资源简介

专题二：平面向量基本定理与坐标运算
考点1：平面向量基本定理 1
考法1：利用基本定理进行向量分解 1
考法2：利用三点共线定理求解参数 3
考点2：向量的坐标表示与坐标运算 6
考法3：向量的坐标运算 6
考法4：利用坐标判定平行与垂直 10
考法5：已知平行或垂直条件求参数 11
考点3：平面向量在几何中的应用 13
考法6：用向量法求几何图形中的长度 13
考法7：用向量法求几何图形中的角度 14
注意事项
1. 本专题主要考查平面向量基本定理、坐标运算及其在几何中的应用，题型涵盖选择、填空和解答题，难度适中.
2. 重点掌握向量的线性运算、坐标表示、数量积以及利用向量法解决几何问题（如长度、角度）.
3. 注意向量运算的几何意义，解答题需写出详细的推导过程.
1 2 3 4 5
A D 见解析 C
6 7 8 9 10
B 见解析 ACD
11 12 13 14 15
3 B 4 ABD
16 17 18 19 20
B 见解析 见解析
21 22 23 24
C
考点1：平面向量基本定理
考法1：利用基本定理进行向量分解
1.（单选）在中，点在边上，.记，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，在中，，
故，
又在中，，
【点拨】利用向量的加减法法则和数乘运算，将未知向量用已知基底表示.
2.（单选）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知为线段上一点，设，，
则，
又，则，
所以，
则，解得，
【点拨】利用三点共线定理或向量的线性运算，将向量用同一组基底表示，根据平面向量基本定理对应系数相等求解.
3.（解答）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接.试用和表示.
【答案】
【解析】在四边形中，.
在四边形中，.
又因为，分别是，的中点，所以，.
所以，即，
又因为，，所以，.
所以.
【点拨】利用向量的加法法则，构造封闭图形，结合中点性质将未知向量转化为已知基底向量.
考法2：利用三点共线定理求解参数
4.（填空）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】如图，过点作交于点，交于点，
则，所以，即，.
又因平分，且，则，解得，
则，因此，又，
则
.解得.
【点拨】利用角平分线定理求出边长关系，再利用向量的平方求模长.
5.（单选）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则
，
所以，解得，
，则，
，当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为.
【点拨】利用三点共线定理求出参数，再利用基本不等式求模长的最小值.
6.（解答）已知中，角，，所对的边分别为，，，点在线段上，，，线段，交于点.（注：，分别表示，的面积）求的值.
【答案】
【解析】已知中，角所对的边分别为，点在线段上，，
，线段交于点.
设，则，
因为三点共线，所以，解得，
所以为中点；
，即；
【点拨】利用三点共线定理求出点的位置比例关系，再利用面积比等于底边比求解.
7.（单选）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，，则有，，，
代入（*）可得：，即，
因三点共线，故，因，
则，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为3.
【点拨】利用重心性质和三点共线定理得到参数关系式，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
8.（解答）在中，若，，其中，过作直线，与线段，分别交于，两点，求证：.
【答案】见解析
【解析】证明：由
因为三点共线，所以，
即.
【点拨】利用三点共线定理，将向量用共线点的基底表示，系数和为1.
考点2：向量的坐标表示与坐标运算
考法3：向量的坐标运算
9.（填空）在矩形中，，，点满足，则＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，
，
所以，
，，
.
【点拨】建系法是解决矩形中向量数量积问题的有效方法.
10.（单选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于 A，，，
，故 A 正确；
对于 B，，
因为，所以与不平行，故 B 错误；
对于 C，，，，
，
因为，所以，故 C 正确；
对于 D，，故 D 正确.
【点拨】利用向量的坐标运算求出点坐标，再利用投影向量公式求解.
11.（解答）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.已知向量，的“完美坐标”分别为，，求.
【答案】
【解析】已知向量的“完美坐标”分别为，
所以，，
又分别为正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，
所以.
【点拨】理解新定义坐标的含义，将其转化为基底表示，再利用向量数量积求模长.
12.（填空）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的斜率为：，方程为：，
设，因为在上，所以，
且，依题意，
，
所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为.
【点拨】建系法是解决多个向量数量积求和问题的有效方法，利用直线方程消元.
13.（单选）设点是单位圆内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设点在上，则以为轴，线段的中点为原点，
如图，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则，
，
故，
，
，
可得，
，则，
.
【点拨】利用坐标法，将几何问题代数化，通过二次函数求最值.
考法4：利用坐标判定平行与垂直
14.（填空）已知平面向量，，若，则＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】因为，则，解得.
【点拨】利用向量平行的坐标表示公式求解.
15.（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，，对任意的非零实数和，则
B. 若，，则向量，的夹角为钝角
C. 若，，且和的夹角为，则
D. 若点在同一平面内，且，则三点共线
【答案】ABD
【解析】对于 A，因，则，故，即 A 正确；
对于 B，由，且与不共线，
则向量，的夹角为钝角，故 B 正确；
对于 C，因，
则，故 C 错误；
对于 D，由，可得，
，即与共线，故三点共线，即 D 正确.
【点拨】判断向量夹角为钝角时，除了数量积小于0，还需注意两向量不能反向共线.
16.（解答）已知，，.若，求的值.
【答案】
【解析】因为，所以，
即，所以，
所以.
【点拨】利用向量垂直的坐标表示得到三角函数关系式，再利用二倍角公式求解.
考法5：已知平行或垂直条件求参数
17.（单选）已知平面向量，，若与垂直，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知平面向量，，若与垂直，
则，解得，
所以.
【点拨】利用向量垂直的坐标表示求出参数，再利用模长公式求解.
18.（解答）已知向量，.若，求的坐标以及与的夹角.
【答案】见解析
【解析】设，则，①
故，
由，得，即，
化简得，
将①式代入，得，解得.
将代入①式，得，
即或，
设与的夹角为，则，
所以，即与的夹角为.
【点拨】利用向量垂直的数量积为0列方程，结合模长公式求解坐标，再利用夹角公式求夹角.
19.（解答）已知，，.若，求的值.
【答案】
【解析】因为，，则，
若，则，解得.
【点拨】利用向量平行的坐标表示列方程求解.
20.（解答）已知，，.若，，求.
【答案】见解析
【解析】因为，所以，
又，所以，即，
所以或，
解得或.
【点拨】利用向量平行的坐标表示得到三角函数方程，再利用二倍角公式求解.
考点3：平面向量在几何中的应用
考法6：用向量法求几何图形中的长度
21.（解答）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.若为线段上一点，且，求的长度.
【答案】
【解析】由正弦定理得：，即，
，由余弦定理得，
因为为锐角三角形的内角，所以.
为边上一点，，，
，
故，所以的长度为.
【点拨】利用正弦定理化简已知条件求出角，再利用向量的平方求线段长度.
22.（填空）在中，，，，所在平面内的点满足：，，则＿＿＿＿＿＿
【答案】
【解析】由，则，
如图，建立平面直角坐标系，则，，，
设，则，，
由，则，即，（）
又，，（结合式化简）
在中，由余弦定理，，
所以，
所以，，
两边平方可得，结合，
得，因为，
所以，即，
联立，消去得，，
解得或，
当时，因为，得，即，
当时，得，即，此时，，
而，所以，不合题意.
所以点的坐标为.
所以.
【点拨】建系法是解决平面几何中角度和长度问题的有效方法，通过坐标运算简化几何推理.
考法7：用向量法求几何图形中的角度
23.（单选）如图，在中，，，，是的中点，，与交于点.则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
设，
又三点共线，所以，
所以，解得，
所以，
，
，
，
，
，
.
【点拨】利用三点共线定理求出向量的基底表示，再利用数量积求夹角余弦值.
24.（解答）如图， 中，，，，， 为 的中点， 与 相交于点 ．已知 ，（其中 ，），求 ．
【答案】
【解析】∵ ，，，
∴ ，，．
∵ ，，
∴
∴ ．
【点拨】将几何夹角转化为向量夹角时，需结合图形先判定向量的方向与所求角是否一致。在本题的基底化运算中，充分利用直角三角形中两基底向量垂直（即 ）的性质，可使向量的数量积与模长计算大大简化。
第 2 页，共 17 页专题二：平面向量基本定理与坐标运算
考点1：平面向量基本定理 1
考法1：利用基本定理进行向量分解 1
考法2：利用三点共线定理求解参数 2
考点2：向量的坐标表示与坐标运算 4
考法3：向量的坐标运算 4
考法4：利用坐标判定平行与垂直 5
考法5：已知平行或垂直条件求参数 6
考点3：平面向量在几何中的应用 7
考法6：用向量法求几何图形中的长度 7
考法7：用向量法求几何图形中的角度 7
注意事项
1. 本专题主要考查平面向量基本定理、坐标运算及其在几何中的应用，题型涵盖选择、填空和解答题，难度适中.
2. 重点掌握向量的线性运算、坐标表示、数量积以及利用向量法解决几何问题（如长度、角度）.
3. 注意向量运算的几何意义，解答题需写出详细的推导过程.
考点1：平面向量基本定理
考法1：利用基本定理进行向量分解
1.（单选）在中，点在边上，.记，，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（单选）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（解答）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接.试用和表示.
考法2：利用三点共线定理求解参数
4.（填空）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则＿＿＿＿＿＿
5.（单选）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（解答）已知中，角，，所对的边分别为，，，点在线段上，，，线段，交于点.（注：，分别表示，的面积）求的值.
7.（单选）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（解答）在中，若，，其中，过作直线，与线段，分别交于，两点，求证：.
考点2：向量的坐标表示与坐标运算
考法3：向量的坐标运算
9.（填空）在矩形中，，，点满足，则＿＿＿＿＿＿
10.（单选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（ 　　）
A. B. C. D.
11.（解答）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.已知向量，的“完美坐标”分别为，，求.
12.（填空）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为＿＿＿＿＿＿
13.（单选）设点是单位圆内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法4：利用坐标判定平行与垂直
14.（填空）已知平面向量，，若，则＿＿＿＿＿＿
15.（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，，对任意的非零实数和，则
B. 若，，则向量，的夹角为钝角
C. 若，，且和的夹角为，则
D. 若点在同一平面内，且，则三点共线
16.（解答）已知，，.若，求的值.
考法5：已知平行或垂直条件求参数
17.（单选）已知平面向量，，若与垂直，则（ 　　）
A. B. C. D.
18.（解答）已知向量，.若，求的坐标以及与的夹角.
19.（解答）已知，，.若，求的值.
20.（解答）已知，，.若，，求.
考点3：平面向量在几何中的应用
考法6：用向量法求几何图形中的长度
21.（解答）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.若为线段上一点，且，求的长度.
22.（填空）在中，，，，所在平面内的点满足：，，则＿＿＿＿＿＿
考法7：用向量法求几何图形中的角度
23.（单选）如图，在中，，，，是的中点，，与交于点.则（ 　　）
A. B. C. D.
24.（解答）如图， 中，，，，， 为 的中点， 与 相交于点 ．已知 ，（其中 ，），求 ．
第 2 页，共 17 页

展开更多......

收起↑