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12.4 逆命题与逆定理
2.线段垂直平分线
第12章 全等三角形
华东师大版
八年级数学上册
复习引入
1.互逆命题的定义？
2.互逆定理的定义？
3.线段是轴对称图形吗？对称轴？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.
合作探究
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
C
A
B
P
M
N
PA与PB完全重合
根据这个发现你能得出什么结论？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知：如图，MN⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA＝PB.
证明：
C
A
B
P
M
N
∵MN AB
∴ PCA= PCB=90°，
在△PCA和△PCB中，
∵AC=CB，
PCA= PCB
PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
几何语言：
C
A
B
P
M
N
条件 结论
性质定理
逆命题
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
一个点在线段的垂直平分线上.
这个点到线段两端的距离相等.
一个点到线段两端的距离相等.
这个点在线段的垂直平分线上.
这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
探索
逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上.
过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
∵QA=QB，MN⊥AB
∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
A
B
Q
M
N
C
分析：思路1——作垂线，证中点；
思路2——作中线，证垂直．
证明：
逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上.
取线段AB的中点C，连接QC，
∵QA=QB，AC=BC，
∴QC⊥AB（等腰三角形的三线合一）.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
A
B
Q
M
N
C
分析：思路1——作垂线，证中点；
思路2——作中线，证垂直．
证明：
线段垂直平分线的判定定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
∵ PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
几何语言：
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
A
B
P
上述两条定理互为逆定理.
如何证明“三角形三条边的垂直平分线交于一点”？
试 一 试
A
B
C
m
n
l
O
分析：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路如下：
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA＝OB
OB＝OC
OA＝OC
点O在AC的垂直平分线n上
试试看，你能写出证明过程吗？
证明：连接OA，OB，OC.
∵点O在AB，BC的垂直平分线上，
∴OA=OB，OB=OC .
∴OA=OC.
∴点O在AC的垂直平分线上.
A
B
C
m
n
l
O
结论：三角形三条边的垂直平分线交于一点.
已知：如图，△ABC中，点O在AB、BC的垂直平分线上。
求证：点O在AC的垂直平分线上.
例1
如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为(　)
A.40° B. 50° C. 80° D. 100°
变式：在上题的条件下，若AB+AC=16cm，则△ABD的周长为 cm.
应用示例
C
16
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
A
B
l
P
解：如图，点P即为所求。
巩固练习
课本104页 练习
2.如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
3.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC，
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
课堂小结
线段
垂直平分
性质：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
应用：见垂直平分线，得线段相等.
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
应用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
互逆 定理
课后作业
必做题：
同步练习册
选做题：
课本109页习题12.4 第2、3、7、8题
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