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(共21张PPT)
11.5.1提公因式法分解因式
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
学习目标
根据左边的计算结果，完成下面的填空：
整式的乘积
多项式
整式的乘积
多项式
运用前面所学的知识填空：
新课引入
( )( )
x x+3
( )( )
x+2 x-2
将等式的乘积形式化成多项式的过程我们称为整式乘法，那么像上述题目中将多项式化成整式乘法的过程又叫做什么呢？它们两者之间有什么联系？我们该如何去做呢？这就是我们这节课所要学习的内容.
探究1
请把下列多项式写成整式的乘积形式：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) a2 -b2 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
a+b a-b
a+b
新知学习
其过程正好与整式的乘法相反
归纳总结
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
可以看出，因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，即
一个多项式 几个整式的积
因式分解
整式乘法
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
不是整式
不是乘积形式
探究2
之前的多项式 ma+mb+mc是如何进行因式分解的？
ma+mb+mc = m(a+b+c)
我们发现这是利用了类似逆乘法分配率的方法将乘积形式的公共字母m提了出来，将每项不同的字母组合成一个新的因式，然后二者相乘.
归纳总结
ma+mb+mc
公共的因式 m
它的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式的公因式.
( a+b+c )
ma+ mb + mc
m
=
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
在提公因式的时候，我们不一定每一次正好都会遇到有相同部分的因式，还会遇到没有相同部分但是存在公因式的式子，如：2x 2 – 4 xy ，2xy+4x-6x2y2...，那么遇到这种情况我们又该如何提取公因式呢？
找多项式各项的最大公因式
思考
讨论
如何确定一个多项式的最大公因式？
找 2x 2 – 4 xy 的公因式.
系数：最大公约数
2
字母：相同的字母
x
所以公因式是2x
指数：相同字母的最低次数
1
方法总结
正确找出多项式的最大公因式的步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
例1 把下列多项式分解因式：
(2)3a2 - 9ab.
解：3a2 - 9ab
(1)-5a2 + 25a;
= 3a(a-3b)
第1步：找公因式；
提公因式法分解因式的一般步骤
解：-5a2 + 25a
= -5a(a-5).
第2步：提公因式，即用多项式除以公因式.
注意：如果第一项是负的，一般把负号提前.
方法总结：
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式是b.
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？
例2 把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
例3 把2a(b+c) - 3(b+c)分解因式.
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
C
1.下列各式从左到右的变形不是因式分解的是( )
A.
B. x2-1=(x+1)(x-1)
C.2x+8x-1=2x(x+4)-1
D.a2-2ab+b2=(a-b)2
随堂练习
2.把多项式 (x+2)(x-2)+(x-2) 提取公因式 (x-2) 后，余下的部分是（　　）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
D
3.把下列各式分解因式：
(1)ax + ay； (2)3mx - 6my.
解：原式= a(x＋y)；
解：原式=3m(x－2y).
4.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01； (2)(-2)101+(-2)100；
解：原式=1.99×(1.99+0.01)
=3.98；
解：原式=(-2)100 ×(-2+1)
=2100 ×(-1)
=-2100；
5.已知 x+y=2，xy=-3，求 x2y+xy2 的值.
解：∵x+y=2，xy=-3
∴ x2y+xy2
= xy(x+y)
= (-3)×2
= -6
6.已知n为整数，试说明(n＋5)2－(n＋3)2一定能被4整除．
证明：(n＋5)2－(n＋3)2
＝n2＋10n＋25－(n2＋6n＋9)
＝4n＋16
＝4(n＋4)，
∴4（n+4）÷4=n+4，
∵n为整数，
∴(n＋5)2－(n＋3)2一定能被4整除．
提公
因式法
因式分解
提公因式法
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法分解因式的一般步骤：
1.找公因式；2.提公因式.
正确找出多项式的最大公因式的步骤：
1.定系数；2.定字母；3.定指数.
课堂小结
谢谢观看
Thank you

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