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专题一：平面向量的概念与运算（解析版）
考点1：向量的有关概念 2
考法1：向量概念的辨析 2
考法2：相等向量与共线向量的判定 3
考点2：向量的线性运算 4
考法3：向量的加减法几何表示 4
考法4：用基底表示向量 4
考法5：三点共线的向量条件 7
考点3：向量的数量积运算 8
考法6：求向量的数量积 8
考法7：求向量的模 12
考法8：求向量的夹角 13
考法9：向量垂直的判定与证明 14
考点4：向量范围与最值问题 15
考法10：数量积的最值问题 15
考法11：模的最值问题 16
1 2 3 4 5
D C ACD C B
6 7 8 9 10
AB D ， A
11 12 13 14 15
BC C 3 ACD
16 17 18 19 20
见解析 D 1 B
21 22 23 24
B C D
考点1：向量的有关概念
考法1：向量概念的辨析
1.（单选）下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 若，，则四边形是矩形
C. 若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量
D. 若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底
【答案】D
【解析】对于 A，，故 A 错误；
对于 B，由 ，得不到四边形 为矩形，可以为等腰梯形，故 B 错误；
对于 C，若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量或相反向量，故 C 错误；
对于 D，由 ，则 ，
即 ，所以 ，又 ， 为非零向量，则 不共线，
它们可以作为平面内所有向量的一个基底，故 D 正确.
【点拨】判断向量概念时，需紧扣向量的模与方向两个要素.判断基底时，只需验证两非零向量是否不共线.
2.（单选）下列说法不正确的是（ 　　）
A. 零向量加一个零向量还是零向量 B. 零向量减一个零向量还是零向量 C. 零向量乘一个零向量还是零向量 D. 零向量乘零还是零向量
【答案】C
【解析】由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以 0）均为零向量.
【点拨】注意区分向量与实数，向量的数量积结果是实数，而向量的加减法和数乘结果是向量.
3.（多选）下列命题正确的是（ 　　）
A. 在中，，则的形状一定是直角三角形
B. 若四点在同一条直线上，且，则
C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形
D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ACD
【解析】对于 A，因为 ，
所以 ，所以 ， 为直角三角形，故 A 正确.
对于 B，如图，， 四点满足条件，但 ，故 B 错误；
对于 C，平行四边形 两对角线相等，四边形 为矩形，故 C 正确；
对于 D，根据向量加法的几何意义知，以 ， 为邻边所得到的平行四边形是菱形，点 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得 点在 的平分线所在直线上，故 D 正确.
【点拨】利用向量的数量积和线性运算，结合几何图形的性质（如菱形对角线平分内角）进行判断.
考法2：相等向量与共线向量的判定
4.（单选）已知，是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. 与共线同向 D. 与共线反向
【答案】C
【解析】因为 ，且 ， 是两个非零向量，所以 与 共线同向.
【点拨】利用三角不等式 ，等号成立的充要条件是两非零向量共线同向.
考点2：向量的线性运算
考法3：向量的加减法几何表示
5.（单选）在平行四边形中，与相交于点，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：.
【点拨】利用平行四边形对角线互相平分的性质，将 转化为 ，再利用向量减法的三角形法则求解.
6.（多选）在中，为边的中点，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】在 中，，A 选项正确；
，B 选项正确；
在 中， 为边 的中点，则 ，C 选项错误；
，所以 D 选项错误.
【点拨】熟练掌握向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及减法的三角形法则，中线向量公式 是常考点.
考法4：用基底表示向量
7.（单选）在平行四边形中，，，是线段的中点，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在平行四边形 中，，，
所以 ，
，
因为 是线段 的中点，
所以 .
【点拨】利用向量加法的平行四边形法则和中点公式，将目标向量逐步分解为已知基底向量的线性组合.
8.（解答）如图，在平行六面体 中，，，设向量 ，，．
用 、、 表示向量 ，并求 .
【答案】，
【解析】∵ ，
且 ，，，
∴ ．
∵ ，，
∴ ，且 ．
∴
．
∴ ．
【点拨】用基底表示向量时，需准确运用空间向量的加减法法则在几何体中进行路径寻找与分解；在计算目标向量的模长时，通常将其转化为求平方，通过展开成基底的数量积运算，结合已知基底的模长和夹角代入求解。
9.（填空）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中，，，，，分别是，，，，，的中点，是正六边形的中心.若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由正六边形的性质可得 ，，
则 .
因为 ，结合平面向量基本定理，所以 ，，则 .
【点拨】利用正六边形的几何性质，将目标向量用指定的基底向量表示，再根据平面向量基本定理求出系数.
考法5：三点共线的向量条件
10.（单选）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
【点拨】通过向量的线性运算将已知等式转化为关于三角形边向量的关系式，进而求出线段长度之比.
11.（解答）已知，是平面内两个不共线向量，，，，且，，三点共线.
求实数的值；
【答案】
【解析】，
因为 三点共线，所以存在 使得 ，
即 ，
因为 是平面内两个不共线向量，所以 ，解得 .
【点拨】利用三点共线的充要条件，将向量表示为基底的线性组合，再根据平面向量基本定理列方程组求解.
考点3：向量的数量积运算
考法6：求向量的数量积
12.（多选）已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【解析】对于 A，，，一个与 共线，另一个与 共线，易知不一定相等，故 A 错误；
对于 B，，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以 ，
所以 ，，即 ，故 C 正确；
对于 D，，又 ，
可得 或 ，所以 不一定相等，故 D 错误.
【点拨】向量的数量积不满足结合律，即 ；数量积的消去律不成立，即由 不能直接得出 .
13.（单选）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选： C.
【点拨】利用向量模的平方公式求出数量积，再代入投影向量的公式 进行计算.
14.（填空）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【解析】设等边三角形边长为 ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，，，，
直线 的斜率为：，方程为：，
设 ，因为 在 上，所以 ，
且 ，依题意，
，所以
，解得 （负的舍去），即等边三角形的边长为 3.
【点拨】建立平面直角坐标系，利用坐标运算将数量积转化为关于边长的代数式，是处理此类问题的有效方法.
15.（多选）如图所示，已知，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为的仿射坐标系.若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为.则（ 　　）
A. 在的仿射坐标系下，若，则
B. 在的仿射坐标系下，若，，则
C. 在的仿射坐标系下，若，，则
D. 在的仿射坐标系下，若，，且，则
【答案】ACD
【解析】对于 A：在 的仿射坐标系下，若 ，则 ，
，故 A 正确；
对于 B：在 的仿射坐标系下，若 ，，
则 ，，
，故 B 错误；
对于 C：在 的仿射坐标系下，若 ，，
则 ，，
，
，
，
，故 C 正确；
对于 D：在 的仿射坐标系下，若 ，，
则 ，，
，
，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 对任意 恒成立，
又 ，所以 ，
解得 ，
又 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，故 D 正确.
【点拨】理解仿射坐标系的定义，将向量的坐标运算转化为基底向量的线性运算，再利用数量积的性质进行求解.
16.（解答）如图，设，是平面内相交成（且）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.已知在斜坐标系中，，.
证明：；
【答案】见解析
【解析】，，
，
因为 ，，
所以 .
【点拨】利用向量的数量积分配律展开，代入基底向量的模和夹角即可证明.
考法7：求向量的模
17.（单选）已知向量，为单位向量，在上的投影向量为，则（ 　　）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 ，且 ，则 ，
所以 .
【点拨】先根据投影向量的定义求出两向量的数量积，再利用向量模的平方公式求解.
18.（解答）如图，设，是平面内相交成（且）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.已知在斜坐标系中，，.
（已知）当时，，求；
【答案】
【解析】，
，
因为 ，
所以 .
【点拨】将向量的模转化为向量的平方，利用基底向量的模和夹角进行计算.
考法8：求向量的夹角
19.（单选）向量均为非零向量，，则的夹角为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
故 ，
可得 ，又因为 ，所以 .
【点拨】利用向量垂直的充要条件转化为数量积为零，求出两向量模的关系及数量积，再代入夹角公式.
20.（填空）已知向量，满足，，则向量与的夹角为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ，，所以 ，所以 ，
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
又 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
【点拨】先求出未知向量的模，再利用数量积求出两向量夹角的余弦值，最后结合夹角范围确定角度.
考法9：向量垂直的判定与证明
21.（单选）已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
则 ，不能说明 ， 均为单位向量.
当 ， 均为单位向量，即 ，则 ，
所以 ，
又因为 ， 为非零向量，所以能说明 .
综上所述， 是 ， 均为单位向量的必要不充分条件.
【点拨】将模的等式两边平方展开，化简得到数量积与模的关系，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断.
22.（解答）已知平面向量与的夹角为，且，.
若与垂直，求的值.
【答案】
【解析】；
由题意可知，，
即 ，解得：.
【点拨】利用向量垂直的充要条件（数量积为零）建立关于参数的方程求解.
考点4：向量范围与最值问题
考法10：数量积的最值问题
23.（单选）如图，圆内接边长为1的正方形，是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以 为坐标原点，， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，则 ，.
设 ，则 . 因为 ，所以 .
由题意知，圆 的半径 . 因为点 在弧 （包括端点）上，
所以 ，所以 的取值范围是 .
【点拨】建立平面直角坐标系，将向量的数量积转化为点的坐标，结合图形确定坐标的取值范围.
考法11：模的最值问题
24.（单选）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为 上一点，所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
【点拨】利用三点共线的向量条件求出参数，将目标向量用基底表示，再利用基本不等式求模的最小值.
第 2 页，共 17 页专题一：平面向量的概念与运算
考点1：向量的有关概念 1
考法1：向量概念的辨析 1
考法2：相等向量与共线向量的判定 2
考点2：向量的线性运算 2
考法3：向量的加减法几何表示 2
考法4：用基底表示向量 3
考法5：三点共线的向量条件 5
考点3：向量的数量积运算 5
考法6：求向量的数量积 5
考法7：求向量的模 7
考法8：求向量的夹角 8
考法9：向量垂直的判定与证明 9
考点4：向量范围与最值问题 9
考法10：数量积的最值问题 9
考法11：模的最值问题 10
注意事项
1. 本专题重点考查平面向量的概念、线性运算、数量积及其应用，需熟练掌握向量的几何意义与代数运算.
2. 练习时请注意向量共线、垂直的充要条件，以及数量积在求模长、夹角和最值问题中的灵活运用.
3. 解答题需写出完整的推导和证明过程，注意步骤的严谨性与逻辑的连贯性.
考点1：向量的有关概念
考法1：向量概念的辨析
1.（单选）下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 若，，则四边形是矩形
C. 若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量
D. 若平面内两个非零向量，满足，则它们可以作为平面内所有向量的一个基底
2.（单选）下列说法不正确的是（ 　　）
A. 零向量加一个零向量还是零向量 B. 零向量减一个零向量还是零向量 C. 零向量乘一个零向量还是零向量 D. 零向量乘零还是零向量
3.（多选）下列命题正确的是（ 　　）
A. 在中，，则的形状一定是直角三角形
B. 若四点在同一条直线上，且，则
C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形
D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心
考法2：相等向量与共线向量的判定
4.（单选）已知，是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 与共线同向 D. 与共线反向
考点2：向量的线性运算
考法3：向量的加减法几何表示
5.（单选）在平行四边形中，与相交于点，则（ 　　）
A. B. C. D.
6.（多选）在中，为边的中点，则（ 　　）
A. B.
C. D.
考法4：用基底表示向量
7.（单选）在平行四边形中，，，是线段的中点，则（ 　　）
A. B.
C. D.
8.（解答）如图，在平行六面体 中，，，设向量 ，，．
用 、、 表示向量 ，并求 .
9.（填空）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中，，，，，分别是，，，，，的中点，是正六边形的中心.若，则＿＿＿＿＿＿.
考法5：三点共线的向量条件
10.（单选）已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（ 　　）
A. B. C. D.
11.（解答）已知，是平面内两个不共线向量，，，，且，，三点共线.
求实数的值；
考点3：向量的数量积运算
考法6：求向量的数量积
12.（多选）已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
13.（单选）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ 　　）
A. B. C. D.
14.（填空）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为＿＿＿＿＿＿.
15.（多选）如图所示，已知，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为的仿射坐标系.若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为.则（ 　　）
A. 在的仿射坐标系下，若，则
B. 在的仿射坐标系下，若，，则
C. 在的仿射坐标系下，若，，则
D. 在的仿射坐标系下，若，，且，则
16.（解答）如图，设，是平面内相交成（且）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.已知在斜坐标系中，，.
证明：；
考法7：求向量的模
17.（单选）已知向量，为单位向量，在上的投影向量为，则（ 　　）
A. 1 B. C. D.
18.（解答）如图，设，是平面内相交成（且）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.已知在斜坐标系中，，.
（已知）当时，，求；
考法8：求向量的夹角
19.（单选）向量均为非零向量，，则的夹角为（ 　　）
A. B. C. D.
20.（填空）已知向量，满足，，则向量与的夹角为＿＿＿＿＿＿.
考法9：向量垂直的判定与证明
21.（单选）已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22.（解答）已知平面向量与的夹角为，且，.
若与垂直，求的值.
考点4：向量范围与最值问题
考法10：数量积的最值问题
23.（单选）如图，圆内接边长为1的正方形，是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法11：模的最值问题
24.（单选）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. 3 D.
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