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2025-2026学年第二学期浙江省杭州市七年级期末数学模拟练习试卷（解析版）
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形平移的概念，熟练掌握图形平移中“图形的大小，形状和方向不变”是解决本题的关键．
根据图形平移的概念，即“图形平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动”，由此判断选项即可．
【详解】解：观察选项可知，B选项的车标可由平移得到，
经检验，A选项，C选项，D选项不可以由平移得到．
故选：B ．
2．下列调查中，应作全面调查的是（　 　）
A．飞机起飞前零部件的安检工作
B．了解全市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
【答案】A
【分析】本题考查全面调查（普查）与抽样调查的适用情况，全面调查适用于数据要求精确、范围较小或涉及安全等关键领域的情况；抽样调查适用于范围大、破坏性测试或节省成本的情形，据此判断即可．
【详解】解：A：飞机起飞前零部件的安检工作，因涉及飞行安全，必须对每个零部件逐一检查，确保无遗漏，故需全面调查，故本选项符合题意；
B：了解全市居民废电池处理情况，全市居民数量庞大，全面调查成本高、耗时长，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C：了解大学生主要娱乐方式，大学生群体范围广，全面调查不现实，通常采用抽样，故本选项不符合题意；
D：检测灯管使用寿命，测试具有破坏性（灯管无法重复使用），只能抽样检测，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列因式分解正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】解：A．，故原分解不正确；
B．，正确；
C．不能分解，故原分解不正确；
D．，故原分解不正确；
故选B．
4.下列各组数中，不是的解的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把各选项中的解代入二元一次方程中进行验证即可．
【详解】解：A、把代入得，所以是的解；
B、把代入得，所以是的解；
C、把代入得，所以不是的解；
D、把代入得，所以是的解；
故选：C．
5. 已知实数，满足，．若，则（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，
下列说法正确的是（　 　）

A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多
D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多
【答案】A
【分析】本题考查的是扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
根据扇形统计图里的数据比例逐一判断即可．
【详解】解：A、706班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为，总人数一样，且占比相同，
∴706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
∴A选项说法正确；
B、705班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为，
∴705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数少，
∴B选项说法错误；
C、705班中最喜欢足球的人数占比为，706班中最喜欢乒乓球的人数占比为，因无法确定705班中最喜欢足球的人数和706班中最喜欢乒乓球的人数各是多少，
∴C选项说法错误；
D、由于不知道705班和706班的学生总人数，尽管705班中最喜欢篮球的人数占比比706班中最喜欢篮球的人数占比相同，因无法确定两个班最喜欢篮球的人数各是多少，
所以705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数不一定一样多，
∴D选项说法错误；
故选：A．
7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（　 　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确．
【详解】A选项：不等于．
例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误．
B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质．
例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误．
C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确．
D选项：变形为 时，分子符号错误．
例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误．
故选：C．
8．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．第一个条件为绳子剩余4.5尺，第二个条件为对折绳子后量木头不足1尺，需转化为对应的方程．
【详解】解：设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得：
故选A．
9. 如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，
点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（　 　）
A. 21 B. 24 C. 34 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解．
【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则．
∵
∴
∴，即
∴
∴长方形的面积为
故选A ．
只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段，
用圆规在另一边上截取，使，如图1．用圆规比较和的长度，
若相同则平行．小刚的方法是：折叠纸条，使和重合，交于点F，
折痕为和，如图2．用圆规比较，，的长度，若，
则平行．则正确的是（ ）

A．小明的方法正确，小刚的方法错误
B．小明和小刚的方法都正确
C．小明的方法错误，小刚的方法正确
D．小明和小刚的方法都错误
【答案】B
【分析】在图1中，连接，可证明，得，所以，可知小明的方法正确；在图2中，由，得，由折叠得，则，所以，可知小刚的方法正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，连接，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴小明的方法正确；
如图2，∵，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴小刚的方法正确，
故选：B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为________．
【答案】
【分析】根据方程的解的定义，将代入求出a的值即可．
本题主要考查了二元一次方程的解的定义，能够使方程成立的一组未知数的值叫做方程的解．理解方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：把代入，
得，
解得：．
故答案为：．
12．因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：．
如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有____天．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查学生对扇形统计图的认识，根据图中各个扇形的圆心角占周角的比例与这一项占总体的比例相等，可以先计算占的比例是多大，再用这个比例乘以30天就可以求出晴天的天数．
【详解】解：（天）
故答案为：14 ．
14．关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，即可求出的值．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程有增根，且增根为2，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．
将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是____________
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由折叠性质得，再结合平行线的性质，得，，然后代入，得，再结合，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵折叠
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用提公因式法因式分解；
（2）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，
随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答：
请你补全条形统计图．
该校共对___________名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为_____度．
若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数．
【答案】(1)见解析
(2)40；54
(3)估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人．
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据喜欢篮球的人数除以占比得出总人数，进而求得喜欢“跑步”的人数和喜欢“跳绳”的人数，补全条形统计图即可求解；
（2）根据喜欢“跳绳”的人数除以总人数，得出占比，乘以度，即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：参与问卷调查的学生人数为（人），
喜欢“跑步”的人数为（人），
喜欢“跳绳”的人数为（人）
补充统计图如图：
；
（2）解：参与问卷调查的学生人数为（人），
“跳绳”对应的圆心角为，
故答案为：40；54；
（3）解：（人），
估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数为210人．
19．解下列方程（组）：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程；
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：方程两边同乘以得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
已知：如图，在中，，点分别在上，
且平分，．
判断与的位置关系，并说明理由．
若，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
（1）根据平行线的性质和判定得出即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出即可．
【小问1详解】
解：，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．先化简，再求值：
(1) ，其中．
(2) ，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】(1)，6
(2)，
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，分式的化简求值．
（1）根据平方差公式、单项式乘以多项式和合并同类项可以解答本题；
（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】（1）解：原式
代入，得原式．
（2）原式
∵，
代入得原式．
临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．
已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，
用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同．
求记录本和笔的单价．
本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），
请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)笔的单价为元，则记录本的单价为元；
(2)有三种购买方案，分别为：方案一，购买记录本5本，笔18支；方案二，购买记录本10本，笔12支；方案三，购买记录本15本，笔6支．
【分析】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用．熟练掌握根据数量关系列分式方程求解单价，以及根据总价、单价和数量的关系列二元一次方程并结合正整数条件确定购买方案是解题的关键．在解分式方程时要注意验根，确保得到的解符合实际情况．
（1）设笔的单价为未知数，进而表示出记录本的单价，再根据“数量 = 总价÷单价”以及两种奖品数量相同这一关系列出方程，求解方程得到笔的单价，进而求出记录本的单价．
（2）设购买记录本的数量为未知数，根据总价列出方程，再结合两种奖品都要购买（即数量都为正整数）这一条件，确定未知数的取值，从而得到购买方案．
【详解】（1）解：设笔的单价为元，则记录本的单价为元．
，
经检验是原方程的解，
记录本的单价为：（元）
∴笔的单价为元，则记录本的单价为元；
（2）解：设购买记录本本，购买笔支．
因为，为正整数，
所以只能取的倍数．
当时，；
当时，；
当时，．
综上，有三种购买方案，分别为：方案一，购买记录本5本，笔18支；
方案二，购买记录本10本，笔12支；
方案三，购买记录本15本，笔6支．
23．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为．
若，，，直接写出的值．
(2) 若，，求的值．
(3) 已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值．
【答案】(1)40
(2)10
(3)8
【分析】题目主要考查整式的加减运算及求值，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）图1中的阴影部分周长可以转化为长方形的周长，它的长与宽都很容易找到，只要套用长方形的周长公式计算即可；
（2）两个图形中的阴影部分的面积都可以转化为两个不同的矩形面积之和，再分别用相应的代数式表示出来，通过运算化简得到，而，，整体代入就能得出答案．
（3）同样设长方形的宽为x，长为y，由（2）可知，结合这一问给出的条件可以变形得到，同时利用可以求出，代入计算即可．
【详解】（1）解：作辅助线如图所示
∵
∴，
∴；
（2）解：作辅助线如下图
设，
∴，，
∴，
由题意得：，，
∴
（3）解：设，且（）
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）得．
24. 探索下面不同的情境，回答问题：
【探索发现】
已知：如图，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点．
请你选择一位同学的方法，并进行证明；
【深入思考】
如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证；
（2）利用三角形内角和定理证明即可求证；
（3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解；
【详解】（1）解：小刚的证明如下：
如图2，过点作，
，
，
，，
，
即；
小红的证明如下：
如图3，延长交于点，
，
，
∵，，
，
即；
（2）证明：∵，，
，
，
，
；
（3）解：∵平分，，
∴，
设，则，
，
∵在（2）的条件下，
，
，
解得，
，
设，
∵平分，
，
，
，
，
，
∵在（）的条件下，
，
同理可得，，即，
解得，
．
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2025-2026学年第二学期浙江省杭州市七年级期末数学模拟练习试卷
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，
其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　 　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，应作全面调查的是（　 　）
A．飞机起飞前零部件的安检工作
B．了解全市居民对废电池的处理情况
C．了解现代大学生的主要娱乐方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
3. 下列因式分解正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
4.下列各组数中，不是的解的是（　 　）
A． B． C． D．
5. 已知实数，满足，．若，则（　 　）
A． B． C． D．
对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，
下列说法正确的是（　 　）

A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多
D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多
7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（　 　）
A. B.
C. D.
8．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（　 　）
A． B． C． D．
9. 如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，
点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（　 　）
A. 21 B. 24 C. 34 D. 42
只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段，
用圆规在另一边上截取，使，如图1．用圆规比较和的长度，
若相同则平行．小刚的方法是：折叠纸条，使和重合，交于点F，
折痕为和，如图2．用圆规比较，，的长度，若，
则平行．则正确的是（ ）

A．小明的方法正确，小刚的方法错误
B．小明和小刚的方法都正确
C．小明的方法错误，小刚的方法正确
D．小明和小刚的方法都错误
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为________．
12．因式分解：________．
如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有____天．
14．关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15. 关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．
将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是____________
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 分解因式：
(1)； (2)．
18. 为响应国家“体重管理年”政策，某校要了解七年级学生的课外锻炼情况，
随机选取某班学生进行“最喜欢的一项体育运动”调查，并根据统计数据绘制了如下统计图，请解答：
请你补全条形统计图．
该校共对___________名学生进行了调查，在扇形统计图中，“跳绳”对应的圆心角为_____度．
若该校七年级共有600名学生，请你估计七年级学生中最喜欢游泳运动的人数．
19．解下列方程（组）：
(1)． (2)．
已知：如图，在中，，点分别在上，
且平分，．
判断与的位置关系，并说明理由．
若，求的度数．
21．先化简，再求值：
(1) ，其中．
(2) ，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．
已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，
用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同．
求记录本和笔的单价．
本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），
请问有哪几种购买方案？
23．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为．
若，，，直接写出的值．
(2) 若，，求的值．
(3) 已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值．
24. 探索下面不同的情境，回答问题：
【探索发现】
已知：如图，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点．
请你选择一位同学的方法，并进行证明；
【深入思考】
如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
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