.【答案】B
【解析】 (2x 1)5的展开式的通项为
T r 5 rr 1 C5 2x 1
r Cr 1 r 25 r x5 r5 r 0,1,2,3,4,5 ，
令Cr5 1
r 25 r 40，得 r 3，所以该项含 x的次数为5 r 2 .
4.【答案】C
【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为 x轴建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为 y2 2 px( p 0)
接收天线的口径为 12m，深度为 3m，则抛物线上有一点的坐标
为 (3,6)，代入抛物线方程中，解得 p 6 y2 12x， .
所以信号处理中心与抛物线顶点的距离为 p 3m
2
5.【答案】A
【解析】由 S4 S9可得 a7 0，则 2a3 am 0 3a7 ,故 am 3a7 2a3 a1 14d a15，
故m 15
6.【答案】B
数学试卷参考答案 第 1页，共 10页

【解析】由 2a 3b 4c 0 1 可得 2a 3b 4c ，两边平方可得 a b ，
4
2 2
故 a b (a b)2 a b 2a 10 b
2
7.【答案】D
【解析】观察函数可知， f (x)为定义在 R 上的偶函数，在 (0, )上递增，

a f log 2 0.01
2
1 f ( log32) f (log 2)
，由
3 3 1， 0 log 2 1 故3 b c a
33
8.【答案】A
【解析】设正方体棱长为 1，以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为 x, y, z轴，
建立空间直角坐标系，可得D(0,0,0), A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1) ，
1
因为点 E为CD中点，可得 E(0, ,0)，又设DF FD1， F(0,0, z)，可得2

DF (0,0, z),FD1 (0,0,1 z)
所以 (0,0, z) (0,0,1 z)，可得 z (1 z)，
解得 z ，所以 F (0,0, )，
1 1
由三棱锥 D1 ADE的外接球即为 DA,DE,DD1 为棱的长
方体的外接球，由DA 1,DE 1 ,DD 1，
2 1
1 3
得长方体的对角线长为 l 12 ( )2 12 ，所以D1 ADE
3
的外接球的半径为 R ，
2 2 4
1 1 1
即球心O为长方体的对角线的中点，所以O( , , )，
2 4 2
BEF 1 设平面 的法向量为 n (x, y, z),BE ( 1, ,0),BF ( 1, 1, )，
2 1
n BE x 1 y 0 2
由 ，令 x 1，则 y 2, z
1
，
n BF x y z 0
1

所以 n (1, 2, 1 )，

数学试卷参考答案 第 2页，共 10页

O 1 3 1

因为 ， 所以向量 BO ( , , )与平面 BEF的法向量为 n垂直，
2 4 2

BO n 0 1 1 ( 3) ( 2) 1 ( 1 则 ，即 ) 0 DF 1，解得 1，所以
2 4 2 DD1 2
9.【答案】AB
【解析】对于 A，若众数为 5，则 x 5，A正确；
对于 B，原平均数为 6，若平均数不变，则 x 6 ，B正确；
对于 C，原中位数为 6，若中位数不变，则 x 6 ，C错误；
对于 D，若极差为 9，则 x 0或 12，D错误.
10.【答案】 BCD
【解析】对于 A， ( 2)2 ( 2)2 8 4 ，点 A在圆O外，A错误；
对于 B， k 6 ( 2) 4 ，则直线 BC的方程为 4BC y 6 (x 2），( 2) 4 3 3
即 4x 3y 10 0，B正确.
对于 C，圆心O到 ABC的三边的距离均为半径 2，则与三边均相切，C正确；
对于 D，设 P(2cos ，2sin )( [0，2π))，
| PA |2 | PB |2 | PC |2 (2cos 2)2 (2sin 2)2 (2cos 2)2
(2sin 6)2 (2cos 4)2 (2sin 2)2 80 8sin
88 ( 3π当 ，即P(0, 2)取等）
2
故 | PA |2 | PB |2 | PC |2 的最大值为88，D正确.
11. 【答案】ACD
【解析】对于 A，小于等于9的正整数中与9不互质的数为 3 的倍数，即 3，6，9，即
(9) 9 3 6，A正确；
对于 B，取 n 5， (5) 4, (52) (25) 20，则 (52 ) 2 (5)，B错误；
对于 C，若 p为质数 p 2 ，则小于等于 p n 的正整数中与 p n 不互质的数只有
p n p
n
n n 1
的倍数，所以互质的数的数目为 p p p ，
p
数学试卷参考答案 第 3页，共 10页
故 3n 2 3n 1 ，则 S 2(1 3
n )
3nn 1，C正确；1 3
对于 D，由 (xy) (x) (y)，可知 x，y互质，则满足条件的 (x，y)有
11 11
12,13,14,15,16,23,25,34,35,45,56共 11种，故 P(A)
C 2
，D正确.
6 15
12.【答案】 2
【解析】依题意 a2 b2 ，，可得 c2 2 c，故 e 2
a
13.【答案】 0
【解析】依题意 sin 4 ，cos 3 ，sin 3 ，cos 4 ，
5 5 5 5
则 cos( ) cos cos sin sin 3 4 4 3 ( ) 0
5 5 5 5
14.【答案】[ e2 , 0]
【解析】由题意得 g x axex e与 y x b的图象最多有一个交点，
故关于 x的方程 axex e x b最多有一个根，
所以H (x) axex e x与 y b的图像最多有一个交点，
所以H (x) a(x 1)ex 1恒大于等于 0 或恒小于等于 0，
当 x 1时，H (x) 1 0，所以H (x) 0恒成立，
令 xn(x) H (x) a(x 1)ex 1 ，则 n (x) a(x 2)e ，令n (x) 0，解得 x 2，
当 a 0时， n(x) 1满足题意；
当 a 0时， n(x)在 ( , 2)上单调递减，在 ( 2, )上单调递增，
当 x 1 1 ，且 x 0时 a(x 1) 1，则 n(x ) a(x 1)ex00 0 0 1 0 ,0 a
x
而 n( 2) ae 2 1 0，故H (x) a(x 1)e 1恒大于等于 0 或恒小于等于 0 不成立，
不满足题意；
当 a 0时， n(x)在 ( , 2)上单调递增，在 ( 2, )上单调递减，
所以 n(x)max n( 2) ae
2 1 0，解得 a e2，综上， a的取值范围为[ e2 , 0] .
数学试卷参考答案 第 4页，共 10页
15．解（1）如图，取 AB中点O，连接PO，CO．··········································1分
2 2 2
因为 PA PB 2， AB 2，所以 PA PB AB ，
即 PO AB， ………………………………………………………………………………2分
且 PO 1， BO 1．
又因为四边形 ABCD是菱形， ABC 60 ，
所以CO AB，CO 3．
因为 PC 2，所以 PC2 PO2 CO2 ，
即 PO CO，···························································································· 4分
因为 AB 平面 ABCD，CO 平面 ABCD， AB CO O，
所以 PO 平面 ABCD，
又 PO 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 ABCD．··········································6分
（2）以O为原点，OC ，OB，OP分别为 x轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系，则
P(0,0,1)， A(0, 1,0)，
B(0,1,0)，D( 3, 2,0)．

所以 PA (0, 1, 1)，

PB (0,1, 1)，

PC ( 3,0, 1)， PD ( 3, 2, 1)．··························································7分

设平面 PAD的法向量为m (x1, y1, z1)，

m PA 0 y1 z1 0
由 得 ，不妨取m (1, 3, 3)．······························ 8分
m AD 0 3x1 y1 0
设平面 PBC 的法向量为n (x2 , y2 , z2 )，
数学试卷参考答案 第 5页，共 10页
n PB 0 y2 z2 0
由 得 ，不妨取 n (1, 3, 3)．································10分
n PC 0 3x2 z2 0
m n
所以 cos m ,n 1 3 3 1 ．························································12分m n 7 7 7
故平面 PAD与平面 PBC 1夹角的余弦值为 ．················································· 13分
7
1 2 3 cos A 2cos B 3cosC
16．解（1）由 可得 ．·················1分
tan A tan B tanC sin A sin B sinC
cos A 2cos B 3cosC
由正弦定理可得 ．···············································2分
a b c
故bc cos A 2ac cosB 3abcosC．························································ 4分
1 (b2 c2 a2 ) (a2 3 c2 b2 ) (a2 b2 c2由余弦定理可得 ) ．··············· 6分
2 2
2 2
化简得 a 2b 3c2．···········································································7分
（2）由题意可知，C为锐角，
a2 b2 1 (a2 2b2 2 2 1 2a2 b2 c2 ) a b
则 cosC 2 3 3 3 …………10分
2ab 2ab 2ab 3
2 2 1 2
当且仅当 a b 即b 2a时取等号．············································ 11分
3 3
C sinC 7此时 最大，且 ．····························································· 12分
3
1 2 2 7
所以 S△ABC ab sinC a 14 ．·······································13分2 2 3
解得 a 6．···················································································15分
17 x．解（1） f (x) e 2 2k．···································································1分
当 k 1时， f (x) 0恒成立，故函数 f (x)在在R 单调递增；······················ 2分
数学试卷参考答案 第 6页，共 10页
当 k 1 x时，令 f (x) e 2 2k 0得 x ln(2k 2)．······························3分
故当 x ( , ln(2k 2))时， f (x) 0，函数 f (x)单调递减，
当 x (ln(2k 2), )时， f (x) 0，函数 f (x)单调递增，························5分
综上，当 k 1时， f (x) 0恒成立，函数 f (x)在R 单调递增；
当 k 1时，函数 f (x)在 ( , ln(2k 2))上单调递减，
在 (ln(2k 2), )上单调递增．······························································· 6分
2 F(x) ex（ ）令 2x 2kx sin x 1， x 0， F (0) 0，······························7分
F (x) ex 2 2k cos x， x 0， F (0) 2 2k．·································8分
令 (x) F (x) ex 2 2k cos x， x 0，
x
而 (x) e sin x 0在[0, )恒成立，即F (x)在[0, )单调递增，······ 10分
故当 F (0) 2 2k 0，即 k 1时，F (x) F (0) 0，F (x)在[0, )单调递增，
F (x) F (0) 0在[0, )恒成立；························································ 12分
当 F (0) 2 2k 0，即 k 1时，当 x 时， F (x) ，
所以，存在 x0 0，使得 x (0, x0 )时，F (x) 0，F (x)单调递减，x (x0 , )时，
F (x) 0， F (x)单调递增，································································· 13分
故由 F (0) 0可知， x (0, x0 )时， F (x) 0与 F (x) 0在[0, )恒成立矛盾；
········································································································· 14分
综上，实数 k的取值范围是 ( ,1]．························································15分
18．解（1）设事件M “小明在前 3次射击中得到 2分”，
事件 N “这 2分均在场景 B下获得”．···························································· 1分
数学试卷参考答案 第 7页，共 10页
P(M ) 4 4 1 4 1 1 1 1 1 129 1 1 1 1则 ， P(MN ) ．····3分
5 5 5 5 5 2 5 2 2 500 5 2 2 20
1
P(N |M ) P(MN )所以 20 25129 ．························································ 5分P(M ) 129
500
（2）设第n次在场景 A下射击为事件Mn，
则 P 41 P(M1) 1， P(M n 1 |M n ) ， P(M n 1 |M n )
1
，······························ 6分
5 2
由全概率公式可得 P(M n 1) P(M n )P(M n 1 |M n ) P(M n )P(M n 1 |M n )，···········7分
P 4 1 3 1即 n 1 Pn (1 Pn ) Pn ，··························································· 8分5 2 10 2
P 5 3 P 5 则 n 1 n ，············································································ 9分7 10 7
P 5 2 5 2 3且 1 0，可知数列 Pn 7 7 7
是以首项为 ，公比为 的等比数列，······10分
7 10
P 5 2 3
n 1 5 2 n 1 3
则 n ，所以 Pn ；············································ 11分7 7 10 7 7 10
4 1 5 3 3
k 1
3 （ ）设第 k轮得分期望为 Ek，则 Ek Pk (1 Pk ) ，········14分5 2 7 35 10
3 n1 3


n 5n 35 10


n S E 5n 6
n
1 3

所以前 轮期望总得分为 n k 3 ．··· 17分
k 1 7 1 7 49

10
10
x2 y2
19．（1）设椭圆 2 1的半焦距为 c，a b2
2a 4 a 2
c 1
由已知可得 ，且b 0，解方程得 b 3，·································· 2分
a 2
a
2 b2 c2 c 1
数学试卷参考答案 第 8页，共 10页
x2 y2
所以椭圆 E的标准方程为 1；··························································· 3分
4 3
（2）由已知直线 l的斜率不为 0，故设直线 l的方程为 x my 1，
x2 y2
1 2 2
联立 4 3 ，消 x可得 (3m 4)y 6my 9 0，
x my 1
方程 (3m2 4)y2 6my 9 0的判别式 36m2 36(3m2 4) 144(m2 1) 0，
设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，其中 y1 0， y2 0，
6m 9
由已知 y1 y2 2 ， y1y2 2 ，················································· 4分3m 4 3m 4
x x my 1 my 1 8 4 3m故 1 2 1 2 R
, 2 ，则 2 2 ．··················5分3m 4 3m 4 3m 4
x 1
所以直线OR : 3mx 4y 0，其中m 1 ．·················································6分
y1
点 A到直线OR的距离
3mx 4y 3x1(x1 1) 4y
2
1 1 1 3x1 12d ．····························· 7分
9m2 16 9(x1 1)
2 16y21 3x
2
1 18x1 57
令u x1 4 ( 6, 2)，···············································································8分
3 u
d 3 3所以 ．·················· 9分
3u2 42u 63 63 42 2 2 3 1 1u u 63

4
u 3
3
当u 3(x1 1)时 d 取最小值 ．······························································· 10分2

（3）设 AF2 F2B，则 (1 x1, y1) (x2 1, y2 )，
y
所以 y1 y 12，即 ，y2
数学试卷参考答案 第 9页，共 10页
所以

1 y1 y2 y
2 y2 21 2 (y1 y2) 2 4m
2
2 16 10 y y
2 y y y y 3m 4 3(3m2
，···11分
2 1 1 2 1 2 4) 3
2
因为m 0，所以3m2 4 4 0 16 4 ， 2 ，3(3m 4) 3
1 10 10
所以 2 ，所以 2 2 1 ，
3 3
1
所以 3．························································································ 12分
3
P OA P x1 , y 因为点 为线段 的中点，所以 1 ，
2 2
因为点G x y 为△BF1F2的重心，所以G 2 , 2 ，
3 3
所以
S1 S△BF P S1 △F1OB S△F1OP S△BOP
S S 1△FOB △FOP S1 1 2 △AOB
1
1 ( 1 1 1 1 1 3 y ) 1 y 1 ( y
2 2 2 2 1 2 2 1
y2) y2 1
y
4 2
，
2
因为点G为△BF1F2的重心，所以 BG BO ，3
所以 S 2 2 1 12 S△ABG S3 △AOB
1 (y1 y2 ) (y1 y2 )，························· 14分3 2 3
1 y
S y
3 1
1 y 6 92 y 6 9 6( 1) 3 3 3 1 1
所以 1 2 4 21 1 y ，

,3

． 15分
S2 y y 4 1 4 4 4 4( 1) 2 4 1

3
3 1 3 2 y2
f ( ) 3 3 1 1 27 S 33因为函数 在 ,3 上单调递减，所以 1 ，2 4 1 3 16 S2 16
S1 27即 的取值范围为 ,
33
．····································································17分S2 16 16
数学试卷参考答案 第 10页，共 10页

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