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第十二章 全等三角形
12.3 等腰三角形
12.3.1 等腰三角形的性质
华师大版 八年级上册
三角形
从一般到特殊
研究内容
边
角
“三线”
一、建构识方向
角特殊化
直角三角形
研究路径
定义
性质
判定
应用
边特殊化
等腰三角形
等腰直角三角形
研究路径
定义
性质
判定
研究内容
边
角
“三线”
应用
一、建构识方向
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？
二、动手得新知
实验操作
AB=AC
等腰△ABC
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
① ∠B 与∠C
②∠BAD与∠CAD
③∠ADC与∠ADB
④BD 与CD
问题 把剪出的等腰△ ABC沿折痕对折，你还能找到哪些重合的角和线段？
三、探索知性质
重合的角:
重合的线段：
A
C
D
B
⑤AD 与AD
→ 两个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
→ AD为底边BC上的高
→ AD为底边BC上的中线
猜想1:等腰三角形的两个底角相等.
归纳猜想
三、探索知性质
实验操作
猜想2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
同学们手中的等腰三角形形状,大小各不相同，是否任意一个等腰三角形都具有上述所概括的特征？
A
C
D
B
猜想1：等腰三角形的两个底角相等.
A
Ｂ
C
D
　　已知：如图，△ABC 中，AB =AC．
求证：∠B =∠C．
三、探索知性质
推理证明
　　证明：作底边BC的中线AD，
则BD=CD
在△ABD 与△ACD 中
　AB =AC
　　 BD =CD
　　　 AD =AD
　　 ∴△ABD ≌△ACD（SSS）
　　 ∴∠B =∠C
证明：等腰三角形的两个底角相等.
三、探索知性质
推理证明
简写为：等边对等角
符号语言：
∵在△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
三、探索知性质
（2）∵AB =AC，BD =CD，
∴____⊥____ ，∠___ =∠___.
AD为底边上的中线
三、探索知性质
　证明：∵　AD 是底边上的中线，
　　 ∴　BD=CD
在 △ ABD 与△ ACD 中
　AB =AC
　　 BD =CD
　　　 AD =AD
　　 ∴ △ABD ≌△ACD（SSS）
　　
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD是底边上的中线．
求证：AD是顶角的平分线，AD⊥BC．
　　　 ∴ ∠1= ∠2,∠ADB =∠ADC
∴ AD是顶角的平分线
∵　∠ADB +∠ADC =180°，
∴ ∠ADB =90°，
∴　AD⊥BC.
AD
BC
1
2
A
B
C
D
(
(
1
2
AD为底边上的高
三、探索知性质
（3）∵AB =AC，∠1= ∠2
∴____⊥____ ， ____ =____.
CD
AD
BC
BD
（3）∵ AB =AC , AD⊥BC.
∴∠___ = ∠___，____= ____.
1
2
BD
CD
A
B
C
D
(
(
1
2
A
B
C
D
(
(
1
2
AD为顶角的平分线
三、探索知性质
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
简写为：三线合一
（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴BD=CD，AD⊥BC.
（2）∵AB=AC，BD=CD
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
（3）∵AB=AC， AD⊥BC
∴ AD平分∠BAC ，BD=CD.
符号语言：
四、应用出本质
1.等腰三角形一个内角的度数为70,则它的另外两个内角的度数分别为________________.
70, 40或 55, 55
分类讨论
2.如图，在△ABC 中，AB =AC，∠B = 2∠A ，则∠B = .
A
Ｂ
C
方程思想
72
四、应用出本质
例1 已知：在△ABC中 ，AB=AC，∠ B=80 °，求∠ C和∠ A的大小.
解：
例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.
求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.
A
D
C
1
2
（2）∵∠1 +∠B +∠ADB=180°（三角形内角和等于180°），
∠B=30°（已知），
∴∠1=180°-∠B-∠ADB
=180°-30°-90°=60°.
∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”).
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义).
解：(1) ∵AB = AC，BD=DC（已知），
B
四、应用出本质
五、小结理方法
1.学完本节课，你掌握了哪些知识？我们是沿着怎样的路径研究的？
等腰三角形
三角形
角特殊化
边特殊化
定义
性质
1.等边对等角
2.三线合一
判定
等腰直角三角形
直角三角形
应用
归纳猜想
推理证明
实验操作
得出性质
五、小结理方法
2.你感悟到哪些数学思想方法？
从一般到特殊
方程思想
分类讨论
五、小结理方法
3.根据几何图形的一般研究路径，接下来我们会学习哪些内容？
等腰三角形
三角形
角特殊化
边特殊化
定义
性质
1.等边对等角
2.三线合一
判定
等腰直角三角形
直角三角形
应用
判定
应用
五、小结理方法
3.根据几何图形的一般研究路径，接下来我们会学习哪些内容？
等腰三角形
三角形
角特殊化
边特殊化
等腰直角三角形
直角三角形
等边三角形
边特殊化
研究路径
定义
性质
判定
研究内容
边
角
“三线”
应用
1.必做题
（1）课本习题12.3第2、3、4题.
（2）证明性质2“三线合一”中的另两个结论.
六、课后得巩固
2.选做题
已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
（1）如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
（2）如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图①
F
图②
谢谢

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